第07讲 简单事件的概率【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

第07讲 简单事件的概率 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1．掌握确定事件与随机事件的概念与应用； 2．掌握概率的意义，学会计算概率； 3、学会利用频率估计概率； 一、确定事件与随机事件： （1）确定事:事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件:在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 二、可能性的大小： 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： 三、概率的意义： （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率，会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． 四、利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 教材习题01 在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同。 （1） 从箱子里摸出1个球，是黑球。这属于哪一类事件？摸出1个球，是白球或者是红球。这属于哪一类事件？ （2） 从箱子里摸出1个球，有几种不同的可能（摸到不同的球就表示不同的可能）？它们属于哪一类事件？ （3） 从箱子里摸出1个球，放回，摇均匀后再摸出1个球，这样先后摸得的两球有几种不同的可能？ 解题方法 本题主要考察事件分类，学生需要理解确定事件和随机事件，对于不同事件的的可能性能够判断出来，另外，本题也考察列表法以及树状图的解题方法。 【答案】 解：（1） 因为箱子里没有黑球，所以摸出1个球，是黑球这一事件是不可能事件援 因为箱子里只有白球和红球，所以摸出1个球，是白球或者是红球这一事件是必然事件。 （2） 因为箱子里放有3个球，所以从箱子里摸出1个球有3种不同的可能. 摸出 1 个白球，或摸出1个红球，都属于不确定事件。 （3） 箱子里的1个白球和2个红球分别记为白，红Ⅰ，红Ⅱ. 先摸出1个球，放回，摇均匀后再摸出1个球，其结果可列表（如表1）或画成树状图（如图1）表示。 表1 图1 教材习题02 求下列事件发生的概率： （1）事件A：从一副扑克牌中任抽1张牌，抽出的这张牌是红桃A. （2）事件B：先从一副扑克牌中去掉2张王牌，然后任抽1张牌，抽出的这张牌是红桃. 解题方法 根据已知条件，可以得到二次函数表达式h=10t－5t2，当h=0时，t=0或t=2，说明这两个时刻时球的起弹和落地的时刻，同样，当我们取h=3，75时，就可以算出距离地面3，75m的时间 【答案】 解：（1） 一副扑克牌共有54张牌，从中任抽1张牌，所有可能性相等的结果总数n＝54. 抽到红桃A只有1种可能，也就是m＝1，所以事件A 发生的概率P（A）＝ = （2）去掉 2 张王牌后，一副扑克牌还剩下52张牌，从中任抽1张牌，所有可能性相等的结果总数n＝52. 因为红桃花色的牌有13张，所以事件B包含其中的结果数 m＝13. 所以事件 B 发生的概率P（B）＝ = = 考点一： 事件的分类 例1．下列事件是随机事件的是（    ） A．汽车的车窗玻璃破碎 B．从地面上抛掷一枚硬币，硬币一定会落下 C．从一副没有大小王的扑克牌中任意取出一张牌，这张牌一定是大王 D．今年十四岁的你，明年一定是十五岁 【答案】A 【分析】本题考查了随机事件，同时也考查了必然事件与不可能事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件是随机事件，一定发生的事件是必然事件，一定不发生的事件是不可能事件；根据这三种事件的含义进行判断即可． 【详解】解：A、是随机事件，故符合题意； B、是必然事件，故不符合题意； C、是不可能事件，故不符合题意； D、是必然事件，故不符合题意； 故选：A． 变式1-1．下列事件，是必然事件的是（    ） A．通常加热到，水沸腾 B．经过有信号灯的路口，遇到红灯 C．掷一次骰子，向上一面点数是6 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】A 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握其概念是解题的关键． 根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A．通常加热到时，水沸腾，是必然事件，故本选项符合题意； B．经过有信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故本选项不符合题意； C．掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件，故本选项不符合题意； D．射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故本选项不符合题意． 故选：A． 变式1-2．下列事件：①守株待兔；②2024年6月20日是晴天；③任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形．其中属于随机事件的是（    ） A．①②③ B．只有① C．只有② D．①② 【答案】D 【分析】本题考查了随机事件，正确理解定义是解题的关键． 根据可能发生的事件叫做随机事件判断即可． 【详解】①守株待兔，是随机事件， ②2024年6月20日是晴天，随机事件； ③任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形，是必然事件． 