03 导数单元创新卷-《中学生数理化》高二数学2024年6月刊

■河南省栾川县第一高级中学 孟冬冬 一、单选题(本题共8小题,每小题5分, 共40分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。) 1.若质点P 的运动方程为s(t)=3t2-t (s的单位为m,t的单位为s),则当t=1时 质点P 的瞬时速度为( )。 A.2m/s B.3m/s C.4m/s D.5m/s 2.已知奇函数f(x)满足f'(-1)=2, 则lim Δx→0 f(Δx-1)+f(1) 2Δx = ( )。 A.- 1 2 B. 1 2 C.1 D.-1 3.已知函数f(x)= sin x x+1 ,则f'(0)等于 ( )。 A.1 B.0 C.-1 D.-2 4.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x- a)相切,则a的值为( )。 A.1 B.2 C.-1 D.-2 5.已知 x=1是 f(x)=[x2-(a+ 3)x+2a+3]ex 的极小值点,则实数a 的取 值范围为( )。 A.(1,∞) B.(-1,∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,1) 6.英国著名数学家布鲁克·泰勒以微积 分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于 世。在数学中,泰勒级数用无限连加式来表 示一个函数,泰勒提出了适用于所有函数的 泰勒级数,并建立了如下指数函数公式:ex= 1+x+ x2 2+ x3 6+ …+ xn n!+ …+…,其中x∈ R,n∈N,则 e的近似值为(精确到0.01) ( )。 A.1.63 B.1.64 C.1.65 D.1.66 7.已知a= ln 2 2 ,b= 1 e ,c= ln 3 3 ,则a,b, c的大小关系为( )。 A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 8.设函数f(x)= 1 2x 2-4x+aln x,若 函数y=f(x)存在两个极值点x1,x2,且不 等式 f(x1)+f(x2) x1+x2 ≥t恒成立,则实数t的 取值范围为( )。 A.(-∞,-1] B.-∞,- 9 4 C.-∞, e2 2-4e D.(-∞,-13] 二、多选题(本题共3小题,每小题6分, 共18分。在每小题给出的四个选项中,有多 项符合题目要求。全部选对的得6分,部分 选对的得部分分,有选错的得0分。) 9.下列求导数运算正确的是( )。 A.(x3+sin 2)'=3x2+cos 2 B.(2x)'=2xln 2 C.(xsin x)'=sin x+xcos x D.[ln(2x)]'= 1 x 10.已知函数f(x)=(x+1)ln x, 则 ( )。 A.f(x)存在唯一的极值点 B.f(x)存在唯一的零点 C.直线2x-y-2=0与f(x)的图像相 切 D.若f(ax)≥f(ln x), 则a≥ 1 e 11.当x∈[2,+∞)时,不等式ax- exln a<0恒 成 立,则 实 数 a 的 值 可 以 为 31 演练篇 核心考点AB卷 高二数学 2024年6月 ( )。 A.3e B.2e C.e D.2 三、填空题(本题共3小题,每小题5分, 共15分。) 12.定 义 在 R 上 的 函 数 f(x)满 足 f'(x)>2,且f(1)=3,则不等式f(x)> 2x+1的解集为 。 13.已知f1(x)=sin x+cos x,f2(x)= f1'(x),f3(x)=f2'(x),…,fn (x)= fn-1'(x),…,n∈N* 且n≥2,则f1 π 4 + f2 π 4 +…+f2 024 π4 = 。 14.点P 是曲线y=x2-ln x 上的任意 一点,则点P 到直线y=x-2的最小距离为 。 四、解答题(本题共5小题,共77分。解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 15.(本小题13分)(1)求曲线y=ln x+ 1在点P(e,2)处的切线方程; (2)求曲线y=ln |x|过原点O(0,0)的 切线方程。 