精品解析：四川省凉山州宁南中学2023-2024学年高一下学期数学期末复习卷二

期末复习卷二 时间：120分钟 满分：150分 命卷人：姜连斌 审核人： 一、选择题 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 样本数据的平均数，方差，则样本数据，，，的平均数，方差分别为（ ） A. 9，4 B. 9，2 C. 4，1 D. 2，1 3. 已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 在中，是的中点，直线分别与交于点，且，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边点x轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 6. 2016年至2023年我国原油进口数量如图所示： 下列结论正确的是（ ） A. 2016年至2023年我国原油进口数量逐年增加 B. 2016年至2023年我国原油进口数量的极差为16138万吨 C. 2016年至2023年我国原油进口数是的分位数为54239万吨 D. 2015年我国原油进口数量少于30000万吨 7. 如图，正方体棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论不正确的是（ ） A. 平面 B. ，始终在同一个平面内 C. 平面 D. 三棱锥的体积为定值 8. 已知中，角的对边分别是，若，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 二、多选题 9. 已知向量，，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量是 10. 甲、乙两名篮球运动员连续10场比赛的得分如下表所示，则下列说法正确的有（ ） 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 18 20 22 13 20 27 10 21 19 30 乙 3 10 20 9 24 27 13 28 9 17 A. 甲的众数大于乙的众数 B. 甲的平均数大于乙的平均数 C. 甲的极差大于乙的极差 D. 甲的60百分位数大于乙的60百分位数 11. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD为等边三角形，PA＝2，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PC上运动（不含端点），则（ ） A. 平面PAD⊥平面PCD B. 存在点M使得BD⊥AM C. 当M为线段PC中点时，过点A，D，M的平面交PB于点N，则四边形ADMN的面积为 D. 的最小值为4 三、填空题 12. 某中学高一年级共有学生900人，其中女生有405人，为了解他们的身高状况，用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，若男生样本量为33，则__________. 13. 已知函数和的图象均连续不断，若满足：，均有，则称区间为和的“区间”，则和在上的一个“区间”为_________．（写出符合题意的一个区间即可） 14. 如图，已知为圆的直径，为圆上一动点，圆所在平面，且，过点作平面，交分别于，则三棱锥外接球的表面积为__________；当三棱锥体积最大时，__________. 四、解答题（第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.） 15. 已知向量， （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 16. 如图，某海域的东西方向上分别有A，B两个观测塔，它们相距海里，现A观测塔发现有一艘轮船在D点发出求救信号，经观测得知D点位于A点北偏东45，同时B观测塔也发现了求救信号，经观测D点位于B点北偏西75，这时位于B点南偏西45且与B相距30海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时. （1）求B点到D点的距离； （2）若命令C处的救援船立即前往D点营救，救援船能否在1小时内到达救援地点？请说明理由.（参考数据：，，） 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，且底面ABCD为正方形，，E，F，G分别为PC，PD，BC的中点，若H为AB上一点，且. （1）求证：平面EFG； （2）求三棱锥的体积. 18. 如图，已知平面ABC，，，，，，点为的中点 （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）若点为的中点，求点到平面的距离． 19. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a，b的值； （2）若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习卷二 时间：120分钟 满分：150分 命卷人：姜连斌 审核人： 一、选择题 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合复数的四则运算分析求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 2. 样本数据的平均数，方差，则样本数据，，，的平均数，方差分别为（ ） A. 9，4 B. 9，2 C. 4，1 D. 2，1 【答案】A 【解析】 【分析】由平均值、方差的性质求新数据的平均数和方差． 【详解】由，得样本数据，，，的平均数为， 由，得样本数据，，，的方差为. 故选：A 3. 已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】用具体事物比如教室作为长方体，再根据面面平行的判定定理及线面平行的判定定理判断． 【详解】对于A，比如教室的一角三个面相互垂直，故A不正确； 对于B，若，，，此时与可能相交或平行，故B不正确； 对于C，若，，此时或，由线面平行的判定定理可知，或，故C不正确； 对于D，若，，则，而，所以，故D正确. 故选：D 4. 在中，是的中点，直线分别与交于点，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量运算法则，利用表示，结合向量三点共线的定理列式运算求解. 【详解】由，得. 因为共线，所以，解得. 故选：B. 5. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边点x轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义得的值，再根据二倍角公式求得的值，于是由正弦两角和公式可得的值. 