专题1.9 用一元二次方程解决问题（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.9 用一元二次方程解决问题（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 （1） 列一元二次方程解应用题步骤： ① 审：审的目的找等量关系，注意找关键词； ② 设：有直接设法与间接设法，注意要带单位； ③ 列：由等量关系列出方程，注意方程两边单位要一致； ④ 解：用适当的方法解一元二次方程； ⑤ 检：一是检验是否解正确，二是结合实际是否有意义； ⑥ 答：写出实际问题的答案。 （2） 常见实际问题的数量关系 ① 传播问题：传染源+第一轮传染+第二轮传染=两轮传染总数； ② 增长（降低）率问题： 平均增长率公式；（a起始量，b是终止量，x是平均增长率，n增长次数） 平均降低率公式：（a起始量，b是终止量，x是平均降低率，n降低次数） ③ 几何问题：涉及到三角形全等，勾股定理，各种规则图形面积公式，动点问题等等； ④ 数字问题：主要与数字与位数的关系；比如：两位烽=十位数字10+个位数字； ⑤ 商品销售问题：利润=售价-进价；售价=进价（1+利润率）；总利润=总售价-总成本=单件利润总销量等等 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】传播问题 【例1】（23-24八年级下·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． （1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ （2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【变式1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则每个支干长出 个小分支． 【题型2】增长率问题 【例2】（2024·山东聊城·二模）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元． （1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率； （2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影需2400元，则最多可购买电脑多少台？ 【变式1】（2024·福建龙岩·模拟预测）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额是700万元，设第一季度平均每月增长率为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）一辆汽车的新车购买价为20万元，每年的年折旧率为，如果在购买后的第二年年末，这辆车折旧后的价值为12.8万元，那么这个x的值是 ． 【题型3】图形问题 【例3】（2024八年级下·浙江·专题练习）禽流感病毒是一种传染速度比较快的传染性病毒，一般多发生在每年春、冬两季．如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠墙，墙长为米，中间用一道墙隔开，并在如图所示的二处各留米宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为米．设边长为米． （1）用含的代数式表示的长； （2）饲养室总占地面积可能为平方米吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【变式1】（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，一张长宽比为的长方形纸板，剪去四个边长为的正方形，用它做一个无盖的长方体包装盒．要使包装盒的容积为（纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米？若设这张矩形纸板的长为厘米，则由题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，请列出关于x的方程，并化为一般式 ．    【题型4】营销问题 【例4】（23-24八年级下·浙江金华·期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若每件衬衫降价5元，则商场平均每天可售出衬衫______件，每天获得的利润为______元． （2）若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？ （3）商场每天要获得利润有可能达到1400元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由． 【变式1】（2024·浙江温州·三模）某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·山东潍坊·三模）在过去的年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元． 【题型5】动态几何问题 【例5】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． （1）填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（22-23九年级上·安徽·阶段练习）如图，在中，，点M从点A出发沿边向点B以的速度移动，同时点N从点B出发沿边向点C以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是． 【题型6】其他问题 【例6】（2024八年级下·浙江·专题练习）某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：    某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用元，请问： （1）该单位这次去旅游，员工有没有超过人？ （2）该单位这次共有多少员工去旅游？ 【变式1】（2024·天津和平·一模）如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，设雕像下部高，则下列结论不正确的是（） A．雕像的上部高度与下部高度的关系为： B．依题意可以列方程 C．依题意可以列方程 D．雕塑下部高度为 【变式2】（2024·河南周口·二模）定义新运算：规定 例如 若 则x的值为 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2023·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【例2】（2023·湖南郴州·中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 2、拓展延伸 【例】（23-24八年级下·吉林·阶段练习）如图，在中，，的面积为，是边上的高，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点A运动，点P不与点A、B重合，连接、．设点P的运动时间为t秒． （1）求的长； （2）用含t的代数式表示的长； （3）在点P运动的过程中，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在等腰直角三角形时，求的面积； （4）点P在上运动，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在以点P为顶点的等腰三角形．且不是直角三角形时，直接写出t的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.9 用一元二次方程解决问题（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 （1） 列一元二次方程解应用题步骤： ① 审：审的目的找等量关系，注意找关键词； ② 设：有直接设法与间接设法，注意要带单位； ③ 列：由等量关系列出方程，注意方程两边单位要一致； ④ 解：用适当的方法解一元二次方程； ⑤ 检：一是检验是否解正确，二是结合实际是否有意义； ⑥ 答：写出实际问题的答案。 （2） 常见实际问题的数量关系 ① 传播问题：传染源+第一轮传染+第二轮传染=两轮传染总数； ② 增长（降低）率问题： 平均增长率公式；（a起始量，b是终止量，x是平均增长率，n增长次数） 平均降低率公式：（a起始量，b是终止量，x是平均降低率，n降低次数） ③ 几何问题：涉及到三角形全等，勾股定理，各种规则图形面积公式，动点问题等等； ④ 数字问题：主要与数字与位数的关系；比如：两位烽=十位数字10+个位数字； ⑤ 商品销售问题：利润=售价-进价；售价=进价（1+利润率）；总利润=总售价-总成本=单件利润总销量等等 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】传播问题 【例1】（23-24八年级下·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． （1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ （2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人；(2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． （1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人； （2）解：人， 答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【变式1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 由题意知，第一轮后感染台，第二轮后感染台，然后列方程即可． 