04 选择性必修3总复习调研卷-《中学生数理化》高二数学2024年6月刊

■河南省许昌高级中学 胡银伟 一、单选题(本题共8小题,每小题5分, 共40分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。) 1.从4名女生、6名男生中,按性别采用 分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小 组,则不同的抽取方法种数为( )。 A.1 440 B.120 C.60 D.24 2.用最小二乘法得到一组数据(xi,yi) (i=1,2,3,4,5,6)的线性回归方程为 ŷ= 2x+3,若∑ 6 i=1 xi=30,则∑ 6 i=1 yi=( )。 A.11 B.13 C.63 D.78 3.某校随机调查了100名高中生是否喜 欢篮球,按照男女区分得到列联表,经计算得 χ2=8.133。根据独立性检验的相关知识,对 照表1,有( )的把握认为喜欢篮球与性 别有关。 表1 α 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 3.841 6.635 7.879 10.828 A.95% B.99.5% C.99% D.99.9% 4.已 知(x-2)6=a0+a1(x-1)+ a2(x-1)2+…+a6(x-1)6,则a3=( )。 A.-20 B.20 C.-15 D.15 5.某 次 数 学 联 考 成 绩 的 数 据 显 示, 20 000名考生成绩服从正态分布N(72,82), 则80分以上的人数大约是( )。 参考数据:若 X~N(μ,σ2),则 P(μ- σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7。 A.3 173 B.6 346 C.6 827 D.13 654 6.若Cm22=Cm+222 ,则C22+C23+C24+…+ C2m 的值为( )。 A.45 B.55 C.120 D.165 7.若二项式 2- x a (1-2x)4 的展开式中 x3 项的系数是-58,则实数a的值为( )。 A.-2 B.2 C.-4 D.4 8.随着城市经济的发展,早高峰问题越 发严重,上班族需要选择合理的出行方式。 某公司员工小明的上班出行方式有三种,某 天早上他选择自驾,坐公交车,骑共享单车的 概率分别为 1 3 ,1 3 ,1 3 ,而他自驾,坐公交车, 骑共享单车迟到的概率分别为 1 4 ,1 5 ,1 6 ,结 果这一天他迟到了,在此条件下,他自驾去上 班的概率是( )。 A. 12 37 B. 15 37 C. 3 5 D. 4 7 二、多选题(本题共3小题,每小题6分, 共18分。在每小题给出的四个选项中,有多 项符合题目要求。全部选对的得6分,部分 选对的得部分分,有选错的得0分。) 9.已知变量x,y 之间的经验回归方程 为ŷ=- 5 6x+̂a ,且变量x,y 的数据如表2 所示。 表2 x 5 6 8 12 14 y 10 8 6 5 1 则下列说法正确的是( )。 A.变量x,y 之间负相关 B.̂a=13 C.当x=3时,可估计y 的值为11 D.当x=8时,残差为-1 10.已知二项式 2- 1 x 9 的展开式, 则( )。 A.常数项是162 B.系数为有理数的项共有4项 C.第5项和第6项的二项式系数相等 D.奇数项的二项式系数和为256 51 演练篇 核心考点AB卷 高二数学 2024年6月 11.有一座高度是10级(第1级~第10 级)台阶的楼梯,小明在楼梯底部(第0级)从 下往上走,每跨一步只能向上1级或者向上2 级,且每步向上1级与向上2级的概率相同, 设第n 步后小明所在台阶级数为随机变量 Xn,则( )。 A.P(X2=2)= 1 4 B.E(X2)=3 C.P(X4=6)<P(X4=7) D.在P(Xn=10)中,P(X7=10)的值最 大 三、填空题(本题共3小题,每小题5分, 共15分。) 12.已知直线方程Ax+By=0,若从0, 1,2,3,5,7这6个数中每次取2个不同的数 分别作为A,B 的值,则Ax+By=0可表示 条不同的直线。 13.甲、乙两位同学进行象棋比赛,采用 五局三胜制(当一人赢得三局时,该同学获 胜,比赛结束)。根据以往比赛成绩,每局比 赛中甲获胜的概率都是p(0<p<1),且各局 比赛结果相互独立。若甲以3∶1获胜的概 率不低于甲以3∶2获胜的概率,则p 的取值 范围为 。 14.我们称n(n∈N*)元有序实数组(x1, x2,…,xn)为n维向量,|x1|+|x2|+…+|xn| 为该向量的范数。已知n 维向量a=(x1, x2,…,xn),其中 xi∈{-1,0,1}(i=1, 2,…,n),记范数为奇数的a的个数为An,则 A3= ;A2n= (用含n 的式子表示, n∈N*)。 四、解答题(本题共5小题,共77分。