即属于随机事件的是①②， 故选：D． 考点二：事件可能性大小 例2．如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1，2，3，4所示区域内可能性最大的是（） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【答案】D 【分析】比较圆心角度数大小即可． 【详解】解：由图形知，数字4对应扇形圆心角度数最大，所以指针落在数字所示区域内可能性最大的是4号， 故选：D． 【点睛】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法． 变式2-1．一个布袋里装有2个红球，4个黑球，3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（    ） A．摸出的是绿球 B．摸出的是黑球 C．摸出的是红球 D．摸出的是白球 【答案】B 【分析】本题考查等可能事件发生的概率，如果一件事有n种可能，而这些事件的可能性相同，其中事件A出现了m种情况，则事件A发生的概率为：． 【详解】解：解：任意摸出一个球，为红球的概率是：， 任意摸出一个球，为黑球的概率是：， 任意摸出一个球，为白球的概率是：， 故可能性最大的为：摸出的是黑球， 故答案为：B． 变式2-2．在个相同的袋子中，装有除颜色外完全相同的个球，任意摸出个球，摸到红球可能性最大的是（    ） A．个红球，个白球 B．个红球，个白球 C．个红球，个白球 D．个红球，个白球 【答案】D 【分析】根据概率的计算方法，比较概率的大小即可求解． 【详解】解：选项，个红球，个白球，摸到红球的概率为； 选项，个红球，个白球，到红球的概率为； 选项，个红球，个白球，到红球的概率为； 选项，个红球，个白球，到红球的概率为； ∵， ∴摸到红球可能性最大的是“个红球，个白球”， 故选：． 【点睛】本题主要考查概率的计算，掌握概率的计算方法，比较概率大小的方法是解题的关键． 考点三：概率公式计算概率 例3．老师将6种生活现象制成如图所示看上去无差别的卡片，从中随机抽取一胀卡，抽中生活现象是物理变化的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单概率计算，理解并掌握简单概率计算公式是解题关键．根据简单概率计算公式进行求解即可． 【详解】解：从中随机抽取一张卡片共有6种等可能结果，抽中生活现象是物理变化的有2种结果， 所以从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率． 故选：C． 变式3-1．一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，则摸到的球是白球的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵在一个不透明的口袋中装有3个红球，1个白球，共4个球， ∴从中随机摸出一个球，摸到的球是白球的概率为． 故选：B． 考点四：已知概率求数量 例4．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中黄球估计有（　　） A．15个 B．20个 C．30个 D．35个 【答案】A 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率得到摸到白球的概率为0.3，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：设袋中有黄球x个，由题意得， 解得， ∴黄球可能有15个． 变式4-1．某生物学家想通过随机抽取的方式来估计50只小白鼠中雄鼠的个数，这些小白鼠被抓取后能够清晰地判断性别．将小白鼠随机放置在实验箱后，从中随机抽出一只小白鼠，记下它的性别后再放回实验箱中，不断重复这一过程，通过大量重复的试验后，发现抽到雌鼠的频率稳定在0.4，则实验箱中雄鼠的个数约为（    ） A．25 B．30 C．20 D．35 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．利用频率估计概率可估计实验箱中雄鼠的概率，然后求出实验箱中雄鼠的个数． 【详解】解：由题意可得，发现抽到雌鼠的频率稳定在0.4，则实验箱中雄鼠的个数约为：． 故选：B． 变式4-2．一个口袋中有黄球和黑球共16个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回，不断重复这一过程，共摸了200次球，发现有150次摸到黄球，请你估计这个口袋中黑球的个数（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】B 【分析】 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 利用频率估计概率可估计摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算这个口袋中黄球的数量进而可得黑球的数量． 【详解】摸到黄球的频率为，故口袋中有黄球个． 黑球有个． 故选B. 考点五：用频率估算概率 例5．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下： 种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽种子粒数 85 298 652 793 1604 4005 发芽频率 0.850 0.745 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为 （精确到0.1）． 【答案】0.8 【分析】观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近，即可估计出这种玉米种子发芽的概率．