第13讲 圆的标准方程（思维导图+4知识点+4考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第13讲 圆的标准方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征； 2．能根据所给条件求圆的标准方程； 3．掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题. 知识点 1 圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆． 如图，在平面直角坐标系中，⊙的圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，⊙就是集合．定义中，定点指的是圆心，定长指的是圆的半径． 知识点 2 圆的标准方程 1、圆的标准方程：我们把称为圆心为，半径长为的圆的标准方程． 【注意】（1）所谓标准方程，是指方程的形式．圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：圆心位置和半径． （2）圆的标准方程的右端，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程． 2、圆的标准方程的推导过程 （1）建系设点：建立坐标系时，原点在圆心是特殊情况，就一般情况来说，因为是定点，设，半径为，且设圆上任意一点的坐标为． （2）写点集：根据定义，圆就是集合． （3）列方程：由两点间的距离公式得． （4）化简方程：将上式两边平方得． 3、几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 知识点 3 点与圆的位置关系 1、几何法：点，圆心，圆的半径，设与点间的距离， 点在圆外； 点在圆内； 点在圆上． 2、代数法：将点直接代入圆的标准方程进行判断，即 若点在圆外，则； 若点在圆内，则； 若点在圆上，则． 知识点 4 圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为，圆的半径为，圆上的动点为点． （1）若点在圆外时，，； （2）若点在圆上时，，； （2）若点在圆内时，，． 综上：，． 考点一：求圆的标准方程 例1．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二上·山西太原·期末）已知圆的一条直径的两个端点坐标分别为，，则圆的方程是 . 【变式1-2】（22-23高二上·广东东莞·期中）求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 . 【变式1-3】（23-24高二下·云南玉溪·期中）过三点的圆的标准方程是 . 考点二：点与圆的位置关系 例2. （23-24高二上·安徽亳州·月考）（多选）已知，两点，以线段为直径的圆为圆P，则（    ） A．在圆P上 B．在圆P内 C．在圆P内 D．在圆P外 【变式2-1】（23-24高二上·江苏·专题练习）已知点，圆的标准方程为，则点P（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．与a的取值有关 【变式2-2】（23-24高二上·重庆·期中）若点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·广西·期末）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点三：与圆有关的最值问题 例3. （23-24高二上·湖北·期中）已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3-1】（23-24高二上·浙江湖州·月考）若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·上海·期末）已知为圆上一点，为圆上一点，则点到点的距离的最大值为 . 【变式3-3】（23-24高二上·天津武清·月考）已知圆:，点，.设是圆上的动点，令，则的最小值为 ． 考点四：与圆有关的对称问题 例4. （23-24高二上·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】（23-24高二上·云南昆明·月考）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（    ） A． B．9 C．4 D．8 【变式4-2】（23-24高二上·河北·期中）已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二上·四川成都·期末）圆关于直线对称后的方程为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高二上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南开封·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·安徽黄山·期末）圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广东惠州·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值无关 5．（2023高二上·全国·专题练习）点在圆的内部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． 或 D．   6．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 7．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知圆经过点、，为直角三角形，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·重庆九龙坡·月考）若有一组圆：，下列命题正确的是（    ） A．所有圆的半径均为2 B．