第4节 构造函数在函数与导数中的应用-2025年新高考数学一轮复习知识梳理+真题呈现+专项训练

第三章　导数及其应用 第4节　构造函数在函数与导数中的应用 【知识梳理】 (1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数 ． (2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数 . (3)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数 ． (4)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数 . 思维升华 函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式 F(x)＝f (x)sin x，F′(x)＝ ； F(x)＝，F′(x)＝ ； F(x)＝f (x)cosx，F′(x)＝ ； F(x)＝，F′(x)＝ 【真题呈现】 1．(2021·全国乙卷)设a＝2ln 1.01，b＝ln 1.02，c＝－1，则(　　) A．a＜b＜c　　　　B．b＜c＜a C．b＜a＜c 　 D．c＜a＜b 2． (2022·全国甲卷)已知a＝，b＝cos ，c＝4sin ，则(　　) A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b 3．（2022·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【题型归类】 题型一　利用f(x)与x构造函数 1．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足2xf(x)＋x2f′(x)<0，f(2)＝，则关于x的不等式x2f(x)>3的解集为(　　) A.(0，4) B.(2，＋∞) C.(4，＋∞) D.(0，2) 2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，且f(－2)＝0，则不等式>0的解集是(　　) A．(－2,0)∪(0,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－2,0)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0,2) 3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，xf′(x)＋2f(x)>0恒成立，则(　　) A．f(1)<4f(2) B．f(－1)<4f(－2) 4．设f (x)是定义域为R的奇函数，f (－1)＝0，当x>0时，xf ′(x)－f (x)<0，则使得f (x)>0成立的x的取值范围是 5．已知f (x)是定义在R上的连续不断的奇函数，且f ′(x)是f (x)的导函数，若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有2f (x)＋xf ′(x)>0成立，且f (2)＝，则不等式f (x)－>0的解集为________． 6．已知偶函数f (x)(x≠0)的导函数为f ′(x)，且满足f (－1)＝0，当x＞0时，2f (x)＞xf ′(x)，则使得f (x)＞0成立的x的取值范围是________． 题型二　利用f(x)与ex构造函数 1．设函数f (x)的定义域为R，f ′(x)是其导函数，若f (x)＋f ′(x)>0，f (1)＝1，则不等式f (x)>e1-x的解集是(　　) A．(0，＋∞)　　　　　 B．(1，＋∞) C．(－∞，0) 　 D．(0，1) 2．f(x)为定义在R上的可导函数，且f′(x)＞f(x)，对任意正实数a，下列式子一定成立的是(　　) A.f(a)＜eaf(0) B.f(a)＞eaf(0) C.f(a)＜ D.f(a)＞ 3．若定义在R上的函数f (x)满足f ′(x)－2f (x)＞0，f (0)＝1，则不等式f (x)＞e2x的解集为________． 4．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)<f′(x)－2，则(　　) A．f(2 023)－ef(2 022)<2(e－1) B．f(2 023)－ef(2 022)>2(e－1) C．f(2 023)－ef(2 022)>2(e＋1) D．f(2 023)－ef(2 022)<2(e＋1) 5．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为________． 6．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＋f′(x)>0在R上恒成立，则不等式e2x＋1f(2x＋1)>e3－xf(3－x)的解集是________. 7．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当x2＞x1＞0时，－＞－，若f(2)＝e2＋1，则ln xf(ln x)－xln x＞2的解集为________. 