16.(本小题15分)已知函数 f(x)= ax2-ln x,a∈R。 (1)若函数y=f(x)图像在点(1,f(1)) 处的切线方程为y=x+b(b∈R),求实数a, b的值; (2)若y=f(x)在x=2处取得极值,求 函数f(x)在区间 1 e ,e 上的最大值。 17.(本小题15分)已知函数 f(x)= ax-1-ln x(a∈R)。 (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)若函数f(x)在x=1处取得极值,且 对∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求 实数b的取值范围。 18.(本小题17分)研究发现所有的一元 三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0) 的图像都有对称中心,设f'(x)是一元三次 函数 y=f(x)的 导 函 数,f″(x)是 函 数 f'(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数根 x0,则称(x0,f(x0))为一元三次函数y= f(x)的图像的对称中心。根据以上信息和 相关知识解答下列问题:已知函数f(x)= 2x3-3x2+3x-2。 (1)求函数f(x)图像的对称中心; (2)求 f 1 2 024 +f 22 024 + … + f 2 023 2 024 的值; (3)若 a>0,解 关 于 x 的 不 等 式 f'(x)>(3a+6)x2-(a+9)x+4。 19.(本小题17分)某乡镇为推动乡村产 业振兴,大力发展“电子玩具”加工,某合作社 组建加工电子玩具的分厂,需要每年投入固 定成本10万元,每加工x 万件玩具,需要流 动成本C(x)万元。当年加工量不超15万件 时,C(x)=12x-12ln(x+1);当年加工量高 于15万件时,C(x)=22x+ 648 x -230 。通过 市场分析,加工后的玩具以每件20元的价 格,全部由总厂收购。 (1)求年利润f(x)关于年加工量x 的解 析式。(注:年利润=年销售收入-流动成本 -年固定成本) (2)当年加工量为多少万件时,该合作社 的年利润最大? 最大年利润是多少? (参考 数据:ln 2≈0.69) (责任编辑 徐利杰) 41 演练篇 核心考点AB卷 高二数学 2024年6月 一、单选题 1.D 提示:由题意求函数s(t)=3t2-t 在t=1处的导数值。因s'(t)=6t-1,故瞬 时速度v=6×1-1=5,选D。 2.C 提示:因为f(x)是奇函数,所以 lim Δx→0 f(Δx-1)+f(1) 2Δx = 1 2limΔx→0 f(-1+Δx)-f(-1) Δx = 1 2f' (-1)= 1,选C。 3.A 提 示:因 为 f' (x)= (x+1)cos x-sin x (x+1)2 ,所以f'(0)= cos 0 1 = 1,选A。 4.D 提示:设切点为p(x0,y0),则y0 =x0+1,y0=ln(x0-a)。又因为y'|x=x0= 1 x0-a =1,所以x0-a=1,故y0=0,x0= -1,即a=-2,选D。 5.D 提示:f'(x)=(x-a)(x-1)ex 的两个零点为x=1,x=a。若x=1是函数 的极小值点,则a<1。此时f(x)在(a,1)上 单调递减,在(1,+∞)上单调递增,在x=1 取得极小值,故选D。 6.C 提示:由题意知, e 1 2 =1+ 1 2+ 1 2 2 2! + 1 2 3 3! + …+ 1 2 n n! + … ≈1+ 1 2+ 1 8+ 1 48≈1.646≈1.65 ,故选C。 7.D 提示:构造函数f(x)= ln x x ,则 f'(x)= 1-ln x x2 。 令f'(x)>0,得0<x<e; 令f'(x)<0,得x>e。 因此f(x)= ln x x 在(0,e)上单调递增, 在(e,+∞)上单调递减。 易知a= ln 2 2 = ln 4 4 =f (4),b= 1 e= ln e e =f(e),c= ln 3 3 =f (3)。 因为4>3>e,所以 f(e)>f(3)> f(4),即b>c>a,选D。 