10 利用凹凸反转解决导数问题-《中学生数理化》高二数学2024年6月刊

利用凹凸反转解决导数问题 ■郑州市第十一中学 李小斌 导数的零点问题是高考中常见的导数问 题之一。当函数求导后,对含指数和对数的 函数方程无法进行精确求解时,我们常考虑 用设隐零点的方法,但是不少同学很难找到 隐零点,这个时候不妨尝试使用凹凸反转的 方法解题。 比如要证明f(x)>0,我们可以把f(x) 拆分成两个函数g(x),h(x),放在不等式的 两边,即要证g(x)>h(x)。如果g(x)是凹 函数,h(x)是凸函数,即这两个函数的凹凸 性刚好相反,那么我们只要证明g(x)min> h(x)max 即可,这就是凹凸反转。 凹凸反转与隐零点都是用来处理导函数 零点不可求的常见方法,两种方法可以互为 补充,相得益彰。 知识拓展 定义:设函数在其定义域内某区间[a,b] 上连续,如果函数曲线上任意一点的切线都位 图1 于曲线的上方,那么该 函数在该区间内为凸 函数,反之,称该函数 在该区间内为凹函数。 切 线 在 图 像 之 上———凸函数,如图1 所示。 图2 切线在图像 之 下———凹 函 数,如图2所示。 题 型 一 ln x x 型 例 1 已 知函数 f(x)= 1+(a+1)x+ln x,证明:对任意 x>0, 2ex xe2 +1+(1+a)x>f(x)。 证明:把f(x)代入化简,得 2ex-2 x >ln x, 即证 2ex-2 x2 > ln x x (x>0)。 令g(x)= 2ex-2 x2 (x>0),则 g'(x)= 2ex-2(x-2) x3 。 当x∈(0,2)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当 x∈(2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增。 所以g(x)最小值=g(x)极小值=g(2)= 1 2 , 即g(x)≥ 1 2 ,当且仅当x=2时取等号。 令h(x)= ln x x (x>0),则 h'(x)= 1-ln x x2 。 当x∈(0,e)时,h'(x)>0,h(x)单调递增; 当x∈(e,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减。 所以h(x)最大值=h(x)极大值=h(e)= 1 e , 即h(x)≤ 1 e ,当且仅当x=e时取等号。 由于 1 2> 1 e ,故2e x-2 x2 > ln x x 成立,即原不 等式得证。 题型二 xln x型 例 2 (2024年南昌模拟卷)证明:对 一切x∈(0,+∞),ln x> 1 ex - 2 ex 恒成立。 证明:问题 等 价 于 证 明 xln x> x ex - 2 e (x>0)。 设f(x)=xln x(x>0),则f'(x)= ln x+1。 当x∈0, 1 e 时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈ 1e ,+∞ 时,f'(x)>0,f(x)单调递增。 所以f(x)min=f 1 e =-1e。 设m(x)= x ex - 2 e (x>0),则 m'(x)= 1-x ex 。 53 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2024年6月 当x∈(0,1)时,m'(x)>0,m(x)单调 递增;当x∈(1,+∞)时,m'(x)<0,m(x) 单调递减。 所以m(x)max=m(1)=- 1 e 。 又等号不同时取到,从而对一切x∈(0, +∞),f(x)>m(x)恒成立,即xln x> x ex - 2 e 恒成立。故对一切x∈(0,+∞),ln x> 1 ex - 2 ex 恒成立。 题型三 x ex 型 例 3 已 知 函 数 f(x)=exln x+ 2ex-1 x ,证明:f(x)>1。 证明:要证明f(x)=exln x+ 2ex-1 x >1 , 两边同乘以 x ex ,得xln x+ 2 e> x ex ,即证明 xln x> x ex - 2 e 。 令h(x)=xln x,g(x)= x ex - 2 e 。 由h'(x)=ln x +1 知,h(x)在 0, 1 e 上单调递减,在 1e,+∞ 上单调递 增,所以h(x)≥h 1e =-1e。 由g'(x)= 1-x ex 知,g(x)在(0,1)上单 调递 增,在 (1,+ ∞)上 单 调 递 减,所 以 g(x)≤g(1)=- 1 e 。 所以h(x)≥h 1e =-1e=g(1)≥ g(x)。又等号不同时取到,故h(x)>g(x), 即f(x)>1,得证。 题型四 ex x 型 例 4 (2024 年 湛 江 市 模 拟 卷)设 f(x)=ex-2x,证明:f(x)+x2- 21 8x+1>0 。 证明:把f(x)代入化简,得ex+x2- 37x 8 +1>0 ,即证ex>-x2+ 37x 8 -1 。 当x≤0时,左 边0<ex ≤1,右 边= -x2+ 37 8x-1≤-1 ,此时ex>-x2+ 37x 8 - 1恒成立。 当x>0时,要证ex>-x2+ 37x 8 -1 ,即 证 ex x>- x+ 1 x +378。 令g(x)= ex x ,h(x)=- x+ 1 x +378, 则g'(x)= ex(x-1) x2 。 当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递 减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调 递增。所以g(x)≥g(1)=e。 又h(x)= - x+ 1 x +378 ≤378 - 2 x· 1 x = 21 8 (当且仅当 x=1时等号成 立),且g(x)≥g(1)=e> 21 8≥h (x),故当 x>0时,ex>-x2+ 37x 8 -1 成立。 综上,f(x)+x2- 21 8x+1>0 成立。 题型五 xex 型 例 5 已 知 f(x)=xex,g(x)= a1+ 2ln x x ,若函数 f(x)的图像与函数 g(x)的图像有两个交点,则实数a 的取值范 围是( )。 A.(0,e] B.(2e,+∞) C.(e,+∞) D.(-∞,0)∪{e} 解析:取a=e,则f(x)=xex,g(x)= e1+ 2ln x x ,得f(1)=g(1)=e,即两个函 数的图像至少有一个交点。 由f(x)=xex,得f'(x)=(x+1)ex。 当x<-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减, f(x)<0 且 f(0)=0;当 x→ - ∞ 时, f(x)→0;当x>-1时,f'(x)>0,f(x)单 调递增;当x→+∞时,f(x)→+∞。 (下转第44页) 63 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2024年6月 图3 􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕 (上接第36页) 由 g(x)=e1+ 2ln x x ,得 g'(x)= 2e(1-ln x) x2 。当0<x<e时,g'(x)>0, g(x)单调递增;当x→0时,g(x)→-∞;当 x>e时, g'(x)<0,g(x)单 调 递 减,且 g(x)>0;当x→+∞时,g(x)→0。 根据以上信息,画出 f(x)= xex, g(x)= e1+ 2ln x x 的图像,如图 3所示。 因为f(1)=g(1)= e,f'(1)=g'(1)=2e,所 以两曲线在点(1,e)有相同的切线。 由 g (x)= a 1+ 2ln x x 与 y = e1+ 2ln x x 图像间的伸缩关系易知,当a>e 时,两个函数的图像有两个交点。故选C。 凹凸反转的关键是当我们构造差值函数 不易求出导函数零点时,可以考虑指、对分 离,即指数函数和多项式函数组合与对数函 数和多项式函数组合分开,构造两个单峰函 数,然后利用导数分别求两个函数的最值并 进行比较。希望同学们在学习导数时能够予 以足够的重视,在解题中能够另辟蹊径,取得 柳暗花明的效果。 (责任编辑 徐利杰) 44 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年6月