专题08 空间的位置关系（思维导图+8重点+7题型+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019必修第四册）

专题08 空间的位置关系 知识点1 ：平面的基本事实与推论 1.平面的基本性质 (1)基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)． (2) 基本事实2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)． (3) 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 知识点2：直线的平行关系 1.平行直线：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2.符号表示： 3.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行且方向相同，那么这两个角相等． 知识点3：异面直线 1.定义：空间中的两条直线，既不平行，也不相交，称这两条直线异面 2.异面直线的判定方法： ①定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线； ②符号表示：若则直线与是异面直线. 3.空间四边形 知识点4：直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系，有且只有三种 ①直线在平面内——有无数个公共点； ②直线与平面相交——有且只有一个公共点； ③直线与平面平行——没有公共点． 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． ④符号表示：直线l在平面α内，记为l⊂α；直线l与平面α相交于点M，记为l∩α＝M；直线l与平面α平行，记为l∥α． ⑤图示：直线l在平面α内，如图a所示；直线l与平面α相交于点M，如图b所示；直线l与平面α平行，如图c所示． 知识点5：直线与平面平行 1.直线与平面平行的判定定理 ①定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. ②符号语言：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α；即： ③作用：证明直线与平面平行 2.直线与平面平行的性质定理 ①定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. ②符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b ③作用：证明两直线平行. 知识点6：平面与平面平行 1.判定定理 （1）定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 （2）符号语言：a⊂β，b⊂β， a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β （3）作用：证明两个平面平行 2.性质定理 （1）定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. （2）符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒__a∥b__ （3）作用：证明两直线平行 知识点7 ：直线与平面垂直 1.异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．若异面直线所成的角是直角，则称异面直线互相垂直，记作 ②范围：. 2. 直线与平面垂直 1.直线与平面垂直的判定定理 （1）定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 （2）符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α， a∩b＝P⇒l⊥α （3）作用：判断直线与平面垂直. 2. 直线与平面垂直的性质定理 （1）定理：垂直于同一个平面的两条直线平行 （2）符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b （3）作用：证明两直线平行. 知识点8 ：平面与平面垂直 1.二面角 （1）有关概念：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． （2）平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角. 如图，OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角. （3）范围：[0，π] 2.平面与平面垂直的判定定理 （1）定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 （2）符号语言：l⊥α，l⊂β⇒α⊥β （3）作用：判断两平面垂直 3. 平面与平面垂直的性质定理 （1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 （2）符号语言：α⊥β，l⊂β，α∩β＝a，l⊥a⇒l⊥α （3）作用：证明直线与平面垂直 题型归纳 【题型01 平面的基本事实与推论】 满分技法 1.学习过程中要训练用准确规范的语言描述几何图形的位置关系． 2.注意一些文字语言与符号语言的转换： A∈l，“点A在直线l上”，“直线l经过点A” a⊂α，“直线a在平面α内”，“平面α经过直线a”； a⊄α，“直线a在平面α外”． α∩β＝l，“两平面α与β相交于直线l”，“l是平面α与β的交线”； a∩b＝P，“两直线a，b相交于点P”，“P是直线a与直线b的交点”； A∈α，“点A在平面α内”，“平面α经过点A”． 1．（23-24高一下·广东广州·期中）如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点、线、面的位置关系，及其符号表示逐一判断即可. 【详解】点和面、点和线的关系用“”或“”表示，故A错误； 线面关系用“”或“”表示，故BD错误； 根据图形有，C正确. 故选：C 2．（23-24高二上·青海海东·开学考试）下列命题正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．四条首尾相连的线段确定一个平面 C．两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内 D．空间两两相交的三条直线在同一平面内 【答案】C 【分析】根据确定平面的条件可对每一个选项进行判断. 【详解】对于选项A：如果三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误； 对于选项B：例如三棱锥，可以得到四条首尾相连的线段，但不是平面图形，故B错误； 对于选项C：因为两条平行直线确定一个平面， 若一条直线与这两条平行直线都相交，则这条直线就在这两条平行直线确定的一个平面内， 所以这三条直线在同一平面内，故C正确； 对于选项D：例如三棱锥三条侧棱，可以得到两两相交的三条直线，但这三条直线不共面，故D错误. 故选：C 3．（多选）（2024·吉林长春·模拟预测）下列基本事实叙述正确的是（   ） A．经过两条相交直线，有且只有一个平面 B．