第01讲 二次函数（1大知识点+4大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（沪科版）

第01讲 二次函数（1大知识点+4大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 列二次函数关系式 题型二 二次函数的识别 题型三 根据二次函数的定义求参数 题型四 待定系数法求二次函数解析式 知识点01 二次函数有关概念 （1） 定义：一般的，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数. （2）、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项，、b分别称为二次项系数和一次项系数. 【典型例题一 列二次函数关系式】 1．（23-24七年级下·辽宁本溪·期中）已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加时，正方体的表面积增加，则y与x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山西大同·阶段练习）如图，一个正方体的边长为，它的表面积为，则y与x的函数关系式为（    ）    A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）一台机器原价为万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，则与之间的函数关系式为 ． 4．（22-23七年级下·山东枣庄·期中）长方形的周长为，其中一边长为（其中），面积为，则这样的长方形中y与x的关系可以写成 ． 5．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，矩形绿地的长、宽各增加，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式． 6．（22-23九年级下·全国·课后作业）某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多． （1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？ （2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？ 【典型例题二 二次函数的识别】 1．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列函数解析式中，一定是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级·天津·阶段练习）下列函数中，y关于x的二次函数是（  ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·福建福州·期中）二次函数的一次项系数是 ． 4．（22-23九年级上·湖南长沙·期末）下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是 ． 5．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 【典型例题三 根据二次函数的定义求参数】 1．（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）抛物线经过原点，那么a的值等于（    ） A．0 B．1 C． D．35 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知是关于x的二次函数，则m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）若是二次函数，则 ． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如果函数是关于x的二次函数，那么m的值一定是 ． 5．（23-24九年级上·陕西延安·阶段练习）若是二次函数，求m的值． 6．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，求m的值． 【典型例题四 待定系数法求二次函数解析式】 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知抛物线 经过点，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·江苏徐州·期末）已知抛物线与二次函数的的图象形状相同，开口方向相同，且顶点坐标为，它对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知抛物线经过点，则 ． 4．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如果二次函数的图象经过原点，那么的值为 ． 5．（23-24九年级上·吉林延边·阶段练习）已知抛物线的图象经过点，求抛物线的解析式． 6．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式． 【变式训练1 列二次函数关系式】 1．（22-23九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东淄博·一模）下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车匀速从A地行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．（22-23九年级上·广东江门·期中）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆面积与的函数关系为 ．（结果保留） 4．（22-23九年级上·上海·阶段练习）如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于）和总长为的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为米，花圃总面积为平方米，求关于的函数解析式 ．（用二次函数一般式表示） 5．（22-23九年级上·全国·课后作业）圆的半径为，若半径增加，则面积增加．求与的函数关系式． 6．（22-23九年级下·山东·课后作业）如图2所示，有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式．    【变式训练2 二次函数的识别】 1．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）二次函数的二次项系数是 ． 4．（22-23九年级上·全国·课前预习）把y＝（2－3x）（6＋x）变成y＝ax²＋bx＋c的形式，二次项为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 5．（22-23九年级下·全国·课后作业）下列函数中（x，t是自变量），哪些是二次函数？ ． 6．（2022九年级上·全国·专题练习）下列函数中，哪些是二次函数？ （1）y＝3x—1； （2） ； （3）  ； （4） ； （5） ； （6） 【变式训练3 根据二次函数的定义求参数】 1．（23-24九年级上·吉林长春·期中）当函数是二次函数时，则a的取值范围为（） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）若函数是二次函数，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．0 3．（23-24九年级上·四川广安·期末）若关于的函数的图象是抛物线，则的值是 ． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）如果是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ． 5．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）当为何值时，函数是二次函数． 6．（22-23九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知函数是二次函数，求m的值． 【变式训练4 待定系数法求二次函数解析式】 1．（23-24九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象经过，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（22-23九年级上·河北沧州·阶段练习）若二次函数图象的顶点坐标为，且过点，则该二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·广东广州·期中）二次函数经过点，则 ． 4．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）若二次函数的图象经过点，则c的值是 ． 5．（2023·广东佛山·三模）已知二次函数的图象经过点，且当时，函数有最大值是2．求二次函数的解析式． 6．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）根据所给条件，求二次函数解析式 (1)已知二次函数，当时有最大值，其图象经过点 (2)二次函数的图象经过，，三点 1．（22-23九年级上·安徽淮北·阶段练习）二次函数的一次项系数是（        ） A．1 B．2 C． D．5 2．（22-23九年级上·北京·期中）如图，用一段长为 米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为，另一边的长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，与，与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，正例函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 3．（2024九年级下·全国·专题练习）函数的一次项系数是（　　） A． B．1 C．3 D．6 4．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）若是关于x的二次函数，则m的值为（　  　） A． B．