解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 15.(本小题13分)某公司男女职工人数 相等,该公司为了解职工是否接受去外地长 时间出差,进行了如下调查:在男女职工中各 随机抽取了100人,经调查,男职工和女职工 接受去外地长时间出差的人数分别为40和 20。 (1)根据所给数据,完成下面2×2列联 表(表3),并依据小概率值α=0.005的独立 性检验,能否认为是否接受去外地长时间出 差与性别有关联? 单位:人。 表3 性别 接受 不接受 合计 男 女 合计 (2)若将频率视为概率,用样本估计总 体,从该公司中随机抽取5人,记其中接受去 外地长时间出差的人数为X,求X 的数学期 望。 表4 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 χ2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,其中 n=a+b+c+d。 16.(本小题15分)已知f(x)=(x2+ 2x+3)8=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+ a16(x+1)16。 (1)求an(n=0,1,2,…,16)的最大值; (2)求f(5)-5被13除的余数。 61 演练篇 核心考点AB卷 高二数学 2024年6月 17.(本小题15分)“英才计划”最早开始 于2013年,由中国科协、教育部共同组织实 施,到2023年已经培养了6 000多名具有创 新潜质的优秀中学生。为选拔培养对象,某 高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加 数学、物理、化学学科夏令营活动。 (1)若数学组的7名学员中恰有3人来 自A 中学,从这7名学员中选取3人,用ξ表 示选取的人中来自A 中学的人数,求ξ的分 布列和数学期望。 (2)在夏令营开幕式的晚会上,物理组举 行了一次学科知识竞答活动,规则如下:两人 一组,每一轮竞答中,每人分别答两题,若小 组答对题数不小于3,则取得本轮胜利。已 知甲、乙两位同学组成一组,甲、乙答对每道 题的概率分别为p1、p2。假设甲、乙两人每 次答题相互独立,且互不影响。当p1+p2= 4 3 时,求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的 概率的最大值。 图1 18.(本 小 题 17 分)某市为繁荣地方 经济,大力实行人才 引进政策,为了解政 策 的 效 果,统 计 了 2018~2023年 人 才 引进的数量y(单位: 万人),并根据统计数 据绘制了如图1所示 的散点图(x 表示年份代码,年份代码1~6 分别代表2018~2023年)。 (1)根据散点图判断y=bln x+a 与 y=ec+dx(a,b,c,d 均为常数)哪一个适合作 为y 关于x 的回归方程类型;(给出结论即 可,不必说明理由) (2)根据(1)的结果及表5中的数据,求 出y 关于x 的回归方程,并预测该市2025年 引进人才的数量; (3)从这6年中随机抽取4年,记引进人 才数量超过4万人的年数为X,求X 的分布 列和数学期望。 参考数据如下。 表5 y w ∑ 6 i=1 (xi-􀭺x) 2∑ 6 i=1 (xi-􀭺x)(yi-􀭵y)∑ 6 i=1 (xi-􀭺x)(wi-􀭿w) 5.151.55 17.5 20.95 3.85 其中 􀭿w= 1 6∑ 6 i=1 wi,wi=ln yi,e2.44 ≈ 11.47,e2.54≈12.68。 参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2, v2),…,(un,vn),其回归直线v=α+βu 的斜 率和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 分 别 为 β̂= ∑ n i=1 (ui-􀭵u)(vi-􀭵v) ∑ n i=1 (ui-􀭵u)2 ,̂α=􀭵v-̂β􀭵u。 19.(本小题17分)甲口袋中装有2个黑 球和1个白球,乙口袋中装有1个黑球和2 个白球。现从甲、乙两个口袋中各任取1个 球交换放入另一个口袋,称这样的操作为1 次球交换,重复n次这样的操作,记甲口袋中 黑球个数为Xn。 (1)求X2 的概率分布列并求E(X2); (2)求 证 E(Xn)- 3 2 (n≥2,且 n∈ N*)为等比数列,并求出 E(Xn)(n≥2,且 n∈N*)。 (责任编辑 徐利杰) 71 演练篇 核心考点AB卷 高二数学 2024年6月 一、单选题 1.B 提示:从4名女生、6名男生中,按 性别采用分层抽样的方法抽取5名学生,则 抽取的女生人数为2,男生人数为3,不同的 抽取方法种数为C24C36=120。故选B。 