经过两条平行直线，有且只有一个平面 C．经过三点，有且只有一个平面 D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面 【答案】AB 【分析】根据基本事实以及推论即可逐项判断. 【详解】根据基本事实以及推论，易知A，B正确； 对于C项，若三点共线，经过三点的平面有无数多个，故C错误； 对于D，若这个点在直线外，则确定一个平面，若这个点在直线上，可有无数平面，故D不正确； 故选：AB 【题型02空间直线的平行问题】 满分技法 1.求证两直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点． 2.求角或证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，这是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，下列命题正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将正方体的展开图重新组合成正方体，对选项逐个分析，判断易得只有A选项正确. 【详解】如图所示，将展开图重新组合成正方体. 显然. 因此A选项正确.    由图易得，显然与所成角非直角，因此异面直线与所成角也非直角，所以不成立. 因此B、C选项不正确. 由图易得，显然与相交，因此不成立. 因此D选项不正确. 故选：A 5．（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知直线a，b为异面直线，A，B，C为直线a上三点，D，E，F为直线b上三点，A′，B′，C′，D′，E′分别为的中点．若，则 . 【答案】 【分析】根据三角形中位线的性质，平行公理及等角定理可得结果. 【详解】因为A′，B′分别是的中点，所以，同理， 所以,又的两边和的两边的方向都相同， 根据等角定理有 故答案为：. 【题型03 异面直线及其所成的角】 满分技法 求异面直线所成的角的一般步骤为： (1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线． (2)证明——证明所作出的角等于要求的角． (3)计算——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． (4)结论——设由(3)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ为所求． 6．（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记的中点为，连接，在等腰三角形中即可得解. 【详解】记的中点为，连接， 因为为棱的中点，所以， 易知， 所以为等腰三角形，为锐角， 所以即为异面直线与所成角， 记的中点为，则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 7．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）三棱柱中，、、分别是、、中点，则下列直线中与直线异面的直线为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】连接，即可证明且，从而判断A、C，观察可判断D，根据异面直线的定义判断B. 【详解】如图，连接，则且，又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以，故C错误； 又，，所以，所以、、、四点共线， 即直线与直线共面，故A错误； 显然直线与直线均包含于平面，故D错误； 因为，，，又平面，所以直线与直线异面，故B正确. 故选：B ． 8．（多选）（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体之后，下列结论正确的有（   ） A． B．与异面 C．与异面 D． 【答案】AC 【分析】可画出展开图对应的立体图形，根据图形即可判断每个选项的正误，从而得出正确的选项. 【详解】根据正方体的展开图画出正方体如图所示： 可以看出：，与相交，与异面，相交. 故选：AC. 9．（23-24高一下·吉林长春·期中）在正方体中，下列结论正确的有（    ） A．和所成的角是 B．AC和所成的角是 C．和所成的角是 D．和所成的角是 【答案】AC 【分析】对A，根据线面垂直的性质即可判断；对BCD，通过平移将异面直线放置于一个平面内，再求出角的大小即可. 【详解】对A，在正方体中，底面底面， 所以，所以和所成的角是，所以A正确； 对B，因为，所以和所成的角等于与所成的角， 正方体中，与所成的角为，即和所成的角是，所以B不正确； 对C，正方体中，因为，，则四边形为平行四边形， 所以，而，所以和所成的角是，所以C正确； 对D，在正方体中，因为，，则四边形为平行四边形，则， 所以和所成的角等于与所成的角， 设正方体棱长为，则，则 为等边三角形，所以与所成的角为， 所以和所成的角是，所以D不正确. 故选：AC. 10．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，若，则异面直线，所成角为 ． 【答案】 【分析】取的中点，利用异面直线所成角的定义求解即得. 【详解】在四面体中，取的中点，连接， 由M、N分别为，的中点，得， 则是异面直线AC与BD所成的角或其补角， 显然，而，有， 于是， 所以异面直线AC与BD所成的角是. 故答案为： 【题型04直线与平面平行问题】 满分技法 1.线面平行判定定理应用的误区 (1)条件不全，最易忘记的条件是a⊄α与b⊂α． (2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线． 2．判定直线与平面平行的两类方法 (1)用定义 ①用反证法说明直线与平面没有公共点； ②若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线都与另一个平面无公共点，由此可得线面平行． (2)用判定定理 设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，注意说明已知直线不在平面内． 3.线面平行性质定理的应用： （1）已知线面平行，一般直接考虑用性质，利用构造法找或作出经过直线的平面与已知平面相交得交线． （2）要证线线平行，可把它们转化为线面平行． 4.转化思想是应用：（1）线线平行与线面平行可以相互转化：线线平行线面平行 （2）要证线面平行，可在平面内找(或作)出一条与已知直线平行的直线，作图的依据是线面平行的性质定理； （3）已知线面平行，可直接找(或作)出经过已知直线且与已知平面平行的平面，则两平面的交线与已知直线平行，因此，线面平行的性质定理是解题思考的突破口． 11．（2024·内蒙古·三模）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，利用线面平行的判定定理与性质定理，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当时，可能在内或者内，故不能推出且，所以充分性不成立； 当且时，设存在直线，，且， 因为，所以，根据直线与平面平行的性质定理，可知， 所以，即必要性成立，故“”是“且”的必要不充分条件. 故选：C. 12．