第11讲 二次函数与一元二次方程（4个知识点+6个考点）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

第11讲 二次函数与一元二次方程（4个知识点+6个考点） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系． 2．能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集． 3．根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围． 知识点一、二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 要点归纳： 　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. 　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 2.抛物线与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题． 抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)． 抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定． 当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 要点归纳： 求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 知识点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 　　用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 要点归纳： 　　求一元二次方程的近似解的方法（图象法）： 　(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； 　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； 　(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根. 知识点三、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 （△＞0） 要点四、抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 要点归纳： 抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 考点1：二次函数图象与x轴交点情况判断 【例1】下列函数的图象与x只有一个交点的是(　　) A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3 C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1 【变式1-1】（2023•郴州）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝　　． 【变式1-2】（2023秋·九年级课时练习）已知抛物线，当 时，抛物线与轴有两个公共点；当 时，抛物线与轴有一个公共点；当 时，抛物线与轴没有公共点． 【变式1-3】（2023春·浙江嘉兴·九年级校考阶段练习）已知二次函数（m为常数） (1)若该二次函数图像经过，求二次函数解析式； (2)求证：不论m取何值，该二次函数图像与x轴总有两个交点； (3)当时，y的最小值为，求m的值． 考点2：利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴 【例2】如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________． 【变式2-1】（2023·广东惠州·二模）已知抛物线经过点和点，则该抛物线的对称轴为（    ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【变式2-2】二次函数的图象与轴相交于和两点，则该抛物线的对称轴是　 　． 【变式2-3】如图，抛物线与轴交于，、，两点，交轴于点，且． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标及对称轴方程． （2）在抛物线上是否存在一点使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点3:利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值范围 【例3】若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为(　　) A．0 B．0或2 C．2或－2 D．0，2或－2 【变式3-1】函数的图象与轴只有一个交点，则的值为　　 A．0 B．0或2 C．0或2或 D．2或 【变式3-2】若函数的图象与轴只有一个交点，那么的值为　　 A．0 B．0或2或 C．2或 D．0或或 【变式3-3】（2023春·福建福州·九年级校考期中）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，若，则b的取值范围是 ____________________． 考点4：利用抛物线与x轴交点坐标确定一元二次方程的解 【例4】小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(　　) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4 【变式4-1】若二次函数的图象的对称轴是经过点且平行于轴的直线，则关于的方程的解为　　 A．， B．， C．， D．， 【变式4-2】已知二次函数的部分图象如图，则关于的一元二次方程的解为　　 A．， B．， C．， D．， 【变式4-3】（2023·四川绵阳·统考二模）二次函数的部分对应值如列表所示：则一元二次方程的解为______ ． 考点5：利用抛物线解一元二次不等式 【例5】抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(　　) A．x＜2 B．x＞－3 C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1 【变式5-1】（2023秋·九年级课时练习）二次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【变式5-2】（2024•任城区校级四模）已知一次函数和二次函数的部分自变量和对应的函数值如表： 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 0 0 3 8 则关于的不等式的解集是　　 A． B． C．或 D．不能确定 【变式5-3】（2023•官渡区二模）如图，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）和直线y＝kx（k＞0）交于点O和点A，则不等式ax2+bx＜kx的解集为 　 ． 考点6：确定抛物线相应位置的自变量的取值范围 【例6】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是(　　) A．x＜－1 B．