第一讲 长方体和正方体（单元讲义）-2024-2025学年六年级上册数学举一反三变式拓展（苏教版）学生版+教师版

2024-2025学年六年级上册数学举一反三变式拓展（苏教版） 第一讲 长方体和正方体 （导图+知识精讲+高频易错点+十二大考点讲练+难度分层练） 知识与技能目标： 认知目标：准确识别长方体和正方体，理解它们的面、棱、顶点等基本概念。理解长方体的长、宽、高及正方体的棱长，并知道正方体是特殊的长方体（所有棱长相等 ）。 掌握目标：掌握长方体和正方体的基本特征，包括面、棱、顶点的数量和特点。掌握长方体和正方体的表面积和体积的计算方法，并能够进行简单的计算。 过程与方法目标： 观察与操作： 学生能够通过观察实物或模型，发现长方体和正方体的特征，培养观察能力。 学生能够通过动手操作（如制作长方体和正方体的模型），加深对长方体和正方体特征的理解。 思考与归纳： 学生能够通过思考和讨论，理解长方体和正方体的关系，归纳出它们的共同点和不同点。 学生能够在解决问题的过程中，运用已学的知识和方法，培养数学思维能力。 考点一：长方体的特征 5 考点二：正方体的特征 5 考点三：长方体的展开图 6 考点四：正方体的展开图 7 考点五：长方体和正方体的表面积 8 考点六：长方体和正方体的体积 9 考点七：长方体、正方体表面积与体积计算的应用 10 考点八：组合图形的体积 11 考点九：规则立体图形的表面积 12 考点十：规则立体图形的体积 13 考点十一：不规则立体图形的表面积 13 考点十二：染色问题 14 基础夯实优选题专练 15 培优优选题专练 15 知识点01：长方体和正方体的认识 1、长方体的长、宽、高、棱、顶点    长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高，三条棱相交的点叫作顶点，两个面相交的线叫作棱。 2、长方体和正方体的特征。 长方体 正方体 相同点 面 6个 6个 棱 12条 12条 顶点 8个 8个 不同点 面的形状 6个面都是长方形（也可能有两个相对的面是正方形） 6个面都是正方形 面积 相对的面的面积相等 6个面的面积都相等 棱长 一般情况下，棱有3组，每组互相平行的4条棱长度相等 12条棱的长度都相等 3、长方体和正方体的棱长总和计算公式。 长方体的棱长总和＝(长＋宽＋高)×４               正方体的棱长总和＝棱长×12 4、长方体（或正方体）的展开图。 沿着长方体（或正方体）的棱将它剪开，可以把长方体（或正方体）展开成一个平面图形，这个平面图形就是长方体（或正方体）的展开图。在展开图中，相对的面完全相同，相对的面不相邻。 知识点02：长方体和正方体的表面积 1、表面积的意义。   长方体(或正方体)６个面的总面积，叫作它的表面积。 2、长方体、正方体表面积的计算公式。 Ｓ长方体 ＝ 2ab＋2ah＋2bh（Ｓ表示表面积，a、b、h分别表示长方体的长、宽、高）      Ｓ正方体 ＝ 6a2（a表示棱长） 知识点03：长方体和正方体的体积 1、体积和容积的区别和联系。 体积 容积 不同点 意义 物体所占空间的大小叫作物体的体积 容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积 测量方法 从物体外部测量长、宽、高 从容器的内部测量长、宽、高 单位名称 一般用立方厘米、立方分米、立方米 容积一般用体积单位表示，但求液体的体积时通常用升和毫升 相同点 计算公式 长方体（或正方体）的体积（或容积）=底面积×高（V=Sh ) 重点提示 1.有的物体既有体积，又有容积。在不忽略容器壁的厚度   的情况下，体积一定大于容积 2.有的物体只有体积没有容积 2、容积单位和体积单位的互换。   1升=1立方分米      1毫升=1立方厘米 3、长方体、正方体体积的计算公式。   Ｖ长方体 ＝ abh（Ｖ表示体积，a、b、h分别表示长方体的长、宽、高)   Ｖ正方体 ＝ a3（a表示正方体的棱长）   长方体和正方体体积计算的通用公式:Ｖ＝Ｓｈ（Ｓ表示底面积）。 4、体积单位间的进率。   相邻两个体积单位间的进率是1000。   1立方米=1000立方分米          1立方分米=1000立方厘米   高级单位化成低级单位要乘它们的进率，低级单位化成高级单位要除以它们的进率。 知识点01：长方体和正方体的认识 1. 长方体的6个面不一定都是长方形，也可能有一组相对的面是正方形。 2. 判断一个立体图形是不是长方体或正方体，应该以它是否具有长方体或正方体的所有特征为标准。 3. 长方体的12条棱包括4条长、4条宽、4条高，所以它的棱长总和=（长+宽+高）×4，而不是（长+宽+高）×3。 4. 长方体是立体图形，它的展开图是平面图形。 知识点02：长方体和正方体的表面积 1. 长方体的6个面不一定都是长方形，也可能有一组相对的面是正方形。 2. 判断一个立体图形是不是长方体或正方体，应该以它是否具有长方体或正方体的所有特征为标准。 3. 长方体的12条棱包括4条长、4条宽、4条高，所以它的棱长总和=（长+宽+高）×4，而不是（长+宽+高）×3。 4. 长方体是立体图形，它的展开图是平面图形。 知识点03：长方体和正方体的体积 1、捏橡皮泥时，只是形状发生了改变，但体积不变。 2、有容积的物体一定有体积，有体积的物体不一定有容积。 3、长度单位、面积单位和体积单位之间都不能进行比较。 4、在不忽略容器厚度的情况下，容器的体积和容积不相等。 5、把完全浸入盛有液体的容器中的物体取出时，液面下降前、后体积的变化量就是物体体积。 6、只有相邻的两个体积单位之间的进率才是1000，判断和互化时要看清两个单位是不是相邻的。 7、一个容器容积的大小与它所能盛装物体的多少有关。因为容器都有一定的厚度，所以一个容器的体积一般大于它的容积。 8、并不是只有棱长是1cm、1dm、1m的正方体的体积才是1cm3、1dm3和1m3。 9、误认为容积就是体积，这是不对的，一定要注意“容积”与“体积”的不同。如一本书有体积，却没有容积。 10、较大容器盛装液体时用“升”作单位，较小容器盛装液体时用“毫升”作单位。 11、明确摆成不同形状长方体的长、宽、高分别是多少。 12、1立方厘米的小正方体的边长是1厘米。长方体的长、宽、高由几个小正方体摆成，它的长、宽、高就分别是几厘米，它的体积正好等于摆成长方体所需小正方体的个数。 考点一：长方体的特征 【精讲题】（2024•邳州市模拟）一个长26厘米，宽18.5厘米，厚0.5厘米的物体，最有可能是（　　） A．普通手机 B．新华字典 C．数学书 【精练题01】（2023•鼓楼区模拟）某快递公司把长方体物体用纸箱包装好，再用打包带如图捆起来（打结处长20cm），一共用多长厘米的打包带呢？ 【精练题02】（2023秋•淮安区期中）用一根绳子捆一叠书绕一圈，绳子还长2分米，再接一根2分米长的绳子，就正好又能绕这叠书一圈，这根绳子原来有多长？ 考点二：正方体的特征 【精讲题】（2024•邳州市模拟）用沙布做一个棱长是8厘米的正方体沙包如图，如果在接缝处都缝上花边，则花边的总长度是（　　）厘米。 A．96 B．64 C．192 【精练题01】（2022秋•海门市期末）亮亮用一些6厘米长的小棒和橡皮泥团制作了一个正方体框架，他至少需要 　 　团橡皮泥和 根小棒，这个正方体的棱长总和是 　厘米。 【精练题02】（2007•江阴市）有一个立方体，每个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同角度观察的结果如图所示，那么这个立方体1的对面是　　，3的对面是　　，4的对面是　　． 考点三：长方体的展开图 【精讲题】（2023秋•崇川区期末）如图所示是一个长方体的展开图。这个长方体的体积是 　 　cm3，阴影部分的面积是 　 　cm2。 【精练题01】（2023秋•姜堰区期末）如图是五种形状的硬纸，各有若干张，如图，单位：分米。选择其中的一种或几种硬纸，共选6张，正好可以围成一个长方体或正方体。 请你画出围成长方体或正方体体积最小的立体图形，并标上相应的数据，求出它的体积。 【精练题02】（2023秋•东台市期末）小明在方格纸上画了一个火柴盒内盒的展开图。 （1）请你帮他在方格纸上画出外盒的展开图。 （2）火柴盒的容积是 　 　立方厘米。（厚度不计） 考点四：正方体的展开图 【精讲题】（2024•溧阳市）有一个无盖的正方体纸盒，下底标有字母“M”，如果沿棱长剪开并展开成平面图形，会是（　　） A． B． C． D． 【精练题01】（2023秋•东台市期末）如图是一个正方体的平面展开图，每个面上都填有一个数且相对两个面的数互为倒数，那么m＝　　，n＝　。 【精练题02】（2023秋•海安市期末）图中每个小方格边长1厘米。 （1）以图中阴影小正方形为底面，画出一个无盖正方体盒子的展开图。 （2）画一个周长14厘米的长方形，使长方形的宽是长的，再将长方形分成一个等腰三角形和一个梯形，得到的三角形和长方形的面积比是 　 　：　 。 考点五：长方体和正方体的表面积 【精讲题】（2024•海门区模拟）楼房的外墙壁用于引水的铁皮水管，形状是长方体（如图），横截面是一个长方形，长1分米，宽0.6分米。如果每节水管长15分米，做这样一节水管至少要用铁皮 　48　平方分米。 【精练题01】（2023秋•江阴市期末）一个长方体按照如图所示的三种方式，切割成两个相同的长方体，表面积分别增加了30cm2、40cm2、24cm2，原来长方体的表面积是 　cm2。 【精练题02】（2024•海门区模拟）一种易拉罐的底面直径是4cm，高10cm。如图所示，做一个装这种易拉罐饮料的长方体纸箱（有盖），至少需要多少平方厘米的硬纸板？（接头和重叠部分忽略不计） 考点六：长方体和正方体的体积 【精讲题】（2022秋•沛县期末）一个长方体的长、宽、高分别是a米、b米和h米．