【详解】由题意可得， 所以， 则. 故选：C. 6. 2016年至2023年我国原油进口数量如图所示： 下列结论正确的是（ ） A. 2016年至2023年我国原油进口数量逐年增加 B. 2016年至2023年我国原油进口数量的极差为16138万吨 C. 2016年至2023年我国原油进口数是的分位数为54239万吨 D. 2015年我国原油进口数量少于30000万吨 【答案】C 【解析】 【分析】根据统计图的数据，依次分析选项即可得答案. 【详解】2021年和2022年我国原油进口数量都比上一年少，A错误； 2016年至2023年我国原油进口数量的极差为18298万吨，B错误； 将数据从小到大排序：，，，，，，，， 由于，则年至2023年我国原油进口数量的分位数为为第7个数，即54239万吨，C正确； 设2015年我国原油进口数量为万吨，，， 所以2015年我国原油进口数量超过30000万吨，D错误． 故选：C 7. 如图，正方体棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论不正确的是（ ） A. 平面 B. ，始终在同一个平面内 C. 平面 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，依次分析：如图可知，连接交于点，则，通过线面垂直的判定定理可证出平面，即可证出平面，可判断A正确；根据，，，不在一个平面进而断定B错误；由于，根据线面平行的判定，即可判断出C正确；可分别求得和，且平面，则求出三棱锥的体积，且为定值，即可判断D项正确. 【详解】解：由题可知，正方体棱长为， 则平面，而平面， ， 连接交于点，则， 而，平面， 平面， 由于是线段上的两个动点，则， 平面，， 又，所以平面，故选项A正确； ，，同在平面上，而不在平面上， ，不在同一个平面内，故选项B错误； ，面，面， 平面，故选项C正确； 由于，，且， ， 由于平面，则平面， ， 由于底面积和高都不变，则体积为定值，故选项D正确. 故选：B 【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，线面平行的判定，以及空间中直线与平面的位置关系和棱锥的体积公式，考查推理证明能力. 8. 已知中，角的对边分别是，若，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理，结合诱导公式及二倍角的余弦公式可得，可得，从而可得是等边三角形. 【详解】由， 结合正弦定理可得，所以， 又因为是的内角，故， 所以是等边三角形. 故选：B. 二、多选题 9. 已知向量，，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标求解可得，可求解A，根据数量积的坐标运算求解B，根据夹角公式可求解C，根据投影向量的公式即可求解D. 【详解】对于A，由，可得，，故A正确； 对于B，由于，所以，故B正确； 对于C，， 由于，所以，故C错误； 对于D，在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD 10. 甲、乙两名篮球运动员连续10场比赛的得分如下表所示，则下列说法正确的有（ ） 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 18 20 22 13 20 27 10 21 19 30 乙 3 10 20 9 24 27 13 28 9 17 A. 甲的众数大于乙的众数 B. 甲的平均数大于乙的平均数 C. 甲的极差大于乙的极差 D. 甲的60百分位数大于乙的60百分位数 【答案】ABD 【解析】 【分析】分别根据一组数据的众数，平均数计算公式，极差和百分位数定义即可一一判断. 【详解】对于A，甲的众数为20，而乙的众数为9，故甲的众数大于乙的众数，A正确； 对于B，因甲平均数 ， 而乙平均数，故B正确； 对于C，甲的极差为，而乙的极差为，故C错误； 对于D，先把甲的得分按从小到大顺序排列为：10，13，18，19，20，20，21，22，27，30， 由知甲的60百分位数为； 再把乙的得分按从小到大顺序排列为：3，9，9，10，13，17，20，24，27，28， 则乙的60百分位数为，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD为等边三角形，PA＝2，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PC上运动（不含端点），则（ ） A. 平面PAD⊥平面PCD B. 存在点M使得BD⊥AM C. 当M为线段PC中点时，过点A，D，M的平面交PB于点N，则四边形ADMN的面积为 D. 的最小值为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质可得线面垂直即可判断A，根据反证法即可找矛盾求解B,根据长度关系即可由梯形面积求解C，由三点共线即可由平面图形关系求解D. 【详解】对于A, 平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，故平面平面，故A正确 如图，取的中点，连接，，，则， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，则． 假若BD⊥AM，平面， 所以平面，而平面， 故，又，平面, 所以平面,平面， 所以，这显然与底面ABCD是正方形矛盾，故不成立，B错误． 取的中点，连接，则 由于， 由于平面，平面， 所以故， 由于三角形均为直角三角形，所以 故四边形为等腰梯形，且, 如图：过点作，所以, 故四边形的面积为，故C正确， 由于均为等腰三角形，, 将两个三角形展开成一个平面，所以四边形为平行四边形， 将沿着展开与在同一平面，连接交于, 所以四边形为平行四边形，如图: 由余弦定理可得， 所以， 故，故D正确， 故选：ACD 三、填空题 12. 某中学高一年级共有学生900人，其中女生有405人，为了解他们的身高状况，用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，若男生样本量为33，则__________. 【答案】60 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义结合题意列方程求解即可. 【详解】由分层随机抽样的定义可得， 解得. 故答案为：60 13. 已知函数和的图象均连续不断，若满足：，均有，则称区间为和的“区间”，则和在上的一个“区间”为_________．（写出符合题意的一个区间即可） 【答案】 【解析】 【分析】结合正弦函数与余弦函数在区间上的正负性，得到答案. 