第9节 函数的图象-2025年新高考数学一轮复习知识梳理+真题呈现+专项训练

第二章　函数 第9节 函数的图象 【知识梳理】 1．利用描点法作函数图象的步骤：____________、____________、____________. 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y＝f(x)y＝________. ②y＝f(x)y＝________. ③y＝f(x)y＝________. ④y＝ax (a>0，且a≠1)y＝________________. (3)伸缩变换 ①y＝f (x)的图象 ＝__________的图象； ②y＝f (x)的图象 y＝__________的图象． (4)翻折变换 ①y＝f (x)的图象y＝____________的图象； ②y＝f (x)的图象y＝____________的图象. 【真题呈现】 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A．B．C． D． 2．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 3．（2022·天津·高考真题）函数的图像为（    ） A．B．C． D． 4．（2022·全国·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【专项训练】 一、单选题 1．函数的部分图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   2．已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 3．小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   4．已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（    ）． A． B． C． D． 5．已知函数的图象与直线有4个不同的交点，则这4个交点的横坐标之和为（    ）． A．10 B．11 C．12 D．13 6．已知函数若函数图象与直线有且仅有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．设函数，则函数的零点的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．已知函数，若关于的方程有4个不同的实根、，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数与的图象关于坐标原点对称，则函数与的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．如图所示的函数图象，对应的函数解析式不可能是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，，则（    ） A．若有2个不同的零点，则 B．当时，有5个不同的零点 C．若有4个不同的零点，则的取值范围是 D．若有4个不同的零点，则的取值范围是 三、填空题 12．定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，且当时，.当时，函数与图象的交点个数为 . 13．已知函数，若、、互不相等，且，则的取值范围是 ． 14．已知函数，则与的图象交点的纵坐标之和为 ． 四、解答题 15．作出下列函数的图像： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 16．已知函数是偶函数，当时，． (1)求的值，并作出函数在区间上的大致图象； (2)根据定义证明在区间上单调递增． 17．已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若直线与的图象所围成的三角形的面积为，求实数的值． 18．已知函数． （1）将函数的图象向下平移1个单位，再向左平移2个单位后得到函数，设函数的反函数为，求的解析式； （2）对于定义在上的函数，若不等式恒成立，求的取值范围（注：此问中的与（1）中的解析式相同）． 19．若存在常数k，b使得函数与对于给定区间上的任意实数x，均有，则称是与的隔离直线．已知函数，． (1)在实数范围内解不等式：； (2)当时，写出一条与的隔离直线的方程并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章　函数 第9节 函数的图象 【知识梳理】 1．利用描点法作函数图象的步骤：列表、描点、连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y＝f(x)y＝－f(x)． ②y＝f(x)y＝f(－x)． ③y＝f(x)y＝－f(－x)． ④y＝ax (a>0，且a≠1)y＝logax(a>0，且a≠1)． (3)翻折变换 ①y＝f(x)y＝|f(x)|. ②y＝f(x)y＝f(|x|)． 【常用结论】 1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换． 2. 函数图象自身的对称关系 (1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． (2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)． 3．两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称． (2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称． 