1.2集合间的基本关系（教学课件） -2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修第一册）

1.2 集合间的基本关系 人教A版2019高一数学（必修一）第一章 集合与常用逻辑用语 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1、理解集合之间包含与相等的含义； 2、理解子集、真子集的概念； 3、能利用韦恩图表达集合间的关系； 4、了解空集的含义． 我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如5＝5， 5＜7，5＞3，等等，类比实数之间的关系，两个集合之间 是否也有类似的关系？ 下面我们通过具体例子探究这个问题. 情景导入 观察下面几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗？ （1）A={1, 2, 3}，B={1, 2, 3, 4, 5}； （2）C为某中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班的全体学生组成的集合； （3）E={x|x是两条边长相等的三角形}，F={x|x是等腰三角形}. 可以发现，在(1)中，集合A的任何一个元素都是集合B的 元素. 这时我们说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A. (2) (3)中的两个集合之间也有这种关系. 一、子集 1.子集与真子集 新知探究 7 8 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素 都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作 读作：“A包含于B”（或“B包含A”） A⊆B（或B⊇A） 概念归纳 例1.判断集合A是否为集合B的子集． (1) A＝{1,3,5}，B＝{1,2,3,4,5}； ( ) (2) A＝{1,3,5}，B＝{1,3,6,9}； ( ) (3) A＝{0}，B＝{x|x2－1＝0}； ( ) (4) A＝{a,b,c,d}，B＝{d,b,c,a}． ( ) × √ × √ 注：A⊆B有两种可能： (2)集合A中的元素和集合B中的元素相同(A＝B)； (1)集合A中的元素是集合B中的一部分元素(A⫋B) ． 典例剖析 答案：(1)√　(2)√　(3)× 练一练 2.已知集合P={-1,0,1,2},Q={-1,0,1},则(　　) A.P∈Q　　　　 B.P⊆Q C.Q⊆P D.Q∈P 3.已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<1},则(　　) A.B⫋A B.A⫋B C.B<A D.A<B 答案 (1)C　(2)A 解析 (1)集合Q中的元素都在集合P中,所以Q⊆P.   (2)由题意结合集合在数轴上的表示确定两集合的关系即可.如图所示,由图可知,B⫋A. C A 练一练 4．已知集合M＝{1}，N＝{1,2,3}，能够准确表示集合M与N之间关系的是(　　) A．M＜N　　　　　　 B．M∈N C．N⊆M D．M N 解析：∵集合M中的元素都在集合N中，但是M≠N，∴M N.故选D. 5．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________ 练一练 D －1 怎样证明或判定两个集合相等？ (2)判定两个集合相等，可把握两个原则： ①设两个集合A，B均为有限集，若两个集合中元素个数相同，且对应元素分别相同，则两个集合相等 (1)若，且，则A=B，这就给出了证明两个集合相等的办法，即要证A=B，只需证明，且 ②设两个集合A，B均为无限集，只需看两个集合的代表元素及其特征 是否相同，若相同，则两个集合相等，即A=B 二、集合相等 概念归纳 例2.已知集合A和B的关系为A=B，其中A={1,-1},B={}，求 【解】由题意B中的元素也是1和-1， 因为≥0， 所以=1， 则=-1或1(舍) 综上，则=-1 典例剖析 例3.含有3个实数的集合既可以表示为{}，又可以表示为{}， 则的值是多少？ 【解】由题意{}={}，易知≠0且≠1， 则有=0且=1或=1， 若，则由得，经验证符合题意； 若，则，由得，不符合题意； 综上， 典例剖析 在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部代表集合， 这种图称 为Venn图. 如图示 A B 【注意】①表示集合的Venn图的便捷是封闭曲线，它可以是圆、矩形、 椭圆、也可以是其他封闭曲线 ②Venn图的优点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意 区分大小关系。 概念归纳 1.A和B两个集合的大小情况如图所示，则A和B的关系是（ ） A. B. C. D. 【解】由Venn图易知B是A的子集，即，选D A B D 练一练 2.