第8节 对数与对数函数-2025年新高考数学一轮复习知识梳理+真题呈现+专项训练

第二章　函数 第8节　对数与对数函数 【知识梳理】 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作______，其中_____叫做对数的底数，_____叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作________． 以e为底的对数叫做自然对数，记作 ________. 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝__，logaa＝__(a＞0，且a≠1)． (2)对数的运算性质： 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝__________； ②loga＝__________； ③logaMn＝____________(n∈R)． (3)对数恒等式：alogaN＝__(a>0，且a≠1，N>0)． (4)换底公式：logab＝. 3．对数函数的图象与性质 (1)一般地，函数______(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是__． (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 值域 性质 过定点____________，即x＝1时，y＝0 当x>1时，___________； 当0<x<1时，________ 当x>1时，___________； 当0<x<1时，________ ________函数 ________函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数____________(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称． 【真题呈现】 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 2．（2024·北京·高考真题）已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·天津·高考真题）化简的值为（         ） A．1 B．2 C．4 D．6 6．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（      ） A． B． C． D． 7．（2022·浙江·高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 8．（2022·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ） A．当，时，二氧化碳处于液态 B．当，时，二氧化碳处于气态 C．当，时，二氧化碳处于超临界状态 D．当，时，二氧化碳处于超临界状态 10．（2022·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 三、填空题 12．（2024·全国·高考真题）已知，，则 ． 13．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 14．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 【专项训练】 一、单选题 1．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．函数f(x)＝的定义域为（    ） A．(－∞，3] B．(1，＋∞) C．(1，3] D．[3，＋∞) 3．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．函数的大致图象为（    ） A．B．C． D． 7．若对任意的实数，不等（）恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 10．若在区间上递减，则的取值可以是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 11．已知函数的零点为的零点为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．若，则 . 13．函数的单调递增区间是 ． 14．设，若函数的值域为，则的取值范围是 . 四、解答题 15．（1）求值：； （2）设，，试用，表示. 16．已知函数 (1)若时，求该函数的值域； (2)若对恒成立，求的取值范围. 17．已知函数 (1)若的定义域为，求的取值范围. (2)若的值域为，求的取值范围. 18．已知函数． (1)若，求方程的解集； (2)若函数的最小值为，求实数a的值． 19．我们一般使用分贝（符号是）来表示声音强度（瓦/平方米，符号是）的等级，强度为的声音对应的等级为，科学研究表明，它们满足关系：，其中为修正系数（常数），为普通人能听到的声音的最小强度（常数），清晨时风吹落叶的沙沙声其强度为，上学高峰时汽车川流不息声音强度达到，经某科技爱好者用分贝测试仪测得声音等级分别为和. (1)求与的值，并求当测得同学们早读声音等级为时，早读的声音强度； (2)某天上午体育课进行了测试，同学们非常疲倦，午间教室非常安静，比平常降低了，求平常中午的声音强度是这天中午声音强度的多少倍？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章　函数 第8节　对数与对数函数 【知识梳理】 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作 lg N. 以e为底的对数叫做自然对数，记作 ln N. 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1(a＞0，且a≠1)． (2)对数的运算性质： 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)． (3)对数恒等式：alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)． (4)换底公式：logab＝. 3．对数函数的图象与性质 (1)一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 增函数 减函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 【常用结论】 1．logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，＝logab(a>0，且a≠1，b>0) 2．如图，给出4个对数函数的图象． 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 【真题呈现】 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【解析】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知，此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故选：C. 2．（2024·北京·高考真题）已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故A正确，B错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误， 故选：A. 3．（2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【解析】因为在上递增，且，所以， 所以，即，因为在上递增，且， 所以，即，所以，故选：B 4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【解析】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 5．（2022·天津·高考真题）化简的值为（         ） A．1 B．2 C．4 D．6 【解析】原式， 故选：B 6．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（      ） A． B． C． D． 【解析】因为，故.故答案为：C. 7．（2022·浙江·高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【解析】因为，，即，所以． 故选：C. 8．