如果高减少2米，那么它的体积减少（　　）立方米． A．2ab B．ab（h﹣2） C．（abh﹣2×2×2） 【精练题01】（2019秋•常熟市校级期中）老师上课时拿出这样一个长方体，让同学们观察并测量. 小刘说：“这个长方体的棱长总和是68厘米.” 小李说：“这个长方体如果截去两厘米高度的话，就是一个正方体.” 小张说：“它的底面周长是2分米.” 小陈说：“长方体的前面和右面两个面的面积之和是70平方厘米.” 这四个人得到的数据都是正确的，筛选出必要的数据作为条件，求出长方体的体积. 【精练题02】（2022秋•亭湖区期末）一个密封玻璃缸，存水的空间长8分米，宽4分米，高6分米，现在缸里水深4.2分米。 （1）玻璃缸里水的体积是多少立方分米？ （2）如果把缸竖起来，缸里水深多少分米？ 考点七：长方体、正方体表面积与体积计算的应用 【精讲题】（2023秋•六合区期末）李阿姨有一个底面周长是40厘米的长方体包装盒，侧面展开图和底面都是正方形（如图）。这个包装盒的表面积是 　 　平方厘米，体积是 　 　立方厘米。 【精练题01】（2023秋•邗江区校级期末）爸爸在院子里用混凝土浇筑了一个无盖的长方体水槽（如图所示），从外面量，水槽长15分米，宽8分米，高5分米。水槽壁和底均厚5厘米。 （1）如果给水槽外壁贴上瓷砖，瓷砖的面积是多少平方分米？ （2）浇筑这样一个水槽至少需要多少立方分米的混凝土？ 【精练题02】（2023秋•江宁区校级月考）张大爷在长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮上，从四个角各剪去一个边长5厘米的正方形（如图），再焊成一个无盖的长方体铁盒。 （1）这个铁盒的容积是多少立方厘米？ （2）焊成这个铁盒用了多少平方分米的铁皮？（接头处和铁皮厚度不计） 考点八：组合图形的体积 【精讲题】．（2022秋•溧阳市期末）如图是用棱长1厘米的小正方体拼成的，这个图形的表面积是 　 　平方厘米，体积是 　立方厘米。 【精练题01】（2024•射阳县模拟）如图所示，左图是一个密闭的玻璃容器，里面装有5厘米深的水． （1）根据图上标注的信息计算该容器内水的体积． （2）若把该容器顺时针旋转90°，成为右图所示情形，求这时容器内水的深度．（单位：厘米．玻璃厚度不计．） 【精练题02】（2023秋•江宁区校级月考）求如图物体的体积。（单位：厘米） 考点九：规则立体图形的表面积 【精讲题】（2022秋•溧阳市期中）如图是用棱长1厘米的小正方体摆成的立体图形。它的体积是 　 　立方厘米，表面积是 　 　平方厘米。 【精练题01】（2022秋•徐州月考）如图是一个机器零件，要在这个机器零件的表面涂上一层漆，涂漆的面积是多少？（单位：厘米） 【精练题02】（2020秋•新吴区期末）如图所示的领奖台是由6个棱长是3分米的正方体组合而成的。 （1）如果要在领奖台的表面喷漆（底面不喷漆），需要喷漆的面积是多少？ （2）这个领奖台的体积是多少？ 考点十：规则立体图形的体积 【精讲题】（2021•泗洪县）如图是由若干个棱长1厘米的小正方体堆放而成，这些小正方体所占的空间是 　 立方厘米。表面积是 平方厘米。 【精练题01】（2020秋•溧阳市期中）如图是用棱长1厘米的小正方体拼成的立体图形。这个立体图形的表面积是 　 　平方厘米，体积是 　 立方厘米。 【精练题02】（2020秋•梁溪区月考）如图是由同样大小的小方块堆成，每个小方块的棱长是2分米，这组物体的体积是 　 立方分米，表面积是 平方分米。 考点十一：不规则立体图形的表面积 【精讲题】（2018•海门市）如图，5个棱长为2分米的正方体硬纸箱堆放在墙角，体积一共是　 立方分米，露在外面的硬纸面积是 　平方分米． 【精练题01】（2022•如东县模拟）棱长1分米的小正方体如图所示层层堆叠放置。 （1）当重叠到5层时，5层一共有 　 　个正方体。 （2）当重叠到5层时，这个5层的立体图形的表面积是 　 　平方分米。 【精练题02】（2021秋•六合区校级期中）如图是用体积1立方厘米的小正方体摆成的物体。 （1）这个物体的表面积是 　 平方厘米。 （2）如果现在你手里还有一些相同的小正方体可添放在这个物体上，要保持前面和右面看到的形状不变，则最多可以添加 　 个小正方体。 （3）如果增加同样的小正方体，把这个物体补成一个大正方体，至少还需要 个这样的小正方体。 考点十二：染色问题 【精讲题】（2024•四川校级模拟）将32个相同的小正方体拼成一个体积为32立方厘米的长方体，将表面涂上红漆，然后分开，其中有2个面涂红的小正方体有24个，则有1个面涂红的小正方体有 　 　个。 【精练题01】（2023秋•天宁区校级期末）一个六面都涂色的魔方，一共有64个小正方体组成，其中一面涂色的小正方体有 　 块，两面涂色的小正方体共有 　 块，三面涂色的小正方体共有 　 　块。 【精练题02】（2023秋•苏州期中）把一个棱长是5厘米的正方体表面涂上红色，然后切成棱长1厘米的小正方体，其中一面涂色的有 　个，两面涂色的有 　 个，三面涂色的有 　 　个。 基础夯实优选题专练 1．（2023六上·洪泽月考）两个表面积都是24平方厘米的正方体，拼成一个长方体。这个长方体的表面积是（　　）平方厘米。 A．40 B．44 C．48 D．60 2．（2023·）下列说法中正确的有（　　）。 ①真分数的倒数大于1，假分数的倒数小于1。②至少要4个小正方体才能拼成一个大正方体。③两个长方体木箱的体积相等，则它们的容积也一定相等。④20克盐溶于100克水中，盐和盐水的比是1：6。 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（2023·平谷）将一个正方体纸盒沿如图所示的粗实线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为（　　）。 A． B． C． D． 4．（2023·）一个长方体，高增加5分米后，变成一个正方体，表面积增加了160平方分米，原来长方体的长是　 　分米。 5．（2023六上·泗阳）把一个长10厘米、宽5.5厘米、高6厘米的长方体木块，平均锯成3个小长方体，表面积最多增加　 　 平方厘米，最少增加　 　平方厘米。 6．（2023六上·金湖期末）一根3米长的方钢，把它横截成3段时，表面积增加72平方分米，原来方钢的体积是　 　。 7．（2023六上·溧阳月考）一个长方体木箱长、宽都是 6 分米，把它放在墙角，露在外面的面积是 144 平方分米，这个木箱的体积是多少立方分米? 8． （2023六上·泗阳）学校有一个长方体形状的沙坑，长4米，宽2米，深0.5米。现有黄沙3.2立方米，可以铺多厚？（用方程解答 ） 9． （2023六上·灌云期末）航模兴趣小组同学观察并测量了一个长方体。甲说：“如果高减少2厘米，它巧好是一个正方体。”乙说：“长方体的前、后、左、右四个面的面积之和是96平方厘米。”丙说：“它的底面周长是16厘米。”这三名同学得到的数据都是正确的，求这个长方体的体积。 10．（2023六上·灌云期末）一个密封长方体玻璃缸，存水的空间长6分米、宽5分米、高4分米，现在缸里的水深3分米。如果竖起来（如图），缸里水深多少分米？ 11．（2022六上·雨花台期中）一种铁皮油箱，长80厘米，宽60厘米，高50厘米. （1）做这个油箱至少需要多少平方分米的铁皮？ （2）如果每升油重0.75千克，这个油箱可装油多少千克？ 12．（2021六上·东海期中）用下面几种纸片，可以围成不同的长方体和正方体。 （1）如果用　 　号纸片　 　张，可以围成一个正方体。 （2）如果用　 　号、　 　号和　 　号纸片各2张，可以围成一个长方体。 （3）如果用　 　号纸片2张、　 　号纸片4张，也可以围成一个长方体。 培优优选题专练 13．（2022六上·徐州月考）一个长方体，长a米，宽b米，高h米。如果高增加3米，那么体积增加_____立方米，表面积增加_____平方米。（　　） A．3ab，3ab B．3ab，6ab C．3ab，3a＋3b D．3ab，6a＋6b 14．（2021六上·六合期中）如图，一个无水观赏鱼缸中放有一块高为4分米，体积为6立方分米的假石山，如果以每分钟5升的速度向缸内注水，那么至少需要（　　）分钟才能将石山完全淹没。 A．13.2 B．14.4 C．16.8 D．18 15．（2021六上·太仓期中）将若干个相同的小正方体拼成一个大正方体，至少需要（　　）个这样的小正方体。 A．4 B．27 C．8 16．（2022六上·扬州月考）如两图形分别表示一个长方体的前面和右侧面，那么这个长方体的体积是（ ）。 A．36立方厘米 B．12立方厘米 C．18立方厘米 D．30立方厘米 17．（2022六上·雨花台期中）一个长方体，如果高增加3厘米后，就变成一个正方体。这时表面积比原来增加60平方厘米。原来长方体的体积是　 　立方厘米。 18．（2020六上·邳州期末）一个长方体，如果长减少3厘米，就是一个正方体，这个正方体的表面积是96平方厘米，原来长方体的长是　 　厘米，体积是　 　立方厘米。 19．（2020六上·昆山期末）下图中大球体积是　 　立方厘米。 20． （2023六上·泗阳）学校平顶教室长10米，宽6米，高4米。要粉刷教室的顶面和四面墙壁，教室门窗和黑板的面积一共有35.8平方米。要粉刷的面积有多少平方米？ 21． （2023六上·金湖期末）把一个所有棱长之和为144cm的正方体实心铁块熔铸成一个长为9cm，宽为6cm的长方体实心铁块，这个长方体实心铁块的高是多少厘米？ 22．（2022六上·昆山期末）小明家有一个无盖的长方体鱼缸，长8分米、宽2.5分米、高4分米。 （1）制作这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）爸爸往这个鱼缸里加入了70升水，如果鱼缸平放在桌上，这时水深多少分米？ 22． （2022六上·雨花台期中）一块长方形铁皮，长22厘米，在它四个顶角分别剪去边长3厘米的正方形，然后折起来焊成一个无盖的长方体铁皮盒。已知这个铁皮盒的容积是576立方厘米，原来这块铁皮的面积是多少？ 24．（2022六上·连云港月考）一个长方体按以下三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级上册数学举一反三变式拓展（苏教版） 第一讲 长方体和正方体 （导图+知识精讲+高频易错点+十二大考点讲练+难度分层练） 知识与技能目标： 认知目标：准确识别长方体和正方体，理解它们的面、棱、顶点等基本概念。理解长方体的长、宽、高及正方体的棱长，并知道正方体是特殊的长方体（所有棱长相等 ）。 掌握目标：掌握长方体和正方体的基本特征，包括面、棱、顶点的数量和特点。掌握长方体和正方体的表面积和体积的计算方法，并能够进行简单的计算。 过程与方法目标： 观察与操作： 学生能够通过观察实物或模型，发现长方体和正方体的特征，培养观察能力。 学生能够通过动手操作（如制作长方体和正方体的模型），加深对长方体和正方体特征的理解。 思考与归纳： 学生能够通过思考和讨论，理解长方体和正方体的关系，归纳出它们的共同点和不同点。 学生能够在解决问题的过程中，运用已学的知识和方法，培养数学思维能力。 考点一：长方体的特征 4 考点二：正方体的特征 6 考点三：长方体的展开图 7 考点四：正方体的展开图 9 考点五：长方体和正方体的表面积 12 考点六：长方体和正方体的体积 14 考点七：长方体、正方体表面积与体积计算的应用 15 考点八：组合图形的体积 18 考点九：规则立体图形的表面积 21 考点十：规则立体图形的体积 23 考点十一：不规则立体图形的表面积 25 考点十二：染色问题 27 基础夯实优选题专练 29 培优优选题专练 35 知识点01：长方体和正方体的认识 1、长方体的长、宽、高、棱、顶点    长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高，三条棱相交的点叫作顶点，两个面相交的线叫作棱。 2、长方体和正方体的特征。 长方体 正方体 相同点 面 6个 6个 棱 12条 12条 顶点 8个 8个 不同点 面的形状 6个面都是长方形（也可能有两个相对的面是正方形） 6个面都是正方形 面积 相对的面的面积相等 6个面的面积都相等 棱长 一般情况下，棱有3组，每组互相平行的4条棱长度相等 12条棱的长度都相等 3、长方体和正方体的棱长总和计算公式。 长方体的棱长总和＝(长＋宽＋高)×４               正方体的棱长总和＝棱长×12 4、长方体（或正方体）的展开图。 沿着长方体（或正方体）的棱将它剪开，可以把长方体（或正方体）展开成一个平面图形，这个平面图形就是长方体（或正方体）的展开图。在展开图中，相对的面完全相同，相对的面不相邻。 知识点02：长方体和正方体的表面积 1、表面积的意义。   长方体(或正方体)６个面的总面积，叫作它的表面积。 2、长方体、正方体表面积的计算公式。 Ｓ长方体 ＝ 2ab＋2ah＋2bh（Ｓ表示表面积，a、b、h分别表示长方体的长、宽、高）      Ｓ正方体 ＝ 6a2（a表示棱长） 知识点03：长方体和正方体的体积 1、体积和容积的区别和联系。 体积 容积 不同点 意义 物体所占空间的大小叫作物体的体积 容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积 测量方法 从物体外部测量长、宽、高 从容器的内部测量长、宽、高 单位名称 一般用立方厘米、立方分米、立方米 容积一般用体积单位表示，但求液体的体积时通常用升和毫升 相同点 计算公式 长方体（或正方体）的体积（或容积）=底面积×高（V=Sh ) 重点提示 1.有的物体既有体积，又有容积。在不忽略容器壁的厚度   的情况下，体积一定大于容积 2.有的物体只有体积没有容积 2、容积单位和体积单位的互换。   1升=1立方分米      1毫升=1立方厘米 3、长方体、正方体体积的计算公式。   Ｖ长方体 ＝ abh（Ｖ表示体积，a、b、h分别表示长方体的长、宽、高)   Ｖ正方体 ＝ a3（a表示正方体的棱长）   长方体和正方体体积计算的通用公式:Ｖ＝Ｓｈ（Ｓ表示底面积）。 4、体积单位间的进率。   相邻两个体积单位间的进率是1000。   1立方米=1000立方分米          1立方分米=1000立方厘米   高级单位化成低级单位要乘它们的进率，低级单位化成高级单位要除以它们的进率。 知识点01：长方体和正方体的认识 1. 长方体的6个面不一定都是长方形，也可能有一组相对的面是正方形。 2. 判断一个立体图形是不是长方体或正方体，应该以它是否具有长方体或正方体的所有特征为标准。 3. 长方体的12条棱包括4条长、4条宽、4条高，所以它的棱长总和=（长+宽+高）×4，而不是（长+宽+高）×3。 4. 长方体是立体图形，它的展开图是平面图形。 知识点02：长方体和正方体的表面积 1. 长方体的6个面不一定都是长方形，也可能有一组相对的面是正方形。 2. 判断一个立体图形是不是长方体或正方体，应该以它是否具有长方体或正方体的所有特征为标准。 3. 长方体的12条棱包括4条长、4条宽、4条高，所以它的棱长总和=（长+宽+高）×4，而不是（长+宽+高）×3。 4. 长方体是立体图形，它的展开图是平面图形。 知识点03：长方体和正方体的体积 1、捏橡皮泥时，只是形状发生了改变，但体积不变。 2、有容积的物体一定有体积，有体积的物体不一定有容积。 3、长度单位、面积单位和体积单位之间都不能进行比较。 4、在不忽略容器厚度的情况下，容器的体积和容积不相等。 5、把完全浸入盛有液体的容器中的物体取出时，液面下降前、后体积的变化量就是物体体积。 6、只有相邻的两个体积单位之间的进率才是1000，判断和互化时要看清两个单位是不是相邻的。 7、一个容器容积的大小与它所能盛装物体的多少有关。因为容器都有一定的厚度，所以一个容器的体积一般大于它的容积。 8、并不是只有棱长是1cm、1dm、1m的正方体的体积才是1cm3、1dm3和1m3。 9、误认为容积就是体积，这是不对的，一定要注意“容积”与“体积”的不同。如一本书有体积，却没有容积。 10、较大容器盛装液体时用“升”作单位，较小容器盛装液体时用“毫升”作单位。 11、明确摆成不同形状长方体的长、宽、高分别是多少。 12、1立方厘米的小正方体的边长是1厘米。长方体的长、宽、高由几个小正方体摆成，它的长、宽、高就分别是几厘米，它的体积正好等于摆成长方体所需小正方体的个数。 考点一：长方体的特征 【精讲题】（2024•邳州市模拟）一个长26厘米，宽18.5厘米，厚0.5厘米的物体，最有可能是（　　） A．普通手机 B．新华字典 C．数学书 思路点拨：根据题意，厚0.5厘米是长方体物体的高，根据生活经验判断选择一个长26厘米，宽18.5厘米，厚0.5厘米的物体，最有可能是数学书。 规范解答：解：一个长26厘米，宽18.5厘米，厚0.5厘米的物体，最有可能是数学书。 故选：C。 考点评析：此题主要考查长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围。 【精练题01】（2023•鼓楼区模拟）某快递公司把长方体物体用纸箱包装好，再用打包带如图捆起来（打结处长20cm），一共用多长厘米的打包带呢？ 思路点拨：根据图示可知，打包带包括两条长、两条宽、四条高和打结处的总长，据此计算解答。 规范解答：解：100×2+50×2+30×4+20 ＝200+100+120+20 ＝440（厘米） 答：一共用440长厘米的打包带。 考点评析：此题主要考查长方体的特征及棱长总和的计算方法及应用。 【精练题02】（2023秋•淮安区期中）用一根绳子捆一叠书绕一圈，绳子还长2分米，再接一根2分米长的绳子，就正好又能绕这叠书一圈，这根绳子原来有多长？ 思路点拨：用一根绳子捆一叠书绕一圈，绳子还长2分米，再接一根2分米长的绳子，就正好又能绕这叠书一圈，就是说2分米加2分米，即4分米正好绕这叠书一圈，原绳子长可绕这叠书一圈还多20厘米，由此可知这条绳子原长是（4+2）分米，或（4×2﹣2）分米． 规范解答：解：4+2＝6（分米） 或4×2﹣2 ＝8﹣2 ＝6（分米） 答：这根绳子原来有6分米． 故答案为：6分米 考点评析：解答此题的关键是2分米，再接一根2分米长的绳子，就正好又能绕这叠书一圈． 考点二：正方体的特征 【精讲题】（2024•邳州市模拟）用沙布做一个棱长是8厘米的正方体沙包如图，如果在接缝处都缝上花边，则花边的总长度是（　　）厘米。 A．96 B．64 C．192 思路点拨：根据正方体的棱长总和＝棱长×12，代入数据解答即可。 规范解答：解：8×12＝96（厘米） 答：花边的总长是96厘米。 故选：A。 考点评析：此题解答关键是明确正方体的棱长总和公式。 【精练题01】（2022秋•海门市期末）亮亮用一些6厘米长的小棒和橡皮泥团制作了一个正方体框架，他至少需要 　8　团橡皮泥和 　12　根小棒，这个正方体的棱长总和是 　72　厘米。 思路点拨：用小棒和橡皮泥制作一个正方体框架，因为在制作过程中，需要把小棒连接起来，也就是正方体框架的顶点处需要用到橡皮泥，正方体有8个顶点，所以需要8团橡皮泥；正方体有12条棱，所以需要12根小棒；再根据正方体的棱长总和＝棱长×12，据此进行计算即可。 规范解答：解：6×12＝72（厘米） 则亮亮用一些6厘米长的小棒和橡皮泥团制作了一个正方体框架，他至少需要8团橡皮泥和12根小棒，这个正方体的棱长总和是72厘米。 