此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． 【详解】解：大量的重复试验，发现“该玉米种子发芽”出现的频率越来越稳定于0.801， ∵精确到0.1 该玉米种子发芽的概率为0.8 故答案为：0.8 变式5-1．如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题： 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252 估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（精确到0.01）（　　） A．0.56 B．0.51 C．0.50 D．0.52 【答案】C 【分析】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率． 【点评】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定． 【详解】解：根据题意得： ， ， ， ， ， ， ， 由此，估计这位同学投篮一次，投中的概率约是0.50， 故选：C 变式5-2．年3月日，是我国的第个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为 （结果保留两位小数）． 第一批次 第二批次 第三批次 第四批次 第五批次 种植数量 成活数量 成活频率 【答案】 【分析】本题考查了频率．熟练掌握频率的定义是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，种植杨树的成活率大约为， 故答案为：． 考点六：概率的简单应用 例6．桌上放4张扑克牌，全部正面朝下，其中恰有1张是老K．两人做游戏，游戏规则是：随机取2张牌并把它们翻开，若2张牌中没有老K，则红方胜，否则蓝方胜．则赢的机会大的一方是（    ） A．红方 B．蓝方 C．两方机会一样 D．不知道 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率与游戏、运用画树状图求概率等知识点，用树状图列举出所有情况以及2张牌中有老K的情况数及没有老k的情况数，然后比较即可解答． 【详解】解：设其余3张扑克分别为a,b,c. 共12种情况，含有k的情况有6种，不含k的情况也是6种， ∴两方机会一样． 故选：C． 变式6-1．小明和小亮在玩“石头、剪子、布”的游戏，假设每次出这三种手势的可能性相同，若手势相同，则平局，否则按“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，此游戏 （填“公平”或“不公平”）；两人一起做同样手势的概率是 ． 【答案】 公平 【分析】此题考查游戏的公平性，列表法或树状图法求概率，解题的关键是：列举出所有情况，找到符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： 小 明 小 亮 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布） 剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布） 布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布） 共有9种等可能的结果， 其中，小明胜的情况有3种，小亮胜的情况有3种， （小明胜）（小亮胜）， ∴此游戏公平， 其中，两人一起做同样手势的有3种， ∴两人一起做同样手势的概率为， 故答案为：公平，． 变式6-2．小军和小红用2、3、4三张数字卡片做游戏，如果摆出的三位数是偶数，算小红赢，否则算小军赢，这个游戏规则 （填“公平“或“不公平”）． 【答案】不公平 【分析】分别求出小红和小军获胜的概率，然后进行比较即可． 【详解】解：∵当末位数字是2或4时，摆出的三位数是偶数，当末位数字为3时，摆出的三位数是奇数， ∴摆出的三位数是偶数的概率为，摆出的三位数不是偶数的概率为， ∵， ∴这个游戏不公平， 故答案为：不公平． 【点睛】本题主要考查了概率的计算，解题的关键是分别求出小红和小军获胜的概率． 1．下列事件中，随机事件的是（    ） A．直线与直线有公共点 B．10位学生分3组，至少有一组人数超过3 C．任取一个实数，它的平方小于零 D．掷一次骰子，向上的一面是6点 【答案】D 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、直线与直线不平行，所以它们有公共点，是必然事件，不符合题意； B、10位学生分3组，至少有一组人数超过3，是必然事件，不符合题意； C、任取一个实数，它的平方小于零，是不可能事件，不符合题意； D、掷一次骰子，向上的一面是6点，是随机事件，符合题意； 故选：D． 2．投掷两枚质地均匀的正方体骰子，下列事件是必然事件的是（    ） A．点数的和为6 B．点数的和小于13 C．点数的和大于12 D．点数的和为奇数 【答案】B 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、点数的和为6，是随机事件，不符合题意； B、点数的和小于13，是必然事件，符合题意； C、点数的和大于12，是不可能事件，不符合题意； D、点数的和为奇数，是随机事件，不符合题意； 故选：B． 3．如左图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如右图，现将不同质量的一“○”和一个“”从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，此时两个托盘上物体的质量分别为和，则下列关系可能出现的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析左图可知，1个“ ”的质量等于2个“○”的质量．