（2022·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解析】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而， 所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 .故选：A. 9．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ） A．当，时，二氧化碳处于液态 B．当，时，二氧化碳处于气态 C．当，时，二氧化碳处于超临界状态 D．当，时，二氧化碳处于超临界状态 【解析】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误. 当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误. 当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误. 当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确. 故选：D 10．（2022·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【解析】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故，设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又，所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以，故选：C. 方法二：比较法 解： ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 故 二、多选题 11．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 【解析】由题意可知：， 对于选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：， 且，则， 即，可得，且，所以，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 12．（2024·全国·高考真题）已知，，则 ． 【解析】由题，整理得， 或，又，所以，故 13．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【解析】函数，所以. 14．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称， 若奇函数的有意义，则且，且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称，，解得， 由得，，，故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 ，， 函数为奇函数 ，， ， [方法三]： 因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为：；． 【专项训练】 一、单选题 1．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B错误； 对于C中，由，所以C错误； 对于D中，由，所以D错误． 故选：A 2．函数f(x)＝的定义域为（    ） A．(－∞，3] B．(1，＋∞) C．(1，3] D．[3，＋∞) 【解析】依题意log (x－1)＋1≥0，即log (x－1)≥－1，∴解得1<x≤3．故选C． 3．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【解析】函数的定义域为R， 令，则， 又在上单调递增，则， 则函数的值域为，故选：B 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【解析】，， ，则,故.故选：C. 5．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】函数是上的减函数， 欲使函数在区间上单调递增， 应有在区间上单调递减，且， 于是应有，即，解得.故选：D. 6．函数的大致图象为（    ） A．B．C． D． 【解析】依题意，，恒成立，即函数的定义域为R， 当时，，则，即，BC不满足； 当时，令，则， 令，求导得，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，，，D不满足，A满足.故选：A 7．若对任意的实数，不等（）恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】当时，要使得不等式有意义， 需要在恒成立，可得， 此时不等式恒成立等价于恒成立， 即.令，则，且， 所以. 因为在上单调递减， 所以，当时，取得最大值为1， 所以实数m的取值范围是.故选：C. 8．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解析】令，则， 所以由得，等号两边同除得， 整理得，令，则， 所以由得，等号两边同除得， 整理得，所以和是方程的根， 由解得， 又因为，均大于，且函数单调递减，所以，， 所以，故选：B 二、多选题 9．下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【解析】，A成立； ，B不成立； ，C成立； ，D不成立. 故选：AC 10．若在区间上递减，则的取值可以是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【解析】设，可知函数在上单调递减， 又函数在定义域内单调递增； 由复合函数单调性可知需满足，解得； 所以的取值可以是1或1.5.故选：AB 11．已知函数的零点为的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【解析】依题意，，， 则分别是直线与函数，图象交点的横坐标， 而函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称， 又直线垂直于直线，则点与点关于直线对称， 则，于是，，，BC正确，A错误； ，即，D错误. 故选：BC    三、填空题 12．若，则 . 【解析】由，可得，则. 13．函数的单调递增区间是 ． 【解析】由，得或． 函数的定义域为或． 令，该函数在上为减函数， 而函数为定义域内的减函数， 则函数的单调递增区间是． 14．设，若函数的值域为，则的取值范围是 . 【解析】作出函数图像， 根据题意，得， 令，解得或，所以结合 ①若，则不合题意，舍去， ②若，则，此时； ③若，则，此时； ④若，则， 综上所述，， 四、解答题 15．（1）求值：； （2）设，，试用，表示. 【解析】（1） . （2）. 16．已知函数 (1)若时，求该函数的值域； (2)若对恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）由题知，，，令， ， ，，所以该函数的值域为. （2）同（1）令， ，即恒成立， ， ，易知其在上单调递增， ，，的取值范围为. 17．已知函数 (1)若的定义域为，求的取值范围. (2)若的值域为，求的取值范围. 【解析】（1）由函数， 要使得的定义域为，即恒成立， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. （2）解：设，要使得的值域为，即， 当时，的值域为，此时， 所以函数的值域为，符合题意. 当时，要使得，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 18．已知函数． (1)若，求方程的解集； (2)若函数的最小值为，求实数a的值． 【解析】（1）， 当时，，则即，整理得，解得或，则或. 所以方程的解集为. （2），，令，， 则，，对称轴为， 当即时，，解得，不合题意舍去； 当即时，，解得，不合题意舍去； 当即时，，解得. 所以实数的值为. 19．我们一般使用分贝（符号是）来表示声音强度（瓦/平方米，符号是）的等级，强度为的声音对应的等级为，科学研究表明，它们满足关系：，其中为修正系数（常数），为普通人能听到的声音的最小强度（常数），清晨时风吹落叶的沙沙声其强度为，上学高峰时汽车川流不息声音强度达到，经某科技爱好者用分贝测试仪测得声音等级分别为和. (1)求与的值，并求当测得同学们早读声音等级为时，早读的声音强度； (2)某天上午体育课进行了测试，同学们非常疲倦，午间教室非常安静，比平常降低了，求平常中午的声音强度是这天中午声音强度的多少倍？ 【解析】（1）当时，，当，， ，， 两式解得，即， ， 即，所以早读声音强度为； （2）设平时中午的声音强度为，今天中午的声音强度为， ，，即， ，解得，所以平时中午的声音强度是今天的倍. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$