或1 C．1 D．0 5．（2023九年级上·浙江·专题练习）已知函数y＝ax2+bx，当x＝1时，y＝﹣1；当x＝﹣1时，y＝2，则a，b的值分别是（    ） A．，﹣ B．， C．1，2 D．﹣1，2 6．（22-23九年级下·全国·单元测试）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为 ． 7．（23-24九年级上·广东中山·阶段练习）二次函数的二次项系数是 ． 8．（23-24七年级上·浙江丽水·阶段练习）抛物线的二次项系数是 ；一次项系数是 ． 9．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）二次函数的图像经过点，则 ． 10．（22-23九年级上·广东广州·期中）二次函数中，满足下表： … 0 1 2 3 … … 0 … 则表中的值为 ． 11．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）已知函数（为常数）是关于的二次函数，求的值． 12．（23-24九年级上·广东汕尾·期中）已知抛物线的顶点坐标是，且过点，求抛物线的解析式． 13．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）有一个周长为80cm的正方形，从四个角各减去一个正方形，做成一个无盖盒子．设这个盒子的底面面积为y cm，减去的正方形的边长为x cm，求y与x的函数关系式. 14．（22-23九年级·上海·假期作业）下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（23-24九年级上·浙江金华·期末）在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为(    ) A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次函数（1大知识点+4大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 列二次函数关系式 题型二 二次函数的识别 题型三 根据二次函数的定义求参数 题型四 待定系数法求二次函数解析式 知识点01 二次函数有关概念 （1） 定义：一般的，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数. （2）、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项，、b分别称为二次项系数和一次项系数. 【典型例题一 列二次函数关系式】 1．（23-24七年级下·辽宁本溪·期中）已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加时，正方体的表面积增加，则y与x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意直接列式即可作答． 【详解】根据题意有：， 故选：D． 2．（23-24九年级上·山西大同·阶段练习）如图，一个正方体的边长为，它的表面积为，则y与x的函数关系式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形，这6个正方形的面积和就是该正方体的表面积． 【详解】解：∵正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形， ∴表面积． 故选：C． 【点睛】本题考查了列二次函数关系式，理解两个变量之间的关系是得出关系式的关键． 3．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）一台机器原价为万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】根据题意列出函数解析式即可． 【详解】解：∵一台机器原价为万元，每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元， ∴与之间的函数关系式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价． 4．（22-23七年级下·山东枣庄·期中）长方形的周长为，其中一边长为（其中），面积为，则这样的长方形中y与x的关系可以写成 ． 【答案】 【分析】利用周长公式可得另一边长为，再利用长方形的面积公式即可求解． 【详解】解：其中一边长为，则另一边长为：， y与x的关系可以写成：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 5．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，矩形绿地的长、宽各增加，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式． 【答案】 【分析】根据题意可知，增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m，再由矩形面积公式求解即可． 【详解】解：∵矩形原来的长和宽分别为30m、20m，矩形绿地的长、宽各增加xm， ∴增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m， ∴. 【点睛】本题主要考查了从实际问题出抽象出二次函数，解题的关键在于能够熟练掌握矩形面积公式． 6．（22-23九年级下·全国·课后作业）某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多． （1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？ （2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）长方体有6个面，然后根据长方形的面积公式即可得到，再去括号整理即可； （2）把（1）中的除以5即可得到． 【详解】解：（1） ； （2）． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是读懂题意，根据实际问题确定二次函数关系式，建立二次函数的数学模型来解决问题． 【典型例题二 二次函数的识别】 1．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列函数解析式中，一定是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的识别，形如的函数是二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A，当时，，不是二次函数，不合题意； B，，是的一次函数，不合题意； C，，一定是的二次函数，符合题意； D，中含有分式，不是二次函数，不合题意； 故选C． 2．（22-23九年级·天津·阶段练习）下列函数中，y关于x的二次函数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论，牢记二次函数的定义是解题的关键． 【详解】A、当时，不是二次函数，不符合题意； B、是二次函数，符合题意； C、不是二次函数，不符合题意； D、为一次函数，不符合题意． 故选：B． 3．（22-23九年级上·福建福州·期中）二次函数的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数一次项系数的定义，解答即可． 【详解】解：∵二次函数的一次项为， ∴二次函数的一次项系数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的系数，解本题的关键在熟练掌握二次函数一次项系数的定义．在中，二次项前面的系数叫做二次项系数，一次项前面的系数叫做一次项系数，叫做常数项． 4．（22-23九年级上·湖南长沙·期末）下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是 ． 【答案】②④/④② 【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断． 【详解】解：①为一次函数； ②为二次函数； ③自变量次数为3，不是二次函数； ④为二次函数； ⑤函数式为分式，不是二次函数． 故答案为②④． 【点睛】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键． 5．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项． 【答案】；二次项为，一次项是，常数项是0 【分析】根据二次函数的一般式解答即可． 【详解】解：二次函数即为， ∴二次项为，一次项是，常数项是0． 【点睛】本题考查了二次函数的一般形式，叫做二次函数的一般形式，其中分别叫做二次项、一次项和常数项． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 【答案】见解析 【分析】根据二次函数的定义，二次函数的解析式处理． 【详解】解： 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） 2 （2） 0 （3） 1 0 （4） 1 0 0 【点睛】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键． 【典型例题三 根据二次函数的定义求参数】 1．（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）抛物线经过原点，那么a的值等于（    ） A．0 B．1 C． D．35 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与点的关系，熟练掌握把代入函数解析式，求解关于a的一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过原点， ∴，解得：， 故选C． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知是关于x的二次函数，则m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般式为是解本题的关键是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， 解得：， 故选C． 3．