两个物体等可能的向左或向右落时，共有4种情况，分别计算出左边托盘和右边托盘的质量，即可得出和的关系． 【详解】解：由左图可知2个“○”与1个“ ”的质量等于2个“ ”的质量， 1个“ ”的质量等于2个“○”的质量． 右图中，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中， 共有4种情况： （1）“○”和“ ”都落到左边的托盘时： 左边有3个“○”2个“ ”，相当于7个“○”，右边有2个“ ”，相当于4个“○”，此时； （2）“○”和“ ”都落到右边的托盘时： 左边有2个“○”1个“ ”，相当于4个“○”，右边有3个“ ” 1个“○”，相当于7个“○”，此时； （3）“○”落到左边的托盘，“ ” 落到右边的托盘时： 左边有3个“○”1个“ ”，相当于5个“○”，右边有3个“ ”，相当于6个“○”，此时； （4）“○”落到右边的托盘，“ ” 落到左边的托盘时： 左边有2个“○”2个“ ”，相当于6个“○”，右边有2个“ ” 1个“○”，相当于5个“○”，此时； 观察四个选项可知，只有选项C符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查等可能事件、等式的性质，解题的关键是读懂题意，计算所有等可能情况下和的比值． 4．实验室中存放有A，B两组溶液，从两组中各随机选一瓶溶液滴入同一试管中能够反应生成氯化钙溶液（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求事件的概率，能够根据事件发生的可能性求出概率是解决本题的关键． 直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：一共有四种等可能事件，其中抽到能够反应生成氯化钙溶液的有一种，故抽到能够反应生成氯化钙溶液的概率为：． 故选：B． 5．下列说法错误的是（　　） A．“清明时节雨纷纷”是必然事件 B．对“神舟十八号”载人飞船发射前的零部件的检查，采用全面调查的方式 C．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率 D．在“校园好声音”比赛中，通常采用去掉一个最高分和最低分，然后计算平均分的办法，是因为平均数易受极端数据的影响 【答案】A 【分析】此题考查了事件的分类、调查方式、频率估计概率、平均数等知识，根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A．“清明时节雨纷纷”是随机事件，故选项错误，符合题意； B．对“神舟十八号”载人飞船发射前的零部件的检查，采用全面调查的方式，故选项正确，不符合题意； C．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率，故选项正确，不符合题意； D．在“校园好声音”比赛中，通常采用去掉一个最高分和最低分，然后计算平均分的办法，是因为平均数易受极端数据的影响，故选项正确，不符合题意． 故选：A． 6．在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估计其中的白球数量．做了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．得到如表所示的数据．请估算盒子里白球的个数有（    ）个 摸球的次数m 20 40 60 80 120 160 200 摸到白球的次数n 15 33 49 63 97 126 160 摸到白球的频率 0.75 0.83 0.82 0.79 0.81 0.79 0.8 A．无法估计 B．8个 C．6个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．同时也考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，观察可知概率在0.8左右．利用概率公式进行计算． 【详解】解：大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，观察可知概率在0.8左右， 设白球有个， ，解得． 故选：B． 7．学校通过以下方式抽取部分同学免费参加活动：在一个装有6个红球和若干白球（每个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得“民间美术展”活动门票一张，已知参加抽取活动的同学共有人，“民间美术展”活动门票张，则白球的数量是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】 本题主要考查了利用频率估计概率，根据概率求数量；设袋中共有个白球，根据摸到红球的概率求出球的总个数，即可解答． 【详解】 解：设袋中共有个白球，则摸到红球的概率为， ∴ ， 解得，经检验：时，， 所以是原方程的解． 故选：D． 8．不透明的盒子中装有红、白两色的小球共n（n为正整数）个，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，不断重复这一过程．下图显示了用计算机模拟实验的结果．    若盒子中共装60个小球，可以根据本次实验结果，估算出盒子中有红球的个数是（    ） A．14 B．21 C．24 D．39 【答案】B 【分析】本题考查用频率估计概率，掌握用频率估计出事件的概率是解题关键． 先根据频率估计出“摸到红球”的概率，再根据部分的具体数目总体数目相应概率计算即可． 【详解】解：∵随着实验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35， ∴盒子中约有红球（个）， 故选：B． 9．