解：依题意得，， 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则每个支干长出 个小分支． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； 设每个支干长出个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43”得出一元二次方程，解方程可得答案． 解：设每个支干长出个小分支， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 所以每个支干长出6个小分支， 故答案为：6． 【题型2】增长率问题 【例2】（2024·山东聊城·二模）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元． （1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率； （2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影需2400元，则最多可购买电脑多少台？ 【答案】(1)该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为；(2)最多可购买电脑8台 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题以及一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，列式，进行计算，即可作答． （2）设购买电脑台，则购买实物投影仪台，依题意，列式，进行解不等式，即可作答． （1）解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为； （2）解：4月份投入图书购置经费为（万元）， 设购买电脑台，则购买实物投影仪台， 根据题意得：， 解得：， 答：最多可购买电脑8台． 【变式1】（2024·福建龙岩·模拟预测）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额是700万元，设第一季度平均每月增长率为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．掌握“设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为”是解决本题的关键．先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：第一季度的总营业额是700万元，把相关数值代入即可． 解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x， ∴二月份的营业额为， ∴三月份的营业额为， ∴可列方程为，即 故选：D． 【变式2】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）一辆汽车的新车购买价为20万元，每年的年折旧率为，如果在购买后的第二年年末，这辆车折旧后的价值为12.8万元，那么这个x的值是 ． 【答案】0.2 【分析】根据“新车购买价为20万元，购买之后的第二年年末折旧后的价值为12.8万元”列方程求解即可． 本题考查一元二次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 解：设每年的年折旧率为x，根据题意，得 ， 解得：，（不符合题意，舍去）， 故答案为：0.2． 【题型3】图形问题 【例3】（2024八年级下·浙江·专题练习）禽流感病毒是一种传染速度比较快的传染性病毒，一般多发生在每年春、冬两季．如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠墙，墙长为米，中间用一道墙隔开，并在如图所示的二处各留米宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为米．设边长为米． （1）用含的代数式表示的长； （2）饲养室总占地面积可能为平方米吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)饲养室总占地面积能为平方米，此时的长为米 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练运用矩形的面积公式建立方程是解题的关键． （1）利用BC边长可建围墙的总长边长，可用含的代数式表示的长； （2）根据饲养室总占地面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合墙长为米，即可确定结论． （1）解：∵可建围墙（不包括门）的总长为米，且边长为米， ∴边长为：； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：饲养室总占地面积能为平方米，此时的长为米． 【变式1】（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，一张长宽比为的长方形纸板，剪去四个边长为的正方形，用它做一个无盖的长方体包装盒．要使包装盒的容积为（纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米？若设这张矩形纸板的长为厘米，则由题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出长方体的底面积是解题关键．根据题意设这张长方形纸板的长为，宽为，进而表示出长方体的底面积，即可表示出长方体体积，进而得出等式求出答案． 解：设这张长方形纸板的长为，宽为，根据题意可得： ． 故选：D． 【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，请列出关于x的方程，并化为一般式 ．    【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，利用平移，得到草坪的长和宽分别为：米和米，根据草坪的面积为243平方米，列出方程即可． 解：设草坪的长和宽分别为：米和米， 由题意，得：，整理得：； 故答案为：． 【题型4】营销问题 【例4】（23-24八年级下·浙江金华·期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若每件衬衫降价5元，则商场平均每天可售出衬衫______件，每天获得的利润为______元． （2）若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？ （3）商场每天要获得利润有可能达到1400元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由． 【答案】(1)30，1050；(2)每件衬衫应降价20元；(3)无法达到，理由见解析 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键． （1）根据题意得到每天的销售量，然后由销售量×每件盈利进行解答． （2）设每件衬衫应降价x元，利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可． （3）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以． 解：（1）根据题意可得：商场平均每天可售出衬衫（件），每天获得的利润为（元）． 故答案为：30，1050； （2）设每件衬衫应降价x元，根据题意，得 ， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件衬衫应降价20元； （3）设每件衬衫应降价x元 ， 化简得， ， ∴方程无实根， ∴1400元的利润无法达到 【变式1】（2024·浙江温州·三模）某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解销售量，利润之间的关系． 设每件男士短袖降价x元，则销售量为件，每件的利润为元，根据每件的利润销售量总利润即可建立方程． 解：设每件男士短袖降价x元，可列出方程为： ， 故选：D． 【变式2】（2024·山东潍坊·三模）在过去的年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设售价应定为元，按每件元销售，每天可卖出件，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件列出等式解答即可． 