第12讲 直线的交点坐标与距离公式（思维导图+4知识点+8考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第12讲 直线的交点坐标与距离公式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标； 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系； 3．会求两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离. 知识点 1 两条直线的交点坐标 1、点与坐标的一一对应关系 几何元素及关系 代数表示 点 直线 点在直线上 直线与的交点是 方程组的解是 2、直线的交点与方程的解 求两直线与的交点坐标， 只需求两直线方程联立所得方程组的解即可． 若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有，则方程组无解，此时两直线平行； 若有，则方程组由唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标． 3、判断两直线的位置关系 关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． （1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． （2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． （3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 4、过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数． 由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数． 在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 知识点 2 两点间的距离 1、距离公式：平面内两点，间的距离公式为：. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：． 2、三种特殊距离： （1）原点到任意一点的距离为； （2）当平行于轴时，； （3）当平行于轴时，． 3、坐标法解题的基本步骤 （1）建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量； （2）进行有关代数运算； （3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系． 知识点 3 点到直线的距离 1、定义：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离，即垂线段的长度． 2、距离公式：点到直线的距离． 【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式． （2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离． （3）点到直线的距离公式适用任何情况，当点在直线上时，它到直线的距离为0． 3、点到几种特殊直线的距离 （1）点到轴的距离； （2）点到轴的距离； （3）点到直线的距离； （4）点到直线的距离． 知识点 4 两条平行线间的距离 1、定义：两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公垂线段的长． 2、距离公式：两条平行直线，， 它们之间的距离为： 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等． 3、两平行线间的距离另外一种解法：转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点），此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离． 考点一：两条直线的交点问题 例1．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立方程组，解得， 所以两直线的交点坐标为.故选：B. 【变式1-1】（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】……① ……② ①+②得：……③ ③代入②有：……④ 由③④得交点坐标为：.故选：B. 【变式1-2】（23-24高二上·江苏·单元测试）已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为与互相垂直， 所以，所以， 所以，解得， 所以交点坐标为，故选：B. 【变式1-3】（2023高二上·江苏·专题练习）分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)相交，交点为；；(2)重合；；(3)平行. 【解析】（1）由，解得，所以交点坐标为，故与相交. （2）由，显然，即方程无解，故与重合. （3）由，显然，即方程无解，故与平行. 考点二：根据两直线交点求参数 例2. （23-24高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 【答案】C 【解析】因为直线与互相垂直， 所以，解得； 垂足在直线上，所以， 垂足在直线上，所以， 所以.故选：C 【变式2-1】（23-24高二上·福建莆田·月考）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，此时，不满足题意； 当时，解方程组得， 由题知，解得， 即实数a的取值范围为.故选：A 【变式2-2】（2023·海南海口·二模）若直线与直线的交点在直线上，则实数（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】解方程组，得直线与直线的交点， 依题意，，解得， 所以实数.故选：A 【变式2-3】（23-24高二上·全国·课后作业）直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为直线与直线，即相交， 所以，解得. 所以m的取值范围为. 故答案为： 考点三：三条直线的相交问题 例3. （23-24高二上·安徽·月考）已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可. 代入得：.故选：C 【变式3-1】（22-23高二上·山东聊城·月考）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值可能是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】由 得 所以两条直线交于点， 当也过时，， 解得，此时三条线交于同一点，不能构成三角形， 当与平行时，有，则，也不能构成三角形， 当与平行时，由，则，也不能构成三角形， 所以，故选：B 【变式3-2】（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】①时，则，解得，经检验符合题意； ②时，则，解得，经检验符合题意； ③时，则，解得，经检验符合题意； ④三条直线交于一点，解得或， 则实数可取值的集合为，即符合题意的实数共6个.故选：D 【变式3-3】（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若，则，解得．若，则，解得． 若，，交于一点，联立方程组，解得得， 代入，得，解得，故a的取值集合为．故选：D. 考点四：过两直线交点的直线方程 例4. （23-24高二上·湖北武汉·月考）过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 【答案】 【解析】令所求直线为， 又直线过原点，则， 所以所求直线为. 故答案为： 【变式4-1】（23-24高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为 . 【答案】 【解析】设所求直线方程为， 点在直线上，，解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 【变式4-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 【答案】 【解析】由题设，令直线的方程为，且直线过， 所以，故直线的方程为. 故答案为： 【变式4-3】（23-24高二·全国·假期作业）求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【答案】 【解析】法一：解方程组得 所以两条直线的交点坐标为． 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即． 法二：设所求直线为，因为过已知两条直线的交点， 所以直线的方程可设为（其中为常数）， 即①， 又直线的斜率为3，所以，解得， 将代入①，整理得． 考点五：两点间的距离公式 例5. （23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）已知，则A，B两点间的距离为（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】A，B两点间的距离为.故选：B 【变式5-1】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知，，解得，故， 则两点间的距离为.故选：C 【变式5-2】（23-24高二上·天津·期末）三角形的三个顶点为，D为中点，则的长为（   ） A．3 B．5 C．9 D．25 【答案】B 【解析】由题设，则.故选：B 【变式5-3】（23-24高二上·海南·期中）在平面直角坐标系中，原点到直线：与：的交点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，所以交点坐标为， 所以原点到交点的距离为，故选：C. 考点六：点到直线的距离公式 例6. （23-24高二下·浙江·开学考试）已知点及直线上一点，则的值不可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】易知点到直线的距离为，所以， 因此的值不可能是1.故选：A 【变式6-1】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为点到直线的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或.故选：C. 【变式6-2】（22-23高二上·云南临沧·月考）若点到直线的距离为4，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【解析】点到直线的距离为4， 可得，解得.故选：D. 【变式6-3】（23-24高二上·广西南宁·月考）已知到直线的距离等于3，则a的值为 . 【答案】或 【解析】由距离公式可得，， 即，解得或. 故答案为：或. 考点七：平行线间的距离公式 例7. （23-24高二上·河北石家庄·月考）两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】平行直线和之间的距离.故选：A 【变式7-1】（23-24高二上·湖北孝感·期末）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】直线化为：， 所以平行直线与间的距离为.故选：D 【变式7-2】（23-24高二上·贵州铜仁·月考）（多选）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 【答案】BD 【解析】将直线化为， 则，之间的距离， 即，解得或．故选：BD． 【变式7-3】（23-24高二上·广东茂名·期末）（多选）已知两条平行直线，直线，直线，直线之间的距离为，则的值可以是（    ） A．-8 B．-6 C．2 D．4 【答案】BC 【解析】根据题意得直线可化为， 直线之间的距离， 所以，即或.故选：BC. 考点八：点与直线的对称问题 例8. （22-23高二·全国·课堂例题）已知不同的两点与关于点对称，则（    ） A． B．14 C． D．5 【答案】C 【解析】因为两点与关于点对称， 可得，即，解得， 所以.故选：C. 【变式8-1】（23-24高二上·安徽怀宁·月考）直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为， 则其关于点对称的点的坐标为， 以代换原直线方程中的得，即.故选：D. 【变式8-2】（23-24高二下·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设所求对称点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为.故选：D. 【变式8-3】（23-24高二上·河北石家庄·月考）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得， 则直线与直线交于点， 在直线上取点， 设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为.故选：D 一、单选题 1．（23-24高二上·新疆喀什·期中）已知，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】因为，则,故选： 2．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）原点到直线间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】原点到直线间的距离是：.故选：A 3．（23-24高二上·福建三明·期末）两条平行线，间的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知：，：，即， 因为两直线平行，所以距离为，故A正确.故选：A. 4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知,则它们的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，故，故. 故之间的距离为，故选：D. 5．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【答案】D 【解析】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 因为点到直线的距离和点到直线的距离相等， 所以，所以或.故选：D. 6．（23-24高二上·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【答案】B 【解析】直线的斜率存在，∴， 由题意， 则， 故：与：相交， ∴方程组总有唯一解，A，D错误，B正确； 若是方程组的一组解，则， 则点，在直线，即上， 但已知这两个点在直线上，而这两条直线不是同一条直线， ∴不可能是方程组的一组解，C错误.故选：B. 二、多选题 7．（22-23高二上·全国·期中）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】AC 【解析】联立方程，解得 ， 因为交点在第四象限，可得，解得 故选：AC. 8．（23-24高二上·河南商丘·月考）（多选）平面上有三条直线，将平面划分为六个部分，则实数的所有可能取值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】ABC 【解析】由解得，设， 当时，直线即，画出图象如下图所示，此时三条直线围成三角形， 平面划分为部分，不符合题意. 当时，直线的斜率为， 当直线过时，， 平面划分为部分，符合题意. 直线的斜率为，直线的斜率为， 当时，如下图所示，平面划分为部分，符合题意， 当时，如下图所示，平面划分为部分，符合题意， 当且且时，三条直线围成三角形， 平面划分为部分，不符合题意. 所以ABC选项正确，D选项错误.故选：ABC 三、填空题 9．（22-23高二上·云南昆明·期中）在△ABC中，点，，，则的面积为 ． 【答案】/ 【解析】由两点式可得直线的方程为，即为， 再由点到直线的距离公式可得， 点到直线的距离， 且两点间的距离为， 所以的面积为. 故答案为： 10．（2023高二上·全国·专题练习）直线与上任意两点最小距离为 . 【答案】 【解析】直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以两直线相交，故最小距离为0. 故答案为： 11．（23-24高二下·上海黄浦·期中）已知直线，，，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为 ． 【答案】 【解析】当与平行或重合时，， 当与平行或重合时，，解得， 当与平行或重合时，，此时无解； 当三条直线经过同一点时，联立，解得， 故的取值所构成的集合为. 故答案为： 四、解答题 12．（23-24高二上·山西大同·月考）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）设，由得， 则，解得，故. （2）在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在上， 设对称点为，则，解得，即， 设与的交点为，则由，解得，即， 又经过点，故， 所以直线的方程为，即. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以， 即直线的方程为. 13．（22-23高二上·云南临沧·月考）已知直线，设直线的交点为. (1)求点的坐标； (2)若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)或. 【解析】（1）联立方程解得. （2）直线在两坐标轴上的截距相等， 直线的斜率为或经过原点. ①当直线过原点时，直线过点，的方程为； ②当直线斜率为时，直线过点， 的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 直线的交点坐标与距离公式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标； 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系； 3．会求两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离. 知识点 1 两条直线的交点坐标 1、点与坐标的一一对应关系 几何元素及关系 代数表示 点 直线 点在直线上 直线与的交点是 方程组的解是 2、直线的交点与方程的解 求两直线与的交点坐标， 只需求两直线方程联立所得方程组的解即可． 若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有，则方程组无解，此时两直线平行； 若有，则方程组由唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标． 3、判断两直线的位置关系 关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． （1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． （2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． （3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 4、过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数． 由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数． 在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 知识点 2 两点间的距离 1、距离公式：平面内两点，间的距离公式为：. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：． 2、三种特殊距离： （1）原点到任意一点的距离为； （2）当平行于轴时，； （3）当平行于轴时，． 3、坐标法解题的基本步骤 （1）建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量； （2）进行有关代数运算； （3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系． 知识点 3 点到直线的距离 1、定义：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离，即垂线段的长度． 2、距离公式：点到直线的距离． 【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式． （2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离． （3）点到直线的距离公式适用任何情况，当点在直线上时，它到直线的距离为0． 3、点到几种特殊直线的距离 （1）点到轴的距离； （2）点到轴的距离； （3）点到直线的距离； （4）点到直线的距离． 知识点 4 两条平行线间的距离 1、定义：两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公垂线段的长． 2、距离公式：两条平行直线，， 它们之间的距离为： 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等． 3、两平行线间的距离另外一种解法：转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点），此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离． 考点一：两条直线的交点问题 例1．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二上·江苏·单元测试）已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023高二上·江苏·专题练习）分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 考点二：根据两直线交点求参数 例2. （23-24高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 【变式2-1】（23-24高二上·福建莆田·月考）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·海南海口·二模）若直线与直线的交点在直线上，则实数（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·全国·课后作业）直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 考点三：三条直线的相交问题 例3. （23-24高二上·安徽·月考）已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 【变式3-1】（22-23高二上·山东聊城·月考）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值可能是（    ） A． B．1 C． D． 【变式3-2】（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-3】（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 考点四：过两直线交点的直线方程 例4. （23-24高二上·湖北武汉·月考）过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 【变式4-1】（23-24高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为 . 【变式4-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 【变式4-3】（23-24高二·全国·假期作业）求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 考点五：两点间的距离公式 例5. （23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）已知，则A，B两点间的距离为（    ） A．5 B． C．3 D． 【变式5-1】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二上·天津·期末）三角形的三个顶点为，D为中点，则的长为（   ） A．3 B．5 C．9 D．25 【变式5-3】（23-24高二上·海南·期中）在平面直角坐标系中，原点到直线：与：的交点的距离为（    ） A． B． C． D． 考点六：点到直线的距离公式 例6. （23-24高二下·浙江·开学考试）已知点及直线上一点，则的值不可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-1】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ） A． B． C．或 D．或 【变式6-2】（22-23高二上·云南临沧·月考）若点到直线的距离为4，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【变式6-3】（23-24高二上·广西南宁·月考）已知到直线的距离等于3，则a的值为 . 考点七：平行线间的距离公式 例7. （23-24高二上·河北石家庄·月考）两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【变式7-1】（23-24高二上·湖北孝感·期末）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【变式7-2】（23-24高二上·贵州铜仁·月考）（多选）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 【变式7-3】（23-24高二上·广东茂名·期末）（多选）已知两条平行直线，直线，直线，直线之间的距离为，则的值可以是（    ） A．-8 B．-6 C．2 D．4 考点八：点与直线的对称问题 例8. （22-23高二·全国·课堂例题）已知不同的两点与关于点对称，则（    ） A． B．14 C． D．5 【变式8-1】（23-24高二上·安徽怀宁·月考）直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高二下·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高二上·河北石家庄·月考）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高二上·新疆喀什·期中）已知，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）原点到直线间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 3．（23-24高二上·福建三明·期末）两条平行线，间的距离等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知,则它们的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 6．（23-24高二上·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 二、多选题 7．（22-23高二上·全国·期中）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C． D． 8．（23-24高二上·河南商丘·月考）（多选）平面上有三条直线，将平面划分为六个部分，则实数的所有可能取值为（    ） A． B． C． D．1 三、填空题 9．（22-23高二上·云南昆明·期中）在△ABC中，点，，，则的面积为 ． 10．（2023高二上·全国·专题练习）直线与上任意两点最小距离为 . 11．（23-24高二下·上海黄浦·期中）已知直线，，，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为 ． 四、解答题 12．（23-24高二上·山西大同·月考）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 13．（22-23高二上·云南临沧·月考）已知直线，设直线的交点为. (1)求点的坐标； (2)若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$