05 成对数据的统计分析常见题型归纳-《中学生数理化》高二数学2024年6月刊

■成都经济技术开发区实验中学校 杜海洋 从近五年全国卷的考查情况来看,本节 是高考的热点,主要以解答题形式出现,经常 与概率知识综合出题,一般难度为中等。它 可能以选择题、填空题形式出现,难度不大, 如2023年上海卷第14题(4分),2023年天 津卷第7题(5分);也可能以应用题的方式 出现,如2023年甲卷(文科)第19题(12分), 2022年Ⅰ卷第20题(12分)等,其中多与经 济、生活实际相联系,需要同学们在复杂的题 目描述中找出数量关系,建立数学模型,并且 运用数学模型解决实际问题。这部分知识要 求同学们从过去的单变量观察阶段转变到多 变量的数据理性分析推断阶段,往往聚焦数 学核心素养,以解决生产生活中的实际问题 为背景,考查同学们的必备知识与关键能力, 深受命题者的青睐。下面对成对数据的统计 分析考查的常见题型及解题策略进行总结。 一、变量间的相关关系 例 1 对四组数据进行统计,获得以下 4幅散点图(如图1,2,3,4所示),将四组数 据相应的相关系数进行比较,则( )。 图1 图2 图3 图4 A.r2<r4<0<r3<r1 B.r4<r2<0<r1<r3 C.r4<r2<0<r3<r1 D.r2<r4<0<r1<r3 解析:由散点图可知,图1、3中为正相 关,图2、4中为负相关,图1、2中变量相关性 较强,所以r1>0,r2<0,r3>0,r4<0,且 |r1|,|r2|与|r3|,|r4|相比较,其值更大,即 r2<r4<0<r3<r1,选A。 例 2 某同学在研究变量x,y 之间的 相关关系时,得到如表1所示的数据,并采用 最小二乘法得到了线性回归方程ŷ=̂bx+̂a, 则( )。 表1 x 4.8 5.8 7 8.3 9.1 y 2.8 4.1 7.2 9.1 11.8 A.̂a>0,̂b>0 B.̂a>0,̂b<0 C.̂a<0,̂b<0 D.̂a<0,̂b>0 图5 解析:画出散点图 如图5所示。 从而可以看出ŷ= b̂x+̂a 中,̂b>0,̂a<0。 故选D。 方法总结: 判定两个变量正、 负相关的方法如下。 (1)画散点图:点的分布从左下角到右上 角,两个变量正相关;点的分布从左上角到右 下角,两个变量负相关。 (2)样本相关系数:当r>0时,正相关; 当r<0时,负相关;|r|越接近于1,相关性 越强。 (3)经验回归方程:当b̂>0时,正相关; 当b̂<0时,负相关。 81 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年6月 二、一元线性回归模型 例 3 某公司一种型号的产品近期销 售情况如表2所示。 表2 月份x 2 3 4 5 6 销售额y(万元)15.1 16.3 17.0 17.2 18.4 根据表2可得到回归直线 方 程 ŷ= 0.75x+̂a,据此估计,该公司7月份这种型 号产品的销售额为( )。 A.18.85万元 B.19.3万元 C.19.25万元 D.19.05万元 解析:由表中数据可得x= 1 5 (2+3+4+ 5+6)=4,y= 1 5 (15.1+16.3+17+17.2+ 18.4)=16.8。因为回归直线过样本点的中心, 所以16.8=0.75×4+̂a,解得â=13.8。 回归直线方程为ŷ=0.75x+13.8,则该 公司7月 份 这 种 型 号 产 品 的 销 售 额 y= 0.75×7+13.8=19.05(万元)。选D。 例 4 已知x,y 取表3中的数值,若 x,y 具有线性相关关系,线性回归方程为 ŷ=0.95x+2.6,则a=( )。 表3 x 0 1 3 4 y a 4.3 4.8 6.7 A.2.2 B.2.4 C.2.5 D.2.6 解析:由题意可知,􀭺x= 0+1+3+4 4 =2 , 􀭵y= a+4.3+4.8+6.7 4 = a+15.8 4 ,故样本中 心(􀭺x,􀭵y)为 2, a+15.8 4 。 代入回归方程得 a+15.8 4 =0.95×2+ 2.6,解得a=2.2。故选A。 方法总结: 求经验回归方程的步骤如下。 三、非线性回归 例 5 已知一组成对数据(xi,yi)(i= 1,2,…,6)中y 关于x 的一元非线性回归方 程为y=bx2+1,已知∑ 6 i=1 x2i=12,∑ 6 i=1 xi=4, ∑ 6 i=1 yi=18,则b=( )。 A.-1 B.1 C.