解：设售价应定为元，则每件的利润为元，日销售量为件， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 故商家想尽快销售完该款商品，售价应定为元． 故答案为：． 【题型5】动态几何问题 【例5】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． （1）填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，；(2)，；(3)当时，四边形的面积等于． 【分析】本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用，再解答时要注意所求的解使实际问题有意义． （1）根据路程速度时间就可以表示出，．再用就可以求出的值； （2）在中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值； （3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出的值． （1）解：由题意，得，． 故答案为：，； （2）解：在中，由勾股定理，得， 解得：，； （3）解：由题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，的面积等于． 四边形的面积． 答：当时，四边形的面积等于． 【变式1】（22-23九年级上·安徽·阶段练习）如图，在中，，点M从点A出发沿边向点B以的速度移动，同时点N从点B出发沿边向点C以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，在中，利用勾股定理可求出的长度，当运动时间为时，，，根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 解：在中，，，， ∴． 当运动时间为时，，，， 依题意得：，即， 整理得：， 解得：， ∴点，的运动时间为． 故选：A． 【变式2】（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是． 【答案】2或3 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为t 秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 解：设运动时间为t 秒，则，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴2或3秒时，的面积是． 故答案为：2或3． 【题型6】其他问题 【例6】（2024八年级下·浙江·专题练习）某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：    某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用元，请问： （1）该单位这次去旅游，员工有没有超过人？ （2）该单位这次共有多少员工去旅游？ 【答案】(1)超过人； (2)该单位这次共有名员工去旅游 【分析】本题考查了有理数的乘法和一元二次方程的应用，解题关键根据题目给出的条件，找出合适的等量关系． （1）先根据共支付给旅行社旅游费用元，确定旅游的人数的范围； （2）根据每人的旅游费用人数总费用，设该单位这次共有名员工去旅游列出方程求解即可． （1）解：∵人数不超过人，人均费用为元， ∴， ∴员工人数一定超过人， ∴该单位这次去旅游，员工超过了20人； （2）解：设该单位这次共有名员工去旅游，根据题意列方程得： ， 整理得， 即， 解得，， 当时，，故舍去； 当时，，符合题意． 答：该单位这次共有35名员工去旅游． 【变式1】（2024·天津和平·一模）如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，设雕像下部高，则下列结论不正确的是（） A．雕像的上部高度与下部高度的关系为： B．依题意可以列方程 C．依题意可以列方程 D．雕塑下部高度为 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算，逐一判断即可解答． 解：由题意得：， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或（舍去）， ， 雕塑下部高度为， 故A、C、D都正确，B不正确， 故选：B 【变式2】（2024·河南周口·二模）定义新运算：规定 例如 若 则x的值为 ． 【答案】或 本题考查一元二次方程的解法，借助于定义的新运算把所给的条件转化成一元二次方程，解方程即可求解． 解：由题意可得： 整理，得： 解得： 故答案为：或 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2023·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； (2)不能，理由见解析． 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． （1）解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． （2）解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 【例2】（2023·湖南郴州·中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 (2)5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人 【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可． （1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得： ， 解得：（负值已舍掉）； 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得： ， 解得：； ∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 【点拨】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键． 2、拓展延伸 【例】（23-24八年级下·吉林·阶段练习）如图，在中，，的面积为，是边上的高，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点A运动，点P不与点A、B重合，连接、．设点P的运动时间为t秒． （1）求的长； （2）用含t的代数式表示的长； （3）在点P运动的过程中，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在等腰直角三角形时，求的面积； （4）点P在上运动，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在以点P为顶点的等腰三角形．且不是直角三角形时，直接写出t的值． 【答案】(1)3；(2)当时，；当时，；(3)的面积为或； (4)或或． 【分析】（1）利用等面积法即可求出的长； （2）利用勾股定理算出，再根据动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点A运动，点P不与点A、B重合，分别讨论①当点P在上运动时，②当点P在上运动时，根据上述两种情况表示出的长即可； （3）本题根据不再添加其他辅助线的情况下，图中存在等腰直角三角形，分以下两种情况讨论，①当点P在上运动，为等腰直角三角形时，②当点P在上运动时，为等腰直角三角形时，再根据等腰直角三角形性质进行分析求解，即可解题． （4）本题根据点P在上运动，不再添加其他辅助线的情况下，存在以点P为顶点的等腰三角形，且不是直角三角形，可分以下情况讨论，①为等腰三角形，， ②为等腰三角形，， ③为等腰三角形，，再根据等腰三角形性质进行分析，建立等式求解，即可解题． （1）解：，的面积为，是边上的高， ， ，解得; （2）解：，， ， 动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点A运动， ①当点P在上运动时（即时）， 有， ， ②当点P在上运动时（即时）， ， 综上所述，当时，；当时，； （3）解：①当点P在上运动，为等腰直角三角形时， 有， ，解得， ， ， 的面积为：； ②当点P在上运动时，为等腰直角三角形时， 有， ， ， ， ， 的面积为：； 综上所述，的面积为或； （4）解：点P在上运动，图中存在以点P为顶点的等腰三角形，且不是直角三角形，分为以下情况： ①为等腰三角形，， ， ， ， 秒， ②为等腰三角形，， ， 整理得，解得（不合题意，舍去），， ③为等腰三角形，， 即，解得． 综上所述，或或． 【点拨】本题考查几何图形的动点问题，勾股定理，等面积法求高，列代数式相关知识，等腰三角形性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，解题的关键在于利用分类讨论思想，从多方面考虑不同情况的下满足的条件． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$