所有的圆的圆心恒在直线上 C．当时，点在圆上 D．经过点的圆有且只有一个 三、填空题 9．（23-24高二上·贵州毕节·期末）与圆有相同圆心，且过点的圆的标准方程是 . 10．（22-23高二下·四川凉山·月考）若圆和圆关于直线对称，则直线的方程是 11．（23-24高二上·全国·专题练习）已知满足，则的取值范围是 . 四、解答题 12．（23-24高二上·福建福州·期末）已知关于直线对称，点，都在上. (1)求线段垂直平分线的方程； (2)求的标准方程 13．（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)点P在圆C上运动，求的取值范围． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 圆的标准方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征； 2．能根据所给条件求圆的标准方程； 3．掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题. 知识点 1 圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆． 如图，在平面直角坐标系中，⊙的圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，⊙就是集合．定义中，定点指的是圆心，定长指的是圆的半径． 知识点 2 圆的标准方程 1、圆的标准方程：我们把称为圆心为，半径长为的圆的标准方程． 【注意】（1）所谓标准方程，是指方程的形式．圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：圆心位置和半径． （2）圆的标准方程的右端，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程． 2、圆的标准方程的推导过程 （1）建系设点：建立坐标系时，原点在圆心是特殊情况，就一般情况来说，因为是定点，设，半径为，且设圆上任意一点的坐标为． （2）写点集：根据定义，圆就是集合． （3）列方程：由两点间的距离公式得． （4）化简方程：将上式两边平方得． 3、几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 知识点 3 点与圆的位置关系 1、几何法：点，圆心，圆的半径，设与点间的距离， 点在圆外； 点在圆内； 点在圆上． 2、代数法：将点直接代入圆的标准方程进行判断，即 若点在圆外，则； 若点在圆内，则； 若点在圆上，则． 知识点 4 圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为，圆的半径为，圆上的动点为点． （1）若点在圆外时，，； （2）若点在圆上时，，； （2）若点在圆内时，，． 综上：，． 考点一：求圆的标准方程 例1．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为圆心为，半径为5， 所以圆的标准方程为，故选：C 【变式1-1】（23-24高二上·山西太原·期末）已知圆的一条直径的两个端点坐标分别为，，则圆的方程是 . 【答案】 【解析】根据题意，，即圆心坐标为； 则圆的半径， 故所求圆的方程为：. 故答案为：. 【变式1-2】（22-23高二上·广东东莞·期中）求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 . 【答案】 【解析】若经过点，，则圆心在直线上， 又在直线l：上，令，则， 故圆心坐标为，半径为， 故所求圆的标准方程为. 故答案为：. 【变式1-3】（23-24高二下·云南玉溪·期中）过三点的圆的标准方程是 . 【答案】 【解析】设圆的标准方程为， 得，得， 所以圆的标准方程是. 故答案为： 考点二：点与圆的位置关系 例2. （23-24高二上·安徽亳州·月考）（多选）已知，两点，以线段为直径的圆为圆P，则（    ） A．在圆P上 B．在圆P内 C．在圆P内 D．在圆P外 【答案】AC 【解析】以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径， 易知，，，， 所以点在圆P上，点N在圆P外，点Q在圆P内．故选：AC． 【变式2-1】（23-24高二上·江苏·专题练习）已知点，圆的标准方程为，则点P（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．与a的取值有关 【答案】C 【解析】∵，∴点P在圆外.故选：C． 【变式2-2】（23-24高二上·重庆·期中）若点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：圆的圆心，半径， 若点在圆外，则，解得或， 所以实数的取值范围是.故选：C. 【变式2-3】（23-24高二上·广西·期末）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，则两直线与的交点为， 依题意得，解得.故选：B. 考点三：与圆有关的最值问题 例3. （23-24高二上·湖北·期中）已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解析】设圆心到原点的距离为，则，故选：D 【变式3-1】（23-24高二上·浙江湖州·月考）若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为表示圆心为，半径为的圆， 则表示圆上的点到点的距离的平方， 所以的最大值为.故选：D 【变式3-2】（23-24高二上·上海·期末）已知为圆上一点，为圆上一点，则点到点的距离的最大值为 . 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以， 当且仅当共线，且在中间时取等号， 所以点到点的距离的最大值为. 【变式3-3】（23-24高二上·天津武清·月考）已知圆:，点，.