x＞3 C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3 【变式6-1】（2023秋•雷州市期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是　　 A． B． C． D．或 【变式6-2】．（2024•织金县一模）二次函数的图象过点，则使函数值成立的的取值范围是　　 A．或 B． C．或 D． 【变式6-3】．（2023秋•丰台区期末）已知二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表所示： 0 1 2 4 8 3 0 3 （1）求二次函数的解析式及顶点坐标； （2）直接写出当时，的取值范围． 一．选择题 1．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数的图象在轴的下方，则，，满足的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2023·四川绵阳·一模）二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 3．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 5．（23-24九年级上·山东泰安·期中）已知二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点，与的正半轴交于点且，，那么的值为（　　） A． B． C． D． 6．（2024•观山湖区二模）抛物线的部分图象如图所示，其与轴时的一个交点为，对称轴为直线，将抛物线沿着轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线，则当时，的取值范围是　　 A． B． C． D． 二．填空题 7．（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）如图，已知抛物线，则关于的方程的解是 ．    8．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）已知函数与函数的图象大致如图所示，那么不等式的解集是 ． 9．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若抛物线与轴相交于，两点，则 ． ． 10．（23-24九年级上·重庆江津·期中）二次函数和一次函数的图象如图所示，则时，的取值范围是 . 11．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）如图是二次函数的部分图象，其与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，则当时，的取值范围是 ． 12．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，则b满足的条件是 ． 13．（2023·四川南充·统考二模）如图，平移抛物线，使顶点在线段上运动，与x轴交于，D两点．若，，四边形的面积为，则__________． 14．（2024•宿迁模拟）新定义：，，为二次函数，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，，，若“图象数”是，，的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为 　 　． 15．（2024•高青县模拟）二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤点，、，是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，．其中正确的有 　 　（填序号）． 三．解答题 16．（2023秋•朝阳区期末）已知一次函数和二次函数，下表给出了，与自变量的几组对应值： 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 3 4 3 0 （1）求的解析式； （2）直接写出关于的不等式的解集． 17．已知二次函数的图象经过点． （1）求该抛物线的对称轴，以及点的对称点的坐标． （2）若该抛物线与轴交于，和，两点（其中． ①若，求的值； ②若，求的取值范围． 18．（2024•莒南县模拟）已知二次函数． （1）求该二次函数图象与轴的交点坐标， （2）若，当时，的最大值是4，求当时，的最小值； （3）已知，为平面直角坐标系中两点，当抛物线与线段有且只有一个公共点时，请求出的取值范围． 19．（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于，两点．交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 二次函数与一元二次方程（4个知识点+6个考点） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系． 2．能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集． 3．根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围． 知识点一、二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 要点归纳： 　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. 　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 2.抛物线与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题． 抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)． 抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定． 当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 要点归纳： 求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 知识点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 　　用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 要点归纳： 　　求一元二次方程的近似解的方法（图象法）： 　(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； 　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； 　(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根. 知识点三、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 （△＞0） 要点四、抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 要点归纳： 抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 考点1：二次函数图象与x轴交点情况判断 【例1】下列函数的图象与x只有一个交点的是(　　) A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3 C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1 解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点，故选D. 