- 9 2 D. 9 2 解析:y 关于x 的一元非线性回归方程 为y=bx2+1,可设t=x2,则回归直线方程 为ŷ=̂bt+1。又因为∑ 6 i=1 x2i=12,∑ 6 i=1 yi=18, 所以 1 6∑ 6 i=1 x2i=2, 1 6∑ 6 i=1 yi=3,即样本中心为 (2,3)。将样本中心(2,3)代入回归直线方程 ŷ=̂bt+1,可得3=2̂b+1,解得b̂=1,即b= 1。选B。 例 6 表4为某外来生物物种入侵某 河流生态后的前3个月繁殖数量y(单位:百 只)的数据,通过相关理论进行分析知,可用 回归模型y=e1+at(a∈R)对y 与t的关系进 行拟合,则根据该回归模型,预测第7个月该 物种的繁殖数量为( )。 表4 第t个月 1 2 3 繁殖数量y e1.4 e2.2 e2.4 A.e3 百只 B.e3.5 百只 C.e4 百只 D.e4.5 百只 解析:将回归模型两边取自然对数ln y =1+at,并令u=ln y,由此构建一个u 与t 的回归直线模型,根据回归直线必过中心点 (t,u),可求出a 值,利用所得回归模型进行 预测。 由题意知y=e1+at,两边取自然对数得 ln y=1+at。令u=ln y,则u=1+at。u= (ln y1+ln y2+ln y3)× 1 3=2 ,t=(t1+t2+ t3)× 1 3=2 。因为回归直线必过样本点的中 心,所以2=2a+1,得a= 1 2 ,即u=1+ t 2 , 则y=e 1+t2。 91 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年6月 当t=7时,y=e4.5。故选D。 方法总结: 对于非线性回归分析问题,应先进行变 量代换,求出代换后的回归直线方程,再求非 线性回归方程,换元法变成一元线性回归 模型。 四、列联表与独立性检验 图6 例 7 某制药公司为 了研究某种治 疗高血压的药 物在饭前和饭 后服用的药效 差异,随机抽 取了200名高 血压患者开展 试验,其中100名患者饭前服药,另外100名 患者饭后服药,随后观察药效,将试验数据绘 制成如图6所示的等高条形图。已知χ2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,其中,n=a+ b+c+d,且P(χ2>6.635)=0.01,则下列说 法正确的是( )。 A.饭前服药的患者中,药效强的频率为 4 5 B.药效弱的患者中,饭后服药的频率为 7 10 C.在犯错误的概率不超过0.01的条件 下,可以认为这种药物饭前和饭后服用的药 效有差异 D.在犯错误的概率不超过0.01的条件 下,不能认为这种药物饭前和饭后服用的药 效有差异 解析:对于选项A,饭前服药的100名患 者中,药效强的有80人,所以频率为 4 5 ,故A 正确。对于选项B,饭前服药的有20人药效 弱,饭后服药的有70人药效弱,所以药效弱 的有90名患者,饭后服药的频率为 7 9 ,B错 误。 对 于 选 项 C,D, 因 为 χ2 = 200×(80×70-20×30)2 100×100×110×90 = 5 000 99 ≈50.505> 6.635,所以在犯错误的概率不超过0.01的 条件下,可以认为这种药物饭前和饭后服用 的药效有差异,C正确,D错误。故选AC。 例 8 随着北京2022年冬奥会的举 行,全民对冰雪项目的热情被进一步点燃。 为调查某城市居民对冰雪运动的了解情况, 随机抽取了该市120名市民进行统计,得到 如表5所示的2×2列联表。 表5 男 女 合计 了解冰雪运动 m p 70 不了解冰雪运动 n q 50 合计 60 60 120 已知从参与调查的男性市民中随机选取 1名,抽到了解冰雪运动的概率为 2 3 。 (1)直接写出m,n,p,q的值。 (2)能否根据小概率值α=0.1的独立性 检验,认为该市居民了解冰雪运动与性别有 关? 请说明理由。 附:χ2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) , 其中,n=a+b+c+d。 表6 α 0.1000.0500.0100.005 0.001 xα 2.7063.8416.6357.879 10.828 解析:(1)由题意知,m=60× 2 3=40 ,故 n=60-m=20,p=70-m=30,q=50-n= 30。所以m=40,n=20,p=30,q=30。 (2)能。