在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小金获胜 B．一定是小华获胜 C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜 【答案】C 【分析】 本题考查了随机事件，列举法等知识，利用排除法求解即可． 【详解】解：假设两人第一次都摸到红球，若第二次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第二次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜； 故A、B都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小金先摸球，则小金先摸到2个红球，所以一定是小金获胜， 故C正确； 若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第四次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜； 故D不正确． 故选：C． 10．有四人坐在如图所示的圆桌周围，4个座位分别记为①、②、③、④．甲、乙两人等可能性地坐在4个座位中的2个座位上，甲、乙两人相对而坐的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率．先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙两人相对而坐的结果数，再根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设①、②、③、④这4个座位分别用、、、表示，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性是结果数，其中甲、乙两人相对而坐的结果数有4种：，，，， 甲、乙两人相对而坐的概率为， 故选：B． 11．连续三次抛掷一枚硬币都是正面朝上，则第四次抛掷，结果正面朝上是 事件（选填“不可能”、“必然”、“随机”）． 【答案】随机 【分析】本题考查了随机事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据随机事件的定义即可判断． 【详解】解：∵抛掷一枚硬币可能是正面朝上，也可能是反面朝上， ∴第四次抛掷正面朝上是随机事件． 故答案为：随机． 12．从一个不透明的口袋中有8个红球和2个白球，从袋子中任意摸出n个球，其中摸到红球是一个必然事件，则n的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】从袋子中任意摸出1个或2个球，其中摸到红球是随机事件， 当时，摸到红球是必然事件， 则n的最小值是3， 故答案为：3． 13．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则任意摸一个球是绿球的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由频率估计概率；理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键，根据题意利用频率估计概率的知识即可求解． 【详解】解：由题意，经过大题重复实验后，摸到绿球的频率稳定在， 所以估计任意摸一个球是绿球的概率为， 故答案为． 14．饺子是我国北方传统的年节食品，有喜庆团圆、吉祥如意等寓意．除夕的时候小明妈妈包了80个饺子，其中在8个饺子里包了幸运果．小明在这些饺子中任意挑选一个饺子，挑选到有幸运果饺子的概率是 ． 【答案】/0.1 【分析】本题考查的是简单随机事件的概率，熟练的利用概率公式进行计算是解本题的关键．用随机事件的概率公式直接计算即可． 【详解】解：过年时包了80个饺子，有8个饺子包有幸运果，任意挑选一个饺子，正好是包有幸运果饺子的概率是， 故答案为：． 15．学校开展艺术节，小明从感兴趣的“剪纸”“书法”“摄影”3个项目中随机选择一项参加，每个项目被选中的可能性相等，小明恰好选中“书法”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式．直接利用概率公式可得答案． 【详解】解：∵共有“剪纸”“书法”“摄影”3个项目， ∴小明恰好选中“书法”的概率为． 故答案为：． 16．“a是实数， ”这一事件是 事件． 【答案】不可能 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据实数的乘方法则、事件发生的可能性大小判断判断即可． 【详解】解：∵a是实数， ∴， ∴“a是实数， ”这一事件是不可能事件， 故答案为：不可能． 17．一只箱子里放有2个白球与1个红球，它们除颜色外均相同． (1)如果从箱子中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是______； (2)如果从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，再摸出一个球，利用树形图求两次摸出的球都是白球的概率； (3)如果可以往箱子里放除颜色外均相同的球，请你设计一个“摸出白球的概率为”的游戏方案． 【答案】(1) (2) (3)往箱子里放红球1个，白球1个，摸出白球的概率为 【分析】本题考查了用概率公式求解概率、采用树状图法或列表法列举求解概率以及根据概率求数量的知识，掌握用树状图法或列表法列举求解概率是解答本题的关键． （1）用白球个数除以球的总个数即可； （2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是白球的结果数，然后根据概率公式求解； （3）设往箱子里放红球x个，白球1个，根据“摸出白球的概率为”建立方程求解检验即可． 