【变式1-1】（2023•郴州）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝　　． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点， ∴方程x2﹣6x+m＝0有唯一解． 即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0， 解得：m＝9． 故答案为：9． 【变式1-2】（2023秋·九年级课时练习）已知抛物线，当 时，抛物线与轴有两个公共点；当 时，抛物线与轴有一个公共点；当 时，抛物线与轴没有公共点． 【答案】 【详解】∵抛物线， ∴当，即时， 抛物线与轴有两个公共点； 当，即时，抛物线与轴有一个公共点； 当，即时，抛物线与轴没有公共点． 故答案为：，，． 【变式1-3】（2023春·浙江嘉兴·九年级校考阶段练习）已知二次函数（m为常数） (1)若该二次函数图像经过，求二次函数解析式； (2)求证：不论m取何值，该二次函数图像与x轴总有两个交点； (3)当时，y的最小值为，求m的值． 【答案】(1)； (2)见解析； (3) 【详解】（1）解：将代入解析式可得 解得， 则 （2）证明：将代入解析式可得 判别式 一元二次方程始终有两个解， 即二次函数图像与x轴总有两个交点； （3）解：二次函数的对称轴为 当时，即，此时在对称轴的右侧， 又∵，开口向上 ∴当时，随的增大而增大， 当时，最小，即， 解得，不符合题意，舍去； 当时，即，此时对称轴在中间 当时，最小，即 解得，符合题意， 当时，即，此时对称轴在的右边 当时，最小，即， 解得，不符合题意，舍去； 综上， 考点2：利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴 【例2】如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________． 解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x＝2. 方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程． 【变式2-1】（2023·广东惠州·二模）已知抛物线经过点和点，则该抛物线的对称轴为（    ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】根据A、B两点的纵坐标相同可知A、B两点关于对称轴对称，据此即可求出答案． 【详解】解：∵抛物线经过点和点， ∴抛物线对称轴为直线， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的对称性，熟练掌握利用二次函数的对称性求解函数的对称轴是解题的关键． 【变式2-2】二次函数的图象与轴相交于和两点，则该抛物线的对称轴是　 　． 【分析】根据抛物线的与横轴的交点到对称轴的距离相等，可知其对称轴为与横轴两交点的和的一半． 【解答】解：二次函数的图象与轴相交于和两点， 其对称轴为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，解题的关键是知道关于对称轴对称的两点到原点的距离相等． 【变式2-3】如图，抛物线与轴交于，、，两点，交轴于点，且． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标及对称轴方程． （2）在抛物线上是否存在一点使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据，可得出抛物线的对称轴为轴即，由此可求出的值．进而可求出抛物线的解析式．根据抛物线的解析式即可得出其顶点坐标和对称轴方程． （2）如果，由于是等腰直角三角形，那么有两种可能：①，重合；②与关于直线对称，而这两种点均不在抛物线上，因此不存在这样的点． 【解答】解：（1） ， 抛物线与轴交于正半轴上， ． 抛物线解析式， 抛物线顶点坐标，抛物线对称轴方程． （2）点坐标为． 假设存在一点使． 因为是等腰直角三角形，是公共边， 故点与点必关于所在直线对称．点坐标是． 当时，，即点不在抛物线上， 所以不存在这样的点，使． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数解析式的确定以及全等三角形的判定等知识点． 考点3:利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值范围 【例3】若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为(　　) A．0 B．0或2 C．2或－2 D．0，2或－2 解析：若m≠0，二次函数与x轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式为零来求解；若m＝0，原函数是一次函数，图象与x轴也有一个交点．由(m＋2)2－4m(m＋1)＝0，解得m＝2或－2，当m＝0时原函数是一次函数，图象与x轴有一个交点，所以当m＝0，2或－2时，图象与x轴只有一个交点． 方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c，当b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，图象与x轴有一个交点；当b2－4ac＜0时，图象与x轴没有交点． 【变式3-1】函数的图象与轴只有一个交点，则的值为　　 A．0 B．0或2 C．0或2或 D．2或 【分析】根据函数的图象与轴只有一个交点，利用分类讨论的方法可以求得的值，本题得以解决． 【解答】解：函数的图象与轴只有一个交点， 当时，，此时时，，该函数与轴有一个交点， 当时，函数的图象与轴只有一个交点，则△，解得，，， 由上可得，的值为0或2或， 故选：． 【点评】本题考查抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答． 【变式3-2】若函数的图象与轴只有一个交点，那么的值为　　 A．0 B．0或2或 C．2或 D．0或或 【分析】分为两种情况：函数是二次函数，函数是一次函数，求出即可． 【解答】解：分为两种情况： ①当函数是二次函数时， 函数的图象与轴只有一个交点， △且， 解得：； ②当函数是一次函数时，， 此时函数解析式是，和轴只有一个交点． 故选：． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，正确利用根的判别式和分类讨论是解题关键． 【变式3-3】（2023春·福建福州·九年级校考期中）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，若，则b的取值范围是 ____________________． 【答案】＜ 【详解】解：根据题意设的两个根为、， 则，． ， ． ①当时，， ． 又的判别式， ． ． ②当时，， ． ． 综上，． 故答案为：． 