第04讲 全等三角形的判定【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

第04讲 三角形全等的判定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1．掌握“边边边”判定两个三角形全等； 2．掌握“边角边”判定两个三角形全等； 3、掌握“角边角”判定两个三角形全等； 4、掌握“角角边”判定两个三角形全等； 5、三角形全等判定方法的综合应用； 一、全等三角形判定1——“边边边” 全等三角形判定1——“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 1. 全等三角形判定2——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 全等三角形判定3——“角边角” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 1.全等三角形判定4——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 五、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 教材习题01 已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB. 求证： ∠A＝∠C 解题方法 ①证明∠A＝∠C，根据题意，可以知道，需要证明△ABD、△CDB两个三角形全等，就可以证明相应的结论。 ②根据题目已经给到的条件，两组边相等，以及一个公共边，就可以证明 △ABD、△CDB三角形全等了。 【答案】 证明：在△ABD 和△CDB 中AB=CD(已知） AD=CB(已知） BD=DB(公共边） ∵ ∴△ABD≌△CDB(SSS). ∴∠A=∠C (三角形全等，对应角相等). 考点一：用“SSS”判定三角形全等 例1．如图，在中，，，可直接利用“”判定（    ） A． B． C． D． 变式1-1．已知，若利用“”来判定，则需添加的条件是（    ）    A． B． C． D． 考点二：用“SAS”判定三角形全等 例2．如图，在中，为边的中点，，，延长至点，使得，则长度可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式2-1．如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 变式2-2．如图，在和中，，，，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点三：用“ASA”判定三角形全等 例3．如图，在中，，垂足分别是D、E，、交于点．已知，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式3-1．如图，已知点为边上一点，点为外一点，如果，且，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3-2．如图，和相交于O点，若，用证明还需增加条件（　　）    A． B． C． D． 考点四：用“AAS”判定三角形全等 例4．如图，点在外部，点在的边上，交于点，若，，则（    ） A． B． C． D． 变式4-1．如图，在中，，，于E，于D，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 变式4-2．如图，在四边形中，，，和的平分线交于点P，点P在上，于点E，若四边形的面积为78，，则的长为（    ）    A．6 B．10 C．12 D．18 考点五：全等三角形的判定方法选择 例5．如图，的高与相交于点，，的延长线交于点，则图中共有全等的直角三角形（    ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 变式5-1．如图，在等腰中，，为腰上的高线，则图中全等的直角三角形有（    ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 变式5-2．如图，下列条件不能证明的是（     ） A．， B．， C．， D．， 1．如图，中，，，直接使用“”可判定（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，平分，，可用“”判断全等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．以上三个选项都可以 3．如图，，表示两根长度相同的木条，若是，的中点，经测量，则容器的内径为（    ） A． B． C． D． 4．如图，O为的中点，若要利用“”来判定，则应补充的一个条件是（　　） A． B． C． D． 5．如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明和的全等的依据是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． 有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 7．一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 9．如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 10．如图所示，中，，M、N分别为、上动点，且，连、，当最小时，（　　）． A．2 B． C． D．1 11．已知是中边上的中线，若，，则的取值范围是 ． 12．请仔细观察用尺规作一个角等于已知角的示意图，我们可以由得到，请你写出的理由 ． 13．如图，D、E分别是外部的两点，连接，，有，，．连接、交于点F，则的度数为 ． 14．如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，则的面积为 ． 15．已知的两边，长分别为3和5，边上的中线的取值范围为 ． 16．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．    17．如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，四边形的面积为60，，则中边上的高为 ． 18．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，若，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．如图，在中，，，过点作，垂足为，延长至．使得．在边上截取，连结． (1)求∠的度数． (2)求证：． 20．已知，，是过点A的直线，B、E两点在直线上，，． (1)如图1，试说明： ①； ②； (2)当绕点A旋转到图2的位置时，之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 21．如图，A、D、B、F在一条直线上，．求证：． 22．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△    CDA（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 三角形全等的判定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1．掌握“边边边”判定两个三角形全等； 2．掌握“边角边”判定两个三角形全等； 3、掌握“角边角”判定两个三角形全等； 4、掌握“角角边”判定两个三角形全等； 5、三角形全等判定方法的综合应用； 一、全等三角形判定1——“边边边” 全等三角形判定1——“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 1. 全等三角形判定2——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 全等三角形判定3——“角边角” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 1.全等三角形判定4——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 五、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 教材习题01 已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB. 求证： ∠A＝∠C 解题方法 ①证明∠A＝∠C，根据题意，可以知道，需要证明△ABD、△CDB两个三角形全等，就可以证明相应的结论。 ②根据题目已经给到的条件，两组边相等，以及一个公共边，就可以证明 △ABD、△CDB三角形全等了。 【答案】 证明：在△ABD 和△CDB 中AB=CD(已知） AD=CB(已知） BD=DB(公共边） ∵ ∴△ABD≌△CDB(SSS). ∴∠A=∠C (三角形全等，对应角相等). 考点一：用“SSS”判定三角形全等 例1．如图，在中，，，可直接利用“”判定（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，全等三角形的判定定理有，，，．根据已知条件和全等三角形的判定定理结合图形得出选项即可． 【详解】解：根据，，可以推出，理由是， 其余是错误的，不能直接用定理推出，和不全等， 故选：C． 变式1-1．已知，若利用“”来判定，则需添加的条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，，，则添加，即可根据“”来判定 【详解】解：∵，， 添加， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 考点二：用“SAS”判定三角形全等 例2．如图，在中，为边的中点，，，延长至点，使得，则长度可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系；证明，得，在中由三边不等关系确定的取值范围，根据范围即可完成求解． 【详解】解：为边的中点， ； 在与中， ， ， ； ，， ， 故可以为4, 故选：A． 变式2-1．如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】在上取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解. 【详解】在上截取连接,    ， ， ∵点是平分线上的一点， ， 在和中, ， ， ， ， 解得 故选A. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系； 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键. 变式2-2．如图，在和中，，，，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键； 根据三角形的外角性质以及题意可得，再利用证明 ，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ，， 又， ， 在和中， ， ， ， 故选：C． 考点三：用“ASA”判定三角形全等 例3．如图，在中，，垂足分别是D、E，、交于点．已知，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴ 又， ∴， 故选：C． 变式3-1．如图，已知点为边上一点，点为外一点，如果，且，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，先证明，根据可证明． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵ ∴， 又， ∴ ∴选项D正确； 而选项A、B、C都无法证明三角形全等， 故选：D． 变式3-2．如图，和相交于O点，若，用证明还需增加条件（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对全等三角形的判定的应用．要用证明三角形全等，即角边角证明三角形全等，题目已知，，那么添加条件即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∴当时，可根据可证， 故选：B． 考点四：用“AAS”判定三角形全等 例4．如图，点在外部，点在的边上，交于点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键． 根据已知条件，得到，，从而得到，，利用全等三角形的判定方法，得到，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： ， ，， ，， 在和中， ， ， 故选：． 变式4-1．如图，在中，，，于E，于D，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查同角的余角相等，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由于D，于E，得，而，则，而，即可证明，则，所以． 【详解】解：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长是． 故选A． 变式4-2．如图，在四边形中，，，和的平分线交于点P，点P在上，于点E，若四边形的面积为78，，则的长为（    ）    A．6 B．10 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定义，平行线性质，通过证明，，得到，根据求出结果即可． 【详解】解：，， ， 于点E， ， 平分，平分， ，， 在与中， ， ， 同理， ， ， ， ， 故选：C． 考点五：全等三角形的判定方法选择 例5．如图，的高与相交于点，，的延长线交于点，则图中共有全等的直角三角形（    ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：．熟练掌握运用全等三角形的判定方法是解题关键． ，，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证． 【详解】解：，．理由如下： 在与中，， ， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 在与中，， ， ∴． 在与中，， ， ∴． 在与中， ， ∴． 在与中，， ∴． 故选：D 变式5-1．如图，在等腰中，，为腰上的高线，则图中全等的直角三角形有（    ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定三角形全等的一般方法有：，全等的三角形有、、，利用全等三角形的判定可证明，结合已知条件与全等三角形的判定方法验证即可． 【详解】解：∵为腰上的高线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵为腰上的高线， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 综上所述，全等的直角三角形有3对， 故选：B． 变式5-2．如图，下列条件不能证明的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键． 运用全等三角形的判定定理有、、、逐项判断即可． 【详解】解： A、、，，不能推出，故本选项符合题意； B、，，，符合全等三角形的判定定理“”，即能推出，故本选项不符合题意； C、在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， 即能推出，故本选项不符合题意； D、、、符合“”，能推出，故本选项不符合题意． 故选：A． 1．如图，中，，，直接使用“”可判定（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 根据现有条件无法直接利用判定，，， 故选：C． 2．如图，在中，平分，，可用“”判断全等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．以上三个选项都可以 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据角平分线的定义得到，由全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， 故选：C． 3．如图，，表示两根长度相同的木条，若是，的中点，经测量，则容器的内径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，利用求得，进而可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解： 是，的中点， ，， 在和中， ， ， ， ， 故选B． 4．如图，O为的中点，若要利用“”来判定，则应补充的一个条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了添加一个条件，使得用“”来判定，根据已知条件得出，，故只需要即可使用证明． 【详解】解：∵O为的中点， ∴， ∵， ∴当添加时，． 故选：D． 5．如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明和的全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的尺规作法和全等三角形的判定．掌握证明三角形全等是关键． 根据尺规作图痕迹可得，两个三角形对应边相等，进而可得答案 【详解】解：从角平分线的作法得出，与的三边全部相等， 则． 故选：A． 6．如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． 有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③错误； 又∵，， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的个数是个． 故选：C． 7．一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法SSS，即可解答． 