指出下列各集合之间的关系，并用Venn图表示． A＝{x|x是四边形}，B＝{x|x是平行四边形}； C＝{x|x是矩形}， D＝{x|x是正方形}． D ⊆ C ⊆ B ⊆ A D C B A ⊂ ≠ ⊂ ≠ ⊂ ≠ A B C D 练一练 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且xA，就称集合A 是集合B的真子集，记作 A⫋B(或B⫋A) 读作：“A真包含于B”（或“B真包含A”） 三、真子集 概念归纳 思考 方程x2+1=0的实数根组成集合是什么？它的元素有哪些？ 我们知道，方程x2+1=0是没有实数根，所以方程x2+1=0的实数 根组成的集合中没有元素. 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定： 空集是任何集合A的子集. 即∅⊆A. 是任何非空集合的真子集. ∈ ∉ ⫋ ⫋ 2.空集 新知探究 例4.写出集合{1,2,3}的所有子集，并指出哪些是它的真子集 【解】子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3} 其中真子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3} 【分析】可把子集分为三类： ①不含元素的：∅ ②含有一个元素的 ③含有两个元素的 ④含有三个元素的 【注意】书写子集的时候千万不要漏掉空集∅ 典例剖析 1．判断正误： (1)任何集合都有子集和真子集． ( ) (2)集合{x|x2＋1＝0，x∈R}＝∅. ( ) 答案：(1)×　(2)√ 练一练 2．下列四个集合中，是空集的是 (　　) A．{x|x＋3＝3}　　 B．{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R} C．{x|x2≤0} D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R} 解析： ∵x2－x＋1＝0，Δ＝1－4＝－3＜0，方程无解，∴{x|x2－x＋1＝0，x∈R}＝∅，故选D. 答案：D 练一练 空集是任何集合的子集. 任何一个集合是它本身的子集. (传递性) 类似于实数a ≤b且b ≤c，则a ≤c 子集的性质： 概念归纳 空集是任何非空集合的真子集. (2)若A B, B C,则 A C (传递性) 真子集的性质: 概念归纳 思考 包含关系{a}⊆A与属于关系a∈A有什么区别？试结合实例解释？ 包含关系是集合与集合之间的关系，用“⊆”表示； 属于关系是元素与集合之间的关系，用“∈”表示. 二者切不可混淆，用符号之前要搞清楚是元素与集合还是集合与集合的关系. 注意： 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例：在以下写法中，正确的个数为( ) ①0＝{0}； ②0∈{0}； ③0⊆{0}； ④0＝； ⑤0∈； ⑥0⊆； ⑦＝{0} ； ⑧∈{0}； ⑨⊆{0}． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 0，{0}，三者之间有什么关系? 由集合之间的基本关系，可以得到以下结论： 常用结论 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A； (2)对于集合A, B, C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C； (3)对于两个集合A, B，如果A⊆B，且B⊆A，那么A=B； (4)空集∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 含有n个元素的集合的子集有___个,真子集有_____ 个,非空真子集有_____ 个. 写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 集合{ a,b}的子集有___个,真子集有___个; 集合{ a,b,c}的子集有___个,真子集有___个; ……… 4 3 8 7 22 23 22-1 23-1 思考探究 1.已知集合M满足{1,2} M⊆{1,2,3，4,5}，则所有满足条件的集合M的个数是 (　　) A．6　　　　　　　　　 B．7 C．8 D．9 练一练 B [解析]　由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下． 含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}． 含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}． 含有5个元素：{1,2,3,4,5}． 故满足条件的集合M：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}． [答案]　B [方法技巧] 求集合子集、真子集个数的三个步骤 归纳总结 2．将本例中集合{1,2}变为集合A＝{x|x2＋3x＋3＝0}，集合{1,2,3,4,5}变为集合B＝{x|x2－5x＋6＝0}，则满足条件的集合M的个数为 (　　) A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 解析：对于方程x2＋3x＋3＝0， ∵Δ＝9－12＝－3＜0，∴该方程无实根，即A＝∅. 由方程x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3.∴B＝{2,3}． 由题意，得∅ M⊆{2,3}． ∴满足条件的集合M为{2}，{3}，{2,3}共3个，故选C. 练一练 C 2．集合{y|y＝－x2＋6，x，y∈N}的真子集的个数是(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：当x＝0时，y＝6；当x＝1时，y＝5； 当x＝2时，y＝2；当x＝3，y＝－3. 所以{y|y＝－x2＋6，x，y∈N}＝{2,5,6}， 共3个元素，故其真子集的个数为23－1＝7.　 练一练 C 3.指出下列各组集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． [解]　(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A⫋B. 练一练 [方法技巧] 判断集合间关系的常用方法 列举 观察法 当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系 集合元素 特征法 首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系 数形 结合法 利用数轴或Venn图等直观地判断集合间的关系．不等式的解集之间的关系，适合用数轴法 归纳总结 练一练 5．判断下列各组中集合之间的关系： (1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}； (2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}； (3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}． 练一练 6.(1)设集合A＝{1,2}，若B⊆A，则集合B可能是什么？ 提示：∅，{1}，{2}，{1,2}． (2)设集合A＝{x|ax＋1＝0}，B＝{x|ax2＋x＋1＝0}，C＝{x|a＋1<x<2a}，那么集合A，B，C可能是空集吗？若可能是空集，实数a的值或范围分别是什么？ 练一练 练一练 练一练 [方法技巧] 已知集合间的关系求参数问题的解题策略 (1)若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接列方程．　　 (2)若已知集合是无限集，求解时，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.一般含“＝”用实心圆点表示，不含“＝”用空心圆圈表示. (3)此类问题还要注意是否存在空集的情况，因为空集是任何集合的子集. 归纳总结 例1. 写出集合{a, b}的所有子集, 并指出哪些是它的真子集. 解：集合{a, b}的所有子集为, {a}, {b}, {a, b}. 它的真子集为, {a}, {b} . 写子集时分类要按：①0个元素；②1个元素；③2个元素；… 哪些是非空真子集呢？ 4个子集 课本例题 45 例2. 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集, 并说明理由. 解：(1)因为3∈A, 但3B. (2)因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集 . (1) A={1, 2, 3}, B={x|x是8的约数}; (2) A={x|x是长方形}, B={x|x是两条对角线相等的平行四边形}. 所以集合A不是集合B的子集 . 1, 2, 4, 8 课本例题 2.用适当的符号填空： (1) a___{a,b,c}； (2) 0___{x|x2=0}； (3) ∅___{x∈R|x2+1=0}； (4) {0,1}___N； (5) {0}___{x|x2=x}； (6) {2,1}___{x|x2-3x+2=0}； ∈ ∈ = = 1.写出集合{a, b, c}的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 解：集合{a, b, c}的所有子集为, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}. 除了{a, b, c}外都是真子集 . 课本练习 ⫋ ⫋ 3.判断下列两个集合之间的关系： （1）A={x|x<0}，B={x|x<1}； （2）A={x|x=3k，k∈N}，B={x|x=6z，z∈N}； （3）A={x∈N+|x是4与10的公倍数}，B={x|x=20m，m∈N+}. 解： (1) A B； (2) B A； (3) A=B. 课本练习 ⫋ ⫋ 习题1.2 复习巩固 1.选用适当的符号填空： （1）若集合A=（x|2x-3<3x），B={x|x≥2），则 -4 B，-3 A，{2} B，B A； （2）若集合 A={x|x²-1=0），则 1 A，{-1} A，∅ A，{1，-1} A； （3）{x|x 是菱形} {x|x 是平行四边形}； {x|x 是等腰三角形} {x|x 是等边三角形）. ⫋ ⫋ ∉ ∉ ∈ ⫋ ⫋ = ⫋ ⫋ 2.指出下列各集合之间的关系，并用Venn图表示： A={x|x是四边形}，B={x|x是平行四边形}，C={x|x 是矩形}，D={x|x 是正方形}. 复习巩固 解：D⫋C⫋B⫋A, 用Venn图表示如图 3.举出下列各集合的一个子集： （1）A={x|x 是立德中学的学生}； （2）B={x|x 是三角形）； （3）C={0}； （4）D={x∈Z|3<x<30}. 解：（1）{x|x是立德中学高一一班的学生}. （2）{x|x 是等边三角形}. （3）∅. （4）{4}. 综合运用 综合运用 4.在平面直角坐标系中，集合C={（x，y）|y=x}表示直线y=x，从这个角度看，集合表示什么？集合 C，D 之间有什么关系？ 解：集合D表示直线2x-y=1与直线x+4y=5的交点（1，1）组成的集合，而（1，1）在直线 y=x 上，D ⫋ C. 5.（1）设a，b∈R，P={1，a}，Q={-1，-b}，若P=Q，求a-b的值； （2）已知集合 A={x|0<x<a}，B={x|1<x<2}，若B A，求实数a的取值范围. 拓广探索 1.若集合M＝{x|2x2－5x－3＝0}，N＝{x|mx＝1，x∈R}， 且N ⫋ M，求实数m的值． 易错警示　忽视空集 错因分析 错因分析 分层练习-基础 B 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-巩固 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-巩固 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-巩固 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-巩固 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-巩固 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-巩固 分层练习-巩固 2.右图是反映的“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请在下面的空格上填入适当的内容： A为__________，B为__________， C为__________，D为__________． 分层练习-巩固 分层练习-拓展 {0，－1，－4} 76 一、子集: 二、集合相等: 若AB且BA, 则A=B. 三、真子集 如果集合AB，但存在元素x∈B且xA，就称集合A是集合B的真子集(proper subset) , 记作 AB (或BA) 四、空集 不含任何元素的集合叫做空集(empty set) , 记作. 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，就称集合A为集合B的子集(subset)，记作 AB(或BA) 课堂小结 问题1：观察下面几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗？ （1），； （2）C为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合， D为这个班全体学生组成的集合； （3）， ． 观察下面几个例子，请同学们思考这几个问题： 1.你从哪个角度来分析每组两个集合间的关系？ 2.请用集合的语言归纳概括上述三个具体例子的共同特点． 3.上述三组集合中，前两组的两个集合间的关系与第三组的两个集合间的关系有什么不同之处呢？ 相信同学们不难发现：在（1）中，，，集合A的任何一个元素都是集合B的元素．这时我们说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A．（2）中C为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合， D为这个班全体学生组成的集合，集合C与集合D也有这种关系． 1．判断正误 (1)实数中“≤”类似于集合中“⊆”． (　　) (2)若a∈A，集合A⊆B，则必有a∈B. (　　) (3)若AB，则集合A中必定存在元素不在集合B中． (　　)    (3)方法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N⫋M. 方法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7，9，…}，所以N⫋M. 答案：(1)＝　(2) ⫋　(3) ⫋　(4)∈ 4．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x＜8，x∈N}，用适当的符号填空： (1)A________B；(2)A________C； (3){2}________C；(4)2________C. 解析：集合A为方程x2－3x＋2＝0的所有实数根组成的集合，即A＝{1,2}，而C＝{x|x＜8，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．故(1)A＝B；(2)A⫋C；(3){2}⫋C；(4)2∈C. 解：(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB. (2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DBAC. (3)易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素，如－2∈B，但－2∉A，故AB. 提示：集合A，B，C可能是空集．当a＝0时，集合A是空集；当a>时，集合B是空集；当a≤1时，集合C是空集． (3)集合A＝{x|1<x<b}中一定含有元素吗？当A中含有元素时，试用数轴表示其所包含的元素． 提示：不一定．当b≤1时，A＝∅，其不含有任何元素．当b>1时，集合A中的元素用数轴可表示为： 7.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⫋ A，求实数m的取值范围． [解]　①当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2. ②当B≠∅时，如图所示， ∴或 解这两个不等式组，得2≤m≤3. 综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}． 错解：因为M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))， 所以eq \f(1,m)＝－eq \f(1,2)或eq \f(1,m)＝3，即m＝－2或m＝eq \f(1,3). 易错防范：上面的解法中漏掉了N＝∅，即m＝0的情形．防范措施是涉及集合间包含关系问题时，首先要想到空集这一特殊集合． 正解：因为M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))，若m≠0，则N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)))， 所以eq \f(1,m)＝－eq \f(1,2)或eq \f(1,m)＝3，即m＝－2或m＝eq \f(1,3). 若m＝0，则N＝∅， 因为空集是任何非空集合的真子集， 所以m＝－2或m＝eq \f(1,3)或m＝0. 　　　　　　　　　　 　　　 一、选择题(每小题5分，共35分) 1．下列关系中错误的个数是(　　) ①1∈{0，1，2}；②{1}∈{0，1，2}；③{0，1，2}⊆{0，1，2}；④{0，1，2}＝{2，0，1}；⑤{0，1}⊆{(0，1)}． A．1 B．2 C．3 D．4 解析　①正确；因为集合{1}是集合{0，1，2}的真子集，不能用∈来表示，所以②错误；③正确，因为任何集合都是它本身的子集；④正确，因为集合中元素具有无序性；因为集合{0，1}表示数集，它有两个元素，而集合{(0，1)}表示点集，它只有一个元素，所以⑤错误，所以错误的个数是2.故选B. 2．【多选题】下列集合中表示空集的是(　　) A．{x∈N|x＋5＝5} B．{x∈N|x＋5<5} C．{x∈R|x2＝0} D．{x∈R|x2＋x＋1＝0} 答案　BD 3．【多选题】已知集合A＝{－1，0，1，2}，则下列表示正确的是(　　) A．∅A B．{1}∈A C．{1}⊆A D．1⊆A 答案　AC 解析　由集合A＝{－1，0，1，2}，知：在A中，∅A，故A正确；在B中，{1}⊆A，故B错误；在C中，{1}⊆A，故C正确；在D中，1∈A，故D错误．故选AC. 4．集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集的个数是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　C 解析　∵A＝{x|0≤x<3且x∈Z}＝{0，1，2}，∴集合A有3个元素，故集合A的真子集有∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}共7个．故选C. 5．已知集合U，S，T，F的关系如图所示，则下列关系正确的是(　　) ①S∈T；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤F⊆U. A．①③ B．②③ C．③④ D．③⑤ 答案　D 解析　元素与集合之间的关系才用∈，故①错；子集的区域要被全部涵盖，故②④错．故选D. 6．满足{a}⊆M{a，b，c，d}的集合M共有(　　) A．6个 B．7个 C．8个 D．15个 答案　B 解析　集合M必含有元素a，所以集合M的个数为集合{b，c，d}的真子集的个数，所以满足条件的集合M有{a}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}共7个．故选B. 7．设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，且A⊆B，则实数a的取值范围为(　　) A．a<1 B．a≤1 C．a>1 D．a≥1 答案　B 解析　如图，结合数轴可知a≤1时，有A⊆B.故选B. 二、填空题(每小题5分，共15分) 8．【多空题】若x∈R，则x2＋1＝0的解集A＝________，不等式x2≤0的解集B＝________，0与A的关系为________，A与B的关系为________． 答案　∅　{0}　0∉A　A⊆B(或AB) 9．已知集合A＝{x|－3<x<5}，B＝{x|x<a}，若满足A⊆B，则实数a的取值范围是________． 答案　a≥5 解析　如图所示，先在数轴上表示出A，要满足A⊆B，依图形覆盖关系易知a≥5. 10．若{a2，0，－1}＝{a，b，0}，则a2 021＋b2 021的值为________． 答案　0 解析　由{a2，0，－1}＝{a，b，0}，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝a，,b＝－1，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝b，,a＝－1，)) ∴a＝1，b＝－1或a＝－1，b＝1，则a2 021＋b2 021的值为0. 三、解答题(本大题共2小题，共20分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 11．(10分)已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． (1)若AB，求a的取值范围； (2)若B⊆A，求a的取值范围． 解析　(1)若AB，由下图可知，a>2. (2)若B⊆A，由下图可知，1≤a≤2. 12．(10分)若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，且N⊆M，求实数a的值． 解析　由x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3，即M＝{2，－3}． 当a＝0时，N＝∅，此时N⊆M； 当a≠0时，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))，由N⊆M得eq \f(1,a)＝2或eq \f(1,a)＝－3，解得a＝eq \f(1,2)或a＝－eq \f(1,3). 故所求实数a的值为0或eq \f(1,2)或－eq \f(1,3). 13．(5分)已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝________． 答案　1 解析　∵B⊆A，∴m2＝2m－1，∴m＝1. 14．(5分)已知集合A是集合{2，3，4}的真子集，且A中至少有一个偶数，则这样的集合A有________个． 答案　5 解析　根据题意，集合A是集合{2，3，4}的真子集，且A中至少有一个偶数，所以A中必须有元素2或4，则这样的集合A可能为{2}，{4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}．故这样的集合A有5个． 15．(10分)已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|2a－3<x<a－2}，且A⊇B，求实数a的取值范围． 解析　①当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝∅⊆A，符合题意． ②当a<1时，要使A⊇B，需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜1，,2a－3≥1，,a－2≤2，))这样的实数a不存在． 综上，实数a的取值范围是{a|a≥1}． 1．以下是“已知集合E＝{x|＝0}，F＝{x|x2－(a－1)x＝0，a∈R}，判断E，F关系”的解题过程． 解：由＝0，得x＝0，所以E＝{0}． 方程x2－(a－1)x＝0(a∈R)的解为x1＝0，x2＝a－1， 所以F＝{0，a－1}，所以EF. 分析以上解题过程，判断其是否正确．若不正确，请给出正确的解题过程． 提示：不正确．误认为E＝{x|＝0}＝{0}，F＝{0，a－1}，忽略方程x2－(a－1)x＝0的根与参数的有关，得到EF. 正解如下： 由＝0，得x＝0，所以E＝{0}． 下面对方程x2－(a－1)x＝0的根的情况进行讨论． ①若a＝1，Δ＝0，方程有两个相等的实根x1＝x2＝0，此时F＝{0}，所以E＝F； ②若a≠1，Δ>0，方程有两个不相等的实根x1＝0或x2＝a－1，且a－1≠0，此时F＝{0，a－1}，则EF. 综上，当a＝1时，E＝F；当a≠1时，EF. 答案：{小说}　{文学作品}　{叙事散文}　{散文} 解析：由Venn图可知AB，CDB，A与D之间无包含关系，A与C之间无包含关系，由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A为{小说}，B为{文学作品}，C为{叙事散文}，D为{散文}． 3．当两个集合中有一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称两集合之间构成“偏食”．对于集合A＝，B＝{x|ax2＋1＝0，a≤0}，若A与B构成“全食”，或构成“偏食”，则a的取值集合为____________． 解析：①B＝∅，则a＝0，A与B构成“全食”满足题意； ②B≠∅，则a≠0，B＝，此时应构成“全食”， ∴ ＝1或，∴a＝－1或－4. 综上，a的取值集合为{0，－1，－4}． $$