考点4：利用抛物线与x轴交点坐标确定一元二次方程的解 【例4】小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(　　) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4 解析：∵二次函数y＝x2＋ax＋b的图象与x轴交于(－1，0)和(4，0)，即当x＝－1或4时，x2＋ax＋b＝0，∴关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解为x1＝－1，x2＝4，故选D. 方法总结：本题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系导致无法求解． 【变式4-1】若二次函数的图象的对称轴是经过点且平行于轴的直线，则关于的方程的解为　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】根据对称轴方程，得，解即可． 【解答】解：对称轴是经过点且平行于轴的直线， ， 解得：， 关于的方程为， 解得，， 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数的对称轴和二次函数与一元二次方程的关系，难度不大． 【变式4-2】已知二次函数的部分图象如图，则关于的一元二次方程的解为　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】根据抛物线的对称性求解． 【解答】解：因为抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称， 设另一个交点的横坐标为， 则， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，抛物线的对称性是解题的关键． 【变式4-3】（2023·四川绵阳·统考二模）二次函数的部分对应值如列表所示：则一元二次方程的解为______ ． 【答案】， 【分析】利用抛物线与轴的交点问题得到一元二次方程的解为，，再把方程看作关于的一元二次方程，则或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：由表值值数据得或时，， 一元二次方程的解为，， 把方程看作关于的一元二次方程， 或， 解得，， 即一元二次方程的解为，． 故答案为：，． 考点5：利用抛物线解一元二次不等式 【例5】抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(　　) A．x＜2 B．x＞－3 C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1 解析：观察图象，可知当－3＜x＜1时，抛物线在x轴上方，此时y＞0，即ax2＋bx＋c＞0，∴关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是－3＜x＜1.故选C. 方法总结：抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方部分的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方部分的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集． 【变式5-1】（2023秋·九年级课时练习）二次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与x轴的交点坐标求解即可． 【详解】∵二次函数与x轴交于点， 二次函数开口向上， ∴关于的不等式的解集是或． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数与一元二次不等式之间的联系：根据当时，利用图象得出不等式解集是解题关键． 【变式5-2】（2024•任城区校级四模）已知一次函数和二次函数的部分自变量和对应的函数值如表： 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 0 0 3 8 则关于的不等式的解集是　　 A． B． C．或 D．不能确定 【分析】先利用描点法画出两函数图象，然后写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：如图， 一次函数和二次函数的图象相交于点，， 当时，，即， 所以关于的不等式的解集为． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数与不等式（组：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系比较函数的大小，则相应自变量的取值范围为对应的不等式的解集． 【变式5-3】（2023•官渡区二模）如图，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）和直线y＝kx（k＞0）交于点O和点A，则不等式ax2+bx＜kx的解集为 　 ． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx（a＞0）和直线y＝kx（k＞0）交于点O和点A， ∴0＜x＜3时，直线在抛物线的上方， ∴不等式ax2+bx＜kx的解集为：0＜x＜3． 故答案为：0＜x＜3． 考点6：确定抛物线相应位置的自变量的取值范围 【例6】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是(　　) A．x＜－1 B．x＞3 C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3 解析：根据图象可知抛物线与x轴的一个交点为(－1，0)且其对称轴为x＝1，则抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)．当y＞0时，函数的图象在x轴的上方，由左边一段图象可知x＜－1，由右边一段图象可知x＞3.因此，x＜－1或x＞3.故选D. 方法总结：利用数形结合思想来求解，抛物线与x轴的交点坐标是解题的关键 【变式6-1】（2023秋•雷州市期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是　　 A． B． C． D．或 【分析】根据图象，写出函数图象在轴上方部分的的取值范围即可． 【解答】解：由图可知，或时，． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便． 【变式6-2】．（2024•织金县一模）二次函数的图象过点，则使函数值成立的的取值范围是　　 A．或 B． C．或 D． 【分析】根据二次函数的对称轴和与轴的交点坐标解答即可． 【解答】解：二次函数，开口向上，对称轴为直线， 图象过点， 图象过，， 使函数值成立的的取值范围是：或． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，找到二次函数与轴的交点坐标是关键． 【变式6-3】．（2023秋•丰台区期末）已知二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表所示： 0 1 2 4 8 3 0 3 （1）求二次函数的解析式及顶点坐标； （2）直接写出当时，的取值范围． 【分析】（1）依据题意，观察表格数据，先求出对称轴是直线，顶点坐标为，从而可设二次函数的解析式为，又图象过，计算进而可以得解； （2）依据题意，令，得或，又抛物线开口向上，从而时，的取值范围是函数图象是轴上方的部分对应的自变量，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，根据表格数据，可得抛物线的对称轴是直线， 顶点坐标为． 可设二次函数的解析式为． 又图象过， ． ． 二次函数的解析式为． （2）由题意，令， 或． 