第05讲 尺规作图【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

第05讲 尺规作图 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1．掌握五种基本的尺规作图方法； 2．掌握用尺规作图作三角形的方法； 一、基本作图 1.尺规作图的定义 利用没有刻度直尺和圆规作图，简称为尺规作图. 要点：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度. 2.常见基本作图 （1）作一条线段等于已知线段，如图1； （2）作一个角等于已知角，如图2 （3）作已知角的平分线，如图3； （4）作已知线段的垂直平分线，如图4 ； （5）过一点作已知直线的垂线，如图5； 二、利用尺规作图作三角形 （1）已知三边作三角形，如图1 （2）已知两边及其夹角作三角形，如图2； （3）已知两角及其夹边作三角形，如图3， 教材习题01 已知∠α，∠β 和线段a，用直尺和圆规作ΔABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝a 解题方法 本题主要考察尺规作图做三角形的做法 【答案】 作法：1.作一条线段AB＝a 2.分别以A、B为顶点，在AB的同侧作∠DAB＝∠α，∠EAB＝∠β， DA与EB相交于点C. ΔABC就是所求作的三角形. 考点一： 作已知角的和差 例1．如图为一副三角尺，其中，作． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 变式1-1．已知：，求作：，使． 变式1-2．作图题．已知，，且大于，求作（不写作法，保留作图痕迹，不在原图上作图） 考点二：过直线外一点做直线的平行线 例2．如图，在四边形中，点P为边上一点，请用尺规作图法，在边上求作一点Q，使得P、Q到的距离相等． 变式2-1．如图，已知，用尺规过点A作直线，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 变式2-2．已知：如图，是的角平分线． (1)在边求作点E，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，请画出的平分线，点F在上，并证明：． 考点三：尺规作图做三角形 例3．尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） 已知：已知线段a，b和 求作：使，， 变式3-1．尺规作图：如图，已知，请根据基本事实“”作出，使．（只保留作图痕迹，不要求写出作法）    变式3-2．已知线段a，b． 求作：，使得．       考点四：尺规作图—作垂线 例4．作图题： (1)画出的三条高． (2)尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．已知：，求作：，使得． 变式4-1．如图，在中，，请用尺规作图法在内部求作一点P，使得，且，（保留作图痕迹，不写作法） 变式4-2．已知：，，．求作：点P，使，且点P在边AC上． 考点五：作角平分线 例5．现有两条高速公路、和C，D两个城镇（如图），准备建立一个燃气中心站M使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出中心站位置． 变式5-1．已知，请在边上确定一点，使得点到的距离相等．（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）    考点六：结合尺规作图的三角形全等问题 例6．如图，在所给正方形网格图中完成下列各题： (1)画出所有与格点（顶点均在格点上）全等的格点三角形，使它与有且只有一条公共边，你画出了______ 个符合要求的格点三角形，分别记作______ ； (2)在上画出点，使得的周长最小； (3)若网格上的最小正方形的边长为，直接写出的面积为______ ． 变式6-1．如图，已知中，，尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)在直线上方求作一点D，使得，其中； (2)在线段上求作一点E，使得，说明理由． 1．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 2．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（　） A． B． C． D． 3．如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若，P为上一动点，则的最小值为（    ） A．无法确定 B． C．1 D．2 4．如图所示，在中，，以顶点为圆心，取适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则点到的距离是（   ） A．1 B． C． D． 5．如图，在中，以顶点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，连结并延长，交于点．已知，，则为 度． 6．如图，，以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．再以点N为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接．则 度． 7．如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点，，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧于点，画射线．若，则的度数为 度．    8．尺规作图：已知：、，求作：，使． 9．如图，已知，利用直尺和圆规画，使的大小为．（不写作法，保留作图痕迹．）    10．如图，已知和线段，求作，使得，，边．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 11．如图，已知三角形，，，在上求作一点D，使得．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 12．如图，已知，请用尺规作图法，在线段上方求作一点，使得点到点和点的距离相等，且到边，的距离也相等． 13．如图，中，，，，，．    (1)①说明； ②小明在观察图形中感觉似乎与垂直，为了验证自己的猜想，他延长与交于点，用量角器度量了，测得它几乎就是，显然测量是会出现误差的，请聪明的你用所学的几何知识说明小明的猜想是正确的． (2)用尺规作图在原图外部取点，使，并请说明：点，，这三个点在同一直线上． 14．如图，线段，交CF于点E． (1)尺规作图：以点A为顶点，射线为一边，在的上方作，使．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证： 证明：∵，（已知） ∴________．（    ） ∵，（已知） ∴________（    ） ∴． 15．如图，已知点、、在一条直线上，． (1)利用直尺和圆规作的平分线； (2)如果，求的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 尺规作图 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1．掌握五种基本的尺规作图方法； 2．掌握用尺规作图作三角形的方法； 一、基本作图 1.尺规作图的定义 利用没有刻度直尺和圆规作图，简称为尺规作图. 要点：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度. 2.常见基本作图 （1）作一条线段等于已知线段，如图1； （2）作一个角等于已知角，如图2 （3）作已知角的平分线，如图3； （4）作已知线段的垂直平分线，如图4 ； （5）过一点作已知直线的垂线，如图5； 二、利用尺规作图作三角形 （1）已知三边作三角形，如图1 （2）已知两边及其夹角作三角形，如图2； （3）已知两角及其夹边作三角形，如图3， 教材习题01 已知∠α，∠β 和线段a，用直尺和圆规作ΔABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝a 解题方法 本题主要考察尺规作图做三角形的做法 【答案】 作法：1.作一条线段AB＝a 2.分别以A、B为顶点，在AB的同侧作∠DAB＝∠α，∠EAB＝∠β， DA与EB相交于点C. ΔABC就是所求作的三角形. 考点一： 作已知角的和差 例1．如图为一副三角尺，其中，作． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析 【分析】本题考查尺规作角，根据尺规作角的方法，作图即可．掌握尺规作角的方法，是解题的关键． 【详解】解：如图，即为所求； 变式1-1．已知：，求作：，使． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了作一个角等于已知角的基本作图， 关键是熟练掌握基本作图的方法． 先利用尺规作一个等于已知角的方法作出，然后作出即可． 【详解】如图所示，即为所求． 变式1-2．作图题．已知，，且大于，求作（不写作法，保留作图痕迹，不在原图上作图） 【答案】图见解析 【分析】本题考查尺规作图—作一个角等于已知两角的差，根据尺规作角的方法，进行作图即可． 【详解】解：如图，即为所求． 考点二：过直线外一点做直线的平行线 例2．如图，在四边形中，点P为边上一点，请用尺规作图法，在边上求作一点Q，使得P、Q到的距离相等． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和平行线的尺规作图，过点P作交于Q，则点Q即为所求． 【详解】解：如图所示，过点P作交于Q，则点Q即为所求． 由平行线间间距相等可得P、Q到的距离相等． 变式2-1．如图，已知，用尺规过点A作直线，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的尺规作图， 根据平行线的尺规作图方法作图即可． 【详解】解：如图所示，直线即为所求． 变式2-2．已知：如图，是的角平分线． (1)在边求作点E，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，请画出的平分线，点F在上，并证明：． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，平行线的尺规作图： （1）根据平行线的尺规作图方法作图即可； （2）先根据题意作图，再根据平行线的性质和角平分线的定义证明，即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求； （2）解：如图所示，点F即为所求， ∵， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴， ∴， ∴． 考点三：尺规作图做三角形 例3．尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） 已知：已知线段a，b和 求作：使，， 【答案】见解析 【分析】本题考查作三角形，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 作，在射线上截取线段，使得，以B为圆心，a为半径作弧，交于点B，，连接，，或即为所求． 【详解】解：如图，或即为所求． 变式3-1．尺规作图：如图，已知，请根据基本事实“”作出，使．（只保留作图痕迹，不要求写出作法）    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图——作三角形与已知三角形全等．熟练掌握基本作图，三角形全等的判定和性质，是解题关键． 先作一个，然后在的两边分别截取，，连接即可得到． 【详解】①作，使， ②在的两边上分别取，，使，， ③连接． 即所求作，如图．    变式3-2．已知线段a，b． 求作：，使得．    【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作三角形，根据题意，利用尺规作线段等于已知线段，根据作三角形即可 【详解】解：即为所求作的三角形.    考点四：尺规作图—作垂线 例4．作图题： (1)画出的三条高． (2)尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．已知：，求作：，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作三角形的高，作一个角等于已知角，作垂直平分线； （1） 过作对边的垂线，即可求解； （2）作，则 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求 变式4-1．