【详解】（1）解：摸出的球是白球的概率是； （2）解：画树状图为： 共有6种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是白球的结果数为2， 即两次都是摸出白球的概率为：； （3）解：设往箱子里放红球x个，白球1个，根据题意得： ，即 解得：， 经检验，是原方程的解， 往箱子里放红球1个，白球1个，摸出白球的概率为 18．六一国际儿童节，某景区为孩子们精心打造了一场以“童心童梦，趣玩六一”为主题的亲子嘉年华活动．该景区内有一摊位推出了掷硬币、摸小球赢玩偶游戏，他准备了一枚硬币和四个小球，在这四个小球上分别标记数字1、2、3、4，每个小球除数字不同外其余均相同，将这四个小球放入一个不透明的箱子中． (1)若将硬币随机掷次，其中正面朝上的次数为次，则在这次掷硬币中，该硬币正面朝上的频率为________； (2)游戏规定：参与者先掷硬币，若该硬币正面朝上，则所得的数字记为1；若该硬币反面朝上，则所得的数字记为0．接下来，参与者再从箱子里的四个小球中随机摸出一个，记录所摸小球上的数字（即为所得数字）．如果两次所得的数字之和大于3，则可赢得玩偶，其余情况，不能赢得玩偶．乐乐参加了一次赢玩偶游戏，请用列表或画树状图的方法求他获得玩偶的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了频率，画树状图或列表求概率，熟练掌握画树状图或列表求概率是解题的关键． （1）利用频率的概念求解即可； （2）利用画树状图或列表求概率即可． 【详解】（1）解：该硬币正面朝上的频率， 故答案为：； （2）画树状图如下： 由图知，一共有8种等可能的情况，其中所得数字之和大于3的有3种， 所以他获得玩偶的概率是． 19．一个不透明的口袋中有三个小球，一个标有字母，另外两个都标有字母，所标字母不同外，其它完全相同，小明和小刚做摸球游戏，小明从中随机摸出一个小球记下字母后放回并搅匀，小刚再随机摸出一个小球，两次摸出的小球所标字母相同则小明赢，所标字母不同则小刚赢． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，表示出所有可能出现的结果： (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)这个游戏规则对双方不公平 【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数即可； （2）根据概率公式求出小明赢和小刚赢的概率，然后进行比较，即可得出答案 此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】（1）列表得： 由列表可知可能出现的结果共9种 （2）∵共有9种等可能的情况数，其中两次摸的小球所标字母相同的有5种，所标字母不同的有4种， ∴小明赢的概率是，小刚赢的概率是 ∵ ∴这个游戏规则对双方不公平 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 简单事件的概率 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1．掌握确定事件与随机事件的概念与应用； 2．掌握概率的意义，学会计算概率； 3、学会利用频率估计概率； 一、确定事件与随机事件： （1）确定事:事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件:在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 二、可能性的大小： 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： 三、概率的意义： （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率，会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． 四、利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 教材习题01 在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同。 （1） 从箱子里摸出1个球，是黑球。这属于哪一类事件？摸出1个球，是白球或者是红球。这属于哪一类事件？ （2） 从箱子里摸出1个球，有几种不同的可能（摸到不同的球就表示不同的可能）？它们属于哪一类事件？ （3） 从箱子里摸出1个球，放回，摇均匀后再摸出1个球，这样先后摸得的两球有几种不同的可能？ 解题方法 本题主要考察事件分类，学生需要理解确定事件和随机事件，对于不同事件的的可能性能够判断出来，另外，本题也考察列表法以及树状图的解题方法。 【答案】 解：（1） 因为箱子里没有黑球，所以摸出1个球，是黑球这一事件是不可能事件援 因为箱子里只有白球和红球，所以摸出1个球，是白球或者是红球这一事件是必然事件。 （2） 因为箱子里放有3个球，所以从箱子里摸出1个球有3种不同的可能. 摸出 1 个白球，或摸出1个红球，都属于不确定事件。 （3） 箱子里的1个白球和2个红球分别记为白，红Ⅰ，红Ⅱ. 先摸出1个球，放回，摇均匀后再摸出1个球，其结果可列表（如表1）或画成树状图（如图1）表示。 表1 图1 教材习题02 求下列事件发生的概率： （1）事件A：从一副扑克牌中任抽1张牌，抽出的这张牌是红桃A. （2）事件B：先从一副扑克牌中去掉2张王牌，然后任抽1张牌，抽出的这张牌是红桃. 解题方法 根据已知条件，可以得到二次函数表达式h=10t－5t2，当h=0时，t=0或t=2，说明这两个时刻时球的起弹和落地的时刻，同样，当我们取h=3，75时，就可以算出距离地面3，75m的时间 【答案】 解：（1） 一副扑克牌共有54张牌，从中任抽1张牌，所有可能性相等的结果总数n＝54. 