2.D 提示:依题意,因为∑ 6 i=1 xi=30,所以 x= 30 6=5 。因为线性回归方程ŷ=2x+3一 定过点(x,y),所以y=2x+3=2×5+3= 13,故∑ 6 i=1 yi=6×13=78。选D。 3.B 提示:因为χ2=8.133>7.879= x0.005,所以有99.5%的把握认为喜欢篮球与 性别有关。选B。 4.C 提示:(x-2)6=[-1+(x-1)]6 =a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a6(x- 1)6,则a3=C36·(-1)3=-15。故选C。 5.A 提示:由题意可得80=μ+σ。又 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.82 7,故P(X>80) = 1-P(μ-σ≤X≤μ+σ) 2 ,则80分以上的 人数大约是20 000×P(X>80)≈20 000× 1-0.682 7 2 =3 173。选A。 6.D 提示:因为Cm22=Cm+222 ,所以 m+ m+2=22,则 m=10。故C22+C23+C24+… +C210=C33+C23+C24+…+C210=C34+C24+… +C210=C35+C26+…+C210=…=C310+C210= C311=165。选D。 7.C 提 示:2- x a (1-2x)4=2× (1-2x)4- x a× (1-2x)4。(1-2x)4 的展 开式 的 通 项 公 式 为 Tr+1=Cr4(-2x)r = (-2)rCr4xr,r=0,1,2,3,4,故2×(1-2x)4 的展开式中x3 项的系数是2×(-2)3C34= -64, x a ·(1-2x)4 展开式中x3 项的系数 是 1 a × (-2)2C24= 24 a 。所以-64- 24 a = -58,解得a=-4。故选C。 8.B 提示:设事件A 表示“自驾”,事件 B 表示“坐公交车”,事件C 表示“骑共享单 车”,事 件 D 表 示 “迟 到”。由 题 意 可 知, P(A)=P(B)=P(C)= 1 3 ,P(D|A)= 1 4 , P(D|B)= 1 5 ,P(D|C)= 1 6 。 则P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B) +P(C)P(D|C)= 1 3× 1 4+ 1 5+ 1 6 =37180, P(AD)=P(A)P(D|A)= 1 3× 1 4= 1 12 。若小 明迟到了,则他自驾去上班的概率是P(A|D) = P(AD) P(D)= 1 12 37 180 = 15 37 。选B。 二、多选题 9.AC 提示:对于选项 A,由- 5 6<0 , 可得变量x,y 之间负相关,A正确。对于选 项B,x= 1 5× (5+6+8+12+14)=9,y= 1 5 ×(10+8+6+5+1)=6,将x=9,y=6代 入经验回归方程,得6=- 5 6×9+̂a ,则â= 27 2 ,故B错误。对于选项C,由选项B知ŷ= - 5 6x+ 27 2 ,当x=3时,̂y=- 5 6×3+ 27 2= 11,故C正确。对于选项D,当x=8时,̂y= - 5 6×8+ 27 2= 41 6 ,残差为6- 41 6=- 5 6 ,D 错误。故选AC。 10.ACD 提 示:由 题 意 知 二 项 式 2- 1 x 9 的 展 开 式 通 项 为 Tr+1 = 54 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年6月 Cr9(2)9-r - 1 x r =Cr9(-1)r2 9-r 2 x -r2(0≤ r≤9,r∈N)。对于选项 A,令- r 2=0 ,得 r=0,常数项是T1=C09(-1)02 9-0 2 =162,A 正确。对于选项B,当且仅当r=1,3,5,7,9 时,这些项的系数为有理数,即系数为有理数 的项共有5项,故B错误。对于选项C,第5 项和第6项的二项式系数满足C49=C59,故C 正确。对于选项D,奇数项的二项式系数和 为 29 2=2 8=256,D正确。故选ACD。 11.ABD 提示:小明每步向上1级与向 上2级的概率都是 1 2 ,X2=2表示跨2步到 达第2级 台 阶,所 以 每 步 向 上1个 台 阶, P(X2=2)= 1 2 2 = 1 4 ,故选项A正确。 X2 的所有可能取值为2,3,4,P(X2= 2)= 1 4 ,P(X2=3)=C12 1 2 2 = 1 2 ,P(X2= 4)= 12 2 = 1 4 ,所以E(X2)=2× 1 4+3× 1 2+4× 1 4=3 ,故选项B正确。 X4=6表示跨4步到达第6级台阶,有2 步每步向上1个台阶,有2步每步向上2个 台阶,P(X4=6)=C24 1 2 4 = 3 8 。