故答案为：8，12，72。 考点评析：本题考查正方体的特征和棱长总和，明确正方体的特征和熟记正方体的棱长总和的公式是解题的关键。 【精练题02】（2007•江阴市）有一个立方体，每个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同角度观察的结果如图所示，那么这个立方体1的对面是　5　，3的对面是　6　，4的对面是　2　． 思路点拨：图1：正面为1，上面为6，右面为4； 图2：正面为3，上面为2，右面为1； 图3：正面为4，上面为5，右面为3； 由图1和图2可以确定1的对面是5，由图1和图3可以确定4的对面是2，由此解答． 规范解答：解：根据题意可知：1的对面不能是6、4和2、3，所以1对5； 4的对面不能是1、6和3、5，所以4对2； 剩下的是3对6； 故答案为：5，6，2． 考点评析：注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 考点三：长方体的展开图 【精讲题】（2023秋•崇川区期末）如图所示是一个长方体的展开图。这个长方体的体积是 　384　cm3，阴影部分的面积是 　48　cm2。 思路点拨：通过观察长方体的展开图可知，这个长方体的宽是8厘米，高是4厘米，两条长与两条狗的和是是32厘米，据此可以求出长方体的长是多少厘米，根据长方体的体积公式：V＝abh，长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答。 规范解答：解：32÷2﹣4 ＝16﹣4 ＝12（厘米） 12×8×4 ＝96×4 ＝384（立方厘米） 12×4＝48（平方厘米） 答：这个长方体的体积是384立方厘米，阴影部分的面积是48平方厘米。 故答案为：384，48。 考点评析：此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用，长方体的体积公式、长方形的面积公式及应用，关键是先求出长方体的长。 【精练题01】（2023秋•姜堰区期末）如图是五种形状的硬纸，各有若干张，如图，单位：分米。选择其中的一种或几种硬纸，共选6张，正好可以围成一个长方体或正方体。 请你画出围成长方体或正方体体积最小的立体图形，并标上相应的数据，求出它的体积。 思路点拨：根据此题的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等；长3宽1的长方形4块作上下底和左右侧面，长3宽3的正方形2块做前后面这样就能围成一个长3厘米、宽1厘米高3厘米的长方体，体积最小；据此得解。 规范解答：解：长3宽1的长方形4块作上下底和左右侧面，长3宽3的正方形2块做前后面这样就能围成一个长3厘米、宽1厘米高3厘米的长方体，体积最小：3×1×3＝9（立方分米） 如图， 考点评析：此题考查的目的是掌握长方体的特征，以及长方体体积的计算，关键是熟记公式。 【精练题02】（2023秋•东台市期末）小明在方格纸上画了一个火柴盒内盒的展开图。 （1）请你帮他在方格纸上画出外盒的展开图。 （2）火柴盒的容积是 　15　立方厘米。（厚度不计） 思路点拨：（1）根据题意可知，火柴盒的外盒是由4个面组成的，据此解答即可。 （2）火柴盒的盒长是5厘米，宽是3厘米，高是1厘米，根据V＝abh，解答即可。 规范解答：解：（1）在方格纸上画出外盒的展开图。如图： （画法不唯一） （2）火柴盒的盒长是5厘米，宽是3厘米，高是1厘米。 5×3×1＝15（立方厘米） 答：火柴盒的容积是15立方厘米。 故答案为：15。 考点评析：此题主要考查了长方体的特征及展开图知识，结合长方体的体积公式解答即可。 考点四：正方体的展开图 【精讲题】（2024•溧阳市）有一个无盖的正方体纸盒，下底标有字母“M”，如果沿棱长剪开并展开成平面图形，会是（　　） A． B． C． D． 思路点拨：由图可知，标有字母“M”的面是底面，如果沿棱长将其剪开并展成平面图形，四个小正方形会连在一起，并且标有“M”的底面应和最边上的一个小正方形连在一起，据此解答。 规范解答：解：如果沿棱长将其剪开并展成平面图形，四个小正方形会连在一起，并且标有“M”的底面应和最边上的一个小正方形连在一起。 故选A。 考点评析：此题考查的是正方体的表面展开图，掌握正方体展开图的特征是解题的关键。 【精练题01】（2023秋•东台市期末）如图是一个正方体的平面展开图，每个面上都填有一个数且相对两个面的数互为倒数，那么m＝　　，n＝　　。 思路点拨：此图属于正方体展开图的“2﹣2﹣2”型，折成正方体后，m与相对，n与3相对。由于这个正方体相对两个面上的数互为倒数，根据倒数的意义，乘积为1的两个数互为倒数，据此即可分别求出m、n两数。 规范解答：解：如图： 折成正方体后，m与相对，n与3相对。 m＝1 n＝1÷3 故答案为：，。 考点评析：此题考查的知识点：正方体展开图的特征、倒数的意义、求一个数的倒数。 【精练题02】（2023秋•海安市期末）图中每个小方格边长1厘米。 （1）以图中阴影小正方形为底面，画出一个无盖正方体盒子的展开图。 （2）画一个周长14厘米的长方形，使长方形的宽是长的，再将长方形分成一个等腰三角形和一个梯形，得到的三角形和长方形的面积比是 　3　：　5　。 思路点拨：（1）正方体有6个面，无盖正方体只有5个面，图中阴影是底面，则在阴影上下左右各画4个面积为1厘米的正方形即可； （2）根据“长方形周长＝（长+宽）×2”，根据周长是14厘米，可知长方形的一条长和宽之和是（14÷2）厘米，又长方形的宽是长的，则长时4厘米，宽是3厘米，据此画一个长时4厘米，宽是3厘米的长方形即可；长方形在分割为一个等腰三角形和一个梯形，可以使长方形的宽3厘米作为等腰三角形的一条腰，在长方形的长上截取3厘米点处作为等腰三角形的另一条腰长，将该店和长方形的一点连接即可组成一个等腰三角形和一个梯形，分别求出等腰三角形和梯形的面积，根据比的意义写出比并化简为最简整数比即可。 规范解答：解：（1）如下图所示： （2）14÷2＝7（厘米） 即长+宽＝7厘米，又长方形的宽是长的，所以长是4厘米，宽是3厘米。据此画一个长时4厘米，宽是3厘米的长方形，如下图所示： 将长方形分成一个等腰三角形和一个梯形，如下图所示： 等腰三角形的面积：4.5（cm2） 梯形的面积：（1+4）×3＝7.5（cm2） 4.5：7.5 ＝（4.5÷1.5）：（7.5÷1.5） ＝3：5 故答案为：3；5。 考点评析：本题考查正方体的侧面展开图以及长方形的画法、三角形、梯形的面积计算、比的意义等。 考点五：长方体和正方体的表面积 【精讲题】（2024•海门区模拟）楼房的外墙壁用于引水的铁皮水管，形状是长方体（如图），横截面是一个长方形，长1分米，宽0.6分米。如果每节水管长15分米，做这样一节水管至少要用铁皮 　48　平方分米。 思路点拨：求做这样一节水管至少要用多少平方分米的铁皮，就是求这个长方体的侧面积（缺两个底面），计算即可。 规范解答：解：（1+0.6）×2×15 ＝1.6×2×15 ＝48（平方分米） 答：做这样一节水管至少要用铁皮48平方分米。 故答案为：48。 考点评析：本题主要考查长方体表面积和侧面积公式的应用。 【精练题01】（2023秋•江阴市期末）一个长方体按照如图所示的三种方式，切割成两个相同的长方体，表面积分别增加了30cm2、40cm2、24cm2，原来长方体的表面积是 　94　cm2。 思路点拨：观察图形可知，将一个长方体分割成两个小长方体，按左一方式进行分割后，表面积增加了两个前后面，按左二方式进行分割后，表面积增加了两个上下面，按左三方式进行分割后，表面积增加了左右两个侧面，把增加的面积相加，据此计算即可解答问题。 规范解答：解：30+40+24 ＝70+24 ＝94（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是94平方厘米。 故答案为：94。 考点评析：此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是明确：不同的切割方法增加了哪两个切割面的面积。 【精练题02】（2024•海门区模拟）一种易拉罐的底面直径是4cm，高10cm。如图所示，做一个装这种易拉罐饮料的长方体纸箱（有盖），至少需要多少平方厘米的硬纸板？（接头和重叠部分忽略不计） 思路点拨：通过观察图形可知，长方体纸箱的底面边长是易拉罐底面直径的4倍，纸箱的高等于易拉罐的高，根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答。 规范解答：解：4×4＝16（厘米） （16×16+16×10+16×10）×2 ＝（256+160+160）×2 ＝576×2 ＝1152（平方厘米） 答：至少需要1152平方厘米的硬纸板 考点评析：此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 考点六：长方体和正方体的体积 【精讲题】（2022秋•沛县期末）一个长方体的长、宽、高分别是a米、b米和h米．如果高减少2米，那么它的体积减少（　　）立方米． A．2ab B．ab（h﹣2） C．（abh﹣2×2×2） 思路点拨：已知一个长方体的长、宽、高分别是a米、b米和h米．如果高减少2米，它的体积减少的是以原来长方体的长为长、原来长方体的宽为宽，高是2米的长方体的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答． 规范解答：解：a×b×2＝2ab（立方米） 答：它的体积减少2ab立方米． 故选：A． 