抽到红桃A只有1种可能，也就是m＝1，所以事件A 发生的概率P（A）＝ = （2）去掉 2 张王牌后，一副扑克牌还剩下52张牌，从中任抽1张牌，所有可能性相等的结果总数n＝52. 因为红桃花色的牌有13张，所以事件B包含其中的结果数 m＝13. 所以事件 B 发生的概率P（B）＝ = = 考点一： 事件的分类 例1．下列事件是随机事件的是（    ） A．汽车的车窗玻璃破碎 B．从地面上抛掷一枚硬币，硬币一定会落下 C．从一副没有大小王的扑克牌中任意取出一张牌，这张牌一定是大王 D．今年十四岁的你，明年一定是十五岁 变式1-1．下列事件，是必然事件的是（    ） A．通常加热到，水沸腾 B．经过有信号灯的路口，遇到红灯 C．掷一次骰子，向上一面点数是6 D．射击运动员射击一次，命中靶心 变式1-2．下列事件：①守株待兔；②2024年6月20日是晴天；③任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形．其中属于随机事件的是（    ） A．①②③ B．只有① C．只有② D．①② 考点二：事件可能性大小 例2．如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1，2，3，4所示区域内可能性最大的是（） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 变式2-1．一个布袋里装有2个红球，4个黑球，3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（    ） A．摸出的是绿球 B．摸出的是黑球 C．摸出的是红球 D．摸出的是白球 变式2-2．在个相同的袋子中，装有除颜色外完全相同的个球，任意摸出个球，摸到红球可能性最大的是（    ） A．个红球，个白球 B．个红球，个白球 C．个红球，个白球 D．个红球，个白球 考点三：概率公式计算概率 例3．老师将6种生活现象制成如图所示看上去无差别的卡片，从中随机抽取一胀卡，抽中生活现象是物理变化的概率是（　　） A． B． C． D． 变式3-1．一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，则摸到的球是白球的概率是（　　） A． B． C． D． 考点四：已知概率求数量 例4．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中黄球估计有（　　） A．15个 B．20个 C．30个 D．35个 变式4-1．某生物学家想通过随机抽取的方式来估计50只小白鼠中雄鼠的个数，这些小白鼠被抓取后能够清晰地判断性别．将小白鼠随机放置在实验箱后，从中随机抽出一只小白鼠，记下它的性别后再放回实验箱中，不断重复这一过程，通过大量重复的试验后，发现抽到雌鼠的频率稳定在0.4，则实验箱中雄鼠的个数约为（    ） A．25 B．30 C．20 D．35 变式4-2．一个口袋中有黄球和黑球共16个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回，不断重复这一过程，共摸了200次球，发现有150次摸到黄球，请你估计这个口袋中黑球的个数（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 考点五：用频率估算概率 例5．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下： 种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽种子粒数 85 298 652 793 1604 4005 发芽频率 0.850 0.745 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为 （精确到0.1）． 变式5-1．如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题： 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252 估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（精确到0.01）（　　） A．0.56 B．0.51 C．0.50 D．0.52 变式5-2．年3月日，是我国的第个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为 （结果保留两位小数）． 第一批次 第二批次 第三批次 第四批次 第五批次 种植数量 成活数量 成活频率 考点六：概率的简单应用 例6．桌上放4张扑克牌，全部正面朝下，其中恰有1张是老K．两人做游戏，游戏规则是：随机取2张牌并把它们翻开，若2张牌中没有老K，则红方胜，否则蓝方胜．则赢的机会大的一方是（    ） A．红方 B．蓝方 C．两方机会一样 D．不知道 变式6-1．小明和小亮在玩“石头、剪子、布”的游戏，假设每次出这三种手势的可能性相同，若手势相同，则平局，否则按“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，此游戏 （填“公平”或“不公平”）；两人一起做同样手势的概率是 ． 变式6-2．小军和小红用2、3、4三张数字卡片做游戏，如果摆出的三位数是偶数，算小红赢，否则算小军赢，这个游戏规则 （填“公平“或“不公平”）． 1．下列事件中，随机事件的是（    ） A．直线与直线有公共点 B．10位学生分3组，至少有一组人数超过3 C．任取一个实数，它的平方小于零 D．掷一次骰子，向上的一面是6点 2．投掷两枚质地均匀的正方体骰子，下列事件是必然事件的是（    ） A．点数的和为6 B．点数的和小于13 C．