8.B 提示:函数的定义域为(0,+∞), 且f'(x)=x-4+ a x= x2-4x+a x ,x>0。 因为函数y=f(x)存在两个极值点,所 以方程x2-4x+a=0在(0,+∞)上有两个 不同的根。 所 以 Δ>0, x1+x2=4, x1x2=a>0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 即 16-4a>0, x1+x2=4, x1x2=a>0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 故 0<a<4,x1+x2=4,且x1x2=a。 因此,f (x1)+f(x2) x1+x2 = 1 2x 2 1-4x1+aln x1+ 1 2x 2 2-4x2+aln x2 4 = 1 2 [(x1+x2)2-2x1x2]-4(x1+x2)+aln x1x2 4 = aln a-a-8 4 (0<a<4)。 设h(x)=xln x-x-8(0<x<4),则 h'(x)=ln x。由h'(x)=ln x<0,得0< x<1。由h'(x)=ln x>0,得1<x<4。 所以h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,4) 上单调递增,即h(x)的最小值为h(1)= -9, 故t≤- 9 4 ,选B。 二、多选题 9.BCD 提示:对于 A,(x3+sin 2)'= 3x2,故A错误。对于B,由指数函数求导公 式可得(2x)'=2xln 2,故B正确。对于 C, (xsin x)'=sin x+xcos x,故C正确。对于 D,[ln(2x)]'=2· 1 2x= 1 x ,故D 正确。 14 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年6月 10.BCD 提示:对于选项A,函数f(x) =(x+1)ln x(x>0),可得f'(x)=ln x+ 1 x+1 。令g(x)=ln x+ 1 x+1 ,则g'(x)= 1 x- 1 x2 = x-1 x2 。 当x∈(0,1)时,g'(x)<0;当x∈(1, +∞)时,g'(x)>0。所以g(x)在(0,1)上 单调递减,在(1,+∞)上单调递增,g(x)min =g(1)=2>0。 故f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调 递增,没有极值点,A错误。 对于选项B,因为函数f(x)在(0,+∞) 上单调递增,且f(1)=0,所以f(x)在(0, +∞)上存在唯一的零点,B正确。 对于选项C,令f'(x)=ln x+ 1 x+1= 2,可得x=1,即切点为(1,0),所以切线方程 为y-0=2(x-1),即2x-y-2=0,C正 确。 对于选项D,因为函数f(x)在(0,+∞) 上单 调 递 增,且 f(ax)≥f(ln x),所 以 ln x>0且ax≥ln x,可得x>1且a≥ ln x x 。 令h(x)= ln x x ,x>1,则 h'(x)= 1-ln x x2 ,当x∈(1,e)时,h'(x)>0;当x∈ (e,+∞)时,h'(x)<0。 所以h(x)在(1,e)上单调递增,在(e, +∞)上单调递减,h(x)max=h(e)= 1 e ,即 a≥ 1 e ,故D正确。 11.BCD 提示:由ax-exln a<0,得 x ex < ln a a = ln a eln a 。 设f(x)= x ex ,则f'(x)= 1-x ex 。 当x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减。 又f(0)=0,f(1)= 1 e ,当 x>0时, f(x)= x ex >0恒成立,所以f(x)= x ex 的图像 如图1所示。 图1 x ex < ln a eln a ,即f(x)<f(ln a),x≥2。 对于选项A,当a=3e时,ln a=ln 3+ 1>2,根据图像可得f(x)<f(ln a)不恒成 立,A错误。 对于选项B,当a=2e时,ln a=ln 2+ 1∈(1,2),根据图像可得f(x)<f(ln a)恒 成立,B正确。 对于选项C,当a=e时,ln a=1,根据图 像可得f(x)<f(ln a)恒成立,C正确。 