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在空间四边形中，分别为的中点，分别为上的点，且，则（    ） A．平面且为矩形 B．平面且为菱形 C．平面且为平行四边形 D．平面且为梯形 【答案】D 【分析】根据平行线等分线段定理、线面平行的判定定理、三角形中位线定理，结合矩形、梯形、菱形、平行四边形的定义进行判断即可. 【详解】因为分别为的中点， 所以且， 因为分别为上的点，且， 所以且， 所以且， 所以四边形为梯形， 又平面，平面， 所以平面. 故选：D. 13．（23-24高一下·山东烟台·阶段练习）如图，在三棱台中，从中取3个点确定平面，若平面平面，且，则所取的这3个点可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得出平面，由直线与平面平行的性质定理可知，当平面时，有，从而可得出正确选项. 【详解】由于几何体是三棱台，则，又平面，平面，所以，平面， 当平面，平面平面时，由直线与平面平行的性质定理可知，选项C符合要求. 故选：C. 14．（23-24高一下·广东惠州·期中）如图所示，在正四棱锥中，，求 (1)正四棱锥的表面积； (2)若为的中点，求证：平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，求出，进而求出正四棱锥的侧面积，进而求解； （2）连接交于，则，结合线面平面的判定定理即可证明. 【详解】（1）因为， 取的中点，连接， 由题意可得， 由题意可得， 所以正四棱锥的表面积为； （2）连接交于，由题意可得为的中点， 连接为的中点，在中，得， 平面，平面， 所以平面． 15．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）如图，四棱锥的底面为梯形，，，点在棱上，且． (1)证明：平面； (2)设平面与棱交于点，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，交于点，连接，通过证明与相似得即可； （2）先证明平面，再通过线面平行的性质得，得即可. 【详解】（1）连接，交于点，连接 因为，且， 则， 又， 则， 所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以， 则有，即． 【题型05平面与平面的平行问题】 满分技法 1.证明两个平面平行的方法有： ①用定义，此类题目常用反证法来完成证明； ②用判定定理或推论(即“线线平行⇒面面平行”)，通过线面平行来完成证明； ③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)； ④借助“传递性”来完成(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)． 2.面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意转化思想的应用． 16．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平面平面，所在的平面与，分别交于，，若，，，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，利用面面平行的性质，证得，得到，结合，即可求解. 【详解】因为平面平面，且平面平面，平面平面， 所以，所以， 可得，所以. 故选：C. 17．（21-22高一下·全国·课后作业）在正方体中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（ ）． A．截面与截面 B．截面与截面 C．截面与截面 D．截面与截面 【答案】B 【分析】根据面面平行的判定并结合图形判断各选项． 【详解】如图，选项A、B、C、D分别对应图1、图2、图3、图4． 对于A，与相交，截面与相交，A不是； 对于B， 截面与平行． 由，得四边形为平行四边形， 则，又平面，平面，则平面， 同理可证平面，，平面， 所以平面平面，B是； 对于C，截面与有公共点D，截面与相交，C不是； 对于D，与相交，截面与相交，D不是. 故选：B 18．（2024高一下·全国·专题练习）已知矩形所在的平面，且N，M，O分别为，，的中点．求证：平面平面 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，由线面平行的判定定理可证平面，平面，再由面面平行的判定定理，即可证明. 【详解】因为N，M，O分别为，，的中点，所以， 又因为平面，且平面， 所以平面， 同理平面， 又平面,平面,且， 所以平面平面． 19．（23-24高一下·福建三明·期中）如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)若为侧棱的中点，求证：平面； (3)设平面平面，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设，再证明即可； （2）根据线面平行与面面平行的判定证明平面平面即可； （3）根据线面平行的判定与性质证明即可. 【详解】（1）设，连接，因为是平行四边形，故， 又为侧棱的中点，故. 又平面，平面，故平面. （2）若为侧棱的中点，，则， 又平面，平面，故平面. 又，平面，平面，故平面. 又，平面，故平面平面. 又平面，故平面. （3）因为，平面，平面，故平面. 又平面平面，平面，故    20．（2022高三·河北·专题练习）如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求： (1)正四棱锥的表面积； (2)侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)； (2)在侧棱上存在一点，使平面，满足． 【分析】（1）根据棱锥的表面积的计算公式即可求出结果； （2）分析可得在侧棱上存在一点，使平面，满足．证得平面平面，根据面面平行的性质定理即可证出结论. 【详解】（1）正四棱锥中，，， 侧面的高， 正四棱锥的表面积． （2） 在侧棱上存在一点，使平面，满足． 理由如下： 取中点为，因为，则， 过作的平行线交于，连接，． 在中，有， 平面，平面，平面， 由于，． 又由于， 平面，平面，平面， ，平面平面，得平面， 【题型06直线与平面垂直问题】 满分技法 线面垂直的判定方法： (1)证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义． ②线面垂直的判定定理． ③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． ④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面． (2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤： ①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直； ②确定这个平面内的两条直线是相交的直线； ③根据判定定理得出结论． (3)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧： 证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理的逆定理等都是找线线垂直的方法． 21．