又抛物线开口向上， 时，的取值范围是函数图象是轴上方的部分对应的自变量． 或． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 一．选择题 1．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数的图象在轴的下方，则，，满足的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像在轴的下方，可得抛物线开口向下，与轴无交点，即可判断． 【详解】解：二次函教的图象在轴的下方， 抛物线开口向下，与轴无交点， 即，， 故选：C． 2．（2023·四川绵阳·一模）二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数与不等式，根据函数图象可得中x的取值范围就是二次函数图象在一次函数图象下方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图像可得，当或时，二次函数的图像在一次函数图像的下方， 即 ， ∴当或时，， ∴当或时，， 故选：C． 3．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．直接将原函数写成顶点式，再利用二次函数平移规律：左加右减，上加下减，进而得出平移后解析式，再把各选项的点代入判断即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线解析式为：， 当时，，故不在此抛物线上，故A选项不合题意； 当时，，故在此抛物线上，故B选项符合题意； 当时，，故不在此抛物线上，故C选项不合题意； 当时，，故不在此抛物线上，故D选项不符合题意； 故选：B． 4．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 【答案】B 【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，列出关于的方程是解本题的关键．令得到关于的一元二次方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：令，得到， 即， 解得：或6． 故选：B 5．（23-24九年级上·山东泰安·期中）已知二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点，与的正半轴交于点且，，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了抛物线与x轴交点坐标与函数解析式的关系，由于二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点，与的正半轴交于点且，，由此得到，，接着把点，点代入解析式即可得到方程组，解方程组即可求解，根据交点坐标满足函数关系式得到关于待定字母的方程是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点，与的正半轴交于点且，， ∴， ∴， ∴， ∴代入第一个方程得：， 故选：． 6．（2024•观山湖区二模）抛物线的部分图象如图所示，其与轴时的一个交点为，对称轴为直线，将抛物线沿着轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线，则当时，的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】依据题意，由与轴时的一个交点为，对称轴为直线，从而与轴的另一个交点为，即，又抛物线的开口向上，故当时，，进而当将抛物线沿着轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线，则抛物线与轴的交点为，，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，与轴时的一个交点为，对称轴为直线， 与轴的另一个交点为，即． 抛物线的开口向上， 当时，． 将抛物线沿着轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线， 抛物线与轴的交点为，． 当时，． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质及二次函数的图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 二．填空题 7．（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）如图，已知抛物线，则关于的方程的解是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴交点的横坐标，即为二次函数对应的一元二次方程的解，据此求解即可． 【详解】解：由函数图象可知抛物线与x轴交于， ∴关于的方程的解是， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）已知函数与函数的图象大致如图所示，那么不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，不等式的解集是． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若抛物线与轴相交于，两点，则 ． ． 【答案】 4 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题，先求得解析式，进而求得的值，令，进而得出的长． 【详解】解：∵中，，顶点坐标为， ∴抛物线解析式为，则， 令，则， 解得： ∴, 故答案为：，． 10．（23-24九年级上·重庆江津·期中）二次函数和一次函数的图象如图所示，则时，的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组），利用数形结合思想解决问题是解题的关键．直接根据图象可求解． 【详解】由图象可得：当时，二次函数的图象在一次函数的图象的上方， ∴当时，， 故答案为：． 11．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）如图是二次函数的部分图象，其与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，则当时，的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点．根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当时，x的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， 即抛物线与x轴的另一个交点横坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 由图象可知，当时，x的取值范围是． 故答案为：． 12．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，则b满足的条件是 ． 【答案】或0 【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意知，分①二次函数的图象与轴有1个公共点；②二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解作答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与坐标轴有两个公共点， ∴分①二次函数的图象与轴有1个公共点；②二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解； ①当二次函数的图象与轴有1个公共点时，， 解得； ②当二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点时，， ∴，与轴有2个公共点，为或， 综上所述，b的值为或0， 故答案为：或0． 