考点评析：此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 【精练题01】（2019秋•常熟市校级期中）老师上课时拿出这样一个长方体，让同学们观察并测量. 小刘说：“这个长方体的棱长总和是68厘米.” 小李说：“这个长方体如果截去两厘米高度的话，就是一个正方体.” 小张说：“它的底面周长是2分米.” 小陈说：“长方体的前面和右面两个面的面积之和是70平方厘米.” 这四个人得到的数据都是正确的，筛选出必要的数据作为条件，求出长方体的体积. 思路点拨：已知底面周长是2分米，根据正方形的周长公式：C＝4a，那么a＝C÷4，据此可以求出底面边长，这个长方体如果截去两厘米高度的话，就是一个正方体，由此可知这个长方体的高比底面边长多2厘米，底面边长加上2厘米就是高，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据的如果是解答。 规范解答：解：2分米＝20厘米 20÷4＝5（厘米） 5×5×（5+2） ＝25×7 ＝175（立方厘米） 答：这个长方体的体积是175立方厘米。 考点评析：此题主要考查正方形的周长公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【精练题02】（2022秋•亭湖区期末）一个密封玻璃缸，存水的空间长8分米，宽4分米，高6分米，现在缸里水深4.2分米。 （1）玻璃缸里水的体积是多少立方分米？ （2）如果把缸竖起来，缸里水深多少分米？ 思路点拨：根据题意可知：无论横放还是竖放，玻璃缸内水的体积不变，首先根据长方体的体积是：V＝abh，把数据代入公式求出玻璃缸内水的体积； （2）用水的体积除以竖放玻璃缸的底面积即可计算水深。 规范解答：解：（1）8×4×4.2＝134.4（立方分米） 答：玻璃缸里水的体积是134.4立方分米。 （2）134.4÷（6×4） ＝134.4÷24 ＝5.6（分米） 答：水深5.6分米。 考点评析：此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点明确：无论横放还是竖放，玻璃缸内水的体积不变。 考点七：长方体、正方体表面积与体积计算的应用 【精讲题】（2023秋•六合区期末）李阿姨有一个底面周长是40厘米的长方体包装盒，侧面展开图和底面都是正方形（如图）。这个包装盒的表面积是 　1800　平方厘米，体积是 　4000　立方厘米。 思路点拨：根据长方体的侧面展开图的特征可知，如果长方体的侧面展开图是一个正方形，那么这个长方体的底面周长和高相等，根据正方形的周长公式：C＝4a，那么a＝C÷4，据此求出长方体的底面边长，再根据长方体的表面积＝侧面+2个底面；长方体体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 规范解答：解：40÷4＝10（厘米） 40×40+10×10×2 ＝1600+200 ＝1800（平方厘米） 10×10×40 ＝100×40 ＝4000（立方厘米） 答：这个包装盒的表面积是1800平方厘米，体积是4000立方厘米。 故答案为：1800；4000。 考点评析：此题主要考查正方形的周长公式、长方体的表面积、体积公式的灵活运用，关键是明确：如果长方体的侧面展开图是一个正方形，那么这个长方体的底面周长和高相等。 【精练题01】（2023秋•邗江区校级期末）爸爸在院子里用混凝土浇筑了一个无盖的长方体水槽（如图所示），从外面量，水槽长15分米，宽8分米，高5分米。水槽壁和底均厚5厘米。 （1）如果给水槽外壁贴上瓷砖，瓷砖的面积是多少平方分米？ （2）浇筑这样一个水槽至少需要多少立方分米的混凝土？ 思路点拨：（1）给水槽外壁贴上瓷砖，求瓷砖的面积是多少，实际求的是这个长方体水槽外壁的面积，因为是无盖的，只需求4个侧面和上面的面积和即可。 （2）先算出水槽的体积，再算出水槽的容积，用水槽的体积减去水槽的容积，即可算出浇筑这样一个水槽至少需要多少立方分米的混凝土。 规范解答：解：（1）5厘米＝0.5分米 15×5×2+8×5×2+15×0.5×2+（8﹣0.5×2）×0.5×2 ＝75×2+40×2+15+7 ＝150+80+22 ＝252（平方分米） 答：瓷砖的面积是252平方分米。 （2）水槽的体积： 15×8×5 ＝120×5 ＝600（立方分米） 5厘米＝0.5（分米） 水槽里面的长：15﹣0.5﹣0.5＝14（分米） 水槽里面的宽：8﹣0.5﹣0.5＝7（分米） 水槽里面的高：5﹣0.5＝4.5（分米） 水槽的容积： 14×7×4.5 ＝98×4.5 ＝441（立方分米） 600﹣441＝159（立方分米） 答：浇筑这样一个水槽至少需要159立方分米的混凝土。 考点评析：本题考查了长方体的表面积和体积的相关知识，熟练运用公式是解决本题的关键。 【精练题02】（2023秋•江宁区校级月考）张大爷在长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮上，从四个角各剪去一个边长5厘米的正方形（如图），再焊成一个无盖的长方体铁盒。 （1）这个铁盒的容积是多少立方厘米？ （2）焊成这个铁盒用了多少平方分米的铁皮？（接头处和铁皮厚度不计） 思路点拨：（1）根据长方体的容积公式：V＝abh，据此代入数值进行计算即可； （2）观察图形可知，折成的长方体的长为40﹣5×2＝30（厘米），宽为20﹣5×2＝10（厘米），高是5厘米，铁皮的面积就是长方体的五个面的面积，长方体的五个面的面积＝长×宽+（长×高+宽×高）×2，据此计算即可。 规范解答：解：（1）40﹣5×2 ＝40﹣10 ＝30（厘米） 20﹣5×2 ＝20﹣10 ＝10（厘米） 30×10×5 ＝300×5 ＝1500（立方厘米） 答：这个铁皮盒子的容积是1500立方厘米。 （2）30×10+（30×5+10×5）×2 ＝300+（150+50）×2 ＝300+200×2 ＝300+400 ＝700（平方厘米） 700平方厘米＝7平方分米 答：这个盒子用了7平方分米铁皮。 考点评析：本题考查长方体的表面积和容积，熟记公式是解题的关键。 考点八：组合图形的体积 【精讲题】．（2022秋•溧阳市期末）如图是用棱长1厘米的小正方体拼成的，这个图形的表面积是 　40　平方厘米，体积是 　13　立方厘米。 思路点拨：通过观察图形，这个组合图形的上、下面都是小正方体的7个面，前、后面都是小正方体的7个面，左、右面都是小正方体的6个面，根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式求出小正方体的一个面的面积，然后再乘外露面的个数就是这个图形的表面积，这个组合图形是由13个小正方体搭成的，根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式求出一个正方体的体积，然后再乘小正方体的个数就是这个图形的体积。 规范解答：解：1×1×（7×4+6×2） ＝1×（28+12） ＝1×40 ＝40（平方厘米） 1×1×1×13 ＝1×13 ＝13（立方厘米） 答：这个图形的表面积是40平方厘米，体积是13立方厘米。 故答案为：40，13。 考点评析：此题考查的目的是理解掌握正方形的面积公式、正方体的体积公式、组合图形的表面积、体积的意义及应用，关键是弄清组合图形是由多少个小正方体搭成的，组合图形的各面外露多少个正方形的面。 【精练题01】（2024•射阳县模拟）如图所示，左图是一个密闭的玻璃容器，里面装有5厘米深的水． （1）根据图上标注的信息计算该容器内水的体积． （2）若把该容器顺时针旋转90°，成为右图所示情形，求这时容器内水的深度．（单位：厘米．玻璃厚度不计．） 思路点拨：（1）根据图示可知，该容器中水的体积为：一个长12厘米、宽6厘米高4厘米的长方体体积，加上长（12﹣4﹣4）＝4（厘米）、宽6厘米、高（5﹣4）＝1（厘米）的长方体的体积，利用长方体体积公式计算即可； （2）根据图示，该图形旋转后，水的体积不变，所以，水旋转后的高度为：（312﹣4×6×4）÷（4+6）÷6+4＝7.6（厘米）． 规范解答：解：（1）12×6×4+（12﹣4﹣4）×6×（5﹣4） ＝288+24 ＝312（立方厘米） 答：这个容器中水的体积为312立方厘米． （2）（312﹣4×6×4）÷（4+6）÷6+4 ＝（312﹣96）÷10÷6+4 ＝216÷10÷6+4 ＝3.6+4 ＝7.6（厘米） 答：旋转后水的高度为7.6厘米． 考点评析：本题主要考查组合图形的体积，关键把组合图形转化为规则图形，利用规则图形的体积公式进行计算． 【精练题02】（2023秋•江宁区校级月考）求如图物体的体积。（单位：厘米） 思路点拨：计算这个物体的体积有三种方法：一是通过“补”的方法，看作一个棱长8厘米的正方体体积减一个长、宽、高分别是8厘米、3厘米、4厘米的长方体体积；二是通过“割”的方法，把这个物体分成一个长、宽、高分别为8厘米、8厘米、（8﹣4）厘米的长方体加一个长、宽、高分别为8厘米、（8﹣3）厘米、4厘米的长方体；三是分成一个长、宽、高分别为（8﹣3）厘米、8厘米、8厘米的长方体和一个长、宽、高分别为8厘米、（8﹣4）厘米、3厘米的长方体。根据正方体体积计算公式“V＝a3”及长方体体积计算公式“V＝abh”即可解答（这里用第一种方法解答）。 规范解答：解：83﹣8×4×3 ＝512﹣96 ＝416（立方厘米） 答：这个物体的体积是416立方厘米。 考点评析：计算不规则图形的体积，可以通过“割”或“补”的方法，使其变成规则图形，再按规则图形的体积计算公式解答。 考点九：规则立体图形的表面积 【精讲题】（2022秋•溧阳市期中）如图是用棱长1厘米的小正方体摆成的立体图形。它的体积是 　10　立方厘米，表面积是 　36　平方厘米。 思路点拨：通过观察图形可知，上层有1个小正方体，中层有3个小正方体，下层有6个小正方体，根据正方体的体积公式：V＝a3，求出小正方体的体积再乘小正方体的个数就是这个组合图形的体积； 上、下面外露小正方体的6个面，前、后面外露小正方体的6个面，左、右面外露小正方体的6个面，根据正方形的面积公式：S＝a2，求出小正方体的一个面的面积再乘外露面的个数就是这个组合图形的表面积。 规范解答：解：1×1×1×（1+3+6） ＝1×10 ＝10（立方厘米） 1×1×（6+6+6）×2 ＝1×18×2 ＝36（平方厘米） 答：这个物体的体积是10立方厘米，表面积是36平方厘米。 故答案为：10；36。 考点评析：此题主要考查正方体的体积公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【精练题01】（2022秋•徐州月考）如图是一个机器零件，要在这个机器零件的表面涂上一层漆，涂漆的面积是多少？（单位：厘米） 思路点拨：根据图意可知，涂漆的面积等于长方体的表面积加上正方体4个面的面积，长方体表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，正方体表面积＝棱长×棱长×6；列式计算即可解答。 规范解答：解：（8×3+8×3+3×3）×2+3×3×4 ＝（24+24+9）×2+36 ＝57×2+36 ＝114+36 ＝150（cm2） 答：涂漆的面积是150cm2。 考点评析：此题考查长方体、正方体表面积计算，掌握长方体、正方体表面积计算公式是解答的关键。 【精练题02】（2020秋•新吴区期末）如图所示的领奖台是由6个棱长是3分米的正方体组合而成的。 （1）如果要在领奖台的表面喷漆（底面不喷漆），需要喷漆的面积是多少？ （2）这个领奖台的体积是多少？ 思路点拨：（1）此图是由6个棱长3分米的小正方体搭成的，露在外面的：前、后面各有6个，左、右、上面各3个，下面的没有露在外面的面，所以6×2+3×3＝21个，根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式求出一个小正方形的面积，乘上露在外面的个数解答即可。 （2）一共有6个正方体，这个领奖台的体积是由6个正方体的体积相加之和得到的。 规范解答：解：（1）6×2+3×3 ＝12+9 ＝21（个） 3×3＝9（平方分米） 21×9＝189（平方分米） 答：需要喷漆的面积是189平方分米。 （2）3×3×3＝27（立方分米） 27×6＝162（立方分米） 答：这个领奖台的体积是162立方分米。 考点评析：解答此题的关键是弄清楚每个图形露在外面的面的个数，再根据正方形的面积公式解答；体积可以看作是几个正方体的体积之和。 考点十：规则立体图形的体积 【精讲题】（2021•泗洪县）如图是由若干个棱长1厘米的小正方体堆放而成，这些小正方体所占的空间是 　7　立方厘米。表面积是 　28　平方厘米。 思路点拨：立体图形的体积＝每块小正方体的体积×小正方体的块数；立体图形从上、下面看到的都是5个棱长1cm的小正方形，从左、右面看到的都是5个棱长1cm的小正方形，从前、后面看到的都是4个棱长1cm的小正方形，据此解答即可。 规范解答：解：1×1×1×7＝7（cm3） 1×1×5×2+1×1×5×2+1×1×4×2 ＝10+10+8 ＝28（cm2） 答：立体图形的体积是7cm3，表面积是28cm2。 故答案为：7，28。 考点评析：求立体图形的表面积是本题的难点，运用从不同方向观察立体图形的知识，6个方向观察到的图形的总面积，就是这个立体图形的表面积。 【精练题01】（2020秋•溧阳市期中）如图是用棱长1厘米的小正方体拼成的立体图形。这个立体图形的表面积是 　96　平方厘米，体积是 　64　立方厘米。 思路点拨：观察可知，这个立体图形的长是由4个小正方体拼成的，宽也是由4个小正方体拼成的，高也是由4个小正方体拼成的，因此这个图形是一个正方体。它是一个棱长为（1×4）厘米的正方体，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，即可求得。 规范解答：解：1×4＝4（厘米） 4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方厘米） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 答：这个立体图形的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米。 故答案为：96，64。 考点评析：本题考查正方体的体积和表面积的计算。 【精练题02】（2020秋•梁溪区月考）如图是由同样大小的小方块堆成，每个小方块的棱长是2分米，这组物体的体积是 　64　立方分米，表面积是 　112　平方分米。 思路点拨：此图形可以分为上下两部分，上面有3个小方块，下面有5个小方块，共8个，用8乘一个小方块的体积即可求出这组物体的体积；表面积从左边看有4个面，右边4个面，前边5个面，后边5个面，上面看5个面，下面5个面，共4+4+5+5+5+5＝28（个））面，用28乘一个面的面积；据此解答即可。 规范解答：解：每个小方块棱长是2分米，所以每个小方块的体积是2×2×2＝8（立方分米） 小方块的个数：5+3＝8（个） 这组物体的体积：8×8＝64（立方分米） 每个面的面积：2×2＝4（平方分米） 表面积： （4+4+5+5+5+5）×4 ＝28×4 ＝112（平方分米） 答：这组物体的体积是64立方分米，表面积是112平方分米。 故答案为：64；112。 考点评析：无论体积还是表面积，如果恰当分类，然后按分好的类计算，则会简单。 考点十一：不规则立体图形的表面积 【精讲题】（2018•海门市）如图，5个棱长为2分米的正方体硬纸箱堆放在墙角，体积一共是　40　立方分米，露在外面的硬纸面积是　40　平方分米． 思路点拨：（1）观察图形可知，这个立体图形的体积是图中5个小正方体的体积之和，利用正方体的体积公式计算出1个小正方体的体积，再乘5即可； （2）这个图形的前面有4个正方体面露在外面，右面、上面都有3个正方体面露在外面，所以一共是4+3+3＝10个面，据此解答即可． 规范解答：解：（1）体积是：2×2×2×5＝40（立方分米） （2）露在外部的面积是：2×2×（4+3+3） ＝4×10 ＝40（平方分米） 答：体积一共是40立方分米，露在外面的硬纸面积是40平方分米． 故答案为：40，40． 考点评析：此题考查规则图形的表面积和体积的计算，解决此题的关键是求出露在外面的面的总个数． 【精练题01】（2022•如东县模拟）棱长1分米的小正方体如图所示层层堆叠放置。 （1）当重叠到5层时，5层一共有 　35　个正方体。 （2）当重叠到5层时，这个5层的立体图形的表面积是 　90　平方分米。 思路点拨：（1）一层时有1个，二层时有1+3＝4（个），三层时有（1+3+6）＝10（个），可得四层时有（1+3+6+10）＝16（个），五层时有（1+3+6+10+15）＝35（个）。 （2）表面积与面有关，分别数出左面、上面、前面有多少个面，把这每三个面的面积算出来，然后相加的和再乘2即可。 规范解答：解：（1）五层时有：1+3+6+10+15＝35（个） 答：当重叠到5层时，5层一共有35个正方体。 （2）一个正方体的表面积是1×1×6＝6（cm2），1层时表面积是1×6cm2，2层时表面积是（1+2）×6cm2，3层时表面积是（1+2+3）×6cm2，所以5层时表面积是（1+2+3+4+5）×6＝90（cm2） 答：当重叠到5层时，这个立体图形的表面积是90平方厘米。 故答案为：（1）35；（2）90。 考点评析：解答本题的关键是找出物体摆放的规律，结合正方体的表面积的计算方法解决问题。 【精练题02】（2021秋•六合区校级期中）如图是用体积1立方厘米的小正方体摆成的物体。 （1）这个物体的表面积是 　36　平方厘米。 （2）如果现在你手里还有一些相同的小正方体可添放在这个物体上，要保持前面和右面看到的形状不变，则最多可以添加 　4　个小正方体。 （3）如果增加同样的小正方体，把这个物体补成一个大正方体，至少还需要 　17　个这样的小正方体。 思路点拨：（1）该物体从正面看可以看到6个正方形，从上面看可以看到6个正方形，从左面看可以看到6个正方形，因此这个物体的表面积等于（6+6+6）×2个正方形的面积之和； （2）从前面和右面看分别是和；最多可以再加4个这样的三角形，则这个物体的正方体组成是； （3）改物体的下层的上行有3个正方体，因此该物体可以拼成一个棱长为3厘米的大正方体；求出这个棱长为3厘米的大正方体的由多少个小正方体组成，再减去原来的小正方体个数即可。 规范解答：解：（1）1×1×（6+6+6）×2 ＝1×36 ＝36（平方厘米） 答：这个物体的表面积是36平方厘米。 （2）要保持前面和右面看到的形状不变，则最多可以添加4个小正方体。 （3）可以补成一个棱长是3厘米的大正方体， 3×3×3＝27（立方厘米） 所以一共有27个小正方体 27﹣10＝17（个） 答：至少还需要17个这样的小正方体。 故答案为：36，4，17。 考点评析：求物体的表面积就把6个面的面积之和加起来计算；再通过动手摆一摆即可确定物体的形状。 考点十二：染色问题 【精讲题】（2024•四川校级模拟）将32个相同的小正方体拼成一个体积为32立方厘米的长方体，将表面涂上红漆，然后分开，其中有2个面涂红的小正方体有24个，则有1个面涂红的小正方体有 　0　个。 思路点拨：分别把32块小正方体拼搭成不同的长方体后，找到满足2面染色的小正方体有24个拼搭方法，然后计算此种拼搭方式下1面染色的小正方体有几块即可。 