2.5.2 圆与圆的位置关系--2024-2025学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第一册）

2.5.2 圆与圆的位置关系 [核心素养·学习目标] 课程标准 核心素养 1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想. 直观想象 数学运算 课前预习 预习01 圆与圆的位置关系 (1) 在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、内含. 圆心距：两圆圆心的距离叫做圆心距. (2) 设两圆与圆的圆心距为，半径分别为，()，则有 位置关系 交点个数 关系式 图示 外离 没有公共点 外切 有唯一的公共点 相交 有两个公共点 内切 有唯一的公共点 内含 没有公共点 注 当两圆相切时分为两种情况：外切和内切. 预习02判断两个圆位置关系的方法 (1) 几何法 通过判断圆心距与两个圆半径之间的关系从而确定两个圆的位置关系. (2) 代数法 设由两圆的方程组成的方程组为， 由此方程组得：有两组不同的实数解则两圆相交；有两组相同的实数解则两圆相切；无实数解则两圆相离． 预习03两圆的公共弦方程 (1) 两圆，相交，交点为，则线段为两圆的公共弦； (2) 若两圆，相交于两点，则直线的方程为. 证明 设点，， 因为点在两圆上， 所以，且， 两等式相减得 ， 同理可得 ， 由，可知点均在直线， 即直线的方程为. 知识讲解 知识点01 圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含,如图所示： 外离和内含统称为相离；外切和内切统称为相切.两圆相离——没有公共点，两圆相切——有惟一公共点，两圆相交——有两个不同的公共点. 2．圆与圆位置关系的判断 （1）几何法 位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系 图示 两圆相离 0 两圆内含 两圆相交 2 两圆内切 1 两圆外切 其中和分别是圆和圆的半径, . （2）代数法 联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: 方程组解的个数 2 1 0 两圆的公共点个数 2 1 0 两圆的位置关系 相交. 外切或内切 相离或内含 【特别注意】通过两圆的位置关系可以求某待定参数的值时，要关注两圆相离时的外离与内含，相切时的内切与外切. 【大招总结】 大招1圆与圆位置关系的判断 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．　 　　　 大招2 与圆相交有关的问题 1．圆系方程 一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程． 2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 3．公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．　　　　 4.求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程 　 　 典型例题 题型01判断圆与圆的位置关系 【例1】圆O1：x2＋y2－4y＋3＝0和圆O2：x2＋y2－16y＝0的位置关系是(　　) A．相离　　　　　　　　 B．相交 C．相切 D．内含 【解析】因为r1＝1，r2＝8，|O1O2|＝＝6，则|O1O2|＜r2－r1.所以两圆内含．故选D 【变式】已知两圆C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系． 题型02 由圆的位置关系求参数 【例2】两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是(　　) A. B. C. D．5 【解析】由题意，知2r＝ ＝，r＝.故选B 【变式】已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长_________． 题型03圆系方程的应用 【例3】求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． 【解析】法一：解方程组得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)． 设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4. 则有＝ ， 解得a＝，故圆心为， 半径为 ＝. 故圆的方程为2＋2＝， 即x2＋y2－x＋7y－32＝0. 法二： ∵圆x2＋y2＋6y－28＝0的圆心(0，－3)不在直线x－y－4＝0上，故可设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)， 其圆心为，代入x－y－4＝0，求得λ＝－7. 故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0. 题型04求两圆公共弦方程及公共弦长 【例4】求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长． 【解析】联立两圆的方程得方程组两式相减得x－2y＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程． 法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组解得或 所以|AB|＝＝2， 即公共弦长为2. 法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r＝5，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3. 设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(3)2＋l2，解得l＝，故公共弦长2l＝2. 【变式】圆与圆的公共弦长为________． 题型05与圆公切线有关的问题 【例5】两圆和的公切线有______条． 【解析】由题可知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 则圆心距， 所以两圆外切，则公切线有3条. 故答案为：3. 【变式】已知圆：和圆：有且仅有4条公切线，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 题型06圆的公切线方程 【例6】写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 题型07圆的公切线长 【例7】在平面直角坐标系中，已知圆：，：，及点和. 求圆和圆公切线段的长度； 【解析】圆：，即，， 圆：，即，，， 圆心距为，故两圆外离，共有4条公切线段，两两长度相同， 当两圆在公切线同侧时：. 当两圆在公切线异侧时：. 综上所述，公切线段长为或. 题型08与圆有关的最值问题 【例8】已知A是圆上的动点，B是圆上的动点，则的取值范围为___________. 【解析】由题意圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为1； 易知且两圆外离，所以， 即. 故答案为：. 【变式】与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（       ） A． B． C． D． 强化训练 1．圆与圆的公共弦恰为圆的直径，则圆的面积是（    ） A． B． C． D． 2．“”是“圆与圆相切”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．圆关于点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，是直线上的两点，且，两个半径相等的动圆分别与相切于两点，是两个圆的公共点，则圆弧与线段围成图形面积的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 5．若圆与圆恰有一条公切线，则（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．8 6．已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 7．圆与圆的公共弦所对的圆心角是（    ） A． B． C． D． 8．若，，则与公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知，圆，，则（    ） A．当时，两圆相交 B．两圆可能外离 C．两圆可能内含 D．圆可能平分圆的周长 10．已知圆和圆，分别是圆，圆上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆有四条公切线 B．的取值范围是 C．是圆与圆的一条公切线 D．过点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点，使得 11．已知圆：和圆：则（    ） A．两圆相交 B．公共弦长为 C．两圆相离 D．公切线长 12．圆和圆的交点为A，B，则下列结论正确的是（    ） A．直线AB的方程为 B． C．线段AB的垂直平分线方程为 D．点P为圆上的一个动点，则点P到直线AB的距离的最大值为 13．圆与圆，则圆A与圆B的公切线方程为 . 14．圆与圆的公切线方程为 ． 15．已知圆与圆恰有两条公切线，则实数的取值范围 ． 16．到点、的距离分别为和的直线有 条． 17．已知圆，. (1)求过两圆交点的直线方程； (2)求过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程． 18．已知圆，圆．试求为何值时，两圆： (1)相切； (2)相交； (3)外离； (4)内含． 19．求圆与圆的内公切线所在直线方程及内公切线的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5.2 圆与圆的位置关系 [核心素养·学习目标] 课程标准 核心素养 1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想. 直观想象 数学运算 课前预习 预习01 圆与圆的位置关系 (1) 在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、内含. 圆心距：两圆圆心的距离叫做圆心距. (2) 设两圆与圆的圆心距为，半径分别为，()，则有 位置关系 交点个数 关系式 图示 外离 没有公共点 外切 有唯一的公共点 相交 有两个公共点 内切 有唯一的公共点 内含 没有公共点 注 当两圆相切时分为两种情况：外切和内切. 预习02判断两个圆位置关系的方法 (1) 几何法 通过判断圆心距与两个圆半径之间的关系从而确定两个圆的位置关系. (2) 代数法 设由两圆的方程组成的方程组为， 由此方程组得：有两组不同的实数解则两圆相交；有两组相同的实数解则两圆相切；无实数解则两圆相离． 预习03两圆的公共弦方程 (1) 两圆，相交，交点为，则线段为两圆的公共弦； (2) 若两圆，相交于两点，则直线的方程为. 证明 设点，， 因为点在两圆上， 所以，且， 两等式相减得 ， 同理可得 ， 由，可知点均在直线， 即直线的方程为. 知识讲解 知识点01 圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含,如图所示： 外离和内含统称为相离；外切和内切统称为相切.两圆相离——没有公共点，两圆相切——有惟一公共点，两圆相交——有两个不同的公共点. 2．圆与圆位置关系的判断 （1）几何法 位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系 图示 两圆相离 0 两圆内含 两圆相交 2 两圆内切 1 两圆外切 其中和分别是圆和圆的半径, . （2）代数法 联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: 方程组解的个数 2 1 0 两圆的公共点个数 2 1 0 两圆的位置关系 相交. 外切或内切 相离或内含 【特别注意】通过两圆的位置关系可以求某待定参数的值时，要关注两圆相离时的外离与内含，相切时的内切与外切. 【大招总结】 大招1圆与圆位置关系的判断 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．　 　　　 大招2 与圆相交有关的问题 1．圆系方程 一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程． 2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 3．公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．　　　　 4.求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程 　 　 典型例题 题型01判断圆与圆的位置关系 【例1】圆O1：x2＋y2－4y＋3＝0和圆O2：x2＋y2－16y＝0的位置关系是(　　) A．相离　　　　　　　　 B．相交 C．相切 D．内含 【解析】因为r1＝1，r2＝8，|O1O2|＝＝6，则|O1O2|＜r2－r1.所以两圆内含．故选D 【变式】已知两圆C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系． 【解析】(法一：几何法) 把圆C1的方程化为标准方程，得(x＋2)2＋(y＋2)2＝10.圆C1的圆心坐标为(－2，－2)，半径长r1＝. 把圆C2的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－4)2＝25.圆C2的圆心坐标为(1,4)，半径长r2＝5. 圆C1和圆C2的圆心距d＝ ＝3， 又圆C1与圆C2的两半径长之和是r1＋r2＝5＋，两半径长之差是r2－r1＝5－. 而5－<3<5＋，即r2－r1<d<r1＋r2， 所以两圆的位置关系是相交． (法二：代数法) 将两圆的方程联立得到方程组 由①－②得x＋2y＋1＝0，③ 由③得x＝－2y－1，把此式代入①， 并整理得y2－1＝0，④ 所以y1＝1，y2＝－1，代入x＋2y＋1＝0得x1＝－3，x2＝1. 所以圆C1与圆C2有两个不同的公共点(－3,1)，(1，－1)，即两圆的位置关系是相交． 题型02 由圆的位置关系求参数 【例2】两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是(　　) A. B. C. D．5 【解析】由题意，知2r＝ ＝，r＝.故选B 【变式】已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长_________． 【解析】由题可知： ，即 且 由两圆向外切可知，解得 所以 到直线的距离为，设圆的半径为 则直线被圆所截的弦长为 故答案为： 题型03圆系方程的应用 【例3】求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． 【解析】法一：解方程组得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)． 设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4. 则有＝ ， 解得a＝，故圆心为， 半径为 ＝. 故圆的方程为2＋2＝， 即x2＋y2－x＋7y－32＝0. 法二： ∵圆x2＋y2＋6y－28＝0的圆心(0，－3)不在直线x－y－4＝0上，故可设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)， 其圆心为，代入x－y－4＝0，求得λ＝－7. 故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0. 题型04求两圆公共弦方程及公共弦长 【例4】求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长． 【解析】联立两圆的方程得方程组两式相减得x－2y＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程． 法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组解得或 所以|AB|＝＝2， 即公共弦长为2. 法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r＝5，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3. 设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(3)2＋l2，解得l＝，故公共弦长2l＝2. 【变式】圆与圆的公共弦长为________． 【解析】两圆方程相减得，即， 原点到此直线距离为，圆半径为， 所以所求公共弦长为． 故答案为：． 题型05与圆公切线有关的问题 【例5】两圆和的公切线有______条． 【解析】由题可知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 则圆心距， 所以两圆外切，则公切线有3条. 故答案为：3. 【变式】已知圆：和圆：有且仅有4条公切线，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径 根据题意可得，圆、相离，则，即 ∴ 故选：A． 题型06圆的公切线方程 【例6】写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 题型07圆的公切线长 【例7】在平面直角坐标系中，已知圆：，：，及点和. 求圆和圆公切线段的长度； 【解析】圆：，即，， 圆：，即，，， 圆心距为，故两圆外离，共有4条公切线段，两两长度相同， 当两圆在公切线同侧时：. 当两圆在公切线异侧时：. 综上所述，公切线段长为或. 题型08与圆有关的最值问题 【例8】已知A是圆上的动点，B是圆上的动点，则的取值范围为___________. 【解析】由题意圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为1； 易知且两圆外离，所以， 即. 故答案为：. 【变式】与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（       ） A． B． C． D． 【解析】圆的圆心坐标为，半径为， 过圆心与直线垂直的直线方程为，所求圆的圆心在此直线上，又圆心到直线的距离为，则所求圆的半径为， 设所求圆的圆心为，且圆心在直线的上， 所以，且，解得（不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为. 故选：C． 强化训练 1．圆与圆的公共弦恰为圆的直径，则圆的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两圆方程相减得公共弦所在直线方程，再由公共弦为直径得圆心在直线上，代入圆心坐标可求半径，进而求出圆的面积. 【详解】两圆方程相减得两圆的公共弦所在直线方程为， 因为公共弦为圆的直径， 所以圆的圆心在直线上， 由解得， 所以圆的面积为. 故选：D. 2．“”是“圆与圆相切”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据圆与圆的位置关系及充分条件，必要条件的概念进行判断即可得出答案. 【详解】时，圆的圆心坐标为 ,半径为2，可得两圆相切 所以“”是两圆相切的充分条件； 若圆与圆相切， 当两圆外切时，；当两圆内切时，解得或， 所以“”不是两圆相切的必要条件，选项A正确. 故选：A. 3．圆关于点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 求得圆心关于点的对称点的坐标，由此求得对称圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 关于点的对称点为， 所以对称圆的方程为. 故选：A 4．如图所示，是直线上的两点，且，两个半径相等的动圆分别与相切于两点，是两个圆的公共点，则圆弧与线段围成图形面积的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到两动圆外切时，围成图形面积取得最大值，结合圆的面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成图形面积取得最大值， 此时四边形为矩形，且. 答案：C    5．若圆与圆恰有一条公切线，则（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．8 【答案】B 【详解】根据圆与圆的位置关系即可求解. 【解答】圆，，， ，又圆与圆只有一条公切线， 所以圆与圆内切，则， 故选：B. 6．已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】设，轨迹可得点P的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数. 【详解】设点，则， 且，由，得 ， 即， 故点P的轨迹为一个圆心为、半径为的圆， 则两圆的圆心距为，半径和为，半径差为， 有，所以两圆相交，满足这样的点P有2个. 故选：B. 7．圆与圆的公共弦所对的圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先判断两圆相交，求出圆心距，再求出圆心到公共弦的距离，设公共弦所对的圆心角是，则，从而求出，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以圆心距为，由，所以两圆相交， 所以圆心到公共弦的距离， 设公共弦所对的圆心角是，则，显然，，， 即两圆公共弦所对的圆心角是. 故选：D． 8．若，，则与公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出圆心和半径，根据两圆心的距离确定两圆的位置关系，进而可得公切线的条数. 【详解】， 即，圆心， ， 即，圆心， 则， 所以， 所以两圆相交，有2条公切线. 故选：B. 9．已知，圆，，则（    ） A．当时，两圆相交 B．两圆可能外离 C．两圆可能内含 D．圆可能平分圆的周长 【答案】AB 【分析】首先得出两圆的圆心和半径，然后将圆心距与半径之和、之差作比较，即可判断ABC，若圆平分圆的周长，则两圆的公共弦所在直线过点，然后通过计算可判断D. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 所以，， 当时，，所以两圆相交，故A正确； 因为，所以两圆可能外离，不能内含，故B正确C错误； 圆的一般方程为， 所以两圆的公共弦所在直线方程为， 若圆平分圆的周长，则直线过点， 所以，此方程无解，所以圆不能平分圆的周长，故D错误； 故选：AB 10．已知圆和圆，分别是圆，圆上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆有四条公切线 B．的取值范围是 C．是圆与圆的一条公切线 D．过点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点，使得 【答案】ABD 【分析】 对于A，根据两圆心之间的距离与半径和的比较，确定两圆的位置关系，可得答案； 对于B，根据圆外离的基本性质，可得答案； 对于C，根据公切线与圆心连线的位置关系以及距离，建立方程，可得答案； 对于D，根据直线与圆相切的性质，可得答案. 