理 由 如 下:由 题 意 知,χ2 = 120×(40×30-20×30)2 70×50×60×60 = 24 7 ≈3.429> 2.706。根据小概率值α=0.1的独立性检 验,认为该市居民了解冰雪运动与性别有关。 方法总结: 1.比较几个分类变量有关联的可能性大 小的方法。 (1)通过计算χ2 的大小判断,χ2 的值越 02 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年6月 大,两个变量有关联的可能性越大。 (2)通过计算|ad-bc|的大小判断, |ad-bc|的值越大,两个变量有关联的可能 性越大。 2.独立性检验的一般步骤。 (1)根据样本数据制成2×2列联表; (2 ) 根 据 公 式 χ2 = n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 计算χ2; (3)比较χ2 的值与临界值xα 的大小关 系,作统计推断。 五、误差分析 例 9 某学校一同学研究温差x℃与 本校当天新增感冒人数y 的关系,该同学记 录了5天的数据如表7所示。 表7 x(℃) 5 6 8 9 12 y 17 20 25 28 35 经过拟合,发现基本符合经验回归方程 ŷ=2.6x+̂a,则( )。 A.样本中心点为(8,25) B.̂a=4.2 C.当x=5时,残差为-0.2 D.若去掉样本点(8,25),则样本的相关 系数r增大 解析:x= 5+6+8+9+12 5 =8 ,y= 17+20+25+28+35 5 =25 ,所以样本中心点 为(8,25),则25=2.6×8+̂a,̂a=4.2,选项 A、B正确。则ŷ=2.6x+4.2,当x=5时, ŷ=2.6×5+4.2=17.2,对应残差为17- 17.2=-0.2,所以选项 C正确。由于r= ∑ n i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i=1 (xi-x)2·∑ n i=1 (yi-y)2 ,(x3,y3)=(8, 25)=(x,y),故x3-x=y3-y=0。若去掉 样本点(8,25),则样本的相关系数r不变,D 选项错误。故选ABC。 例 10 下列关于概率统计说法中正 确的是( )。 A.两个变量x,y 的相关系数为r,则 |r|越小,x 与y 之间的相关性越弱 B.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1), 若P(ξ>1)=p,则P(-1<ξ<0)=1-2p C.在回归分析中,R2 为0.99的模型比 R2 为0.88的模型拟合得更好 D.某人在10次答题中,答对题数为 X, X~B(10,0.7),则答对7题的概率最大 解析:对于选项 A,两个变量x,y 的相 关系数为r,|r|越小,x 与y 之间的相关性越 弱,故A正确。对于选项B,因为P(ξ>1)= p,所以P(-1<ξ<0)=P(0<ξ<1)= 1 2- p,故B错误。对于选项C,R2 越接近1,模 型拟合越好,且0.99>0.88,故C正确。对 于选项D,因为X~B(10,0.7),所以数学期 望为10×0.7=7,说明答对7题的概率最大, 故D正确。故选ACD。 方法总结: 残差和相关指数的策略方法。 对于响应变量y,通过观测得到的数据 称为观测值yi,通过回归方程得到的ŷ 称为 预测值,观测值减去预测值等于残差,̂ei 称为 相应于点(xi,yi)的残差,即有êi=yi-̂yi。 残差是随机误差的估计结果,通过对残差的 分析可以判断模型刻画数据的效果以及判断 原始数据中是否存在可疑数据等,通过残差 平方和Q=∑ n i=1 (yi-̂yi)2 分析,残差平方之和 越小,说明选用的模型的拟合效果越好;反 之,不合适。 纵观近几年高考的概率与统计试题,成 对数据的统计分析占有相当高的比重,而且 命题形式也逐步趋于平稳,注重落实《中国 高考评价体系》中四层四翼的考核要求。试 题命制背景多与生产生活实际紧密联系,文 字量大、信息多,对同学们的阅读理解能力、 信息获取能力和批判性思维能力有较高的 要求。因此,希望同学们在学习中注重提高 用数学概念、原理解读具体问题和提炼有用 信息的能力,强化运算求解能力和统计推断 思维。 (责任编辑 徐利杰) 12 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年6月