规范解答：解：32＝32×1×1，即32个相同的小正方体拼成一个体积为32立方厘米的长方体，长宽高可以为32厘米、1厘米、1厘米， 将表面涂上红漆，然后分开，其中有2个面涂红的小正方体有0个，不满足题意； 32＝16×2×1，即32个相同的小正方体拼成一个体积为32立方厘米的长方体，长宽高可以为16厘米、2厘米、1厘米， 将表面涂上红漆，然后分开，其中有2个面涂红的小正方体有0个，不满足题意； 32＝8×4×1，即32个相同的小正方体拼成一个体积为32立方厘米的长方体，长宽高可以为8厘米、4厘米、1厘米， 将表面涂上红漆，然后分开，其中有2个面涂红的小正方体的个数是：（8﹣2）×（4﹣2）＝12（个），不满足题意； 32＝8×2×2，即32个相同的小正方体拼成一个体积为32立方厘米的长方体，长宽高可以为8厘米、2厘米、2厘米， 将表面涂上红漆，然后分开，其中有2个面涂红的小正方体的个数是：（8﹣2）×4＝24（个），满足题意； 此时1个面涂红的小正方体个数为0个。 32＝4×4×2，即32个相同的小正方体拼成一个体积为32立方厘米的长方体，长宽高可以为4厘米、4厘米、2厘米， 将表面涂上红漆，然后分开，其中有2个面涂红的小正方体的个数是：（4﹣2）×4＝8（个），不满足题意。 综上，32个相同的小正方体拼成一个体积为32立方厘米的长方体，长宽高是8厘米、2厘米、2厘米时将表面涂上红漆，然后分开，其中有2个面涂红的小正方体的个数是24个。此时1个面涂红的小正方体个数为0。 答：1个面涂红的小正方体有0个。 故答案为：0。 考点评析：本题考查了染色问题的应用。 【精练题01】（2023秋•天宁区校级期末）一个六面都涂色的魔方，一共有64个小正方体组成，其中一面涂色的小正方体有 　24　块，两面涂色的小正方体共有 　24　块，三面涂色的小正方体共有 　8　块。 思路点拨：正方体有6个面、12条棱、8个顶点，根据涂色的面所处的位置进行计算。一面涂色的：在面上，每个面上有4块，正方体共有6个面，因此一面涂色的共有（4×6）块；两面涂色的：在棱上，每个棱上有2个，正方体共有12条棱，因此两面涂色的共有（2×12）块；三面涂色的：在顶点处，每个顶点处有1个，正方体共有8个顶点，因此三面涂色的共有8块；据此解答。 规范解答：解：一面涂色的：4×6＝24 （块） 两面涂色的：2×12＝24（块） 三面涂色的：共有8块。 故答案为：24；24；8。 考点评析：理解正方体的形体特征以及涂色的小正方体所处的位置是解题的关键。 【精练题02】（2023秋•苏州期中）把一个棱长是5厘米的正方体表面涂上红色，然后切成棱长1厘米的小正方体，其中一面涂色的有 　54　个，两面涂色的有 　36　个，三面涂色的有 　8　个。 思路点拨：因为5÷1＝5（个），所以大正方体每条棱长上面都有5块小正方体；根据立体图形的知识可知：三个面均为红色的小正方体在各顶点处；在各棱处，除去顶点处的小正方体剩下的都是两面红色；在每个面上，除去棱上的小正方体都是一面红色；据此解答即可。 规范解答：解：5÷1＝5（个） 一面涂色的有：（5﹣2）×（5﹣2）×6 ＝3×3×6 ＝54（个） 两面涂色的有：（5﹣2）×12 ＝3×12 ＝36（个） 三面涂色的都在顶点处，所以一共有8个。 答：其中一面涂色的有54个，两面涂色的有36个，三面涂色的有8个。 故答案为：54，36，8。 考点评析：此题考查了立方体的知识。注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用 基础夯实优选题专练 1．（2023六上·洪泽月考）两个表面积都是24平方厘米的正方体，拼成一个长方体。这个长方体的表面积是（　　）平方厘米。 A．40 B．44 C．48 D．60 答案：A 规范解答：24÷6=4（平方厘米）， 24×2-4×2 =48-8 =40（平方厘米）。 故答案为：A。 思路点拨：已知正方体的表面积，可以求出正方体一个面的面积，正方体的表面积÷6=正方体一个面的面积，将两个表面积都是24平方厘米的正方体，拼成一个长方体，长方体的表面积会比原来两个正方体表面积之和减少两个面的面积，据此列式解答。 2．（2023·）下列说法中正确的有（　　）。 ①真分数的倒数大于1，假分数的倒数小于1。②至少要4个小正方体才能拼成一个大正方体。③两个长方体木箱的体积相等，则它们的容积也一定相等。④20克盐溶于100克水中，盐和盐水的比是1：6。 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：B 规范解答：解：①假设假分数是，那么它的倒数等于1，因此假分数的倒数小于1说法错误； ②至少要8个小正方体才能拼成一个大正方体，所以说法错误； ③两个长方体木箱的体积相等，但它们的木板厚度不一定相等，也就是内部尺寸不一定相等，所以它们的容积不一定相等，说法错误； ④20＋100=120，20：120=1：6，所以说法正确。 故答案为：B。 思路点拨：①乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数是1，0没有倒数，真分数的倒数大于1，假分数的倒数小于或等于1，带分数的倒数小于1； ②根据实际拼图可知4个小正方体拼成的是一个长方体，而至少需要8个小正方体才可以拼成一个大正方体； ③体积是指物体所占空间的大小，而容积是指容器所能容纳物体的多少，计算容积我们是需要从容器的内部测量尺寸，所以一般情况容器的体积都大于容器的容积，而体积相等的两个木箱，会因为制作木箱的木板厚度不同而导致它们的容积不同； ④盐的质量＋水的质量=盐水的质量，盐和盐水的比=盐：（盐的质量＋水的质量）。 3．（2023·平谷）将一个正方体纸盒沿如图所示的粗实线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为（　　）。 A． B． C． D． 答案：C 规范解答：解：其展开图的形状为。 故答案为：C。 思路点拨：其展开图变成了“1＋4＋1”型中的。 4．（2023·）一个长方体，高增加5分米后，变成一个正方体，表面积增加了160平方分米，原来长方体的长是　 　分米。 答案：8 规范解答：解：160÷4÷5 =40÷5 =8（分米）。 故答案为：8。 思路点拨： 如图，只是增加高，那么增加的表面积就是红色部分的四个面，四个面的面积=增加的高×长×2＋增加的高×宽×2，另外“高增加5分米后，变成一个正方体”，说明原长方体的长与宽的长度相等，所以四个面的面积也就相等=增加的高×长×4，据此可解答。 5．（2023六上·泗阳）把一个长10厘米、宽5.5厘米、高6厘米的长方体木块，平均锯成3个小长方体，表面积最多增加　 　 平方厘米，最少增加　 　平方厘米。 答案：240；132 规范解答：解：10×6×4 =60×4 =240（平方厘米） 5.5×6×4 =33×4 =132（平方厘米）。 故答案为：240；132。 思路点拨：把长方体平均锯成3个小长方体，表面积增加了4个横截面的面积；最多增加的表面积=最大的面的面积×增加横截面的个数；最少增加的表面积=最小的面的面积×增加横截面的个数。 6．（2023六上·金湖期末）一根3米长的方钢，把它横截成3段时，表面积增加72平方分米，原来方钢的体积是　 　。 答案：540立方分米 规范解答：解：3米=30分米 72÷4=18（平方分米） 18×30=540（立方分米） 故答案为：540立方分米。 思路点拨：把它横截成3段时，表面积增加了4个底面积，增加的面积÷4=底面积，底面积×高=体积。 7．（2023六上·溧阳月考）一个长方体木箱长、宽都是 6 分米，把它放在墙角，露在外面的面积是 144 平方分米，这个木箱的体积是多少立方分米? 答案：解：144-6×6 =144-36 =108（平方分米） 108÷（6+6） =108÷12 =9（分米） 6×6×9 =36×9 =324（立方分米） 答：这个木箱的体积是324立方分米。 思路点拨：从图中可以看出，露在外面的2个侧面的高相等，所以两个侧面的面积之和=露在外面的面积-顶面的面积，所以木箱的高=两个侧面的面积之和÷两个侧面的底面之和，那么这个木箱的体积=长×宽×高。 8．（2023六上·泗阳）学校有一个长方体形状的沙坑，长4米，宽2米，深0.5米。现有黄沙3.2立方米，可以铺多厚？（用方程解答 ） 答案：解：设可以铺x米。 4×2×x=3.2 8x=3.2 x=3.2÷8 x=0.4 答：可以铺0.4米。 思路点拨：依据等量关系式：长方体沙坑的长×宽×铺的厚度=黄沙的体积，列方程，解方程。 9．（2023六上·灌云期末）航模兴趣小组同学观察并测量了一个长方体。甲说：“如果高减少2厘米，它巧好是一个正方体。”乙说：“长方体的前、后、左、右四个面的面积之和是96平方厘米。”丙说：“它的底面周长是16厘米。”这三名同学得到的数据都是正确的，求这个长方体的体积。 答案：解：16÷4=4（厘米） 4＋2=6（厘米） 4×4×6 =16×6 =96（立方厘米） 答：这个长方体的体积是96立方厘米。 思路点拨：这个长方体的体积=长×宽×高；其中，长=宽=底面周长÷4，高=宽＋2厘米。 10．（2023六上·灌云期末）一个密封长方体玻璃缸，存水的空间长6分米、宽5分米、高4分米，现在缸里的水深3分米。如果竖起来（如图），缸里水深多少分米？ 答案：解：（6×5×3）÷（5×4） =（30×3）÷20 =90÷20 =4.5（分米） 答：缸里水深4.5分米。 思路点拨：缸竖起来后缸里水的深度=水的体积÷（宽×高）；其中，水的体积=长×宽×水的深度。 11．（2022六上·雨花台期中）一种铁皮油箱，长80厘米，宽60厘米，高50厘米. （1）做这个油箱至少需要多少平方分米的铁皮？ （2）如果每升油重0.75千克，这个油箱可装油多少千克？ 答案：（1）解：（80×60+80×50+60×50）×2 =（4800+4000+3000）×2 =（8800+3000）×2 =11800×2 =23600（平方厘米） 23600平方厘米=236平方分米 答：做这个油箱至少需要236平方分米的铁皮。 （2）解：80×60×50 =4800×50 =240000（立方厘米） 240000立方厘米=240立方分米=240升 240×0.75=180（千克） 答：这个油箱可装油180千克。 思路点拨：（1）做这个油箱至少需要铁皮的面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2； （2）这个油箱可装油的质量=油箱的容积×平均每升汽油的质量；其中，油箱的容积=长×宽×高。 12．（2021六上·东海期中）用下面几种纸片，可以围成不同的长方体和正方体。 （1）如果用　 　号纸片　 　张，可以围成一个正方体。 （2）如果用　 　号、　 　号和　 　号纸片各2张，可以围成一个长方体。 （3）如果用　 　号纸片2张、　 　号纸片4张，也可以围成一个长方体。 答案：（1）②；6 （2）①；③；④ （3）⑤；③ 规范解答：（1）、用②号正方形纸片6张可以围成一个棱长6厘米的正方体； （2）、用①、③、④纸片各两张可以围成一个长10厘米、宽6厘米、高2厘米的长方体；、 （3）、用⑤纸片2张、③纸片4张可以围成一个长10厘米、宽10厘米、高2厘米的长方体。 故答案为：（1）②，6；（2）①，③，④；（3）⑤，③。 思路点拨：长方体特征有： 1、长方体有6个面，每组相对的面都是完全相同的。 2、长方体有12条棱，相对的四条棱长度都是相同的。如果按照长度可以分成三组，每一组都会有四条棱。 3、长方体有8个顶点，每个顶点都会连接三条棱，三条棱分别称为是长方体的长、宽、高。 4、长方形相邻的两条棱处于互相垂直的状态。 正方体特征有： 1、正方体有8个顶点，每个顶点都会连接三条棱。 2、正方体有12条棱，每条棱的长度都是相等的。 3、正方体有6个面，每个面的面积都是相等的。 培优优选题专练 13．（2022六上·徐州月考）一个长方体，长a米，宽b米，高h米。如果高增加3米，那么体积增加_____立方米，表面积增加_____平方米。（　　） A．3ab，3ab B．3ab，6ab C．3ab，3a＋3b D．3ab，6a＋6b 答案：D 规范解答：解：a×b×3=3ab（立方米） （a×3＋b×3）×2 =2（3a＋3b） =（6a＋6b）（平方米）。 故答案为：D。 思路点拨：增加的体积=长×宽×增加的高；增加的表面积=（长×增加的高＋宽×增加的高）×2。 14．（2021六上·六合期中）如图，一个无水观赏鱼缸中放有一块高为4分米，体积为6立方分米的假石山，如果以每分钟5升的速度向缸内注水，那么至少需要（　　）分钟才能将石山完全淹没。 A．13.2 B．14.4 C．16.8 D．18 答案：A 规范解答：解：5升=5立方分米，6×3×4=72立方分米，72-6=66立方分米，66÷5=13.2分钟，所以至少需要13.2分钟才能将石山完全淹没。 故答案为：A。 思路点拨：先把单位进行换算，即1升=1立方分米，至少需要注入水的高度是4分米，所以完全淹没石山时水和石山一共的体积=容器的长×容器的宽×4，那么注入水的体积=完全淹没石山时水和石山一共的体积-石山的体积，所以至少需要的时间=注入水的体积÷注水的速度。 15．（2021六上·太仓期中）将若干个相同的小正方体拼成一个大正方体，至少需要（　　）个这样的小正方体。 A．4 B．27 C．8 答案：C 规范解答：解：将若干个相同的小正方体拼成一个大正方体，至少需要8个这样的小正方体。 故答案为：C。 思路点拨：拼大正方体时每2个小正方体拼成一排，共拼2排，这样每层需要4个，2层共需要8个，所以至少需要8个这样的小正方体才能拼成一个大正方体。 16．（2022六上·扬州月考）如两图形分别表示一个长方体的前面和右侧面，那么这个长方体的体积是（ ）。 A．36立方厘米 B．12立方厘米 C．18立方厘米 D．30立方厘米 答案：A 规范解答：解：6×3×2 =18×2 =36（立方厘米）。 故答案为：A。 思路点拨：这个长方体的体积=长×宽×高。 17．（2022六上·雨花台期中）一个长方体，如果高增加3厘米后，就变成一个正方体。这时表面积比原来增加60平方厘米。原来长方体的体积是　 　立方厘米。 答案：50 规范解答：解：60÷4÷3 =15÷3 =5（厘米） 5-3=2（厘米） 5×5×2 =25×2 =50（立方厘米） 故答案为：50。 思路点拨：原来长方体的体积=原来的长×原来的宽×原来的高；其中，原来的长=原来的宽=增加的表面积÷4÷增加的高，原来的高=原来的长-增加的高。 18．（2020六上·邳州期末）一个长方体，如果长减少3厘米，就是一个正方体，这个正方体的表面积是96平方厘米，原来长方体的长是　 　厘米，体积是　 　立方厘米。 答案：7；63 规范解答：解：正方体一个面的面积：96÷6=16（平方厘米）， 4×4=16（平方厘米），所以正方体的棱长是4厘米， 原来长方体的长：4+3=7（厘米）， 体积：7×3×3=63（立方厘米）。 故答案为：7；63。 思路点拨：这个长方体是特殊的长方体，有两个面是正方形。用正方体的表面积除以6求出一个面的面积，然后根据正方形面积公式确定正方体的棱长，这个棱长实际就是长方体的宽和高，用这个棱长加上3厘米就是长方体的长。然后用长乘宽乘高求出长方体体积即可。 19．（2020六上·昆山期末）下图中大球体积是　 　立方厘米。 答案：10 规范解答：解：（30-15）÷3=5立方厘米，15-5=10立方厘米，所以大球体积是10立方厘米。 故答案为：10。 思路点拨：从第二幅图和第三幅图可以得出，每个小球的体积=（1个大球和4个小球的体积-1个大球和1个小球的体积）÷第二幅图和第三幅图相差小球的个数，所以每个大球的体积=第二幅图小杯里水的体积-每个小球的体积。 20．（2023六上·泗阳）学校平顶教室长10米，宽6米，高4米。要粉刷教室的顶面和四面墙壁，教室门窗和黑板的面积一共有35.8平方米。要粉刷的面积有多少平方米？ 答案：解：10×6＋（10×4＋6×4）×2-35.8 =10×6＋64×2-35.8 =60＋128-35.8 =188-35.8 =152.2（平方米） 答：要粉刷的面积有152.2平方米。 思路点拨：要粉刷的面积=长×宽＋（长×高＋宽×高）×2-教室门窗和黑板的面积。 21．（2023六上·金湖期末）把一个所有棱长之和为144cm的正方体实心铁块熔铸成一个长为9cm，宽为6cm的长方体实心铁块，这个长方体实心铁块的高是多少厘米？ 答案：解：144÷12＝12（厘米） 12×12×12÷（9×6） ＝144×12÷54 ＝1728÷54 ＝32（厘米） 答：这个长方体实心铁块的高是32厘米。 思路点拨：正方体棱长之和÷12=正方体的棱长，正方体的棱长×棱长×棱长=正方体的体积，正方体的体积÷长方体的底面积=长方体的高。 22．（2022六上·昆山期末）小明家有一个无盖的长方体鱼缸，长8分米、宽2.5分米、高4分米。 （1）制作这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）爸爸往这个鱼缸里加入了70升水，如果鱼缸平放在桌上，这时水深多少分米？ 答案：（1）解：8×2.5＋（8×4＋2.5×4）×2 =8×2.5＋（32＋10）×2 =8×2.5＋42×2 =20＋84 =104（平方分米） 答：制作这个鱼缸至少需要玻璃104平方分米。 （2）解：70升=70立方分米 70÷（8×2.5） =70÷20 =3.5（分米） 答：这时水深3.5厘米。 思路点拨：（1）制作这个鱼缸至少需要玻璃的面积=长×宽＋（长×高＋宽×高）×2； （2）这时的水深=加入水的体积÷（长方体的长×宽）。 23．（2022六上·雨花台期中）一块长方形铁皮，长22厘米，在它四个顶角分别剪去边长3厘米的正方形，然后折起来焊成一个无盖的长方体铁皮盒。已知这个铁皮盒的容积是576立方厘米，原来这块铁皮的面积是多少？ 答案：解：22-3-3 =19-3 =16（厘米） 576÷（16×3） =576÷48 =12（厘米） 12+3+3 =15＋3 =18（厘米） 18×22=396（平方厘米） 答：原来这块铁皮的面积是396平方厘米。 思路点拨：原来这块铁皮的面积=铁皮的长×铁皮的宽；其中，铁皮的宽=这个铁皮盒的容积÷（铁皮盒的高×铁皮盒的长＋剪去正方形的边长＋剪去正方形的边长；其中，铁皮盒的高=剪去正方形的边长，铁皮盒的长=铁皮的长-剪去正方形的边长-剪去正方形的边长。 24．（2022六上·连云港月考）一个长方体按以下三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？ 答案：解：40÷2=20（平方厘米） 5×4=20（平方厘米） 30÷2=15（平方厘米） 5×3=15（平方厘米） 24÷2=12（平方厘米） 4×3=12（平方厘米） 则这个长方体的长是5厘米、宽3厘米、高4厘米 （5×3＋5×4＋3×4）×2 =（15＋20＋12）×2 =（35＋12）×2 =47×2 =94（平方厘米） 5×3×4 =15×4 =60（立方厘米） 答：原来长方体的表面积是94平方厘米，体积是60立方厘米。 思路点拨：原来长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；体积=长×宽×高。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$