13．（2023·四川南充·统考二模）如图，平移抛物线，使顶点在线段上运动，与x轴交于，D两点．若，，四边形的面积为，则__________． 【答案】 【详解】四边形是梯形，下底，高为3， 由，得，设，， 则，， ∵， ∴． ∴．∴①， 又顶点纵坐标②， ①÷②，得， ∴， 故答案为； 14．（2024•宿迁模拟）新定义：，，为二次函数，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，，，若“图象数”是，，的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为 　 　． 【分析】根据新定义得到二次函数的解析式为，然后根据判别式的意义得到△，从而解的方程即可． 【解答】解：由题意得：二次函数的解析式为， △， 解得：，， 故答案为：或2． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程． 15．（2024•高青县模拟）二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤点，、，是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，．其中正确的有 　 　（填序号）． 【分析】根据所给二次函数的图象可得出，，的正负，再结合抛物线的对称性和增减性对所给结论依次进行判断即可． 【解答】解：由所给函数图象可知， ，，， 所以． 故①正确． 因为抛物线与轴有两个不同的交点， 所以． 故②错误． 由函数图象可知， 当时，函数值小于零， 则． 又因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 即， 所以， 即． 故③正确． 因为抛物线与轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线， 所以抛物线与轴的另一个交点坐标为， 则． 又因为， 所以． 故④错误． 当点，、，在抛物线对称轴的右侧时， 因为抛物线开口向下， 所以在对称轴右侧的部分，随的增大而减小， 即时，． 故⑤错误． 方程的根可看成函数的图象与直线的交点的横坐标， 因为抛物线经过点， 所以函数的图象与直线的一个交点的横坐标为． 又因为抛物线的对称轴为直线， 所以函数的图象与直线的另一个交点的横坐标为5， 所以关于的一元二次方程的两根分别为，． 故⑥正确． 故答案为：①③⑥． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数图象的得出，，的正负再巧用抛物线的对称性和增减性是解题的关键． 三．解答题 16．（2023秋•朝阳区期末）已知一次函数和二次函数，下表给出了，与自变量的几组对应值： 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 3 4 3 0 （1）求的解析式； （2）直接写出关于的不等式的解集． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得的解析式； （2）根据表格数据即可求解． 【解答】解：（1）二次函数过，，， ， ，解得， 的解析式为，即； （2）比较表格数据可知，关于的不等式的解集是． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与不等式（组，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 17．已知二次函数的图象经过点． （1）求该抛物线的对称轴，以及点的对称点的坐标． （2）若该抛物线与轴交于，和，两点（其中． ①若，求的值； ②若，求的取值范围． 【分析】（1）将点代入二次函数解析式求得，即可根据对称轴公式求得对称轴，然后根据二次函数的对称性即可求得点的坐标； （2）①根据二次函数的对称性求得，，即可求得的横坐标为，代入解析式即可求得的值；②由可知，；当时，图象经过点，则，故此时需满足，根据二次函数的对称性得到故当时，；时，，即可求得；当时，由图象经过点，根据对称性，故此时需满足，故当时，，则． 【解答】解：（1）将点代入二次函数解析式得：，解得， 抛物线对称轴为：直线， 对称轴为直线， 点的对称点为； （2）①由抛物线与轴交于，和，两点可知，点和点关于直线对称． 又，则，， 将点代入二次函数解析式有， 解得； ②由可知，， 当时，由图象可知，，则，故此时需满足， 故当时，；时，，则； 当时，由图象可知，，则，故此时需满足， 故时，，则， 综上，或． 【点评】本题是二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，数形结合、分类讨论是解题的关键． 18．（2024•莒南县模拟）已知二次函数． （1）求该二次函数图象与轴的交点坐标， （2）若，当时，的最大值是4，求当时，的最小值； （3）已知，为平面直角坐标系中两点，当抛物线与线段有且只有一个公共点时，请求出的取值范围． 【分析】（1）令，构建方程求解，即可得出结论； （2）构建方程求出的值，进而根据二次函数性质求出最值即可解决问题； （2）分两种情况讨论：①当时，②当时，根据这两种情况构建不等式求解，即可解题． 【解答】解：（1）令，， ， ， 解得：，， 二次函数图象与轴的交点坐标为，． （2）， 该二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线， 当时， 在时取最大值为4，代入解析式， ， ， 二次函数解析式， 当时，取到在上的最小值， 当时，， 当时，的最小值为． （3）解：二次函数，当时，得， 当时，得， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当过抛物线顶点时， 当时，， ， 解得：； 当或或，抛物线与线段有且只有一个公共点． 【点评】本题是二次函数综合题．考查了二次函数的性质，二次函数图象与轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题， 19．（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于，两点．交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点P的坐标为或或． 【分析】 本题主要考查二次函数的图象和性质、待定系数法求抛物线的解析式、一元二次方程，解题的关键是将转化为解一元二次方程． （1）利用待定系数法，将点，直接代入抛物线求解，即可求得抛物线的解析式． （2）设点P的坐标为，分别考虑当点P在轴上方时，以及当点P在轴下方时，利用建立一元二次方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：存在， 当时，， ,即, , 设点P的坐标为， 当点P在轴上方时， ， ,即,解得， 点P的坐标为， 当点P在轴下方时， ， ,即, 解得或， 点P的坐标为或， 综上所述，点P的坐标为或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 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