【详解】和的定义域都是， 当时，，，满足“区间”的定义， 故和在区间上的一个“区间”可以是． 故答案为： 14. 如图，已知为圆的直径，为圆上一动点，圆所在平面，且，过点作平面，交分别于，则三棱锥外接球的表面积为__________；当三棱锥体积最大时，__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由线面垂直的性质可确定为中点，利用线面垂直的判定可证得平面，从而得到，由此可得外接圆半径，则外接球半径，由球的表面积公式可求得三棱锥外接球的表面积；利用基本不等式可求得的最大值，并确定取等条件为，可知此时三棱锥体积最大；由可求得，勾股定理可得，由可得结果. 【详解】平面，平面，，，； ，为中点，，； 为圆的直径，； 平面，平面，； 又，平面，平面，又平面， ，又平面，，平面， 又平面，，的外接圆半径为， 三棱锥的外接球半径， 三棱锥的外接球表面积. ，（当且仅当时取等号），， 当时，面积取得最大值， 又平面，，当时，三棱锥体积最大； ，， ，，，， ，， ，又，. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题考查三棱锥外接球表面积的求解、三棱锥体积最值的求解等知识；求解三棱锥外接球表面积的关键是能够利用线面垂直的性质确定三棱锥底面为直角三角形，且一条侧棱垂直于底面，可知三棱锥外接球半径，其中为底面直角三角形外接圆半径，为垂直于底面的侧棱的长. 四、解答题（第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.） 15. 已知向量， （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算与垂直的坐标表示即可得解； （2）利用向量夹角是钝角得到且与不反向共线，从而得解. 【小问1详解】 因为，， 所以， 因为， 所以，解得； 【小问2详解】 因为与的夹角是钝角，，， 所以，解得， 又当，即时，，此时与的夹角为，故， 综上可得. 16. 如图，某海域的东西方向上分别有A，B两个观测塔，它们相距海里，现A观测塔发现有一艘轮船在D点发出求救信号，经观测得知D点位于A点北偏东45，同时B观测塔也发现了求救信号，经观测D点位于B点北偏西75，这时位于B点南偏西45且与B相距30海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时. （1）求B点到D点的距离； （2）若命令C处的救援船立即前往D点营救，救援船能否在1小时内到达救援地点？请说明理由.（参考数据：，，） 【答案】（1）（海里） （2）救援船能够在1小时内到达救援地点，理由如下： 在中，，，， 由余弦定理可得： ， 所以海里， 所以需要的时间为（分钟）（分钟） 故点到点的距离为海里，且救援船能够在小时内到达救援地点. 【解析】 【分析】（1）在中，由正弦定理直接解出即可； （2）在中，由余弦定理解出即可. 【小问1详解】 如图：由题意知：，，， 所以， 在中，由正弦定理可得：，即， 所以（海里）； 【小问2详解】 略 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，且底面ABCD为正方形，，E，F，G分别为PC，PD，BC的中点，若H为AB上一点，且. （1）求证：平面EFG； （2）求三棱锥的体积. 【答案】 （1）证明：取AD的中点O，连接FO，GO， 由题，故F，E，G，O四点共面， 又F，O分别是PD，AD的中点，故， 所以平面FEGO，即平面EFG； （2） 【解析】 【分析】（1）取AD的中点O，连接FO，GO，先由得F，E，G，O四点共面，通过证明平面FEGO，可得平面EFG； （2）证明出平面PDC，通过计算体积． 【详解】（1）略 （2）解：因为，则面， 又，则面， 所以平面平面FEGO， 又因为，， 所以平面PDC，即平面PDC， 故. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查棱锥体积的求解，是基础题． 18. 如图，已知平面ABC，，，，，，点为的中点 （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）若点为的中点，求点到平面的距离． 【答案】（1） ∵平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面， ∵，点为中点， ∴， ∵平面平面，平面， ∴平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件可知，平面平面，再利用面面垂直的性质定理，即可证明线面垂直； （2）首先取中点，将转化为，再根据（1）的结果，利用线面角的定义，即可求解线面角； （3）利用等体积转化，，求点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，， ∵，，，点为中点， ∴四边为平行四边形，∴， ∴直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等， ∵平面， ∴为直线与平面所成的角， ∵点为中点，， ∴，，， ∴，又，所以， 所以直线与平面所成角为. 【小问3详解】 如图，连结和， 由，，，且平面， 所以,， ，，, 所以是等边三角形，， 设点到平面的距离为， 则，即，得 所以点到平面的距离为 19. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a，b的值； （2）若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 【答案】（1）， （2）晋级分数线划为78分合理 （3）90；38.75 【解析】 【分析】（1）由其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，求出的值，频率分布直方图面积和为1，求b的值； （2）利用频率分布直方图计算第80百分位数即可； （3）根据平均数和方差的计算公式求出结果. 【小问1详解】 由题意知，所以，解得， 又，解得． 所以，， 【小问2详解】 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 设第80百分位数为m，则， 解得，所以晋级分数线划为78分合理． 【小问3详解】 ，故：． 又，， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为，，，…，， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：； 方差：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $