第10讲 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（4个知识点+10个考点）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

第10讲 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（4个知识点+10个考点） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象． 2．用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴．并熟记顶点坐标与对称轴公式． 3．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用． 知识点一、二次函数与之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 　　从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 要点归纳： 1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用． 2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 知识点二、二次函数的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点归纳： 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 知识点三、二次函数的图象与性质 1.二次函数图象与性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 知识四、求二次函数的最大（小）值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，． 要点归纳： 如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况． 考点1：二次函数图象的位置与系数符号互判 【例1】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴． (1)给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0.其中正确的结论的序号是________； (2)给出四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c＝1；④a＞1.其中正确的结论的序号是________． 解析：由抛物线开口向上，得a＞0；由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；由抛物线的顶点在第四象限，得－＞0，又a＞0，所以b＜0；由抛物线与x轴交点的横坐标是1，得a＋b＋c＝0.因此，第(1)问中正确的结论是①④.在第(1)问的基础上，由a＞0、b＜0、c＜0，可得abc＞0；由－＜1、a＞0，可得2a＋b＞0；由点(－1，2)在抛物线上，可知a－b＋c＝2，又a＋b＋c＝0，两式相加得2a＋2c＝2，所以a＋c＝1；由a＋c＝1，c＜0，可得a＞1.因此，第(2)问中正确的结论是②③④. 方法总结：观察抛物线的位置确定符号的方法：①根据抛物线的开口方向可以确定a的符号．开口向上，a＞0；开口向下，a＜0.②根据顶点所在象限可以确定b的符号．顶点在第一、四象限，－＞0，由此得a、b异号；顶点在第二、三象限，－＜0，由此得a、b同号．再由①中a的符号，即可确定b的符号． 【变式1-1】如图，二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别为，3，则下列结论：①；②；③；④对于任意x均有．正确的有（　　）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数的图象与性质．根据二次函数抛物线的开口方向判断出，再根据抛物线与轴的交点，即可得时，的取值范围是，令，即可判定的值，进而对结论①进行判断；求出抛物线的对称轴为，得，即可对结论②和④进行判断；由时，得的取值范围，即可对结论③进行判断． 【详解】解：由题意得二次函数抛物线开口向上， ， 又二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别为，3， 当时，， 时，， ，故结论①正确； 抛物线的对称轴为， ， ， ，故结论②正确； 当时，， 当时，，故结论③正确； 抛物线的对称轴为，， 当时，二次函数的值最小， ，即，故结论④正确； 综上所述得正确的结论有①，②，③，④， 故选：D． 【变式1-2】已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，．其中正确结论的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线和x轴交点的问题以及二次函数与系数的关系，灵活运用二次函数的性质，学会利用函数图象信息解决问题是关键．根据对称轴为直线及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据函数图象与x轴的交点个数，可判断②；可求得图象与x轴的另一个交点坐标为，由当时，，可判断③；由当时，，可判断④；把看为与的图象的交点问题，可判断⑤；从而解决问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ， ∵抛物线对称轴为直线， ， ， ∵抛物线交y轴的正半轴， ， ，故①正确； 该函数图象与x轴有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根， ，故②不正确； ∵抛物线的对称轴为直线， 点关于直线的对称点的坐标为， ∴当时，，故③不正确； ∵抛物线经过点， ， ， ，即，故④正确； 函数图象与x轴的交点坐标分别为和， 令，则， ∴直线与抛物线的交点的横坐标分别为， ∴由图象可知：，，故⑤正确； 故正确的有3个， 故选：C． 【变式1-3】如图，已知抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数之间的关系，根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点位置判断①②，对称轴，特殊点判断③，与轴的交点个数判断④，最值判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ∴， ∴，；故①②正确； 由图象可知，当时，；故③错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故④正确； ∵时，函数有最大值为， ∴， ∴；故⑤错误； 故选B． 考点2：二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质 【例2】如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是(　　) A．a＞1 B．－1＜a≤1 C．a＞0 D．－1＜a＜2 解析：抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，∵函数图象开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴a≤1.∵－1＜x＜a，∴a>－1，∴－1<a≤1，故选择B. 方法总结：抛物线的增减性：当a＞0，开口向上时，对称轴左降右升；当a＜0，开口向下时，对称轴左升右降． 【变式2-1】二次函数的对称轴为__________，顶点坐标为__________； 二次函数的对称轴为__________，顶点坐标为__________． 【答案】直线，顶点；直线，顶点． 【解析】抛物线（）的对称轴是直线， 顶点坐标是（，），把、、分别代入可得对称轴和顶点坐标． 【总结】本题考查了二次函数的性质，熟记抛物线（）的对称轴是直线，顶点坐标是（，）做题的关键． 【变式2-2】已知抛物线的对称轴为，且过点（0，4），求m、n的值． 【答案】，． 【解析】由题意得，解得，把（0，4）代入得． 【总结】本题考查了二次函数的对称轴公式及抛物线上点的坐标特征． 【变式2-3】对于二次函数： （1）求出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ （2）求出此抛物线与x、y轴的交点坐标； （3）当x取何值时，y随着x的增大而减小． 【答案】（1）开口向下、对称轴为直线、顶点坐标为，函数有最大值，最大值为； （2）、；（3）． 【解析】（1），∴函数图像开口向下、对称轴为直线、顶点坐标为，函数有最大值，最大值为； （2）把代入解析式得，∴与轴交于；把代入解析式得，∴与轴交于； （3）∵图像开口向下，∴在对称轴的右侧随着的增大而减小，即时，随着的增大而减小． 【总结】本题考查了二次函数的图像与性质． 考点3：二次函数与一次函数的图象的综合识别 【例3】已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是(　　) 解析：∵A图和D图中直线y＝ax＋b过一、三、四象限，∴a＞0，b＜0，∴抛物线y＝ax2＋bx的开口向上，对称轴x＝－＞0，∴选项A错，选项D正确；B图和C图中直线y＝ax＋b过二、三、四象限，∴a＜0，b＜0，∴抛物线的开口向下，且对称轴x＝－＜0，∴选项B，C错．故选择D. 方法总结：多种函数图象的识别，一般可以先确定其中一种函数的图象(如一次函数)，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的特点，最后结合二次函数图象的开口方向、对称轴或图象经过的特殊点对选项进行逐一考察，得出结论． 【变式3-1】在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且） 的图像可能是（ ） A． B． C． D． x y x y x y x y 【答案】D． 【解析】当时，抛物线开口向下，一次函数经过第一、二、三象限；当时，抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，一次函数经过第二、三、四象限． 【总结】本题考查了二次函数与一次函数的图像及性质，用假设法来解决这种数形结合是一种很好的方法． 【变式3-2】（2024·浙江温州·二模）已知直线与抛物线交于A，B两点，则抛物线的图象可能是（    ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．先根据开口方向、对称轴、与坐标轴的交点、抛物线与直线的交点位置判定系数的符合及，再利用字母的正负判定抛物线的图象． 【详解】∵抛物线开口向上，∴， ∵对称轴在轴的左侧，∴， ∵抛物线与轴交于正半轴，∴， 联立，得， 解得：，， ∴A点的横坐标为：， ∵A点在第三象限， ∴， 对于抛物线，∵，∴该抛物线的开口向下，选项A和B不符合题意； ∵对称轴为：，∴抛物线的对称轴在轴的左边，选项D不符合题意； 故选： C． 【变式3-3】．（2024·广东东莞·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合判断．先根据二次函数图象求出，，再根据一次函数图象与其系数的关系判断出一次函数经过的象限即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：C． 考点4：抛物线y＝ax2＋bx＋c的平移 【例4】在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是(　　) A．(－3，－6) B．(1，－4) C．(1，－6) D．(－3，－4) 解析：二次函数y＝2x2＋4x－3配方得y＝2(x2＋2x)－3＝2(x2＋2x＋1－1)－3＝2(x＋1)2－5，将抛物线y＝2(x＋1)2－5向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x＋1－2)2－5＝2(x－1)2－5，再将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，此时二次函数图象的顶点为(1，－6)，故选择C. 方法总结：二次函数的平移规律：将抛物线y＝ax2(a≠0)向上平移k(k>0)个单位所得的函数关系式为y＝ax2＋k，向下平移k(k>0)个单位所得的函数关系式为y＝ax2－k；向左平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y＝a(x＋h)2；向右平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y＝a(x－h)2；这一规律可简记为“上加下减，左加右减”． 【变式4-1】将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到抛物线必定经过（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查函数图象平移的性质，一般先将函数化为顶点式：即的形式，然后按照“上加下减，左加右减”的方式写出平移后的解析式，能够根据平移方式写出平移后的解析式是解题关键．先得到抛物线的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位的解析式，再代入计算即可． 【详解】解： ∵， 将抛物线的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得： ， A选项代入，，不符合题意； B选项代入， ，符合题意； C选项代入， ，不符合题意； D选项代入，，不符合题意； 故选：B． 【变式4-2】将抛物线（）向下平移3个单位，再向左平移4个单位 得到抛物线，则原抛物线的顶点坐标是____________． 【答案】． 【解析】将抛物线向上平移3个单位，再向右平移4个 单位得到原抛物线，所以原抛物线顶点坐标为． 【总结】本题考查了抛物线的平移，对于一般式我们一般先化为顶点式，然后再写平移之后的解析式． 【变式4-3】抛物线是由抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，则b =________，c = ________． 【答案】，． 【解析】向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的抛物线为，∴，． 【总结】本题考查了抛物线的平移及配方法． 考点5：二次函数的图象与几何图形的综合应用 【例5】如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(2，0)、B(0，－6)两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积． 解：(1)把A(2，0)、B(0，－6)代入y＝－x2＋bx＋c得：解得∴这个二次函数的解析式为y＝－x2＋4x－6. (2)∵该抛物线的对称轴为直线x＝－＝4，∴点C的坐标为(4，0)．∴AC＝OC－OA＝4－2＝2，∴S△ABC＝×AC×OB＝×2×6＝6. 【变式5-1】（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上第一象限内的点． (1)求点A，B，C的坐标； (2)连接，，，当四边形的面积最大时，求点P的坐标． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为 (2) 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）令，求出点C的坐标，令，求出与x轴交点坐标即可解题； （2） 运用待定系数法求出直线的表达式为，设点，则点，点，根据表示出面积，求出最大值即可． 【详解】（1）与y轴交于点C， 点C的坐标为 的图象与x轴交于A，B两点， 当时，． 解得，． 点A的坐标为，点B的坐标为． （2）如图，连接，作垂直于x轴于点D，交于点E， 设直线的表达式为． 将，代入，得 解，得， 直线的表达式为． 设点，则点，点． ． ，． ． 当时，四边形的面积最大． 此时点P的坐标为． 【变式5-2】（23-24九年级上·陕西延安·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点D是第三象限抛物线上一动点，连接，，，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)当时，最大，最大面积为． 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式、二次函数的应用－面积问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的表达式，设，则，求得的长，利用三角形的面积公式得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，过点D作轴于点F，交于点E，令，得， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入， 得，解得， ∴直线的表达式为， 设，则， ∴， ∴ ， ∴当时，最大，最大面积为． 【变式5-3】．（2024·湖南怀化·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)①如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； ②如图2，若点为抛物线对称轴上一个动点，当时，求点的坐标； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①； (3)存在；点的坐标为或或 【分析】（1）把点，点的坐标代入，求出，，即可； （2）①过点作于点，过点作轴交于点，证明是等腰直角三角形，则；当最大时，有最大值；设的解析式为，求出的解析式，设点且，则点，求出，再根据二次函数的性质，即可；②根据函数解析式，求出点的坐标，则对称轴为：，设点，根据两点间的距离公式，即可； （3）根据平行四边形的性质分类讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形的对角线时；③当为平行四边形的对角线时，分别求解，即可． 【详解】（1）∵抛物线经过点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）过点作于点，过点作轴交于点， ∵点，点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ∴当最大时，有最大值， 设的解析式为， ∴， ∴， 解得：， ∴设的解析式为， 设点且， ∴点， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∴； ②∵， ∴点， ∵点， ∴对称轴为：， 设点， ∵，， ∴，， ∴， 解得：， ∴．    （3）存在，理由如下： 由（2）得，对称轴为； 设点，， ①当为平行四边形的对角线时 ∴， 解得：， ∴点，； ②当为平行四边形的对角线时； ∴， 解得：， ∴点，； ③当为平行四边形的对角线时， ∴， 解得：， ∴点，；      综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，二次函数的几何变换，平行四边形的判定和性质，学会使用数形结合的方法． 考点6:用一般式确定二次函数解析式 【例6】已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，求这个二次函数的解析式． 解析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意得：解这个方程组得：∴这个二次函数的解析式为y＝2x2＋3x－4. 方法总结：当题目给出函数图象上的三个点时，设一般式为y＝ax2＋bx＋c，转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值． 【变式6-1】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）已知抛物线与轴交于、，且过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把、、代入抛物线中，得到关于的三元一次方程组，解方程组即可求解，掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：把、、代入中得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【变式6-2】（23-24九年级上·湖南长沙·期末）已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．利用待定系数法，列出三元一次方程组进行计算即可． 【详解】设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，依题意，得 ， ， 得 【变式6-3】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知是关于的二次函数，与的对应值如下表所示： 的值 的值 (1)求关于的二次函数表达式． (2)求出表中的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据表格中的已知三个点的坐标，用待定系数法求得二次函数的解析式； （2）把代入（1）中解析式求出值即可． 本题主要考查用待定系数法求二次函数解析式的方法，关键是掌握待定系数法求函数解析式． 【详解】（1）解：设关于的二次函数解析式为， 由表格得点，，在抛物线上， 将三点代入抛物线得， 解得， 关于的二次函数表达式为； （2）当时，， ． 考点7：用顶点式确定二次函数解析式 【例7】已知二次函数的图象顶点是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的解析式． 解：设二次函数解析式为y＝a(x－h)2＋k，图象顶点是(－2，3)，∴h＝－2，k＝3，依题意得：5＝a(－1＋2)2＋3，解得a＝2，∴y＝2(x＋2)2＋3＝2x2＋8x＋11. 方法总结：若已知抛物线的顶点、对称轴或极值，则设顶点式为y＝a(x－h)2＋k.顶点坐标为(h，k)，对称轴方程为x＝h，极值为当x＝h时，y极值＝k来求出相应的数． 【变式7-1】．（23-24九年级上·广东汕尾·期中）已知抛物线的顶点坐标是，且过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式，设抛物线的解析式为，根据顶点坐标得到．把代入解析式求出a的值，即可得到抛物线的解析式． 【详解】解：设抛物线的解析式为． ∵抛物线的顶点坐标是， ∴． 把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【变式7-2】（23-24九年级上·陕西西安·期末）已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，求此二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解；二次函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴二次函数解析式为． 【变式7-3】（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知抛物线的顶点是，与y轴交于点，求该抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，先把二次函数解析式设为顶点式，再把代入解析式中求解即可． 【详解】解：设该抛物线的解析式为， 把代入中得：，解得， ∴该抛物线的解析式为． 考点8：根据平移确定二次函数解析式 【例8】将抛物线y＝2x2－4x＋1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后的函数解析式． 解析：要求抛物线平移的函数解析式，需要将函数y＝2x2－4x＋1化成顶点式，然后根据顶点坐标的变换求抛物线平移后的解析式． 解：y＝2x2－4x＋1＝2(x2－2x＋1)－1＝2(x－1)2－1，该抛物线的顶点坐标是(1，－1)，将其向左平移3个单位，向下平移2个单位后，抛物线的形状，开口方向不变，这时顶点坐标为(1－3，－1－2)，即(－2，－3)，所以平移后抛物线的解析式为y＝2(x＋2)2－3.即y＝2x2＋8x＋5. 方法总结：抛物线y＝a(x－h)2＋k的图象向左平移m(m>0)个单位，向上平移n(n>0)个单位后的解析式为y＝a(x－h＋m)2＋k＋n；向右平移m(m>0)个单位，向下平移n(n>0)个单位后的解析式为y＝a(x－h－m)2＋k－n. 【变式8-1】将二次函数的图象向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新的抛物线，写出新抛物线的表达式，并求出这条抛物线的对称轴． 【答案】，． 【分析】本题考查二次函数函数的平移及对称轴公式，根据左加右减上加下减求出新函数，结合对称轴公式求解即可得到答案； 【详解】解：∵二次函数的图象向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度， ∴， ∴． 【变式8-2】．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数（a为常数）的图像的对称轴为， (1)求a的值 (2)若点，点均在该函数的图像上，且满足，求m的取值范围 (3)向下平移二次函数的图像，使其经过原点，求平移后图像所对应的二次函数的表达式 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是二次函数的图像与性质，二次函数的平移，二次函数的增减性，掌握以上基础知识是解本题的关键； （1）根据抛物线上关于对称轴对称的两个点的坐标可得对称轴，再建立方程求解即可； （2）由抛物线的开口方向结合离对称轴越远的点的函数值越大，再建立不等式解题即可； （3）根据二次函数的平移规则，上加下减可得答案； 【详解】（1）解：∵时， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴． 解得； （2）∵， ∴抛物线的开口向上， ∵点，点均在该函数的图像上，且满足， ∴， 解得：， （3）由（1）知，，则该抛物线解析式是：． ∴抛物线向下平移3个单位后经过原点． ∴平移后图像所对应的二次函数的表达式是. 【变式8-3】．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线（a、c为常数，）经过点、，顶点为P，连接． (1)求的长； (2)将抛物线L沿x轴或沿y轴平移若干个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，点P的对应点为，当四边形是面积为12的平行四边形，且点在y轴的左侧时，求平移后得到的抛物线的表达式． 【答案】(1)5 (2)抛物线的表达式为或或 【分析】本题主要考查了用待定系数法求出二次函数解析式，利用勾股定理求出两点之间的距离．以及二次函数平移的性质，注意分类讨论当抛物线沿x轴平移和当抛物线沿y轴平移是解题的关键． （1）用待定系数法求出二次函数解析式，再求出点P的坐标，利用勾股定理求出A，P两点之间的距离． （2）根据题意分两种情况，当抛物线沿x轴平移时，可得点在x轴上，利用已知条件可得出抛物线L沿x轴向左平移3个单位长度可得抛物线，利用平移的性质即可得出抛物线的表达式，当抛物线沿y轴平移时，可得点在直线上，利用已知条件可得出抛物线L沿y轴向上或向下平移4个单位长度可得抛物线，利用平移的性质即可得出抛物线的表达式， 【详解】（1）解：将、代入中， 得 解得 抛物线L的表达式为． 顶点． 过点P作轴于点D，则， ，，， ，， ． （2）由题意知，四边形是面积为12的平行四边形， 当抛物线沿x轴平移时，可得点在x轴上， 由于，即要使的面积为12，只需， 点P'在y轴左侧， 抛物线L沿x轴向左平移3个单位长度可得抛物线， 此时，抛物线L'的表达式为； 当抛物线沿y轴平移时，可得点在直线上， 由于，要使的面积为12，只需， 抛物线L沿y轴向上或向下平移4个单位长度可得抛物线， 此时，抛物线L'的表达式为或． 综上，抛物线L'的表达式为或或． 考点9：根据轴对称确定二次函数解析式 【例9】已知二次函数y＝2x2－12x＋5，求该函数图象关于x轴对称的图象的解析式． 解析：关于x轴对称得到的二次函数的图象与原二次函数的图象的形状不变，而开口方向，顶点的纵坐标变化了，开口方向与原图象的开口方向相反，顶点的横坐标不变，纵坐标与原图象的纵坐标互为相反数． 解：y＝2x2－12x＋5＝2(x－3)2－13，顶点坐标为(3，－13)，其图象关于x轴对称的顶点坐标为(3，13)，所以对称后的图象的解析式为y＝－2(x－3)2＋13. 方法总结：y＝a(x－h)2＋k的图象关于x轴对称得到的图象的解析式为y＝－a(x－h)2－k. 【变式9-1】．（2024·四川泸州·一模）已知抛物线与x轴交于点，对称轴是直线，且过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求解，准确计算是解题的关键．根据已知条件求出与x轴的两个交点，设出交点式进行求解即可． 【详解】解：抛物线与x轴交于点，对称轴是 抛物线与x轴的另一个交点是 设抛物线解析式为 把代入解析式中，得解得 抛物线解析式为即． 【变式9-2】（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）已知抛物线经过点，它的对称轴为直线，且函数有最小值为．求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，由抛物线的称轴为直线，且函数有最小值为可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，把代入即可求解． 【详解】解：∵抛物线的称轴为直线，且函数有最小值为， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入，得 ， 解得． ∴抛物线的解析式． 【变式9-3】已知一次函数与二次函数的图像都过点A（1，），二次函数的对称轴是直线x =，请求出一次函数和二次函数的解析式． 【答案】一次函数解析式为，二次函数的解析式为． 【解析】把代入得，∴一次函数解析式为； 由题意得，解得， ∴二次函数的解析式为． 【总结】本题考查了待定系数法确定函数关系式． 考点10：用待定系数法求二次函数解析式的实际应用 【例10】科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表： 温度t/℃ －4 －2 0 1 4 植物高度增长量 l/mm 41 49 49 46 25 科学家经过猜想，推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为________℃. 解析：设l与t之间的函数关系式为l＝at2＋bt＋c，把(－2，49)、(0，49)、(1，46)分别代入得：解得∴l＝－t2－2t＋49，即l＝－(t＋1)2＋50，∴当t＝－1时，l的最大值为50.即当温度为－1℃时，最适合这种植物生长．故答案为－1. 方法总结：求函数解析式一般采用待定系数法．用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件(一般来讲，最直接的条件是点的坐标)，最后代入求解． 【变式10-1】（2022秋•庐阳区校级月考）科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测出这种植物高度的增长情况，部分数据如表： 温度 0 2 4 植物高度增长量 41 49 49 41 25 由此可以推测这种植物高度增长量最大为 　 　． 【分析】先用待定系数法求得与之间的函数解析式，再求得该函数的最大值即可． 【解答】解：设与之间的函数解析式为， 得， 解得， 与之间的函数解析式为， 整理得， 当时，有最大值50， 故答案为：50． 【点评】此题考查了运用二次函数求解实际问题最大值的能力，关键是能正确运用待定系数法求解二次函数解析式，并能正确求解函数的最大值． 【变式10-2】．（2024•潍坊一模）某公司营销，两种产品，根据市场调研，确定两条信息： 信息1：销售种产品所获利润（万元）与所售产品（吨之间存在二次函数关系，如图所示： 信息2：销售种产品所获利润（万元）与销售产品（吨之间存在正比例函数关系． 根据以上信息，解答下列问题； （1）求二次函数的表达式； （2）该公司准备购进、两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售、两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？ 【分析】（1）由抛物线过原点可设与间的函数关系式为，再利用待定系数法求解可得； （2）设购进产品吨，购进产品吨，销售、两种产品获得的利润之和为万元，根据：产品利润产品利润总利润可得，配方后根据二次函数的性质即可知最值情况． 【解答】解：（1）根据题意，设销售种产品所获利润与销售产品之间的函数关系式为， 将、代入解析式， 得：， 解得：， 销售种产品所获利润与销售产品之间的函数关系式为； （2）设购进产品吨，购进产品吨，销售、两种产品获得的利润之和为万元， 则， ， ， ， 当时，取得最大值，最大值为6.6万元， 答：购进产品6吨，购进产品4吨，销售、两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，（2）中整理得到所获利润与购进产品的吨数的关系式是解题的关键． 【变式10-3】（2024•北京一模）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 10 10 6.25 根据上述数据，直接写出的值为 　　，直接写出满足的函数关系式：　　； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则　　（填“”“ ”或“” ； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 【分析】（1）待定系数法求出解析式，即可； （2）分别求出两个解析式当时，的值，进行比较即可； （3）先求出的值，再求出时的值，进行判断即可． 【解答】解：（1）由表格可知，图象过点，，， ， ， ， 解得：， ； 故答案为：11.25，， ， 当时：， 解得：或（不合题意，舍去）； 米； ， 当时：， 解得：或（不合题意，舍去）； ， ， 故答案为：； （3）， ， ， ， 当时，， ， 即她在水面上无法完成此动作， 她当天的比赛不能成功完成此动作． 【点评】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． 一、单选题 1．（22-23九年级上·内蒙古乌海·阶段练习）抛物线的顶点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的性质，把二次函数的一般式转化为顶点式是解题的关键． 先求出抛物线的顶点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特点即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴关于原点对称的点的坐标是． 故选：C． 2．（22-23九年级上·广西梧州·阶段练习）二次函数的最小值是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数性质，利用二次函数顶点式求函数的最小值即可． 【详解】解：，且的对称轴为，顶点坐标为：， 当时，的最小值是. 故选：A． 3．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）若 是抛物线 上的两个点，则抛物线的对称轴是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴是； 故选A． 4．（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（  ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题一次函数与二次函数的图象问题，先由二次函数图象得出抛物线开口向上，，，从而得出一次函数的图象经过一、二、四象限，即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：，， 抛物线开口向上，故B错误，不符合题意； 的图象交于轴负半轴， ， ， 一次函数的图象经过一、二、四象限，故C正确，符合题意； 故选：C． 5．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的平移、将抛物线解析式化为顶点式，先将解析式化为顶点式，再根据抛物线的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出答案． 【详解】解：， 将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是， 故选：B． 6．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，抛物线的对称轴是直线，其中一个点的坐标为，下列结论：①；②；③；④若，在函数图象上，则，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据图象可判断①，根据抛物线的对称轴判断②，根据图象与性质判断③④． 【详解】解：抛物线开口向下，， 对称轴在轴右侧，， 抛物线与轴交于正半轴，， ，故①正确； ，， ，故②正确； 对称轴是直线，其中一个点的坐标为， ， ，，故③正确； 当、同在对称轴左侧时， ，在对称轴左侧，随增大而增大， ，， 当、同在对称轴右侧时， ，在对称轴右侧，随增大而减小， ，，故④错误． 故选：C． 7．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）若函数的图象上有两点，若，则（　　） A． B． C． D．的大小不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质与图象．先确定抛物线的对称轴及开口方向，再根据点与对称轴的远近，判断函数值的大小． 【详解】解：∵， ∴对称轴是， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴点距离对称轴越近，函数值越小， ∵， ∴． 故选B． 8．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质和各系数表示的意义是解题的关键，根据题意由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断①，由时可判断②，由抛物线对称性及时可判断③，由a与b的数量关系及可得a与c的数量关系，从而判断④，由时y取最大值可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴， ∴，①错误． ∵时，， ∴，②错误． ∵抛物线对称轴为直线，时， ∴时，，③正确． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，④错误． ∵时y取最大值， ∴，即，⑤正确． 故选：A． 9．（22-23九年级上·广西百色·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，， ∵，令， 即， 解得：， ∴, 令，解得， ∴， ∵点是对称轴上的一个动点， ∴， ∵ ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键． 10．（22-23九年级上·吉林长春·期中）如图，在正方形中，点的坐标分别是，，点在抛物线的图象上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，作轴，于，于，证明得到，，设，可得方程组，解方程组得到，代入二次函数解析式得，又由抛物线经过原点得，即可得到，再代入计算即可求解，证明得到，是解题的关键． 【详解】解：作轴，于，于，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵点的坐标分别是，， ∴， 解得， ∴， ∵点在抛物线的图象上， ∴， ∴， ∵抛物线经过原点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 11．（23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）抛物线的顶点坐标 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，将一般式转化为顶点式，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故答案为： 12．（22-23九年级上·浙江金华·期中）将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位后，得到的抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，由抛物线配方为，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：由抛物线，向上平移个单位，再向右平移个单位后，根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线是， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数，当时，函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值，能由二次函数的表达式得出抛物线的对称轴及开口方向是解题的关键．根据二次函数的图象，结合当时函数图象的增减情况，即可解决问题． 【详解】解：由二次函数的表达式为可知， 抛物线开口向上，对称轴为直线 所以当时，函数取得最小值，且 则当时， 当时， ∴在中，函数的最大值为， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若抛物线的对称轴是y轴，则a的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵的对称轴是y轴， ∴， 解得：． 故答案为：2 15．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知点、、、，若一条抛物线经过其中三个点，则不在该抛物线上的点是点 ． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标特征即可判断． 【详解】解：点、、的纵坐标相同，故三点中有一点不在同一条抛物线， 、的横坐标相同，故两点中有一点不在同一条抛物线， 所以，不在该抛物线上的点是点B． 故答案为：B． 16．（2023·江西新余·一模）二次函数的图象如图所示，若线段在x轴上，且为个单位长度，以为边作等边，使点C落在该函数的图象上，则点C的坐标为 ． 【答案】或或． 【分析】本题考查二次函数的图象性质，涉及等边三角形的性质，解决问题的关键是根据题意得出C的纵坐标为或．以为边的等边三角形，可求出该边上的高的长度，由于点C要落在二次函数的图象上，点C的纵坐标的绝对值即为边上的高的长度，从而可求出该点C的坐标． 【详解】解：设边上的高为h， ∵等边的边长为， 边上的高， 当落在x轴下方， ∴点C的纵坐标为， 把代入， ∴ 解得：， ∴的坐标为． 当落在x轴上方， 点C的纵坐标为， 把代入， ∴ 解得：或， ∴的坐标为或． 故答案为：或或． 17．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，点在抛物线上，则当的面积为8时，点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，先求出点A的坐标，进而求出，再根据三角形面积计算公式得到，据此求出点P的横坐标即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，解得或， ∴， ∴， ∵的面积为8， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，解得； 在中，当时，解得； ∴点P的坐标为或或， 故答案为：或或． 18．（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在线段上，则的最小值是 ． 【答案】5 【分析】先求出，，，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两线交于点T，连接，证明四边形是正方形，且，即有点O与点T关于直线对称，则有，当A、P、T三点共线时最小，即最小，最小值为，问题随之得解． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∴； 当时，， 解得：，， ∴，， ∴，； 过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两线交于点T，连接，如图， ∴，， ∵，， ∴四边形是正方形，且， ∴点O与点T关于直线对称， ∴， ∴， ∴当A、P、T三点共线时最小，即最小，最小值为， ∵，， ∴的最小值， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，考查了二次函数与坐标轴交点的问题，轴对称的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，证明四边形是正方形，且，得出点O与点T关于直线对称，是解题的关键． 三、解答题 19．（23-24九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象顶点为，且经过点．求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了用定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求． 由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出a的值即可． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为． 20．（23-24九年级上·江西上饶·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点，求此抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，设出合适的解析式是解本题的关键，根据题意设，再代入即可得到函数解析式． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于，， ∴设抛物线为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为：； 21．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）抛物线与轴的公共点是，求这条抛物线的顶点坐标． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，配方法求顶点坐标，掌握待定系数法求解析式，配方法的运用是解题的关键． 运用待定系数法求出的值，再求出抛物线的解析式，运用配方法即可求解． 【详解】解：依题意得：， 解得：， 解析式为：， 配方得：， 顶点坐标为：． 22．（22-23九年级上·广西梧州·阶段练习）已知抛物线，经过，，三点，求这条抛物线的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，将、、三点代入，得到三元一次方程组，解这个方程组得、、的值，得到抛物线的解析式． 【详解】解：由题意得， 解得． 所以这个抛物线的表达式为． 23．（2024·宁夏石嘴山·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线的下方，试求的最大面积及E点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)的最大面积为，此时E点坐标为 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数与一次函数的解析式，列图形面积的函数关系式，利用二次函数的性质求解面积的最大值，掌握利用二次函数的性质求解最值是解题的关键． （1）把，代入，利用待定系数法求解即可； （2）如图，过作轴交于，首先利用待定系数法求出直线的解析式为，求解，设，则，利用三角形的面积公式得到，再利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）把，代入得： 解得： 抛物线的解析式为：； （2）如图，过作轴交于，    设过，的直线为： 解得： 直线解析式为 当，则 解得：， 而 设，则 所以当时，的面积最大， 最大面积为： 此时：． ∴． 24．（2024·海南海口·二模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点P在直线的上方运动时，连接，交直线于点D，交y轴于点E． ①若的面积是面积的3倍，求点P的坐标； ②当时，求的长． (3)过点P作轴交直线于点F，在y轴上是否存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)存在，或或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①连接，过点P作轴交于点M，过点A作轴交于点N，设，由，则，建立方程求t的值即可； ②设，先求出直线的解析式为，则，再求出，根据，建立方程求出m的值即可求解； （3）设，则，求出，，；分三种情况进行讨论：①当时，②当时，③当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将点C代入可得， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：①连接， ∵的面积是面积的3倍， ∴， 过点P作轴交于点M，过点A作轴交于点N， 设， 设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴； ②设， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， 当时，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设，则， ∵， ∴， ， ； ①当时，， 解得：或 当时，P、F、C、Q四个点都在y轴上，不符合题意； 当时，P、F两个点重合，不符合题意； ②当时，， 解得：或或， 当时，P、F、C、Q四个点都在y轴上，不符合题意； ∵， ∴当时，点在点的下方， ∵，，为菱形的边， ∴此时点Q在点C下方，如图所示： ∵， ∴， ∴点Q的纵坐标为， ∴此时点Q的坐标为； ∵， ∴当时，点在点的上方， ∵，，为菱形的边， ∴此时点Q在点C上方，如图所示： ∵， ∴， 点Q的纵坐标为， ∴此时点Q的坐标为； ③当时，， 解得：或， 当时，P、F、C、Q四个点都在y轴上，不符合题意； ∵， ∴当时，点在点的上方， ∵，，为菱形的边， ∴此时点Q在点C下方，如图所示： ∵， ∴， 点Q的纵坐标为， ∴此时点Q的坐标为； 综上所述：Q点坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，菱形的性质，勾股定理，求二次函数解析式，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，注意进行分类讨论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（4个知识点+10个考点） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象． 2．用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴．并熟记顶点坐标与对称轴公式． 3．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用． 知识点一、二次函数与之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 　　从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 要点归纳： 1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用． 2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 知识点二、二次函数的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点归纳： 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 知识点三、二次函数的图象与性质 1.二次函数图象与性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 知识四、求二次函数的最大（小）值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，． 要点归纳： 如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况． 考点1：二次函数图象的位置与系数符号互判 【例1】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴． (1)给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0.其中正确的结论的序号是________； (2)给出四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c＝1；④a＞1.其中正确的结论的序号是________． 【变式1-1】如图，二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别为，3，则下列结论：①；②；③；④对于任意x均有．正确的有（　　）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，．其中正确结论的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1-3】如图，已知抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 考点2：二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质 【例2】如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是(　　) A．a＞1 B．－1＜a≤1 C．a＞0 D．－1＜a＜2 【变式2-1】二次函数的对称轴为__________，顶点坐标为__________； 二次函数的对称轴为__________，顶点坐标为__________． 【变式2-2】已知抛物线的对称轴为，且过点（0，4），求m、n的值． 【变式2-3】对于二次函数： （1）求出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ （2）求出此抛物线与x、y轴的交点坐标； （3）当x取何值时，y随着x的增大而减小． 考点3：二次函数与一次函数的图象的综合识别 【例3】已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是(　　) 【变式3-1】在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且） 的图像可能是（ ） A． B． C． D． x y x y x y x y 【变式3-2】（2024·浙江温州·二模）已知直线与抛物线交于A，B两点，则抛物线的图象可能是（    ） A． B．C． D． 【变式3-3】．（2024·广东东莞·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（　　） A．B．C． D． 考点4：抛物线y＝ax2＋bx＋c的平移 【例4】在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是(　　) A．(－3，－6) B．(1，－4) C．(1，－6) D．(－3，－4) 【变式4-1】将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到抛物线必定经过（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】将抛物线（）向下平移3个单位，再向左平移4个单位 得到抛物线，则原抛物线的顶点坐标是____________． 【变式4-3】抛物线是由抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，则b =________，c = ________． 考点5：二次函数的图象与几何图形的综合应用 【例5】如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(2，0)、B(0，－6)两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积． 【变式5-1】（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上第一象限内的点． (1)求点A，B，C的坐标； (2)连接，，，当四边形的面积最大时，求点P的坐标． 【变式5-2】（23-24九年级上·陕西延安·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点D是第三象限抛物线上一动点，连接，，，求面积的最大值． 【变式5-3】．（2024·湖南怀化·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)①如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； ②如图2，若点为抛物线对称轴上一个动点，当时，求点的坐标； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点6:用一般式确定二次函数解析式 【例6】已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，求这个二次函数的解析式． 【变式6-1】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）已知抛物线与轴交于、，且过点，求抛物线的解析式． 【变式6-2】（23-24九年级上·湖南长沙·期末）已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式． 【变式6-3】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知是关于的二次函数，与的对应值如下表所示： 的值 的值 (1)求关于的二次函数表达式． (2)求出表中的值． 考点7：用顶点式确定二次函数解析式 【例7】已知二次函数的图象顶点是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的解析式． 