（23-24高二下·湖南娄底·阶段练习）已知a，b表示两条直线，α表示平面，若，，则b与α的位置关系是（    ） A． B． C．b与α相交 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】以正方体中为载体，举例说明即可得结果． 【详解】在正方体中， ，平面，平面； ，平面，平面，即平面； ，平面，平面． 因为，，所以与平面的位置关系是或或与平面相交． 故选：D． 22．（多选）（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足，下列结论正确的是（    ） A． B．三棱锥的体积为定值 C． D．与所成的角为 【答案】ABC 【分析】对于A，可证得平面，进而有，所以在的中垂线上，可得，即可判断；对于B，由，而三棱锥的体积为定值，所以三棱锥的体积为定值，即可判断；对于C，可证得平面，则，即可判断；对于D，在正方体中，由是正三角形，可得与所成的角为，即可判断. 【详解】 对于A，在正方体中，连接，交于点，连接，则， 又平面，平面，所以， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为为的中点，所以在的中垂线上， 所以，故A正确； 对于B，在正方体中，平面，为棱上的动点， 所以点到平面的距离即为到平面的距离， 即为正方体的棱长，为定值，的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，又， 所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C，连接，则， 又在正方体中，平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以，故C正确； 对于D，连接， 在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，所以即为与所成的角， 又是正三角形，所以与所成的角为，故D错误. 故选：ABC. 23．（21-22高一·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，．求异面直线和的距离． 【答案】 【分析】作于点，利用长方体的性质结合线面垂直的性质定理可证明就是异面直线和的距离，解直角三角形即可求得答案. 【详解】如图，作于点， ∵在长方体中,平面，平面， ∴， ∴就是异面直线和的公垂线． ∴就是异面直线和的距离． 又在中， ，， , 故，∴异面直线和的距离是． 24．（23-24高一下·山东临沂·阶段练习）如图，在三棱锥中，底面，，，分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据三角形的中位线可得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）根据线面垂直的性质可得，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明. 【详解】（1）因为，分别是，的中点，所以， 而平面，平面， 所以平面； （2）因为底面，平面，所以， 又，且，，平面， 所以平面，又平面， 所以． 25．（23-24高一下·河南开封·阶段练习）如图．在正方形ABCD中，P，Q分别是AB，BC的中点，将分别沿PD，PQ，DQ折起，使A，B，C三点重合于点M． (1)证明：MD⊥平面MPQ (2)证明：点M在平面PDQ的投影为的垂心． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）在正方形ABCD中，，，折起后，可得，,即可证得平面MPQ； （2）点M在平面PDQ的投影为O，则平面PDQ，连接DO并延长DO与PQ交于点F，连接QO并延长QO与PD交于点E，可得平面MPD，进而证得平面MOQ，则，同理可证，所以点M在平面PDQ的投影为△PDQ的垂心． 【详解】（1）因为在正方形ABCD中，，， 所以折起后，重合为,可得，, 为，又平面MPQ，所以平面MPQ． （2）设点M在平面PDQ的投影为O，则平面PDQ， 得，． 连接DO并延长DO与PQ交于点F，连接QO并延长QO与PD交于点E， 因为在正方形ABCD中，，所以折起后，可得， 又因为，，所以平面MPD， 因为平面MPD，所以， 又且两直线在平面MOQ内， 所以平面MOQ， 因为平面MOQ，所以， 同理可证， 故点M在平面PDQ的投影为的垂心． 【题型07平面与平面垂直问题】 满分技法 1.面面垂直判定的两种方法与一个转化 (1)两种方法： ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． (2)一个转化： 在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 2．证面面垂直的思路 (1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面．这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑． (2)条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理，如已知两平面互相垂直，我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理 26．（21-22高二上·山东东营·期中）如图，已知大小为的二面角棱上有两点A，B，，，若，则AB的长度（ ） A．22 B．40 C． D． 【答案】C 【分析】过作且，连接，易得，通过线面垂直的判定定理可得平面，继而得到，由勾股定理即可求出答案. 【详解】解：过作且，连接，则四边形是平行四边形， 因为，所以平行四边形是矩形，因为，即， 而，则是二面角的平面角，即， 因为，即为正三角形，所以， 因为，即，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以在中，，所以， 故选：C 27．（23-24高三上·陕西汉中·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据勾股定理证得，根据直棱柱的性质和线面垂直的性质定理证得；再根据线面垂直的判定定理证得平面；最后根据面面垂直的判定定理即可证得平面平面. （2）根据三棱锥等体积及锥体体积公式可求解. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴. ∵在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC， ∴， 又因为，平面，平面， ∴平面， 又平面ACE， ∴平面平面． （2）由（1）知，平面， ∴AC为三棱锥的高，且. 由直三棱柱的性质可得：四边形为矩形. 因为，分别为，的中点， 所以，，， 则， ∴． 28．（22-23高二上·山东德州·阶段练习）如图，在三棱锥 中，，，，点 ，（ 与 ， 不重合）分别在棱 ， 上，且 ． (1)作过的平面平面，并证明； (2)求证：． 【答案】(1)作图过程见解析，证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）作，证明，证明平面，平面，再证明平面平面即可； （2）由面面垂直性质定理可得平面，再由线面垂直判定定理得到面，进而可得结论. 