复习课第01讲 解二元一次方程组、一元一次不等式组-2024年新八年级暑假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

第01讲 解二元一次方程组、一元一次不等式组 1.会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组； 2.会求解一元一次不等式组； 3.会求解二元一次方程组和一元一次不等式组的综合性问题. 1 二元一次方程组的解法 解二元一次方程组的方法主要是通过消去一个未知数，把二元一次方程组的转化为一元一次方程，则可通过该方程先求出一个未知数，再求另一未知数。 将未知数的个数由多到少、逐一解决的思想，叫做消元思想. 具体解法有代入消元法和加减消元法. 2解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的一般步骤： ① 求出不等式组中各个不等式的解集； ② 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，得到这个不等式的解集. 3 确定不等式组的解的口诀 大大取大，小小取小，小大大小取中间，大大小小无处找. 下表中， 不等式 图示 解集 无解 【题型一】 解二元一次方程组 【典题1】 解方程组： (1)；(用代入消元法) (2)(用加减消元法) 【典题2】若关于x，y 的方程组和有相同的解，则的值为(     ) A． B．0 C．1 D．2024 变式练习 1.若实数m，n满足，则的值为(   ) A． B． C． D． 2.已知是二元一次方程组的解，则的值为(    ) A． B． C．3 D．2 3.关于x，y的二元一次方程组的解满足，则 ． 【题型二】 解三元一次方程组 【典题1】 解方程组：． 变式练习 1. 解方程组： 【题型三】 解一元一次不等式组 【典题1】 解不等式组  ，并写出它的所有非负整数解 变式练习 1. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 2.已知关于，的方程组的解满足和的值都是正数，求的取值范围． 【题型四】 参数问题 【典题1】 若不等式组无解，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【典题2】不等式组的所有整数解的和为7，则整数的值有(    ) A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 变式练习 1. 若不等式组无解，则a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 2.若不等式组的整数解共有两个，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 3.若关于x的不等式组恰有4个整数解，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 4.已知关于x的不等式组的最大整数解与最小整数解的差是3，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 5.若关于的一个一元一次不等式组的解集为(为常数且)，则称 为这个不等式组的“解集中点”．若关于的不等式组 的解集中点大于方程 的解且小于方程的解， 则 的取值范围是(   ) A． B． C． D． 6.若关于的方程有非负数解，且关于的不等式组的解集为，则符合条件的的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【题型五】 综合性问题 【典题1】如果一个不等式(组)的解集中包含一个方程(组)的解，那么就称这个不等式(组)的解集为这个方程(组)的“船山范围”，例如：不等式的解集是，它包含了方程的解，因此是的“船山范围”． (1)下列不等式___________(填序号)的解集是方程的“船山范围”： ①；②；③． (2)若不等式组的解集是方程的“船山范围”，且方程的解为整数，求的值． (3)已知是方程的解，不等式组的解集是方程的“船山范围”，求的最小值． 变式练习 1. 已知关于x、y的方程组的解满足，． (1)求m的取值范围； (2)是否存在整数m，使不等式的解集为．若不存在，请说明理由；若存在，请求出整数m的值． 2.已知关于x，y的方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围． (2)当为何整数时，关于的不等式的解集为？ 【A组---基础题】 1.关于x，y的方程的正整数解的个数是(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 2.关于x， y的方程组 的解x与y互为相反数，则k的值为(   ) A． B． C． D． 3.已知关于的不等式组的解集为，则的值为(    ) A． B． C．3 D．5 4.不等式的整数解有(   ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5.对于任意有理数a、b、c、d，我们规定，已知x，y同时满足，，则 ． 6.若不等式组的解集是，则 ． 7.已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为 ． 8.已知关于，的方程组的解为正数． (1)求的取值范围； (2)化简． 9.已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简： (3)在m的取值范围内，当m取何整数时，不等式的解集为？ 【B组---提高题】 1.定义：关于x，y的二元一次方程(其中)中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的“交换系数方程”为或． (1)方程的“交换系数方程”为______； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求的值； (3)已知m，n，t都是整数，并且是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 解二元一次方程组、一元一次不等式组 1.会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组； 2.