【变式7-1】．（23-24九年级上·广东汕尾·期中）已知抛物线的顶点坐标是，且过点，求抛物线的解析式． 【变式7-2】（23-24九年级上·陕西西安·期末）已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，求此二次函数的解析式． 【变式7-3】（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知抛物线的顶点是，与y轴交于点，求该抛物线的解析式． 考点8：根据平移确定二次函数解析式 【例8】将抛物线y＝2x2－4x＋1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后的函数解析式． 【变式8-1】将二次函数的图象向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新的抛物线，写出新抛物线的表达式，并求出这条抛物线的对称轴． 【变式8-2】．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数（a为常数）的图像的对称轴为， (1)求a的值 (2)若点，点均在该函数的图像上，且满足，求m的取值范围 (3)向下平移二次函数的图像，使其经过原点，求平移后图像所对应的二次函数的表达式 【变式8-3】．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线（a、c为常数，）经过点、，顶点为P，连接． (1)求的长； (2)将抛物线L沿x轴或沿y轴平移若干个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，点P的对应点为，当四边形是面积为12的平行四边形，且点在y轴的左侧时，求平移后得到的抛物线的表达式． 考点9：根据轴对称确定二次函数解析式 【例9】已知二次函数y＝2x2－12x＋5，求该函数图象关于x轴对称的图象的解析式． 【变式9-1】．（2024·四川泸州·一模）已知抛物线与x轴交于点，对称轴是直线，且过点，求抛物线的解析式． 【变式9-2】（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）已知抛物线经过点，它的对称轴为直线，且函数有最小值为．求抛物线的解析式． 【变式9-3】已知一次函数与二次函数的图像都过点A（1，），二次函数的对称轴是直线x =，请求出一次函数和二次函数的解析式． 考点10：用待定系数法求二次函数解析式的实际应用 【例10】科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表： 温度t/℃ －4 －2 0 1 4 植物高度增长量 l/mm 41 49 49 46 25 科学家经过猜想，推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为________℃. 【变式10-1】（2022秋•庐阳区校级月考）科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测出这种植物高度的增长情况，部分数据如表： 温度 0 2 4 植物高度增长量 41 49 49 41 25 由此可以推测这种植物高度增长量最大为 　 　． 【变式10-2】．（2024•潍坊一模）某公司营销，两种产品，根据市场调研，确定两条信息： 信息1：销售种产品所获利润（万元）与所售产品（吨之间存在二次函数关系，如图所示： 信息2：销售种产品所获利润（万元）与销售产品（吨之间存在正比例函数关系． 根据以上信息，解答下列问题； （1）求二次函数的表达式； （2）该公司准备购进、两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售、两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？ 【变式10-3】（2024•北京一模）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 10 10 6.25 根据上述数据，直接写出的值为 　　，直接写出满足的函数关系式：　　； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则　　（填“”“ ”或“” ； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 一、单选题 1．（22-23九年级上·内蒙古乌海·阶段练习）抛物线的顶点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·广西梧州·阶段练习）二次函数的最小值是（　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）若 是抛物线 上的两个点，则抛物线的对称轴是（　　） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（  ） A．B． C． D． 5．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，抛物线的对称轴是直线，其中一个点的坐标为，下列结论：①；②；③；④若，在函数图象上，则，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）若函数的图象上有两点，若，则（　　） A． B． C． D．的大小不确定 8．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．（22-23九年级上·广西百色·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 10．（22-23九年级上·吉林长春·期中）如图，在正方形中，点的坐标分别是，，点在抛物线的图象上，则的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）抛物线的顶点坐标 ． 12．（22-23九年级上·浙江金华·期中）将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位后，得到的抛物线的函数表达式为 ． 13．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数，当时，函数的最大值为 ． 14．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若抛物线的对称轴是y轴，则a的值是 ． 15．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知点、、、，若一条抛物线经过其中三个点，则不在该抛物线上的点是点 ． 16．（2023·江西新余·一模）二次函数的图象如图所示，若线段在x轴上，且为个单位长度，以为边作等边，使点C落在该函数的图象上，则点C的坐标为 ． 17．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，点在抛物线上，则当的面积为8时，点的坐标为 ． 18．（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在线段上，则的最小值是 ． 三、解答题 19．（23-24九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象顶点为，且经过点．求这个二次函数的表达式． 20．（23-24九年级上·江西上饶·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点，求此抛物线的解析式． 21．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）抛物线与轴的公共点是，求这条抛物线的顶点坐标． 22．（22-23九年级上·广西梧州·阶段练习）已知抛物线，经过，，三点，求这条抛物线的表达式． 23．（2024·宁夏石嘴山·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线的下方，试求的最大面积及E点的坐标． 24．（2024·海南海口·二模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点P在直线的上方运动时，连接，交直线于点D，交y轴于点E． ①若的面积是面积的3倍，求点P的坐标； ②当时，求的长． (3)过点P作轴交直线于点F，在y轴上是否存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$