如图，在中，，请用尺规作图法在内部求作一点P，使得，且，（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图—复杂作图，先作的垂直平分线，再作，交直线于，点即为所求. 【详解】解：如图，点即为所求. 变式4-2．已知：，，．求作：点P，使，且点P在边AC上． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图画垂线、三角形内角和定理等知识点，理解题意、灵活运用尺规作图画垂线是解题的关键． 如图：过B作,垂足为 P，然后根据三角形内角和定理可知，然后根据角的和差可得，据此即可解答． 【详解】解：如图：过B作,垂足为 P， ∵， ∴， ∴,则点P即为所求． 考点五：作角平分线 例5．现有两条高速公路、和C，D两个城镇（如图），准备建立一个燃气中心站M使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出中心站位置． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 到两条公路的距离相等，则要画两条公路的夹角的角平分线，到C，D两点的距离相等又要画线段的垂直平分线，两线的交点就是点M的位置． 【详解】解：如图：（1）做出的角平分线； （2）连接，作的垂直平分线； （3）的垂直平分线和的交点，即为所求点M． 变式5-1．已知，请在边上确定一点，使得点到的距离相等．（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）    【答案】见解析 【分析】题目主要考查角平分线的作法及性质，根据题意点到的距离相等得出作角平分线，然后作图即可，熟练掌握作图方法是解题关键． 【详解】解：如图所示：点P即为所求．    考点六：结合尺规作图的三角形全等问题 例6．如图，在所给正方形网格图中完成下列各题： (1)画出所有与格点（顶点均在格点上）全等的格点三角形，使它与有且只有一条公共边，你画出了______ 个符合要求的格点三角形，分别记作______ ； (2)在上画出点，使得的周长最小； (3)若网格上的最小正方形的边长为，直接写出的面积为______ ． 【答案】(1)；， (2)见详解 (3) 【分析】本题考查作全等三角形的综合问题，轴对称最短问题以及利用网格求三角形的面积问题。 根据全等三角形的判定方法以及题目要求作出图形即可； 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，点即为所求； 把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，，即为所求． 故答案为：，，； （2）如图，点即为所求； （3）的面积． 故答案为：． 变式6-1．如图，已知中，，尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)在直线上方求作一点D，使得，其中； (2)在线段上求作一点E，使得，说明理由． 【答案】(1)详见解析； (2)详见解析． 【分析】本题考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定和线段垂直平分线的性质等知识点， （1）分别以A点、B点为圆心，以和为半径画弧，两弧相交于点D，则根据“”可判断； （2）作的垂直平分线交于E点，则，所以，然后根据三角形外角性质可得到； 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【详解】（1）如图，点D为所作； （2）如图，作的垂直平分线交于点E，交点E为所作； ∵点E为的垂直平分线与的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， 即 1．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得：， ∴线段一定是的高线； 故选B 2．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，用直尺和圆规作一个角等于已知角．通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用，答案可得． 【详解】解：由作图可知，在和中， ， ， ，即， 说明的依据是． 故选B． 3．如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若，P为上一动点，则的最小值为（    ） A．无法确定 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，垂线段最短．熟练掌握作角平分线，角平分线的性质，垂线段最短是解题的关键． 由作图可知，是的平分线，如图，作于，由题意知，当时，的值最小，为，然后利用角平分线的性质求解作答即可． 【详解】解：由作图可知，是的平分线， 如图，作于， 由题意知，当时，的值最小，为， 又∵， ∴， 故选：C． 4．如图所示，在中，，以顶点为圆心，取适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则点到的距离是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图：角平分线的作法；由作法得是的角平分线，，然后根据角平分线的性质求解． 【详解】解：由题可知，是的角平分线， 点P到和的距离相等， ，， ， 点D到的距离为的长，即点D到的距离为3， ∴点D到的距离为3． 故选：C． 5．如图，在中，以顶点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，连结并延长，交于点．已知，，则为 度． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的作图与含义，三角形的外角的性质，先求解，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 6．如图，，以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．再以点N为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接．则 度． 【答案】64 【分析】本题考查了作图一基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键也考查了平行线的性质；利用基本作图得到，再根据平行线的性质得到即可求解． 