会求解一元一次不等式组； 3.会求解二元一次方程组和一元一次不等式组的综合性问题. 1 二元一次方程组的解法 解二元一次方程组的方法主要是通过消去一个未知数，把二元一次方程组的转化为一元一次方程，则可通过该方程先求出一个未知数，再求另一未知数。 将未知数的个数由多到少、逐一解决的思想，叫做消元思想. 具体解法有代入消元法和加减消元法. 2解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的一般步骤： ① 求出不等式组中各个不等式的解集； ② 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，得到这个不等式的解集. 3 确定不等式组的解的口诀 大大取大，小小取小，小大大小取中间，大大小小无处找. 下表中， 不等式 图示 解集 无解 【题型一】 解二元一次方程组 【典题1】 解方程组： (1)；(用代入消元法) (2)(用加减消元法) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解答本题的关键． (1)利用代入消元法进行求解即可； (2)先整理方程组，再利用甲减消元的方法进行求解即可． 【详解】(1)解： 由①，得③， 把③代入②，得 解得， 把代入①得：， 解得， 所以原方程组的解为； (2)， 解：整理得， 得：， 解得， 把代入①得， 解得， 所以原方程组的解为． 【典题2】若关于x，y 的方程组和有相同的解，则的值为(     ) A． B．0 C．1 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，乘方运算，将方程组中不含a、b的两个方程联立，求得方程的解，联立含有含a、b的两个方程，把方程的解代入，两方程相加可求解即可，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键． 【详解】∵和有相同的解， ∴可以把四个二元一次方程重新组合成方程组， ∵解方程组，得， ∴的解也为， 把代入， 得：， 两个方程相加，得， 整理，得， ∴ 故选：C. 变式练习 1.若实数m，n满足，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，非负数的形式主要有三种：偶次幂、绝对值、算术平方根． 先根据非负数的性质分别求出、的值，再代入所求代数式即可求得答案． 【详解】∵， ∴， 解得：， ， 故选：B． 2.已知是二元一次方程组的解，则的值为(    ) A． B． C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解、解二元一次方程，由题意得出，由得出，由此即可得出答案． 【详解】解： 是二元一次方程组的解， ， 由得：， ， 故选：C． 3.关于x，y的二元一次方程组的解满足，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组．熟练掌握二元一次方程组的解，解二元一次方程组是解题的关键． 由题意知，得，，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：， 得，， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：2． 【题型二】 解三元一次方程组 【典题1】 解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 将①代入②后整理得：④， 将①代入③后整理得：⑤， 得， 把代入⑤可得， 把，代入①得， 故该方程组的解为：． 变式练习 1. 解方程组： 【答案】 【分析】方程组利用加减消元法求解即可． 利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． 【详解】 得：④ 得： 将代入③得： 将，代入②得： ． 【题型三】 解一元一次不等式组 【典题1】 解不等式组  ，并写出它的所有非负整数解 【答案】；非负整数解为：0，1，2 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 故非负整数解为：0，1，2． 变式练习 1. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”求出不等式组的解集，进而在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集是， 数轴表示如下所示： 2.已知关于，的方程组的解满足和的值都是正数，求的取值范围． 【答案】 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组和解不等式组；利用加减消元法表示出和的值，再列不等式组，最后求解即可． 【详解】解：， ①②得， ①②得． 和的值都是正数， ∴，即， 解得：， 答：的取值范围是； 【题型四】 参数问题 【典题1】 若不等式组无解，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的取值范围，先求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集的情况，得到关于的不等式，求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组无解， ∴， 解得：； 故选D． 【典题2】不等式组的所有整数解的和为7，则整数的值有(    ) A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】本题考查不等式组的解法．根据题意，先解出不等式组，再根据其整数解的和为7进行解答即可，具体见详解． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 所有整数解的和为7 整数解为4，3或4，3，2，1，0， 或 或 则整数的值为，共6个． 故选：C． 变式练习 1. 若不等式组无解，则a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式组的解集，不等式组的解集是同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找． 