【详解】（1）在平面内，过点作，交CD于G，记过点的平面为， 因为平面，平面，所以平面， ，，且、、平面，， 因为平面，平面，平面， 因为平面，，所以平面∥平面 （2）平面平面，平面平面， 平面，， 平面．平面，， ，， ∴平面，平面， ． 29．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，，是等边三角形，，点是棱的中点．    (1)设平面与平面的交线为，求证：； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用线面平行的判定、性质推理即得. （2）取的中点，利用等腰、等边三角形性质，结合线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定推理即得. 【详解】（1）由，平面，平面，得平面， 又平面平面，平面，所以． （2）取的中点，连接，在中，，点是的中点，则，    由是等边三角形，点是的中点，得，又， 平面，则平面，又平面，于是， 又，，平面，则平面， 又平面，因此，由是等边三角形，点是棱的中点， 得，而，平面，则平面，又平面， 所以平面平面. 30．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知和都是直角三角形，，E，F分别是边AB，AD的中点，现将沿BD边折起到的位置，如图所示，使平面平面BCD． (1)求证：平面BCD； (2)求证：平面平面； (3)请你判断，与BD是否有可能垂直，做出判断并写明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)与BD不可能垂直，理由见解析 【分析】（1）证明：，即可证明平面BCD； （2）证明 平面，即可证明平面平面平面. （3）利用反证法进行证明. 【详解】（1）因为E、F分别是边AB、AD的中点， 所以 因为平面BCD，平面BCD， 所以平面BCD． （2）因为平面平面BCD， 平面平面， 平面BCD，， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面． 因为平面，所以平面平面． （3）结论：与BD不可能垂直． 理由如下： 假设， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以与矛盾，故与BD不可能垂直． 过关检测 1．（23-24高三上·河北·期末）已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】对于A，先判断，然后由线面平行判定定理可判断；对于BCD，通过正方体模型举反例即可判断. 【详解】对于A，因为，，所以， 又，，所以，A正确； 对于B，在正方体中， 记平面为，平面为，为，为， 则，，，但与不平行，B错误； 对于C，记平面为，平面为，为，为， 由正方体性质可知，平面，平面，所以， 则，，，但不垂直，C错误； 对于D，记为，为，平面为， 则，，但与不垂直，D错误. 故选：A 2．（23-24高一下·浙江衢州·期末）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】根据线面垂直的判定定理，性质定理，结合面面垂直的判定定理得到结果. 【详解】对于A，依题意有平面，平面，所以平面平面，A选项正确； 对于B，平面，平面，则有， 是圆的直径，为圆周上不与点重合的点，则有， ，平面，所以平面，B选项正确； 对于C，平面，平面，，又于， ，平面，所以平面， 平面，则，又于， 平面，，所以平面，C选项正确； 对于D，平面平面，平面，于， 若平面平面，则必有平面， 而平面，则必有， 因为平面，平面，则有， 又平面，则必有， 由于垂直于圆所在的平面，，则， 而于，则为中点， 因为是圆的直径，为圆周上不与点重合的点，，于， 则不是中点（否则会得到，但这与矛盾）， 不成立，所以平面平面的结论不正确，即D选项错误. 故选：D. 3．（多选）（23-24高一下·四川成都·期末）已知是两条不同的直线，是平面，若，则的关系可能为（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面 【答案】ABD 【分析】根据平行、垂直、相交和异面的性质即可求解. 【详解】如图，在正方体中， 若是平面，为，为， 此时与平行，故A正确； 在正方体中， 若是平面，为，为， 此时，故B正确； 若，不可能与垂直和相交，故C错误； 在正方体中， 若是平面，为，为， 此时与异面，故D正确. 故选：ABD. 4．（多选）（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在图示正方体中，O为BD中点，直线平面，下列说法正确的是（    ）． A．A，C，，四点共面 B．，M，O三点共线 C．平面 D．与BD异面 【答案】ABD 【分析】根据点与线、点与面、线与面的位置关系判断即可. 【详解】由正方体性质，，所以A，C，，四点共面，A正确； 直线交平面于点，平面，直线，又平面，平面， 为的中点，平面，底面为正方形，所以为的中点， 平面，且平面，又平面，且平面， 面与面相交，则，，在交线上，即三点共线，故选项正确； 平面平面，平面， 但，所以平面，C错误； 平面，面，， 所以与BD为异面直线，D正确. 故选：ABD 5．（多选）（23-24高二上·山东潍坊·期中）在正方体中，下列结论正确的是（    ） A． B．平面 C．直线与所成的角为60° D．二面角的大小为45° 【答案】ABCD 【分析】结合正方体的性质，由平面，线面垂直可判断选项A；由线面平行的判定定理可判断选项B；由异面直线所成角的定义可判断选项C；由二面角的平面角定义可判断选项D. 【详解】对于选项A，如图， 因为在正方体中，平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，故选项A正确； 对于选项B，如图， 因为在正方体中，，平面，平面，所以AC//平面，故选项B正确； 对于选项C，如图， 因为在正方体中，，所以或其补角即为直线与所成的角，由为正三角形可知，，故选项C正确； 对于选项D，如图， 因为在正方体中，面，平面， 所以，，又因为二面角的交线为， 所以为二面角的平面角，在等腰直角中，， 故选项D正确. 故选：ABCD. 6．（21-22高二上·上海浦东新·期末）在棱长为1的正方体中，直线AC与直线的距离是 ． 【答案】1 【分析】在正方体中，找到异面直线AC与直线的公垂线段，求其长度即可. 【详解】如图，取AC与的中点， 因为,为的中点，则，同理， 所以直线AC与直线的距离为线段长， 又，所以直线AC与直线的距离为1. 故答案为：1. 7．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）已知四棱锥，底面为矩形，，，分别是，，的中点.证明： (1)平面平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由线面平行的判定定理分别证明面，平面，进而由面面平行的判定定理即可得证； （2）由面面平行的性质即可得证. 【详解】（1）证明：因为，，分别是，，的中点，所以,， 又因为底面为矩形，所以,所以, 又平面,平面， 所以面. 又因为平面,平面， 所以平面. 因为,平面, 所以平面平面. （2）证明：因为平面，平面平面， 所以平面. 8．