点数的和大于12 D．点数的和为奇数 3．如左图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如右图，现将不同质量的一“○”和一个“”从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，此时两个托盘上物体的质量分别为和，则下列关系可能出现的是（    ） A． B． C． D． 4．实验室中存放有A，B两组溶液，从两组中各随机选一瓶溶液滴入同一试管中能够反应生成氯化钙溶液（    ）      A． B． C． D． 5．下列说法错误的是（　　） A．“清明时节雨纷纷”是必然事件 B．对“神舟十八号”载人飞船发射前的零部件的检查，采用全面调查的方式 C．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率 D．在“校园好声音”比赛中，通常采用去掉一个最高分和最低分，然后计算平均分的办法，是因为平均数易受极端数据的影响 6．在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估计其中的白球数量．做了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．得到如表所示的数据．请估算盒子里白球的个数有（    ）个 摸球的次数m 20 40 60 80 120 160 200 摸到白球的次数n 15 33 49 63 97 126 160 摸到白球的频率 0.75 0.83 0.82 0.79 0.81 0.79 0.8 A．无法估计 B．8个 C．6个 D．2个 7．学校通过以下方式抽取部分同学免费参加活动：在一个装有6个红球和若干白球（每个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得“民间美术展”活动门票一张，已知参加抽取活动的同学共有人，“民间美术展”活动门票张，则白球的数量是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．不透明的盒子中装有红、白两色的小球共n（n为正整数）个，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，不断重复这一过程．下图显示了用计算机模拟实验的结果．    若盒子中共装60个小球，可以根据本次实验结果，估算出盒子中有红球的个数是（    ） A．14 B．21 C．24 D．39 9．在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小金获胜 B．一定是小华获胜 C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜 10．有四人坐在如图所示的圆桌周围，4个座位分别记为①、②、③、④．甲、乙两人等可能性地坐在4个座位中的2个座位上，甲、乙两人相对而坐的概率为（    ）    A． B． C． D． 11．连续三次抛掷一枚硬币都是正面朝上，则第四次抛掷，结果正面朝上是 事件（选填“不可能”、“必然”、“随机”）． 12．从一个不透明的口袋中有8个红球和2个白球，从袋子中任意摸出n个球，其中摸到红球是一个必然事件，则n的最小值是 ． 13．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则任意摸一个球是绿球的概率为 ． 14．饺子是我国北方传统的年节食品，有喜庆团圆、吉祥如意等寓意．除夕的时候小明妈妈包了80个饺子，其中在8个饺子里包了幸运果．小明在这些饺子中任意挑选一个饺子，挑选到有幸运果饺子的概率是 ． 15．学校开展艺术节，小明从感兴趣的“剪纸”“书法”“摄影”3个项目中随机选择一项参加，每个项目被选中的可能性相等，小明恰好选中“书法”的概率是 ． 16．“a是实数， ”这一事件是 事件． 17．一只箱子里放有2个白球与1个红球，它们除颜色外均相同． (1)如果从箱子中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是______； (2)如果从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，再摸出一个球，利用树形图求两次摸出的球都是白球的概率； (3)如果可以往箱子里放除颜色外均相同的球，请你设计一个“摸出白球的概率为”的游戏方案． 18．六一国际儿童节，某景区为孩子们精心打造了一场以“童心童梦，趣玩六一”为主题的亲子嘉年华活动．该景区内有一摊位推出了掷硬币、摸小球赢玩偶游戏，他准备了一枚硬币和四个小球，在这四个小球上分别标记数字1、2、3、4，每个小球除数字不同外其余均相同，将这四个小球放入一个不透明的箱子中． (1)若将硬币随机掷次，其中正面朝上的次数为次，则在这次掷硬币中，该硬币正面朝上的频率为________； (2)游戏规定：参与者先掷硬币，若该硬币正面朝上，则所得的数字记为1；若该硬币反面朝上，则所得的数字记为0．接下来，参与者再从箱子里的四个小球中随机摸出一个，记录所摸小球上的数字（即为所得数字）．如果两次所得的数字之和大于3，则可赢得玩偶，其余情况，不能赢得玩偶．乐乐参加了一次赢玩偶游戏，请用列表或画树状图的方法求他获得玩偶的概率． 19．一个不透明的口袋中有三个小球，一个标有字母，另外两个都标有字母，所标字母不同外，其它完全相同，小明和小刚做摸球游戏，小明从中随机摸出一个小球记下字母后放回并搅匀，小刚再随机摸出一个小球，两次摸出的小球所标字母相同则小明赢，所标字母不同则小刚赢． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，表示出所有可能出现的结果： (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$