题型三　利用f(x)与sin x，cos x构造函数 1．设f(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数，其导函数为f′(x)，且当x∈(0，π)时，f′(x)sin x－f(x)cos x<0，则关于x的不等式f(x)<2f sin x的解集为________． 2．已知偶函数f (x)的定义域为，其导函数为f ′(x)，当0<x<时，有f ′(x)cos x＋f (x)sin x>0成立，则关于x的不等式f (x)>2f ·cos x的解集为(　　) A． B． C． D． 3．已知定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)，且当x∈(0，＋∞)时，f′(x)sin x＋f(x)cos x<0，若a＝f ，b＝－f ，则a与b的大小关系为________．(用“<”连接) 4．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈(0，π)，有f′(x)sin x＞f(x)cos x，设a＝2f， b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系为________. 题型四　通过变量构造具体函数 1．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，当x＞0时，xf′(x)－f(x)>0，若a＝f(1)，b＝，c＝2f，则a，b，c的大小关系是________. 2．已知a＜5，且ae5＝5ea，b＜4且be4＝4eb，c＜3且ce3＝3ec，则(　　) A.c＜b＜a B.b＜c＜a C.a＜c＜b D.a＜b＜c 3．若0＜x1＜x2＜1，则(　　) A.ex2－ex1＞ln x2－ln x1 B.ex2－ex1＜ln x2－ln x1 C.x2ex1＞x1ex2 D.x2ex1＜x1ex2 4．已知a＞b＞0，且a＝b，则(　　) A.0＜b＜1 B.0＜a＜1 C.1＜b＜e D.a>e 题型五　通过数值构造具体函数 1．设a＝999ln 1 001，b＝1 000ln 1 000, c＝1 001ln 999，则下列选项正确的是(　　) A．a>c>b 　 B．c>b>a C．b>a>c 　 D．a>b>c 2．已知a，b，c∈，且＝－5ln a，＝－3ln b，＝－2ln c，则(　　) A．b<c<a 　 B．c<b<a C．a<c<b 　 D．a<b<c 3．实数e3，3π，π3的大小关系为________. 4．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为________. 5.若a＝ln ，b＝e－1，c＝，则实数a，b，c的大小关系为________. 【专题训练】 一、单项选择题 1．已知f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x≥0时，f′(x)－2x>0，且f(1)＝3，则f(x)>x2＋2的解集是(　　) A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(0,1) 2．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对任意的x>0，都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，则(　　) A.4f(－2)<9f(3) B.4f(－2)>9f(3) C.2f(3)>3f(－2) D.3f(－3)<2f(－2) 3．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　) A.(－1，1) B.(－1，＋∞) C.(－∞，－1) D.(－∞，＋∞) 4．已知α，β∈，且αsin α－βsin β>0，则下列结论正确的是(　　) A．α3>β3 B．α＋β>0 C．|α|<|β| D．|α|>|β| 5．定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意实数x，有f(x)>f′(x)，且f(x)＋2 024为奇函数，则不等式f(x)＋2 024ex<0的解集是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，ln 2 024) C．(0，＋∞) D．(2 024，＋∞) 6．已知函数y＝f(x)对任意的x∈满足f′(x)cos x－f(x)sin x>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是(　　) A．f >f  　　 B．f <f  C．2f(0)<f  　　 D.f(0)>f  7．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且3f(x)＋f′(x)<0，f(ln 2)＝1，则不等式e3xf(x)>8的解集为(　　) A．(－∞，2) B．(－∞，ln 2) C．(ln 2，＋∞) D．(2，＋∞) 8．