（23-24高一下·海南海口·阶段练习）如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)若为侧棱的中点，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接AC，，再证明即可； （2）根据线面平行与面面平行的判定证明平面平面即可； 【详解】（1）连接，设，因为是平行四边形， 所以是的中点，连接，又为侧棱的中点， 所以在中有：，又平面平面， 所以平面. （2）若为侧棱的中点，且由（1）知是的中点， 所以在中有：则，又平面平面， 所以平面， 由（1）知平面平面， 所以平面. 又平面， 所以平面平面，又平面，所以平面. 9．（2024高二上·福建·学业考试）如图，正方体的棱长为2，E为的中点. (1)求三棱锥的体积； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据三棱锥体积计算公式即可； （2）通过证明，得平面即可. 【详解】（1）由题意可知，为的中点，且正方体棱长为2， 所以三棱锥体积为： . （2）因为正方体中平面，且平面， 所以. 连接，又因为底面为正方形，所以. 因为，且平面， 所以平面， 又因为平面，所以. 10．（23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）如图，在直四棱柱中，底面是菱形，，，分别为棱，的中点，是棱上的一点，，是棱上的一点，． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取，的中点，，连接ME，，，，即可得到，再证明，从而得到，即可证明平面，再证明平面，即可得证； （2）连接，即可得到是等边三角形，则，再由，即可证明平面，从而得证. 【详解】（1）分别取，的中点，，连接ME，，，，如图所示． 因为M是AB的中点，E是CD的中点，易得四边形是平行四边形，所以． 因为G是棱上的一点，，H是棱AB上的一点，， 所以，，所以四边形是平行四边形，所以， 所以，又平面，平面，所以平面．           因为N是的中点，E是CD的中点，易得四边形是平行四边形，所以． 又G是棱上的一点，，所以G是的中点，又F是的中点， 所以，所以，又平面，平面，所以平面，           又，平面，所以平面平面； （2）连接，因为底面是菱形，，所以是等边三角形， 又E是CD的中点，所以，           因为直四棱柱，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以， 又，平面，所以平面，           又平面，所以平面平面．           原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 空间的位置关系 知识点1 ：平面的基本事实与推论 1.平面的基本性质 (1)基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)． (2) 基本事实2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)． (3) 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 知识点2：直线的平行关系 1.平行直线：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2.符号表示： 3.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行且方向相同，那么这两个角相等． 知识点3：异面直线 1.定义：空间中的两条直线，既不平行，也不相交，称这两条直线异面 2.异面直线的判定方法： ①定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线； ②符号表示：若则直线与是异面直线. 3.空间四边形 知识点4：直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系，有且只有三种 ①直线在平面内——有无数个公共点； ②直线与平面相交——有且只有一个公共点； ③直线与平面平行——没有公共点． 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． ④符号表示：直线l在平面α内，记为l⊂α；直线l与平面α相交于点M，记为l∩α＝M；直线l与平面α平行，记为l∥α． ⑤图示：直线l在平面α内，如图a所示；直线l与平面α相交于点M，如图b所示；直线l与平面α平行，如图c所示． 知识点5：直线与平面平行 1.直线与平面平行的判定定理 ①定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. ②符号语言：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α；即： ③作用：证明直线与平面平行 2.直线与平面平行的性质定理 ①定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. ②符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b ③作用：证明两直线平行. 知识点6：平面与平面平行 1.判定定理 （1）定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 （2）符号语言：a⊂β，b⊂β， a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β （3）作用：证明两个平面平行 2.性质定理 （1）定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. （2）符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒__a∥b__ （3）作用：证明两直线平行 知识点7 ：直线与平面垂直 1.异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．若异面直线所成的角是直角，则称异面直线互相垂直，记作 ②范围：. 2. 直线与平面垂直 1.直线与平面垂直的判定定理 （1）定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 （2）符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α， a∩b＝P⇒l⊥α （3）作用：判断直线与平面垂直. 2. 直线与平面垂直的性质定理 （1）定理：垂直于同一个平面的两条直线平行 （2）符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b （3）作用：证明两直线平行. 知识点8 ：平面与平面垂直 1.二面角 （1）有关概念：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． （2）平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角. 如图，OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角. （3）范围：[0，π] 2.