对于选项D,当a=2时,ln a=ln 2。易 知f(ln 2)= ln 2 eln 2= 1 2ln 2,f(2)= 2 e2 。 因为3× 1 2ln 2-3× 2 e2 =ln 22- 6 e2 , 且22>e,e2>6,即ln22>1, 6 e2 <1,所以 3× 1 2ln 2-3× 2 e2 =ln 2 2- 6 e2 >0,即 f(ln 2)>f(2)。根 据 图 像 可 得 f(x)< f(ln a)恒成立,D正确。 三、填空题 12.(1,+∞) 提示:令g(x)=f(x)- 2x-1,则g'(x)=f'(x)-2>0,所以g(x) 在R上单调递增。且g(1)=f(1)-2-1= 0,故f(x)-2x-1>0的解集为(1,+∞)。 13.0 提示:f2(x)=cos x-sin x, f3(x)=-sin x-cos x,f4(x)=-cos x+ sin x,f5(x)=sin x+cos x,…,以此类推可 得fn(x)=fn+4(x),且f1(x)+f2(x)+ f3(x)+f4 (x)= 0,所 以 f1 π 4 + f2 π 4 +…+f2 024 π4 =0。 14.2 提示:由题意得,当点P 处切线 与直线y=x-2平行时,点 P 到直线y= 24 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年6月 x-2的距离最短。由y'=2x- 1 x=1 ,得 x=1,切点的坐标为(1,1)。切点(1,1)到直线 y=x-2的距离d= |-2| 2 =2即为所求。 四、解答题 15.(1)由y=ln x+1求导得y'= 1 x ,当 x=e时,y'= 1 e 。由 点 斜 式 得 曲 线 在 点 P(e,2)处的切线方程为y-2= 1 e (x-e), 即x-ey+e=0。 (2)由题意知,点O(0,0)不在曲线上,当 x>0时,设切点为B(x0,ln x0),则切线方程 为y-ln x0= 1 x0 (x-x0)。由切线经过原 点,得ln x0-1=0,即x0=e,此时切线的方 程为y= x e 。同理,当x<0时,切线的方程 为y=- x e 。所求的切线方程为y= x e 或 y=- x e 。 16.(1)f(x)的 定 义 域 为(0,+∞), f'(x)=2ax- 1 x ,所以f'(1)=2a-1=1, 即a=1。此时f(x)=x2-ln x,即f(1)= 1。又点(1,1)在直线y=x+b上,故b=0。 (2)因为f(x)的定义域为(0,+∞),且 f(x)在x=2处取得极值,所以f'(2)= 4a- 1 2=0 ,即a= 1 8 。经检验a= 1 8 符合题 意,f'(x)= x 4- 1 x= x2-4 4x 。 当x∈ 1e ,2 时,f'(x)≤0,f(x)单调 递减;当x∈[2,e]时,f'(x)≥0,f(x)单调 递增。又f 1 e =18e2+1>f(e)=18e2-1, 所以函数f(x)在区间 1 e ,e 上的最大值为 1 8e2 +1。 17.(1)f(x)的 定 义 域 为 0,+∞ , f'(x)=a- 1 x 。 ①当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在(0, +∞)上单调递减。 ②当a>0时,令f'(x)=0,解得x= 1 a 。 当x∈ 0, 1 a 时,f'(x)<0,函数f(x) 单调递减;当x∈ 1a ,+∞ 时,f'(x)>0,函 数f(x)单调递增。 综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,+∞) 上单调递减;当a>0时,f(x)在 0, 1 a 上单 调递减,在 1 a ,+∞ 上单调递增。 (2)因为函数f(x)在x=1处取得极值, 所以f'(1)=a-1=0,解得a=1,经检验 a=1满足题意。 由 题 意 知 f(x)≥bx -2,即 b≤ x+1-ln x x 。令g(x)= x+1-ln x x =1+ 1 x- ln x x ,则 g'(x)= - 1 x2 - 1-ln x x2 = ln x-2 x2 。令g'(x)=0,解得x=e2。 当x∈(0,e2)时,g'(x)<0,函数g(x) 单调递减;当x∈(e2,+∞)时,g'(x)>0,函 数g(x)单调递增。 