【详解】解：由“”可以判定两个三角形全等， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 8．如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【答案】A 【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可． 【详解】解：∵AE=FB， ∴AE+BE=FB+BE， ∴AB=FE， 在△ABC和△FED中， ， ∴△ABC≌△FED（SSS）， ∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE， ∴可利用的是①或②， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键． 9．如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质：根据题意可得，再证明，可得，进而即可求解 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10．如图所示，中，，M、N分别为、上动点，且，连、，当最小时，（　　）． A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】过B点在下方作，且，链接，，先证明，即有，则，当A、M、H三点共线时，值最小，再证明，问题随之得解． 【详解】如图，过B点在下方作，且，链接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当A、M、H三点共线时，值最小， 如图， 此时∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线，构造全等三角形是解答本题的关键． 11．已知是中边上的中线，若，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．延长到，使，然后证明，根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，然后即可得解． 【详解】解：延长到，使， 是边上的中线， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三边关系：， ， ， ， 故答案为：． 12．请仔细观察用尺规作一个角等于已知角的示意图，我们可以由得到，请你写出的理由 ． 【答案】SSS 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由作图痕迹得，即可解答，熟知判定全等三角形的条件：，是解题的关键。 【详解】 解：由作图痕迹得， 在和中， ， ， ∴． 故答案为：SSS． 13．如图，D、E分别是外部的两点，连接，，有，，．连接、交于点F，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键；由题意可得，得；由，利用三角形内角和及全等的结论，即可求得其度数为，由互补即可求得结果． 【详解】解：， ， 即； ， ， ； ，， ， 则； 故答案为：． 14．如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，则的面积为 ． 【答案】30 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，作出辅助线，根据证明全等，是解题的关键．根据证明与全等，，然后利用代数求解即可． 【详解】解：∵是高， ∴， ∵， ∴， 在上截取，如图所示： 在与中 ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：30． 15．已知的两边，长分别为3和5，边上的中线的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形三边关系，根据延长，取，连接证明得到，再利用三角形三边关系得到，即可解题． 【详解】解：延长，取，连接，如下图所示： ， 为边上的中线， ， ， ， ， ，， ， 即， ， ． 故答案为：． 16．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．    【答案】/45度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构．利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：标注字母，如图所示，      在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 17．如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，四边形的面积为60，，则中边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线性质定理以及三角形面积公式，根据角平分线性质定理得出，证明，得出，由面积公式求出，再根据勾股定理得出，最后再根据面积公式求出中边上的高． 【详解】解：∵是的角平分线，且，分别是和的高， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 即， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， 设中边上的高为，则有：， 解得，， 即中边上的高为， 故答案为：． 18．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，若，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． （1）由可得，结合可推出，由，结合三角形的外角性质可得，即可证明； （2）由（1）可知，根据全等三角形的性质以及线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ； （2）解：， ，， ， ． 19．如图，在中，，，过点作，垂足为，延长至．使得．在边上截取，连结． (1)求∠的度数． (2)求证：． 【答案】(1)115° (2)见解析 【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质； （1）根据得出，进而根据三角形外角的性质可得出答案； （2）证明，根据全等三角形的性质即可得出． 【详解】（1）解：． ． ， ； （2）证明：在中，，， ． ． 在和中， ， ， ． 20．已知，，是过点A的直线，B、E两点在直线上，，． (1)如图1，试说明： ①； ②； (2)当绕点A旋转到图2的位置时，之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了几何变换综合题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． （1）①根据已知条件得到，根据全等三角形的判定即可证明；②根据全等三角形性质得到即可得到结论； （2）根据角的和差得到，根据全等三角形的性质得到，根据线段的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：①证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴； （2）猜想：， 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴ 21．如图，A、D、B、F在一条直线上，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据两直线平行得出内错角相等，再结合线段和的关系得出，即可证明． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴． 22．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△    CDA（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 【答案】(1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边 (2)C (3)见解释 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键． （1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形的性质即可． （2）利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可． （3）判断，即可． 【详解】（1）解：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边． （2） 解：如图，延长至点，使,连接． 是的中线， , 在与中， , ， , 在中，， 即， ． 故选：C． （3）证明：如图4，延长至F，使连接， 是的中点， ∴, 又 ∴ ， ，， ∵， ∴, , 即， 又∵， ∴ ， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$