已知0<x<y<π，且eysin x＝exsin y，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是(　　) A．cos x＋cos y<0 B．cos x＋cos y>0 C．cos x>sin y D．sin x>sin y 二、多项选择题 9．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－1>0，则下列结论正确的是(　　) A．f(2)－ln 2>f(1) 　　 B．f(4)－f(2)>ln 2 C．f(2)＋ln 2>f(e)＋1 　　 D．f(e2)－f(e)>1 10．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数为f′(x)，满足xf′(x)－f(x)＝(x－1)ex(e为自然对数的底数)，且f(1)＝0，则(　　) A．3f(2)>2f(3) B．f(1)<f(2)<f(e) C．f(x)在x＝1处取得极小值 D．f(x)无极大值 11．已知f′(x)是f(x)的导函数，对任意x∈，f′(x)cos x＋f(x)sin x＞0，则下列结论正确的是(　　) A.f＞f B.f<f C.f＜f D.f＞f 三、填空题 12．已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f′(x)，若f(1)＝4，且f′(x)－2x<3对任意的x∈R恒成立，则不等式f(2x－3)<2x(2x－3)的解集为________． 13．已知函数f(x)定义在上，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)＜f′(x)tan x成立，又知f ＝，则关于x的不等式f(x)＞sin x的解集是________． 14.已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，其导函数为f′(x)，且满足ln x·f′(x)＋·f(x)＞0，则f(e)________0(填“＞”或“＜”). 四．解答题 15.已知a＝e－0.02，b＝0.01，c＝ln 1.01，比较a，b，c的大小关系. 16.已知a＝6ln 5，b＝7ln 4，c＝8ln 3，比较a，b，c的大小关系. 17.已知正数x，y，z满足xln y＝yez＝zx，比较x，y，z的大小关系. 18.已知a＝2.12.3，b＝2.22.2，c＝2.32.1，比较a，b，c的大小关系. (参考数据：ln 2.5≈0.916). 19．已知a＝e－0.1－1，b＝tan(－0.1)，c＝ln 0.9，比较a，b，c的大小关系. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$6学科网 学种闪票创，让学司更容易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 第三章导数及其应用 第4节 构造函数在函数与导数中的应用 【知识梳理】 (I)出现nx)十fx)形式，构造函数F)=xx). (2)出现xfe)一术x)形式，构造函数Fx)=fx)x (3)出现f(x)十n优x)形式，构造函数Fx)=ex). (4)出现fx)一n试x)形式，构造函数Fx)=fx)enx 思维升华函数x)与sinx,cosx相结合构造可导函数的几种常见形式 F(x)=f(x)sinx,F(x)=f'(x)sinx+f(x)cos x: F=儡，F6={图nfs sin'x F(x)=f(x)cosx,F(x)=f'(x)cosx-f(x)sinx; F=器，F0）=图o匹 COSx 【真题呈现】 1.(2021全国乙卷)设a=2n1.01,b=n1.02,c=√1.04-1，则() A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b 【解析】b-c=ln1.02-√1.04+1，设f)=n(x+1)-√1+2x+1, N1+2xx+1 五c=f0.02,f)=苹3+容+x+,当xe0时，+1=V(x+1)21+ W1+2x+) 故当x0时，∫(x) +2x8+0,所以f9在[0，十)上单调递减，所以了0.02)<寸0)=0，即b<c a-c=2n1.01-V1.04+1,设g)=2nc+1)-V1+4x+1, 则a-6=00.g烟-扁3六 2 2+4x+ (x+1W1+4w 当0x<2时， V4x+12(x+1)2=x+1, 故当0sx<2时，gx)20,所以gx)在0,2)上单调递增， 所以g(0.01)>g(O)=0,故c<a,从而有b<c<a,故选B 2.(2022全国甲卷)已知a=3132,b=cos14,c=4sin14,则( Ac-b-a B.b>a-c C.a-b>c D.a>c>b 【解析】根据题意，构造函数x)=1一x22,gx)=cosx,h)=sm, a=falvs4alcol(f(14)),b=glaws4alcol(f14)),c=hiaws4alcol(f14)) 由泰勒展开式，x=1一x22,gx)=1一x22!+x44!+0),h0)=1一x23!+x45!