【真题呈现】 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【解析】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D.故选：B. 2．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【解析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除；故选：D 3．（2022·天津·高考真题）函数的图像为（    ） A． B． C． D． 【解析】函数的定义域为，且， 函数为奇函数，A选项错误； 又当时，，C选项错误； 当时，函数单调递增，故B选项错误； 故选：D. 4．（2022·全国·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ） A． B． C． D． 【解析】设，则，故排除B; 设，当时，， 所以，故排除C; 设，则，故排除D. 故选：A. 5．（2022·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【解析】令， 则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C.故选：A. 【专项训练】 一、单选题 1．函数的部分图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【解析】因为，所以为偶函数， 故C，D项错误；又，故B项错误．故选：A． 2．已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【解析】对于B，当时，，易知，， 则，不满足图象，故B错误； 对于C，，定义域为， 又，则的图象关于轴对称，故C错误； 对于D，当时，， 由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误； 检验选项A，满足图中性质，故A正确.故选：A. 3．小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【解析】由题图知，小李从点到点的过程中，的值先增后减， 从点到点的过程中，的值先减后增， 从点到点的过程中，的值先增后减，从点到点的过程中，的值先减后增， 所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即的值）的增减性为：增、减、增、减、增，D选项合乎题意，故选：D. 4．已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（    ）． A． B． C． D． 【解析】易知是偶函数， 是奇函数，给出的函数图象对应的是奇函数，A. ，定义域为R， 又，所以是奇函数，符合题意，故正确； B. ，，不符合图象，故错误； C. ，定义域为R， 但，故函数是非奇非偶函数，故错误； D. ，定义域为R， 但，故函数是非奇非偶函数，故错误， 故选：A 5．已知函数的图象与直线有4个不同的交点，则这4个交点的横坐标之和为（    ）． A．10 B．11 C．12 D．13 【解析】函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称，设直线与的图象从左到右的四个交点的横坐标分别为， 则，故，故选：B. 6．已知函数若函数图象与直线有且仅有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】将的图象向下平移1个单位得到，再将的图象的轴下方的图象以轴为对称轴翻转至轴上方可得到， 将的图象向右平移1个单位得到，所以的图象如图所示，    由图可知，当时，函数与图象有且仅有三个不同的交点. 故选：B. 7．设函数，则函数的零点的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】由，可得 令可得，即， 在坐标系中分别作出函数和的图象，如图： 因为，，，所以在上两函数的图象有两个交点；同理，，所以在上两函数的图象有两个交点； ，所以在上两函数的图象没有交点； 当时，恒有，所以两函数的图象无交点， 所以由图象可知两个函数的交点个数为6个，零点个数为6个，故选：C 8．已知函数，若关于的方程有4个不同的实根、，且，则（    ） A． B． C． D． 【解析】作出函数和函数的图象可知， 假设两个函数的图象共有4个交点， 且横坐标分别为， 由，得，则有， 所以，所以． 由于二次函数图象的对称轴为直线， 则点两点关于直线对称，所以．则． 令，解得或，所以， 所以．故选：A 二、多选题 9．已知函数与的图象关于坐标原点对称，则函数与的大致图象可能是（    ） A．B．C． D． 【解析】在函数的图象上任取点，则点在的图象上， 即，于是对任意成立，则， 当时，函数是R上的减函数，，则是上的增函数，C符合，D不符合； 当时，函数是R上的增函数，，则是上的减函数，A符合，B不符合. 故选：AC 10．如图所示的函数图象，对应的函数解析式不可能是（    ） A． B． C． D． 【解析】由图象可知当时，， 而A中函数当时，， B中函数当时，，故A和B不可能； C中函数的定义域是，与图象不符，故C不可能. 对于，当时，，当时，， 当时，，所以D符合，故选：ABC. 11．已知函数，，则（    ） A．若有2个不同的零点，则 B．当时，有5个不同的零点 C．若有4个不同的零点，则的取值范围是 D．