平面与平面垂直的判定定理 （1）定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 （2）符号语言：l⊥α，l⊂β⇒α⊥β （3）作用：判断两平面垂直 3. 平面与平面垂直的性质定理 （1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 （2）符号语言：α⊥β，l⊂β，α∩β＝a，l⊥a⇒l⊥α （3）作用：证明直线与平面垂直 题型归纳 【题型01 平面的基本事实与推论】 满分技法 1.学习过程中要训练用准确规范的语言描述几何图形的位置关系． 2.注意一些文字语言与符号语言的转换： A∈l，“点A在直线l上”，“直线l经过点A” a⊂α，“直线a在平面α内”，“平面α经过直线a”； a⊄α，“直线a在平面α外”． α∩β＝l，“两平面α与β相交于直线l”，“l是平面α与β的交线”； a∩b＝P，“两直线a，b相交于点P”，“P是直线a与直线b的交点”； A∈α，“点A在平面α内”，“平面α经过点A”． 1．（23-24高一下·广东广州·期中）如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·青海海东·开学考试）下列命题正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．四条首尾相连的线段确定一个平面 C．两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内 D．空间两两相交的三条直线在同一平面内 3．（多选）（2024·吉林长春·模拟预测）下列基本事实叙述正确的是（   ） A．经过两条相交直线，有且只有一个平面 B．经过两条平行直线，有且只有一个平面 C．经过三点，有且只有一个平面 D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面 【题型02空间直线的平行问题】 满分技法 1.求证两直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点． 2.求角或证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，这是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，下列命题正确的是（    ）    A． B． C． D． 5．（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知直线a，b为异面直线，A，B，C为直线a上三点，D，E，F为直线b上三点，A′，B′，C′，D′，E′分别为的中点．若，则 . 【题型03 异面直线及其所成的角】 满分技法 求异面直线所成的角的一般步骤为： (1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线． (2)证明——证明所作出的角等于要求的角． (3)计算——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． (4)结论——设由(3)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ为所求． 6．（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）三棱柱中，、、分别是、、中点，则下列直线中与直线异面的直线为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 8．（多选）（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体之后，下列结论正确的有（   ） A． B．与异面 C．与异面 D． 9．（23-24高一下·吉林长春·期中）在正方体中，下列结论正确的有（    ） A．和所成的角是 B．AC和所成的角是 C．和所成的角是 D．和所成的角是 10．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，若，则异面直线，所成角为 ． 【题型04直线与平面平行问题】 满分技法 1.线面平行判定定理应用的误区 (1)条件不全，最易忘记的条件是a⊄α与b⊂α． (2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线． 2．判定直线与平面平行的两类方法 (1)用定义 ①用反证法说明直线与平面没有公共点； ②若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线都与另一个平面无公共点，由此可得线面平行． (2)用判定定理 设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，注意说明已知直线不在平面内． 3.线面平行性质定理的应用： （1）已知线面平行，一般直接考虑用性质，利用构造法找或作出经过直线的平面与已知平面相交得交线． （2）要证线线平行，可把它们转化为线面平行． 4.转化思想是应用：（1）线线平行与线面平行可以相互转化：线线平行线面平行 （2）要证线面平行，可在平面内找(或作)出一条与已知直线平行的直线，作图的依据是线面平行的性质定理； （3）已知线面平行，可直接找(或作)出经过已知直线且与已知平面平行的平面，则两平面的交线与已知直线平行，因此，线面平行的性质定理是解题思考的突破口． 11．（2024·内蒙古·三模）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 12．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在空间四边形中，分别为的中点，分别为上的点，且，则（    ） A．平面且为矩形 B．平面且为菱形 C．平面且为平行四边形 D．平面且为梯形 13．（23-24高一下·山东烟台·阶段练习）如图，在三棱台中，从中取3个点确定平面，若平面平面，且，则所取的这3个点可以是（    ）    A． B． C． D． 14．（23-24高一下·广东惠州·期中）如图所示，在正四棱锥中，，求 (1)正四棱锥的表面积； (2)若为的中点，求证：平面． 15．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）如图，四棱锥的底面为梯形，，，点在棱上，且． (1)证明：平面； (2)设平面与棱交于点，证明：． 【题型05平面与平面的平行问题】 满分技法 1.证明两个平面平行的方法有： ①用定义，此类题目常用反证法来完成证明； ②用判定定理或推论(即“线线平行⇒面面平行”)，通过线面平行来完成证明； ③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)； ④借助“传递性”来完成(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)． 2.面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意转化思想的应用． 16．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平面平面，所在的平面与，分别交于，，若，，，则（    ） A． B．2 C． D．3 17．（21-22高一下·全国·课后作业）在正方体中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（ ）． A．