+ox), ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 1 6学科网 学种闪票创，让学司更容易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 gaws4aco10f04)=1-12×116+124×1256+oa)=3132+124×1256+o), havs4alco114)=1-16×116+1120×1256+oa=9596+1120×1256+o: 所以fas4 alcol(f(14)<gaws4 alcol0l4<hals4 al col(f(14,即a<b<c 法二因为b=cos14=1-2sin218,所以-a=1-2sin218-3132=132-2s1n218=2avs4alco10f118) 令x)=x-snx,则fx)=1一cosx之0，所以函数fx)在R上单调递增， 所以当>0时，x)0)=0,即有x>sin x(x0)成立，所以18sin18,得164sin218,所以b>a 因为cb=1414=4tan14,所以令g(x)=tanx-x,则g'(x)=cos2x十sn2xcos2x-1=1-cos2xcos220, 所以函数gx)在定义域内单调递增，所以当>0时，gx护g(0)=0,即有tanx>x(x0)成立， 所以an1414,即4an14p1,所以cb>1,又b0,所以c心b.综上，c>b>a 3.(2022全国商考真题)设a=01e,b=号c=-1n0.9,则() A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 【解折】设)=0+)->0，因为∫团+F 1+x 当xe(-1,0)时，f'(x)>0,当x∈(0，+o)时f"(x)<0, 所以函数f(x)=l(1+x)-x在(0，+o)单调递减，在(-1,0)上单调递增， 所以兮<f0=0,所以hg)<0,故。>h 99 9 =-ln0.9,即b>c, 所以动0-0，所以品0，放品e,所以e<兮< 10 设8)=xe+0-0<x<.则g树=xc+-任-小e1 x-1 x-1 令h(x)=e'(x2-1)+1,h'(x)=e'(x2+2x-l), 当0<x<√2-1时，()<0，函数(x)=e(x2-1)+1单调递减， 当√2-1<x<1时，h(x)>0,函数h(x)=e(x2-1)+1单调递增， 又0)=0，所以当0<x<√2-1时，h(x)<0, 所以当0<x<√2-1时，g'(x)>0,函数g(x)=xe*+n(l-x)单调递增， 所以g(0.)>g(0)=0,即0.1c1>-n0.9,所以a>c,故选：C 【题型归类】 题型一利用f(x)与x构造函数 1.已知定义在(0，+∞)上的函数x)满足2x)+xfx0,2)=34,则关于x的不等式xxP3的解集为( ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 学科网 学种闪票创，让学司更容易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 A.(0,4) B.(2,十o) C.(4,+o D.(0,2) 答案D 【解析】由题意，令g)=xx),x∈(0，十o),则g'6)=2x)+xx0, gx)在(0，+m)上单调递减又2)=34，g(2)=42)=3.∴.x2fx>3,即gxPg2), ∴.原不等式的解集为(0,2) 2.已知f)是定义在R上的偶函数，当x>0时，fx)一x)0,且（一2）=0，则不等式fx)x>0的解集是(） A.(-2.0)U(0,2)B.(-0,-2)U(2,+o)C.(-2.0)U(2,+)D.(-0,-2)U(0,2) 答案D 【解析】设gx)=xx,x≠0.因为x)是定义在R上的偶函数，所以一x)=x) 因为g(一x)=一x)一x=-xx=一gx),所以gx)为奇函数，所以g(一2)=一g(2) 因为(-2)=0，所以g(-2)=g(2)=0.当x>0时，g'x)=xf(x)-fxx2<0, 所以gx)在(0，+o)上单调递减，此时不等式xx0的解集是(0,2). 因为g(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以gx)在（一0，O)上单调递减， 所以当x0时，不等式fxx>0的解集是（一0，一2）. 综上所述，不等式fx)x0的解集是（一o,一2）U(0,2) 3.已知函数x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx)十2x>0恒成立，则() A.1)42) B.-1)K4f-2) C.164)93) D.4-2)>9-3) 【解析】令g)=xx),当x0时，f(x)十2x)0, .当0时，gx)=20)+xfx)=x[fx)+2x0, ·g)=x)在(0，十o)上单调递增 又x)为定义在R上的奇函数，y=2为定义在R上的偶函数 ·gx)=xx)为定义在R上的奇函数.gx)是增函数. 由g(2>g1),可得421)，故A正确： 由g(一1)Pg(一2)，可得(-1)P4机-2)，故B错误： 由g(4)Pg3),可得164)93)，故C错误： 由g(-2)>g(-3),可得4忧-29-3)，故D正确， 4.