X4=7表 示跨4步到达第7级台阶,所以有1步向上1 个台阶,有3步每步向上2个台阶,P(X4=7)= C34 1 2 4 = 1 4 ,故选项C错误。 由题意知n∈[5,10],X5=10表示跨5 步到达第10级台阶,所以每步向上2个台 阶,P(X5=10)= 1 2 5 = 1 32 。X6=10表示 跨6步到达第10级台阶,所以有2步每步向 上1个台阶,有4步每 步 向 上2个 台 阶, P(X6=10)=C26 1 2 6 = 15 64 。以此类推,可得 P(X7=10)=C47 1 2 7 = 35 128 ,P(X8=10)= C68 1 2 8 = 7 64 ,P(X9=10)=C89 1 2 9 = 9 512 , P(X10=10)= 1 2 10 = 1 1 024 。其中P(X7= 10)= 35 128 的值最大,D正确。故选ABD。 三、填空题 12.22 提示:当 A=0时,可表示1条 直线;当B=0时,可表示1条直线;当AB≠0 时,A 有5种选法,B 有4种选法,可表示5×4 =20(条)不同的直线。由分类加法计数原理 知,共可表示1+1+20=22(条)不同的直线。 13.12 ,1 提示:由 题 意 可 得,甲 以 3∶1获胜的概率为p1=C23p2(1-p)p= 3(1-p)p3,甲以3∶2获胜的概率为p2= C24p2(1-p)2p=6(1-p)2p3。 因为p1≥p2,所以3(1-p)p3≥6(1- p)2p3,解得p≥ 1 2 。 又因为0<p<1,所以 1 2≤p<1 。 14.14 32n-1 2 提示:当n=3时,范数 为奇数,则xi=0的个数为偶数,即0的个数 为0、2,根据乘法原理和加法原理得到A3= C03·23+C23·23-2=14。在2n 维向量a= (x1,x2,…,x2n)中,范数为奇数,则xi=0的 个数为奇数,即0的个数为1、3、5、…、2n- 1,根据乘法原理和加法原理得到A2n=C12n· 22n-1+C32n·22n-3+…+C2n-12n ·2。 32n=(2+1)2n=C02n·22n+C12n·22n-1+ …+C2n-12n ·2+C2n2n,1=(2-1)2n=C02n·22n- C12n·22n-1+…-C2n-12n ·2+C2n2n。两式相减得 到A2n= 32n-1 2 。 四、解答题 15.(1)依题意,列出2×2列联表(表1)。 单位:人。 表1 性别 接受 不接受 合计 男 40 60 100 女 20 80 100 合计 60 140 200 64 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年6月 零假设为 H0:是否接受去外地长时间出 差与性别相互独立,即是否接受去外地长时 间 出 差 与 性 别 无 关。 所 以 χ2 = 200×(40×80-20×60)2 100×100×60×140 = 200 21 ≈9.524> 7.879=x0.005。 根据小概率值α=0.005的独立性检验, 我们推断 H0 不成立,即认为是否接受去外 地长时间出差与性别有关联,此推断犯错误 的概率不大于0.005。 (2)由题意知,接受去外地长时间出差的 频率为 60 200= 3 10 ,所以接受去外地长时间出差 的概率为 3 10 。 随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4, 5,由题意得X~B 5, 3 10 ,故X 的数学期望 E(X)=np=5× 3 10= 3 2 。 16.(1)因为(x2+2x+3)8=[2+(x+ 1)2]8=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+ a16(x+1)16,所以Tr+1=Cr828-r[(x+1)2]r= Cr828-r(x+1)2r,r=0,1,2,…,8。 因此,a1=a3=…=a15=0,a2n=Cn828-n, n=0,1,2,…,8。 令 Cn828-n≥Cn+18 27-n, Cn828-n≥Cn-18 29-n, 则2≤n≤3。 所以an 的最大值为1 792。 (2)因为f(5)-5=388-5=(39-1)8- 5=C08398+C18397(-1)+…+C7839(-1)7+ 1-5,所以f(5)-5被13除余-4,即被13 除的余数为9。 17.(1)由题意知,ξ的可能取值有0,1, 2,3。 P(ξ=0)= C34 C37 = 4 35 ; P(ξ=1)= C24C13 C37 = 18 35 ; P(ξ=2)= C14C23 C37 = 12 35 ; P(ξ=3)= C33 C37 = 1 35 。 所以ξ的分布列如表2所示。 表2 ξ 0 1 2 3 P 435 18 35 12 35 1 35 E(ξ)=0× 4 35+1× 18 35+2× 12 35+3× 1 35 = 9 7 。 (2)已知甲、乙两人每次答题相互独立, 设甲答对题数为X,则X~B(2,p1),设乙答 对题数为Y,则Y~B(2,p2)。 设事件 A 为“甲、乙两位同学在每轮答 题中取胜”,则P(A)=P(X=1)P(Y=2)+ P(X=2)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=2)= C12p1(1-p1)C22p22+C22p21C12p2(1-p2)+ C22p21C22p22=2p1 (1-p1)p22 +2p2 (1- p2)p21+p21p22=-3p21p22+ 8 3p1p2 。 0≤p1≤1,0≤p2≤1,且p1+p2= 4 3 ,故 1 3≤p1≤1 。 则p1p2=p1 4 3-p1 =43p1-p21。 又 1 3≤p1≤1 ,故p1p2∈ 1 3 ,4 9 。 设t=p1p2,所以P(A)=-3t2+ 8 3t , t∈ 13 ,4 9 ,由二次函数可知,当t=49时, P(A)取得最大值 16 27 ,所以甲、乙两位同学在 每轮答题中取胜的概率的最大值为 16 27 。 18.(1)根据散点图可知,选择y=ec+dx 作为y 关于x 的回归方程类型更合适。 (2)因为y=ec+dx,所以两边同时取常用 对数,得ln y=c+dx。 设w=ln y,则w=c+dx,先求w 关于 x 的线性回归方程。 因为x= 1+2+3+4+5+6 6 =3.5 ,所以 d̂= ∑ 6 i=1 (xi-􀭺x)(wi-􀭿w) ∑ 6 i=1 (xi-􀭺x)2 = 3.85 17.5=0.22 ,̂c= 74 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年6月 w-0.22x=1.55-0.22×3.5=0.78。 因此,̂y=e0.22x+0.78。 把x=8代入上式,得ŷ=e2.54≈12.68, 故预测该市2025年引进人才的数量为12.68 万人。 (3)这6年中,引进人才的数量超过4万 人的年数有3个,所以 X 的所有可能取值为 1,2,3。 P(X=1)= C13C33 C46 = 1 5 ; P(X=2)= C23C23 C46 = 3 5 ; P(X=3)= C33C13 C46 = 1 5 。 所以X 的分布列如表3所示。 表3 X 1 2 3 P 15 3 5 1 5 所以E(X)= 1 5+2× 3 5+3× 1 5=2 。 19.(1)X2 的可能取值为0,1,2,3。 则P(X2=0)= 2 3× 2 3× 1 3× 1 3= 4 81 ; P(X2=3)= 2 3× 1 3× 1 3× 1 3+ 1 3× 2 3× 1 3× 1 3= 4 81 ; P(X2=1)= 1 3× 2 3× 2 3× 2 3+ 2 3× 1 3× 2 3× 2 3+ 2 3× 2 3× 1 3× 2 3+ 2 3× 2 3× 2 3× 1 3= 32 81 ; P(X2=2)=1-P(X2=0)-P(X2=1) -P(X2=3)= 41 81 。 故X2 的分布列如表4所示。 表4 X2 0 1 2 3 P 481 32 81 41 81 4 81 E(X2)=0× 4 81+1× 32 81+2× 41 81+3× 4 81= 14 9 。 (2)由题意可知: P (Xn+1 = 1)= P (Xn = 0)+ 1 3× 2 3+ 2 3× 1 3 P (Xn = 1)+ 23 × 2 3P (Xn=2)=P(Xn=0)+ 4 9P (Xn=1)+ 4 9P (Xn=2); P(Xn+1=2)= 2 3× 2 3P (Xn=1)+ 2 3× 1 3+ 1 3× 2 3 P(Xn =2)+P(Xn = 3)= 4 9P (Xn=1)+ 4 9P (Xn=2)+P(Xn= 3); P(Xn+1=3)= 1 3× 1 3P (Xn=2)= 1 9P (Xn=2)。 所以E(Xn+1)=1×P(Xn+1=1)+2× P(Xn+1=2)+3×P(Xn+1=3)=P(Xn= 0)+ 12 9P (Xn=1)+ 15 9P (Xn=2)+2P(Xn =3)。 又因为P(Xn=0)+P(Xn=1)+P(Xn =2)+P(Xn=3)=1,所以E(Xn+1)=1+ 1 3P (Xn=1)+ 2 3P (Xn=2)+P(Xn=3)= 1+ 1 3E (Xn)。 因此,E(Xn+1)- 3 2= 1 3 E (Xn)- 3 2 (n≥2且n∈N*)。 易 知 E (X2 ) - 3 2 = 1 18 , 故 E(Xn)- 3 2 (n≥2且n∈N*)为等比数列。 所以E(Xn)- 3 2= 1 18× 1 3 n-2 ,整理可得 E(Xn)= 1 2 1 3 n + 3 2 (n≥2且n∈N*)。 (责任编辑 徐利杰) 84 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年6月