截面与截面 B．截面与截面 C．截面与截面 D．截面与截面 18．（2024高一下·全国·专题练习）已知矩形所在的平面，且N，M，O分别为，，的中点．求证：平面平面 19．（23-24高一下·福建三明·期中）如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)若为侧棱的中点，求证：平面； (3)设平面平面，求证：. 20．（2022高三·河北·专题练习）如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求： (1)正四棱锥的表面积； (2)侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【题型06直线与平面垂直问题】 满分技法 线面垂直的判定方法： (1)证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义． ②线面垂直的判定定理． ③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． ④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面． (2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤： ①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直； ②确定这个平面内的两条直线是相交的直线； ③根据判定定理得出结论． (3)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧： 证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理的逆定理等都是找线线垂直的方法． 21．（23-24高二下·湖南娄底·阶段练习）已知a，b表示两条直线，α表示平面，若，，则b与α的位置关系是（    ） A． B． C．b与α相交 D．以上都有可能 22．（多选）（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足，下列结论正确的是（    ） A． B．三棱锥的体积为定值 C． D．与所成的角为 23．（21-22高一·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，．求异面直线和的距离． 24．（23-24高一下·山东临沂·阶段练习）如图，在三棱锥中，底面，，，分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：． 25．（23-24高一下·河南开封·阶段练习）如图．在正方形ABCD中，P，Q分别是AB，BC的中点，将分别沿PD，PQ，DQ折起，使A，B，C三点重合于点M． (1)证明：MD⊥平面MPQ (2)证明：点M在平面PDQ的投影为的垂心． 【题型07平面与平面垂直问题】 满分技法 1.面面垂直判定的两种方法与一个转化 (1)两种方法： ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． (2)一个转化： 在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 2．证面面垂直的思路 (1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面．这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑． (2)条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理，如已知两平面互相垂直，我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理 26．（21-22高二上·山东东营·期中）如图，已知大小为的二面角棱上有两点A，B，，，若，则AB的长度（ ） A．22 B．40 C． D． 27．（23-24高三上·陕西汉中·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积． 28．（22-23高二上·山东德州·阶段练习）如图，在三棱锥 中，，，，点 ，（ 与 ， 不重合）分别在棱 ， 上，且 ． (1)作过的平面平面，并证明； (2)求证：． 29．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，，是等边三角形，，点是棱的中点．    (1)设平面与平面的交线为，求证：； (2)求证：平面平面． 30．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知和都是直角三角形，，E，F分别是边AB，AD的中点，现将沿BD边折起到的位置，如图所示，使平面平面BCD． (1)求证：平面BCD； (2)求证：平面平面； (3)请你判断，与BD是否有可能垂直，做出判断并写明理由． 过关检测 1．（23-24高三上·河北·期末）已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 2．（23-24高一下·浙江衢州·期末）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 3．（多选）（23-24高一下·四川成都·期末）已知是两条不同的直线，是平面，若，则的关系可能为（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面 4．（多选）（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在图示正方体中，O为BD中点，直线平面，下列说法正确的是（    ）． A．A，C，，四点共面 B．，M，O三点共线 C．平面 D．与BD异面 5．（多选）（23-24高二上·山东潍坊·期中）在正方体中，下列结论正确的是（    ） A． B．平面 C．直线与所成的角为60° D．二面角的大小为45° 6．（21-22高二上·上海浦东新·期末）在棱长为1的正方体中，直线AC与直线的距离是 ． 7．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）已知四棱锥，底面为矩形，，，分别是，，的中点.证明： (1)平面平面； (2)平面. 8．（23-24高一下·海南海口·阶段练习）如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)若为侧棱的中点，求证：平面. 9．（2024高二上·福建·学业考试）如图，正方体的棱长为2，E为的中点. (1)求三棱锥的体积； (2)求证：. 10．（23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）如图，在直四棱柱中，底面是菱形，，，分别为棱，的中点，是棱上的一点，，是棱上的一点，． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面平面． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$