【详解】 由作法得： ∵ ∴ ∴ 故答案为：64． 7．如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点，，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧于点，画射线．若，则的度数为 度．    【答案】 【分析】根据题意可得：，从而可得，然后利用度分秒的进制进行计算，即可解答．本题考查了度分秒的换算，角平分线的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．尺规作图：已知：、，求作：，使． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知两个角的和，正确掌握作图的基本要领即可． 【详解】根据题意，图如下： 则图示角即为所求． 9．如图，已知，利用直尺和圆规画，使的大小为．（不写作法，保留作图痕迹．）    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图——作一个角等于已知角．先作，再作，即可求解． 【详解】解：如图，即为所求．    10．如图，已知和线段，求作，使得，，边．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．作射线，在射线上截取，在的上方分别作，，交于点，即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． 11．如图，已知三角形，，，在上求作一点D，使得．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】根据，，得到是等腰直角三角形，作的平分线，交于点D，根据等腰三角形三线合一性质，可得，解得即可． 本题考查了角的平分线的基本作图，等腰三角形的性质，熟练掌握基本作图，灵活应用等腰三角形的三线合一性质是解题的关键． 【详解】根据，，得到是等腰直角三角形， 故的平分线，交于点D，根据等腰三角形三线合一性质，可得，作图如下： 则点D即为所求． 12．如图，已知，请用尺规作图法，在线段上方求作一点，使得点到点和点的距离相等，且到边，的距离也相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据线段垂直平分线的作法作出的垂直平分线，再根据角平分线的作法作的角平分线，两线的交点即为所求． 【详解】作线段的垂直平分线，作平分，交于点， 如图所示，点即为所求， 13．如图，中，，，，，．    (1)①说明； ②小明在观察图形中感觉似乎与垂直，为了验证自己的猜想，他延长与交于点，用量角器度量了，测得它几乎就是，显然测量是会出现误差的，请聪明的你用所学的几何知识说明小明的猜想是正确的． (2)用尺规作图在原图外部取点，使，并请说明：点，，这三个点在同一直线上． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)图见解析，见解析 【分析】（1）由，，可得，即得，即可证明；延长，交于点，由，，可得，故，由知，可得，因，即可证明； （2）根据作一个角等于已知角的步骤即可，由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可知点，，这三个点在同一直线上． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ②理由：分别延长，交于点，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，即． （2）解：①以E为圆心，任意长为半径画弧交于M，交于N，②以B为圆心，的长为半径画弧交于K，③以K为圆心，的长为半径画弧，交前弧于G，④作射线，则即为所求；    ∵， ∴， 由（1）②知，， ∴过B的直线都与平行， ∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点，，这三个点在同一直线上． 【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质, 平行线的判定与性质，尺规作图等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 14．如图，线段，交CF于点E． (1)尺规作图：以点A为顶点，射线为一边，在的上方作，使．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证： 证明：∵，（已知） ∴________．（    ） ∵，（已知） ∴________（    ） ∴． 【答案】(1)见解析 (2)；两直线平行，同位角相等；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的作法，平行线的判定和性质，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． （1）以点为圆心，以任意长为半径画弧，以同样长为半径，以点为圆心画弧，再以点为圆心，以为半径画弧，由此即可求解； （2）根据平行线的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求图形； （2）证明：∵，（已知） ∴．（两直线平行，同位角相等） ∵，（已知） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；同位角相等，两直线平行； 15．如图，已知点、、在一条直线上，． (1)利用直尺和圆规作的平分线； (2)如果，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作角平分线、角平分线的定义、解一元一次方程，正确作出角平分线是解答的关键． （1）根据尺规作角平分线的作图方法即可； （2）设，则，，根据角平分线的定义得到，根据已知条件结合角的运算得到关于x的方程，然后求解x值即可． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求作； （2）解：∵， ∴设，则， ∴， ∵射线是的平分线， ∴， ∵， ∴，解得， 即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$