若有4个不同的零点，则的取值范围是 【解析】由函数，可得， 作出的图象，如图所示． 对于A中，由，可得，若有2个不同的零点， 结合图象知或，所以A错误； 对于B中，当时，由，可得， 令，则有，可得， 结合图像知，有3个不等实根，有2个不等实根，没有实根， 所以有5个不同的零点，所以B正确； 对于C中，若有4个不同的零点， 则，且，则， 由二次函数的对称性得，则， 结合B知，所以，所以的取值范围为，所以C正确； 对于D中，由，其中， 由对勾函数的性质，可得在上为单调递减函数，可得， 所以的取值范围为，所以D正确． 故选：BCD． 三、填空题 12．定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，且当时，.当时，函数与图象的交点个数为 . 【解析】因为函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，所以，，则的图象关于直线对称，也关于点对称，所以，，故有，则，从而，，即函数是周期为8的周期函数.根据函数的对称性和周期性，可以画出函数和在上的图象（如图）. 由图可知与的图象在上有4个交点.故答案为：4. 13．已知函数，若、、互不相等，且，则的取值范围是 ． 【解析】不妨设，由函数，且，可作图如下： 根据正弦函数的对称性，可知当时，关于直线对称，则； 由图可知，，则.∴．故答案为：. 14．已知函数，则与的图象交点的纵坐标之和为 ． 【解析】对于，可以把的图象看作： 由的图象向上平移1个单位长度得到， 而的图象可看作由的图象向右平移1个单位长度得到； 对于的图象可看作由 的图象向上平移1个单位长度得到， 而的图象可看作由的图象向右平移1个单位长度得到． 易知与都为奇函数， 则易知与的图象共有两个关于原点对称的交点，且交点的纵坐标之和为0． 因为将函数图象向右平移不改变与两函数图象交点处函数值的大小， 所以与的图象交点的纵坐标之和为0， 又将函数图象向上平移1个单位长度会使得原交点处的函数值都增加1， 则与的图象的两个交点的纵坐标与与的图象两个交点的纵坐标相比都增加1，故与的图象交点的纵坐标之和为2．故答案为：2 四、解答题 15．作出下列函数的图像： (1) (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 【解析】（1）函数，则其图象可看作由反比例函数的图象， 先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其图象如图示： （2），其图象如图： （3）设，其图象如图： （4）设，其图象如图： （5）设，其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到，而，其图象可由的图象保留时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到，则图象如图示： （6）的图象可由函数的图象保留x轴上方的部分不变， 将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，图象如图： （7）设，则其图象可由的图象向左平移1个单位， 再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图： 16．已知函数是偶函数，当时，． (1)求的值，并作出函数在区间上的大致图象； (2)根据定义证明在区间上单调递增． 【解析】（1）因为函数是偶函数，所以， 作出图象如图所示： （2），且，有 ， 由得，所以，即， 所以函数在区间上单调递增. 17．已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若直线与的图象所围成的三角形的面积为，求实数的值． 【解析】（1）因为， 所以，即或或， 解得或或， 综上可得不等式的解集为. （2）直线恒过点， 如图作出直线和函数的图象如下， 记与轴的交点为，，，则， 设直线和函数的另一个交点为， 则，所以，解得， 则，所以，代入，即，解得. 18．已知函数． （1）将函数的图象向下平移1个单位，再向左平移2个单位后得到函数，设函数的反函数为，求的解析式； （2）对于定义在上的函数，若不等式恒成立，求的取值范围（注：此问中的与（1）中的解析式相同）． 【解析】（1）将函数的图象向下平移1个单位得到，再向左平移个单位得到， 因为指数函数的反函数是对数函数，故； （2）由于的定义域为，对于来说，由，得到． 由不等式恒成立， 化简得．令，， 因为和在上都单调递增，所以函数在上为增函数， 因此；所以，为使原不等式恒成立，只需． 即的取值范围为. 19．若存在常数k，b使得函数与对于给定区间上的任意实数x，均有，则称是与的隔离直线．已知函数，． (1)在实数范围内解不等式：； (2)当时，写出一条与的隔离直线的方程并证明． 【解析】（1）由，即，解得或． 在同一个平面直角坐标系中作出函数的图象，如图， 由图可知，当时，函数单调递减，单调递增，且， 所以； 当时，函数单调递减，单调递增，且， 则； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 单调递增，且，所以； 当时，函数单调递增，单调递增，且，， 所以不等式的解集为. （2）一条隔离直线为． 证明：由（1）知，令，由解得， 当时，，即有公共点， 设与存在隔离直线函数， 则点在隔离直线函数上，则，即，所以； 若当时有，即， 则在上恒成立，即， 由于，故此时只有时上式才成立，则. 下面证明，令， 即，故，当且仅当即时，等号成立， 所以，即为与的隔离直线函数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$