【详解】 对于选项A，由题意可得，圆的圆心为，半径，圆的圆心，半径， 因为两圆圆心距，所以两圆外离，有四条公切线，A正确； 对于B选项，的最大值等于，最小值为，B正确； 对于C选项，显然直线与直线平行， 因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心连线平行，由直线， 设直线为，则两平行线间的距离为2，即，故，故C不正确； 对于D选项，易知当时，四边形为正方形，故当时，，故D正确， 故选：ABD. 11．已知圆：和圆：则（    ） A．两圆相交 B．公共弦长为 C．两圆相离 D．公切线长 【答案】AB 【分析】先将圆的一般方程化为标准，再计算圆心间距离判断两圆的位置关系，最后根据两圆的位置关系求解公共弦长或公切线长得出答案. 【详解】圆的标准方程为：，圆心为（5，5）半径为 圆 的标准方程为：，圆心为（3，-1）半径为 所以两圆心的距离：， 两圆相交，选项A正确，选项C错误； 设两圆公共弦长为L，则有： ，选项B正确，选项D错误. 故选：AB 12．圆和圆的交点为A，B，则下列结论正确的是（    ） A．直线AB的方程为 B． C．线段AB的垂直平分线方程为 D．点P为圆上的一个动点，则点P到直线AB的距离的最大值为 【答案】ACD 【分析】A：两个圆的方程作差即可求得公共弦所在直线方程； B：利用几何关系即可求AB弦长； C：弦AB中垂线为； D：根据几何关系，点P到直线AB的距离的最大值P到AB距离与圆半径之和. 【详解】； . 对于A，由与，两式作差可得，即公共弦所在直线方程为，故A正确； 对于B，圆心到直线的距离，半径为，则，故B错误； 对于C，圆的圆心为，圆的圆心的中垂线的斜率为，可得的中垂线方程为，即，故C正确； 对于D为圆上一动点，圆心到弦AB：的距离为，半径，则到直线的距离的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 13．圆与圆，则圆A与圆B的公切线方程为 . 【答案】，，或 【分析】首先求出圆心与半径，判断两圆的位置关系，确定公切线有条，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】，圆心，半径； ，圆心，半径， 因为两圆的圆心距， 所以两圆相离，即圆A与圆B的公切线有条， 当直线的斜率不存在时，与两圆均相切； 当直线的斜率存在时，设，即， 所以，解得 ，或， 所以圆A与圆B的公切线方程有， 或 ， 故答案为：，，或 14．圆与圆的公切线方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可判断两圆内切，求出切点即可得切线方程． 【详解】解：圆，即， 得, 所以 故两圆内切，公切线只有一条，与两圆圆心的连线即x轴垂直， 由得 所以切点为， 故公切线方程为． 故答案为：． 15．已知圆与圆恰有两条公切线，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据两圆相交，列出不等关系，即可求得结果. 【详解】由，即， 可知圆的圆心为，半径为； 因为圆与圆恰有两条公切线，所以圆与圆相交， 则，∵， 解得：，即的取值范围是. 故答案为：. 16．到点、的距离分别为和的直线有 条． 【答案】 【分析】分析以点为圆心半径为的圆与以点为圆心半径为的两圆的位置关系，求出两圆公切线的条数，即可得出结论. 【详解】到点的距离为3的直线是以为圆心，为半径的圆的切线； 同理，到点的距离为的直线是以为圆心，半径为的圆的切线， 所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线， 而这两圆的圆心距，则， 所以圆和圆外离，因此它们的公切线有条，即满足条件的直线有条. 故答案为：. 17．已知圆，. (1)求过两圆交点的直线方程； (2)求过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两圆方程直接作差即可整理得到所求直线方程； （2）将过两圆交点的直线方程与圆的方程联立可得交点坐标；采用待定系数法，代入交点坐标和圆心所满足的直线方程可构造方程组求得圆心和半径，由此可得圆的方程. 【详解】（1）将两圆方程作差得：，即， 过两圆交点的直线方程为. （2）由得：或， 即两圆交点的坐标为和； 设过两圆交点的圆的方程为， 则，解得：， 过两圆交点的圆的方程为. 18．已知圆，圆．试求为何值时，两圆： (1)相切； (2)相交； (3)外离； (4)内含． 【答案】(1)或 (2) (3) (4) 【分析】根据两圆方程可确定圆心和半径，根据两圆位置关系可得圆心距和两圆半径之间的关系，由此可构造方程或不等式求得结果. 【详解】（1）由圆方程知：圆心，半径； 由圆方程知：圆心，半径； 若两圆内切，则，即，又，； 若两圆外切，则，即，又，； 若两圆相切，则或. （2）若两圆相交，则，即， 又，，即当时，两圆相交. （3）若两圆外离，则，即    ， 又，，即当时，两圆外离. （4）若两圆内含，则，即， 又，，即当时，两圆内含. 19．求圆与圆的内公切线所在直线方程及内公切线的长． 【答案】或，8 【分析】利用两圆的圆心在轴得到内公切线的交点也在轴上，再利用几何性质可求的坐标，最后利用内公切线和圆相切得到其斜率，从而可求其直线方程. 【详解】，，，． 设内公切线与连心线交于点，则在轴上且． 设，可得，． 设内公切线所在直线方程为，即． 由，得． 所以内公切线所在直线方程为或． 内公切线的长为． 【点睛】当两圆相离时，两圆有两条外公切线和内公切线，求它们的直线方程时，应先利用几何性质求出外公切线的交点、内公切线的交点，它们和两圆的圆心在一条直线上，再利用相切求出斜率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$