设f(x)是定义域为R的奇函数，f(一1)=0，当x>0时，f)一f)0,则使得f(x)>0成立的x的取值 范围是 【解折】令=型，则g)= 所以当x>0时，gx)0,所以gx)在(0，十o)上单调递减， 又fx)为奇函数，所以g(x)为偶函数，所以gx)在（一0,0）上单调递增 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 3 6学科网 学种闪票创，让学司更容易！ CO JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 (x>0, 又f()=-f(1)=0.即g1)=8(-1)=0.而f(0等价于{g(x)>0=g(1) 或 x<0, g(x)<0=g(1), x>0, x<0, 即x<1或x<-1,所以K-1或03r 所以fx)>0的解集为(-o,一1)U(0,1). =g) 5.己知fx)是定义在R上的连续不断的奇函数，且f')是f)的导函数，若对于任意的x∈(0，+o),都 有2f)十xf)少0成立，且f(2)=专，则不等式f)一是>0的解集为 【解析】令gc)=xf),可得gx)=2gfx)十xfx), 因为对于任意的x∈(0，+o),都有2fx)十fxP0成立，可得gx)>0, 所以函数g()在(0，十∞)上单调递增，又因为fx)是定义在R上的奇函数， 可得g(一x)=(一x)f(一)=一xfx)=一gx),所以gx)是定义在R上的奇函数， 可得gx)在(-o,0)上单调递增， 因为f(x)在R上连续不断，则gx)在R上连续不断，所以函数gx)在R上单调递增， 由不等式四-是0，可化为x)-20,即g少2，因为f2)=专，可得g2)=2f2)=2, 所以gx)g2),可得x2,所以不等式∫6)一>0的解集为2，+) 6.已知偶函数f(x)≠0)的导函数为f'(x),且满足f(一1)=0，当x>0时，2fx)>xyfx),则使得fx)>0成 立的x的取值范围是 【解析】构造)=得，则F)=2 当x>0时，f'x)一2f()<0,可以推出当x>0时，F)<0,Fx)在(0，+∞)上单调递减. fx)为偶函数，y=x2为偶函数，∴.Fx)为偶函数，F)在（一0,0）上单谓递增. 根据（一1）=0可得F(一1)=0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象如图所示， 根据图象可知fx>0的解集为（一1,0）U(0,1). 题型二利用x)与er构造函数 1.设函数fx)的定义域为R,f"(x)是其导函数，若fx)+f')>0,f(I)=1,则不等式f(x)el的解集是() A.(0,+o） B.(1,+o) C.(-o,0) D.(0,1) ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 4 学科网 学种闪票创，让学司更容易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【解析】构造函数gx)=fx)e,则gx)=[f'3)+fx]e0, 故gx)在R上单调递增，g1)=e,f(x)elg可化为g(x>e=g(I),故原不等式的解集为(1，十o),故选B 2.x)为定义在R上的可导函数，且fx)>x),对任意正实数a,下列式子一定成立的是() Afa)<e0) Bfa)cf0) Cfa)<f(0)ea Dfa)>f(0)ea 【解析】令gx=∫(x)x,则g(x)=∫(x)一f(x)ex>0.gx)在R上为增函数， 又a>0,.g(a)>g(0).即f(a)ea>f(0)e0,故a)>e0) 3.若定义在R上的函数f(x满足f'(x)一2f(x)>0,f(O)=1,则不等式f()>e2的解集为 【解析】构造F)=g,则F)=2-2四 函数f(x)满足f()一2f(x)>0,则F)>0,Fx)在R上单调递增. 又fO=1,则O=1,侧>e2-四>1eF)>FO,根据单调性得x>0. e2 4.已知定义在R上的函数x)满足fx)一2，则() A.2023)-ef2022)2(e-1)B.2023)-ef2022)>2(e-1) C.2023)-ef2022)>2(c+1)D.2023)-e20222(e+1) 【解析】令gx)=fx)+2ex,则g(x)=fx)-fx)-2ex0,因此函数gx)是增函数， 于是得g2023)Pg2022),即f2023)+2e2023>f2022)+2e2022,整理得2023)-e2022P2(e-1),故B 正确。 5.己知定义在R上的函数x)满足x)十f(xP0,且有3)=3，则x)少>3e3-的解集为 【解析】设Fx)=x)c,则Fx)=fx)e+x)e=ex)十fx)0,.Fx)是增函数. 又3)=3，则F3)=f3)e3=3e3.:fx3e3-等价于fx)e>3e3,即Fx)>F3), ∴x3,即所求不等式的解集为(3，十o): 6.已知函数x)的导函数为f),且x)+f(x)>0在R上恒成立，则不等式e2x+12x十1)>e3-f3一x)的解集 是 【解析】令g9=e),则g(x)=e[x)十fx]0,所以gx)在R上单调递增， e2+2x+1Pe3-3-x),即g(2+1)Pg3-x),所以2x十1>3-x,得x23 所以不等式e2+2x+1)>e3-3-x)的解集是as4acol(023,+o 7.已知函数x的定义域为0，+o),当>>0时，f(xl)x2-f(x2)x1>exlx2-e2xl,若2)=e2 +1,则n/nx)一xnx>2的解集为 【解析】由f(x1)x2-f(x2)x1>exIx2-ex2x,得x1)一e1>x2)一xze2, 令gx)=x)一x,则g)>gc2),又3>>0，gx)在(0，十四)上单调递减 '.'In xfn x)-xlnx>2, g(2)=22)-2e2=2,.gnx)>g2),.0<hx<2,得1<ax<e2 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 学科网 学种闪票创，让学司更容易！ O JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 题型三 利用x)与sinx,cosx构造函数 1,设x)是定义在（一π，0）U(0,元)上的奇函数，其导函数为fx),且当x∈(0，元)时，fx)sinx一x)cosx <0,则关于x的不等式x)2f八alvs4 alcol(f(6)sinx的解集为 【解析】令gx)=fx)sinx,x∈（一元，0）U(0,,则g()=fx)sinx-fx)cos xsin2.x, ,当x∈(0，x)时，fx)sinx一fx)cosx0,∴.在(0，)上，g'(x0, .函数gx)在(0，元)上单调递减.y=x),y=sinx是奇函数，.函数gx9)是偶函数， .函数gx)在（一π，0）上单调递增， 当x∈(0，x)时，sinx>0,则不等式xr)2favs4al小col0fπ6)sinx可化为fx)sin xrcl6)元6，即g (x)<glaws4alcol(f(6))..: 当x∈(-元，0)时，sinx<0,则不等式fx)2favs4 alcol0fx6)sinx可化为fx)x>rc6)6=rcl6)lrcl6), 即gx>gavs4 alcol(-fπ6)，.-π6x<0.综上可得，不等式的解集为avs4 alcol(-fπ6,0U\ avs4 al col0f6,π) 2.已知偶函数fx)的定义域为(-号，)，其导函数为f),当0号时，有()cosx+fsin0成立， 则关于x的不等式fxP2f(号)cosx的解集为() A.（-,) B.(,) C.(-受，-)U(,)D.(-晋，0)U(,) 【解析】令g9=恩，因为f)为偶函数，即f(一)=f, 所以8双一约锅=照=-8.因为0r号时，有了ecsx+en0成立 所以g) fsco+>0,故函数g)在(0，号)上单调递增， cOSx 根据偶函数的对称性可知，g)在(-号，0)上单调递减， 由了2（停）e可得得=（③），所以8g(香)，所以青或K-于， 即等x受或-受x<一号故选C 3.已知定义在R上的奇函数x),其导函数为f(),且当x∈(0，+o)时，fx)sinx+fx)cos0,若a=2) 2faws4a小col(-f(π6)，b=-favs4 alcol0f(x4),则a与b的大小关系为 一·（用“<”连接） 【解析】设o例x)=fx)sinx,则o'x)=fx)snx+fx)cosx,∴当x∈(0，+o)时，o'x)0, 即o(x)在(0，+oo)上单调递减，又x)为奇函数，.o(x)为偶函数，.oav4 alcol(一πO)=o aws4alcol(f(6)oaws4alcol(f(4)), 即faws4 allcol(-fx6)sin als4 alcol(-fπ6)>≥favs4 allcol0fr4)sinπ4，即-12favs4 alcol(-\ fπ6)P2)2favs4al小colfπ4)，即2)2favs4 alcol(-fπ6)-favs4alco10fπ4)，∴.ab. 4.已知定义在R上的函数r)的导函数为fx),对任意x∈(0，)，有fx)sinx>x)cosx,设a=2f avs4 alcol(yπ6， b=2faws4 alcol(y(x4,c=fals4 alcol(fia.2,则a,b,c的大小关系为 【解析】构造函数Fx)=f(x)snx,x,k∈Z,则x∈(O,)时， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 6 学科网 学种闪票创，让学司更容易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 Fx)=f(x)sinx一f(x)cos xsin2x>0.所以函数Fx)在(0，元)上单调递增， 于 是 Falvs4 alcol(f(6))<Flawvs4alcol((4))<Favs4allcol((2)), 2 avs4 aicol(fπ6j<2faws4 alcol(fa4≤falvs4 alcol(fz2,所以a<b<c 题型四通过变量构造具体函数 1.己知定义在R上的函数x)的导函数为fx),当x>0时，fx)一)>0，若a=1),b=f(2)2,c=2f avs4acol(f12小，则a,b,c的大小关系是 【解析】构造函数gx)=∫(x)x(>0),得g'x)=(cx)一∫(x》x2, 当x>0时，gx)>0,故gx)在(0，+o)上单调递增，所以f(2)2>f(1)1>rc2)12, 即f(2)2>1)>2faws4alco1(012,即c<a<b 2.已知a<5,且ae5=5e,b<4且be4=4e,c<3且ce3=3e,则() Ac<b<a B.6<c<a C.a<c<b Da<b<c 【解析】三个等式可变形为e55=eaa,e44=ebb,e33=ecc.:ae5-5ea,a<5,∴.a>0 同理b>0,c>0.构造函数x)=x,x>0,则fx9)=ex(x-1)x2 当0<x<1时，fx)<0,x)单调递减：当x>1时，f(x)>0,fx)单调递增 5)=a),而0<a<5,故0<a<1 同理，0<b<1,0<c<1,4)=b),3)=c).5)>(4)>3): a)>b)>c,0<a<b<c<1 3.若0<<x<1,则() A.e'-e1>Inx2-Inx1 B.e*2-e1<Inx2-In x Cx2e1>xe2 D2e1<x1e'2 【解析】构造函数x)=c-lx,x∈(O,I),fx)=e一x在(O,1)上有零点， x)在(0,1)上有一个极值点， )在(0,1)上不单调，无法判断x)与x)的大小，故A,B错误： 令gx)=er,x∈(0,1)，∴g'(x)=ex(x-1)x2<0,∴gx)在(0,1)上单调递减， 又x2>x1.1x1>ex2x2,故选C ab 4.已知a>b>0,且a=b,则( A0<b<1 B.0<a<1 C.I<b<e D.a>e 【解析】a=b两边同取自然对数得maa=nbb,设fx)=mc,由f(x)=I一x2, 7 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 学科网 学种闪票创，让学司更容易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 令fr)>0,解得0<x<e,令fx)<0,解得x>e fx)在(O,c)上单调递增，在(e,+o)上单调递减，∴x)在x=e处取得最大值e)=le, 在(0，e)内，函数x有唯一的零点x=1,在(e,十o)内，x)>0, 又：a>b>0且a)=fb)>0,1<b<e,a>e,故选CD 题型五通过数值构造具体函数 1.设a=999n1001,b=1000n1000,c=1001n999,则下列选项正确的是() A.a>c>b B.c>b>a C.b>ac D.a-b>c 【解析】设fx)=(1000一x)n(1000+x,x∈[-1,1]， 当x∈[-1,1]时，f国)=-h1000十到+8器0，所以函数/)单调递减，。 所以f(-1)=1001ln999>f(0)=1000ln1000>f(1)=999n1001,所以>b>a故选B 2.已知a,b,ce(佳，+o),且要=-5na,毕=-3nb,婴=-2nc,则() A.b<c<a B.c<b<a C.a<c<b D.a<b<c 【解析】设函数f=xln,fx)=1十nx,当x∈（吉，+oo)时，f'>0,此时fx)单调递塔， 当x∈(0，)时，fe0,此时f)单调递减，由题9=一5ha,罗=一3hb,g=一2nc 得ana=青ln青，blnb=号n青，clnc=n专=ln寺 因为字专，所以结ln言守n京ln寺，则alna>clnc>blnb,且a,b,ce(告，+o∞) 所以a>c>b故选A 3.实数e3,3π，元3的大小关系为 【解析】设x)=m,则fx)=1一mx2 当x>e时，f)<0,所以x)在(e,+o)上单调递减， 所以3)>)，即m33>n,所以n3>3n,所以h3>nx3,即3>元 因为y=x3在(0，十oo)上单调递增，e<元，所以e3<π3，所以e3<π3<3 4.己知a=m22,b=1e,c=2lm39,则a,b,c的大小关系为 【解析】令x)=1mx,则fx)=1一inax2, 当x∈(0，e)时，fx)>0,x)单调递增：当x∈(e,十o)时，fx)<0,x)单调递减 a=m22=2lm24=n44=f4),b=1e=lmee=八c),c=2m39=m99=f9), e)>4)>9),即c<a<b 5若a=n33,b=e1,c=5)2r5),则实数a,b,c的大小关系为 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 6学科网 学种闪票创，让学司更容易！ .CO JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【解析】令x)=mx,则fx)=1一nx2, 故当x∈(0，e)时，fx)>0:当xe(e,+o)时，fx)<0 而a=n33=m33=f3),b=e-1=1mee=fe),c==f25),且e<3<25,故b>a>c 【专题训练】 一、单项选择题 1.已知x)是定义在R上的偶函数，fx)是x)的导函数，当x之0时，f)一2x0,且1)=3，则x)>x2+2 的解集是() A.(-1,0)U(1,+o)B.(-m,-1)U(1,+o)C.(-1,0)U(0,1)D.(-o,-1)U(0,1D 【解析】令g心)=x)一x2,因为x)是偶函数，则g(一x)=几一x)一（一x)2=gx 所以函数gx)也是偶函数，g'x)=/r)一2x,因为当x20时，g'(ax)=fx)-2>0, 所以函数gx)在(0，十m)上单调递增，不等式fx)x2+2即为不等式g(x少2， 由1)=3，得g(1)=2,所以gx)g(1),所以中1，解得x>1或x<-1, 所以xx2+2的解集是(-o,一1)U(1,十o). 2.己知函数是定义在R上的偶函数，若对任意的x>0,都有2x)十fx)>0成立，则() A4抓-2)93) B.4-2)>93) C.23)>3-2) D31-3)2-2) 【解析】根据题意，令gx)=x2x),gx)=2xx)十xfx), 又对任意的x>0,都有2f)十fxP0成立， 则当>0时，有gx)=2x)十x)0恒成立，即gx)在(0，十o)上单调递增， 又由x)是定义在R上的偶函数，则有g(一x)=(一x)(一x)=x)=g): 即gx)也为偶函数，则有g(一2)=g(2),且g(2)g(3),则有g(一2)g3),即有4机一2)93) 3.函数x)的定义域为R,一1)=2，对任意x∈R,f(x)>2,则x)>2x+4的解集为() A(-1,1) B.(-1,+o C.(-0,-1) D.(-0,十o） 【解析】，x)>2x十4，.)-2x一4>0，令gx)=x)-2-4,gx)=fx)一2>0， ∴gx)为R上的增函数，又：g(-1)=-1)-2(-1)-4=0.∴由gx>g(-1)=0得x>一1 4.已知a,B∈一f(2),且asin a一sin>0,则下列结论正确的是() A.a B.a+0 C.la D.la- 【解析】令x)=xsinx,xe-f2),则一x)=一xsin(一x)=sinx=x) 则x)为偶函数，又fx)=sinx十xcosx,当x∈0，f2)时，f(x20, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 9 6学科网 学种闪票创，让学司更容易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 所以x)在区间0，fπ2)上单调递增，x)在区间一f(π2)，0)上单调递减， 又asin a一sin0,即aP),所以alA 5.定义在R上的函数fx)的导函数为fx),若对任意实数x,有x>f(x),且x)+2024为奇函数，则不等 式x)十2024e<0的解集是() A.(-o,0) B.(-,n2024) C.(0,+n) D.(2024,十o) 【解析】设ge)=f(x)ex,则g'c)=f()一fx)ex, 因为xPfx),所以g(x)0,所以gx)为定义在R上的减函数， 因为x)十2024为奇函数，所以0)+2024=0,0)=-2024，g(0)=0)e0=一2024， fx)+2024e0,即f(x)cx<-2024,即gx)g(0),故x>0 6.已知函数y=x)对任意的x∈avs4acol(-f2)满足fx)cosx一x)sin0(其中fx)是函数fx)的导函 数)，则下列不等式成立的是() A.favs4 alcol(-fx3)>2favs4al小col(-fπ4) B.Aalvs44 alcol0fπ3)<2faws4 alcol(0fπ4) C.2f0)aws4allcol(f(3)) D.2f0)-Aaws4alcol(f(4)) 【解析】构造函数gr)=x)cosx,x∈avs4 alcol(一fππ2)，则g(x)=fx)cosx一x)sin>0, 所以gx)在avs4 alcol(-f(2)上单调递增，则gavs4 alcol(-fx3)gavs4 alcol(-f4),所以f aws4alcol(-\f(3))cosaws4alcol(-\f(3)aws4alcol(-\f(4))cosalvs4alcol(-f(4)), 即favs4 alcol(-fπ3)2favs4 alcol(-fπ4).故A不正确： 则glawvs.4 alcol(f(3)glalvs-4al小colfπ4)，所以faws4 alcol0fx3)cos元3>faws.4 alco10fπ4)cos元4，即 faws4 alcol(f(π3)P2favs4 alcol(fπ4)，故B不正确： 则g(O)gaws4 alcol(f(3),所以0)cos0 flalvs4 alco10f(π3)cosr3,即20)favs4 alcol(f(3),故C 正确： 则gO)gavs4 alcol(f(4),所以o)cos0faws4 alcol(0f4)cos元4，即2o)falvs4 alcol0f(π4)，故D 不正确 7.已知定义在R上的函数x)的导函数为fx),且3x)十f(x)0,n2)=1,则不等式e3fxP8的解集为() A.(-0,2) B.(-o,1n2) C.(n2,+o) D.(2,+o) 【解析】令g)=ex),函数gx)的定义域为R,因为3)十f)0, 所以gx)=[ex]'=e3[3x)+fx0,故g(x)为减函数，又因为fn2)=1, 所以gn2)=e2n2)=8,所以不等式efx8可化为gx>gn2),所以xn2, 所以ex)>8的解集为一o,ln2) 8.己知0xyπ，且esinx=e'sin y,其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是() A.cos x+cosy<0 B.cos x+cosy>0 C.cos sin y D.sinx>sin y ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 10