设是圆上的动点，令，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由已知，， 设，，， 所以， 因为，所以当取得最小值时，取得最小值， 由的最小值为， 所以的最小值为. 故答案为：. 考点四：与圆有关的对称问题 例4. （23-24高二上·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】若曲线上相异两点P、Q关于直线对称， 则圆心在直线上，故代入解得，故选：D． 【变式4-1】（23-24高二上·云南昆明·月考）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（    ） A． B．9 C．4 D．8 【答案】B 【解析】圆的圆心为，依题意，点在直线上， 因此，即， ∴， 当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值为9.故选：B. 【变式4-2】（23-24高二上·河北·期中）已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，，则的中点的坐标为， 直线的斜率. 由圆与圆关于对称，得的斜率. 因为的中点在上，所以，即.故选：C. 【变式4-3】（23-24高二上·四川成都·期末）圆关于直线对称后的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为圆，所以圆的圆心为，半径为， 设点关于直线对称的点为， 所以，解得：， 所以所求圆的圆心为，半径为, 故所求圆的方程为：.故选：A. 一、单选题 1．（23-24高二上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得方程为.故选：C. 2．（23-24高二上·河南开封·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由圆经过点和，可知圆心在直线上， 又圆心在直线上， 所以的坐标为，半径， 所以圆的面积为．故选：D． 3．（23-24高二上·安徽黄山·期末）圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为， 关于直线的对称点是， 所以圆的圆心是，半径是， 所以圆的方程为.故选：D 4．（23-24高二上·广东惠州·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值无关 【答案】A 【解析】， 在圆外，故选：A. 5．（2023高二上·全国·专题练习）点在圆的内部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． 或 D．   【答案】A 【解析】点在圆的内部， 所以，化简得，解得，故选:A 6．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题意知半径为2的圆经过点，设该圆圆心为P， 故该圆的圆心的轨迹为以为圆心，2为半径的圆， 当坐标原点、圆心P以及点三点共线且圆心P在坐标原点和之间时，圆心到原点的距离最小， 最小值为，故选：C 二、多选题 7．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知圆经过点、，为直角三角形，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】设圆心，由题意可知，，即，解得， 因为为直角三角形，则为直角三角形，则， 即，解得，则圆的半径为， 圆心为，因此，圆的方程为或，故选：BC. 8．（23-24高二上·重庆九龙坡·月考）若有一组圆：，下列命题正确的是（    ） A．所有圆的半径均为2 B．所有的圆的圆心恒在直线上 C．当时，点在圆上 D．经过点的圆有且只有一个 【答案】AB 【解析】选项A:，，故选项正确； 选项B:根据可得，圆心为，在，故选项正确； 选项C:当时，，代入不满足方程，故选项错误； 选项D:代入得：即有两个解，故选项错误；故选：AB. 三、填空题 9．（23-24高二上·贵州毕节·期末）与圆有相同圆心，且过点的圆的标准方程是 . 【答案】 【解析】圆的标准方程为，则圆心， 因为圆过点半径， 则圆的标准方程为. 故答案为：. 10．（22-23高二下·四川凉山·月考）若圆和圆关于直线对称，则直线的方程是 【答案】 【解析】圆的圆心为，圆的圆心为， 则线段的中点为， 因为圆和圆关于直线对称， 所以， 所以直线的方程是，即， 故答案为： 11．（23-24高二上·全国·专题练习）已知满足，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】表示圆上的动点与原点的距离的平方， 因为圆的圆心，半径，则， 因为，所以， 则，即， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 12．（23-24高二上·福建福州·期末）已知关于直线对称，点，都在上. (1)求线段垂直平分线的方程； (2)求的标准方程 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为点，， 所以线段的中点为 因为直线的斜率为，所以垂直平分线的斜率不存在. 所以垂直平分线的方程为； （2）解法一：因为关于直线对称，则可设的方程为， 又因为点，在上， 所以，解得， 所以的标准方程为. 解法二：因为直线与直线的交点为圆心， 由，解得，故圆心. 又因为. 所以的标准方程为. 13．（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)点P在圆C上运动，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）圆经过，两点，得圆心在的中垂线上， 又圆心C在直线上， 联立直线方程有，得，即圆心坐标为， 又，故圆C的标准方程为． （2）设，易知， 则（*）， 因为点P在圆C上运动，则， 故（*）式可化简为，， 由得的取值范围为． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$