故g(x)min=g(e2)=1- 1 e2 ,则b≤1- 1 e2 ,b的取值范围为 b|b≤1- 1 e2 。 18.(1)f'(x)=6x2-6x+3,f″(x)= 12x-6。令f″(x)=0,得x= 1 2 。 而f 1 2 =2× 12 3 -3× 12 2 +3× 1 2-2=-1 ,所以f(x)的图像的对称中心为 1 2 ,-1 。 (2)由(1)知f(x)+f(1-x)=-2。 设 m=f 1 2 024 +f 22 024 + … + 34 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年6月 f 2 022 2 024 +f2 023 2 024 ,则 m=f 2 023 2 024 + f 2 022 2 024 +…+f 22 024 +f 12 024 。 因 此,f 1 2 024 + f 2 023 2 024 = f 2 2 024 +f 2 022 2 024 = … =f 1 011 2 024 + f 1 013 2 024 =2f2 012 2 024 。 所 以 2m = 2 023 × f 1 2 024 +f2 023 2 024 =2 023×(-2)= -4 046,故m=-2 023。 (3)由f'(x)=6x2-6x+3,a>0,原不 等式 可 化 为3ax2-(a+3)x+1<0,即 (3x-1)(ax-1)<0。 当0<a<3时,解得 1 3<x< 1 a ; 当a=3时,不等式的解集为⌀; 当a>3时,解得 1 a<x< 1 3 。 综上所述,当0<a<3时,不等式的解集 为 x 13<x< 1 a ;当a=3时,不等式的解 集为 ⌀;当 a>3 时,不 等 式 的 解 集 为 x 1a<x< 1 3 。 19.(1)当0<x<15时,f(x)=20x- 10-[12x-12ln(x+1)]=8x+12ln(x+1) -10; 当x≥15 时,f(x)=20x -10- 22x+ 648 x -230 =-2x-648x +220。 所以年利润f(x)关于年加工量x 的解 析式为: f(x)= 8x+12ln(x+1)-10,0<x≤15, -2x- 648 x+220 ,x>15。 (2)当0<x≤15时,f'(x)=8+ 12 x+1> 0恒成立,所以f(x)在区间(0,15)上单调递 增,故f(x)≤f(15)=8×15+12ln 16-10 =110+48ln 2≈143.12。 当x>15时,f(x)= -2x- 648 x + 220≤-2 2x× 648 x +220=-72+220= 148,当且仅当2x= 648 x ,即x=18时取等号。 因为148>143.12,所以当年加工量为 18万件时,该合作社获得的年利润最大,且 最大年利润为148万元。 (责任编辑 徐利杰) 图3 􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕 (上接第36页) 由 g(x)=e1+ 2ln x x ,得 g'(x)= 2e(1-ln x) x2 。当0<x<e时,g'(x)>0, g(x)单调递增;当x→0时,g(x)→-∞;当 x>e时, g'(x)<0,g(x)单 调 递 减,且 g(x)>0;当x→+∞时,g(x)→0。 根据以上信息,画出 f(x)= xex, g(x)= e1+ 2ln x x 的图像,如图 3所示。 因为f(1)=g(1)= e,f'(1)=g'(1)=2e,所 以两曲线在点(1,e)有相同的切线。 由 g (x)= a 1+ 2ln x x 与 y = e1+ 2ln x x 图像间的伸缩关系易知,当a>e 时,两个函数的图像有两个交点。故选C。 凹凸反转的关键是当我们构造差值函数 不易求出导函数零点时,可以考虑指、对分 离,即指数函数和多项式函数组合与对数函 数和多项式函数组合分开,构造两个单峰函 数,然后利用导数分别求两个函数的最值并 进行比较。希望同学们在学习导数时能够予 以足够的重视,在解题中能够另辟蹊径,取得 柳暗花明的效果。 (责任编辑 徐利杰) 44 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年6月