首先表示出不等式组的解集，然后根据大大小小无处找不等式组无解，可得答案． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 由不等式组无解得， ∴． 故选：A． 2.若不等式组的整数解共有两个，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式的整数解得出的范围是解此题的关键．先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解，最后代入的范围即可． 【详解】解：解不等式组得， 不等式组的整数解共有2个， 故为3，4， ， 故选：A． 3.若关于x的不等式组恰有4个整数解，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，掌握一元一次不等式组的解法，理解一元一次不等式组的整数解的意义是正确解答的前提．根据关于x的不等式组的解集和整数解的个数确定关于a的不等式组，再求出解集即可． 【详解】解：关于x的不等式组有解， 解得：， ∵关于x的不等式组恰有4个整数解， ∴， 解得 故选：D． 4.已知关于x的不等式组的最大整数解与最小整数解的差是3，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解每个不等式得出不等式组的解集为，据此知不等式组的最大整数解为1，根据最大整数解与最小整数解的差为3得最小整数解为，进一步求解即可得出答案．本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的能力，并根据不等式组最大整数解与最小整数解的差得出最小整数解． 【详解】解：∵ ∴由，得出， 由，得出， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的最大整数解为1， ∵最大整数解与最小整数解的差是3， ∴最小整数解为， ∴， 故选：A． 5.若关于的一个一元一次不等式组的解集为(为常数且)，则称 为这个不等式组的“解集中点”．若关于的不等式组 的解集中点大于方程 的解且小于方程的解， 则 的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解一元一次方程，先求出不等式组的解集、方程的解和方程的解，再根据关于的不等式组 的解集中点大于方程的解且小于方程的解，即可得到的取值范围，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和解一元一次方程的方法． 【详解】由可得：， 方程的解为， 方程的解为， ∵关于的不等式组的解集中点大于方程的解且小于方程 的解， ∴， 解得， 故选：． 6.若关于的方程有非负数解，且关于的不等式组的解集为，则符合条件的的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解、一元一次不等式组，熟练掌握一元一次方程、一元一次不等式组的解法，先求出每个不等式的解集；再解一元一次方程，根据一元一次方程有非负数解，即可得到答案． 【详解】解：，得. 因为关于的方程有非负数解， 所以， 解得. 解关于的不等式组得 因为不等式组的解集为， 所以， 解得， 所以. 故选：B 【题型五】 综合性问题 【典题1】如果一个不等式(组)的解集中包含一个方程(组)的解，那么就称这个不等式(组)的解集为这个方程(组)的“船山范围”，例如：不等式的解集是，它包含了方程的解，因此是的“船山范围”． (1)下列不等式___________(填序号)的解集是方程的“船山范围”： ①；②；③． (2)若不等式组的解集是方程的“船山范围”，且方程的解为整数，求的值． (3)已知是方程的解，不等式组的解集是方程的“船山范围”，求的最小值． 【答案】(1)① (2) (3)3 【分析】本题主要考查了二元一次方程，一元一次方程和不等式组， (1)分别解不等式和解一元一次方程，再根据“船山范围”的定义即可判断； (2)解不等式组得出，再根据题意得到方程的解为，求出方程的解得到，进而求解即可； (3)解不等式组得出，再根据“船山范围”的定义得出，由可知，代入的得，结合的取值可得答案． 【详解】(1)由题意，方程的解为：， ①不等式的解集为：， ②不等式的解集为：， ③不等式的解集为：， 不等式①的解集是方程的“船山范围”； (2)由题意，解不等式组的得： ∵不等式组的解集是方程的“船山范围”，且方程的解为整数， ∴方程的解为 解方程得， ∴ 解得； (3)由题意，解不等式组的得：． 是方程的解，不等式组的解集是方程的“船山范围”， ， ∵， ， ， ， ， ∴， 当时，有最小值为3． 变式练习 1. 已知关于x、y的方程组的解满足，． (1)求m的取值范围； (2)是否存在整数m，使不等式的解集为．若不存在，请说明理由；若存在，请求出整数m的值． 【答案】(1) (2)存在．， 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式(组)，解决本题的关键是求出方程组的解集． (1)根据方程的解满足的解满足，得到不等式组，解不等式组就可以得出m的范围； (2)根据不等式的解集为，求出m的取值范围，即可解答； 【详解】(1)解： 解得． ∵解满足，， ∴． 解得． (2)存在． 理由：∵， ∴． ∵解集为， ， 解得． 由(1)得， ∴． ∵m取整数， ∴，． 2.已知关于x，y的方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围． (2)当为何整数时，关于的不等式的解集为？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是方程组与不等式组的综合应用，理解题意，熟练的建立不等式组解题是关键； (1)先解方程组得到，利用为非正数，为负数，建立不等式组解题即可； (2)把不等式整理为，再结合不等式的解集与(1)的结论可得答案． 【详解】(1)解：解方程组， 得， ∵， ∴， ∴的取值范围为． (2)∵ ∴． ∵不等式的解集为， ∴， 解得． 又∵， ∴． 又∵是整数， ∴． 【A组---基础题】 1.关于x，y的方程的正整数解的个数是(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程．熟练掌握解二元一次方程正整数解的概念是解题的关键． 将看做已知数，用含的代数式表示出，令，2，3，4，…，分别求出x的值，即可得到方程的正整数解． 【详解】解：∵， ∴， ∴满足要求的值为1，3，5，对应的值为7，4，1； ∴关于x，y的方程的正整数解的个数是3， 故选：C． 2.关于x， y的方程组 的解x与y互为相反数，则k的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用加减消元法解二元一次方程组，掌握等式的性质是解题的关键． 两方程相加得，再由得出关于k的方程，即可解答． 【详解】 得：， 即， x与y互为相反数， ， ， 解得：， 故选：A． 3.已知关于的不等式组的解集为，则的值为(    ) A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、代数式求值等知识，解题的关键是掌握不等式的求解方法．分别求得每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”确定不等式组的解集，结合题意确定的值，然后代入求值即可． 【详解】解：， 解不等式①，可得 ， 解不等式②，可得 ， 所以，该不等式的解集为， 根据题意，该不等式组的解集为， 则有，， 解得，， 所以，． 故选：A． 4.不等式的整数解有(   ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数即可． 【详解】解：原方程组可化为， 解①得 解②得 ∴ ∴整数解有． 故选C． 5.对于任意有理数a、b、c、d，我们规定，已知x，y同时满足，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的乘法，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用题中的新定义得到二元一次方程组，求出与的值即可． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， ∴， 故答案为： 6.若不等式组的解集是，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了已知不等式组的解集求字母参数的值，代数式求值，解答关键是根据数轴比较解集得到字母参数的值． 解出不等式组的解集，与已知解集比较，得到，，求出，，然后代入求解即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为 ∵不等式组的解集是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 7.已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，令，则方程组即为方程组，根据题意可得关于s，t的二元一次方程组的解为，则，解方程组即可得到答案． 【详解】解：令，则方程组即为方程组， ∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴关于s，t的二元一次方程组的解为， ∴， 解得， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 8.已知关于，的方程组的解为正数． (1)求的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式及绝对值的性质． (1)根据二元一次方程组的解法以及一元一次不等式组的解法即可求出答案； (2)根据绝对值的性质即可求出答案； 【详解】(1)解：， ，得：， ，得：， ∵方程组的解为正数， ∴ 解得：； (2)解：由(1)知且， ∴即：， ∴原式． 9.已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简： (3)在m的取值范围内，当m取何整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1) (2) (3)当时该不等式的解集为 【分析】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)． 首先对方程组进行化简，根据方程的解满足x为非正数，y为负数，就可以得出m的范围，然后再化简(2)，最后求得m的值． 【详解】(1)解：解关于的方程组， 得， ∵为非正数，为负数， ∴， ∴； (2)∵， ∴，， ∴ ； (3)∵不等式即的解集为， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵为整数， ∴当时该不等式的解集为． 【B组---提高题】 1.定义：关于x，y的二元一次方程(其中)中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的“交换系数方程”为或． (1)方程的“交换系数方程”为______； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求的值； (3)已知m，n，t都是整数，并且是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题主要考查了求解含参数的二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键． (1)根据题目所给“交换系数方程”的定义进行解答即可； (2)先求出与它的“交换系数方 程”组成的方程组的解，将其代入方程，得到，然后代入计算即可； (3)根据题意根据题目所给“交换系数方程”的定义，分和两种情况求解即可． 【详解】(1)解：根据“交换系数方程”的定义可知方程“”的交换系数方程为或． 故答案为：或． (2)解：当的“交换系数方程”为时， 联立，解得：， ∵， ∴， ∴， 当的“交换系数方程”为时， 联立，解得：， ∵， ∴， ∴． 综上：与它的“交换系数方 程”组成的方程组的解为． 把代入方程得：，即 ∴． (3)解：∵是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”， ∴或， ①当时，整理得：，解得：； ； ②当时，解得：， ∴． 综上：． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$