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）若是二次函数，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解决问题的关键． 根据二次函数的定义得：且，由此即可求出m的值． 【详解】解：是二次函数， 根据二次函数的定义得：且， 由解得：，由解得：， ． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如果函数是关于x的二次函数，那么m的值一定是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，可得，然后进行计算即可解答，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ，且， ∴， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·陕西延安·阶段练习）若是二次函数，求m的值． 【答案】 【分析】利用二次函数定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数进行解答即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数定义，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 6．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的定义，即一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数． 【详解】解：函数是关于x的二次函数， ∴， 解得． 【典型例题四 待定系数法求二次函数解析式】 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知抛物线 经过点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把点直接代入求解即可，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线 经过点， ∴， ∴， 故选：． 2．（22-23九年级上·江苏徐州·期末）已知抛物线与二次函数的的图象形状相同，开口方向相同，且顶点坐标为，它对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设此抛物线的解析式为，根据抛物线与二次函数的的图象形状相同，开口方向相同，可知，再代入顶点坐标即可． 【详解】解：设此抛物线的解析式为， ∵抛物线与二次函数的的图象形状相同，开口方向相同， ∴， ∵顶点坐标为， ∴，， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知抛物线经过点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查利用待定系数法求函数解析式，把点代入求解是解决问题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如果二次函数的图象经过原点，那么的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，将原点坐标代入函数解析式中求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过原点， ∴，则， 故答案为：1． 5．（23-24九年级上·吉林延边·阶段练习）已知抛物线的图象经过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，直接把点A的坐标代入解析式中进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的图象经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为． 6．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式． 【答案】/ 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 设交点式，然后把C点坐标代入求a即可； 【详解】解：抛物线经过点，， 设抛物线的解析式为：， 代入得：， 解得：， 抛物线的解析式：． 【变式训练1 列二次函数关系式】 1．（22-23九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先根据周长，将长方形的另一边表示出来，再根据长方形的面积=长×宽，即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得： ∵长方形的周长为，其中一边为， ∴长方形的另一边长为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是掌握长方形的面积计算方法. 2．（2023·山东淄博·一模）下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车匀速从A地行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】①根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可；②根据矩形的面积公式判断即可；③根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可. 【详解】解：汽车从A地匀速行驶到B地，根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小，故①符合题意； 用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，故②不符合题意； 将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故③符合题意； 所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是①②． 故选：B． 【点睛】本题考查了利用函数的图像解决实际问题，正确理解函数图像表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图像得到函数问题的相应解决． 3．（22-23九年级上·广东江门·期中）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆面积与的函数关系为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】根据圆的面积公式即可求解． 【详解】解：依题意，圆面积与的函数关系为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列二次函数关系式，掌握圆的面积公式是解题的关键． 4．（22-23九年级上·上海·阶段练习）如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于）和总长为的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为米，花圃总面积为平方米，求关于的函数解析式 ．（用二次函数一般式表示） 【答案】 【分析】根据矩形的面积公式，列出函数解析式，即可求解． 【详解】解：根据题意得： 关于的函数解析式为． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 5．（22-23九年级上·全国·课后作业）圆的半径为，若半径增加，则面积增加．求与的函数关系式． 【答案】． 【分析】根据圆的面积公式S＝πr2，进行计算求解． 【详解】由题意得：， 即：． 【点睛】本题考查解析式法表示变量间的关系，熟练掌握圆的面积公式是关键． 6．（22-23九年级下·山东·课后作业）如图2所示，有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式．    【答案】S＝- x2＋30x（0＜x＜30） 【分析】由铁丝的长是60cm，一边长xcm，可知另一边长是（30-x）cm，然后根据长方形的面积公式即可求出矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式． 【详解】∵铁丝的长是60cm，一边长xcm， ∴另一边长是（30-x）cm， ∴S=x（30-x）＝- x2＋30x（0＜x＜30）. 【点睛】本题考查了列二次函数解析式，解决本题的关键得到所求矩形的等量关系，易错点是得到另一边的长度；注意求自变量的取值应从线段的长为正数入手考虑． 【变式训练2 二次函数的识别】 1．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如（、b、c为常数，）的函数叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B、函数根号内含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意； C、函数是二次函数，故本选项符合题意； D、函数分母中含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的识别，牢记二次函数的定义（形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数）是解题的关键．根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、是二次函数，符合题意； C、是一次函数，不符合题意； D、，分母中含有未知数，不是二次函数，不符合题意； 故选：B． 3．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）二次函数的二次项系数是 ． 【答案】2 【分析】首先把二次函数化为一般形式，再进一步求得二次项系数． 【详解】解：y=2x（x-1） =2x2-2x． 所以二次项系数2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 4．（22-23九年级上·全国·课前预习）把y＝（2－3x）（6＋x）变成y＝ax²＋bx＋c的形式，二次项为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 －16 12 【解析】略 5．（22-23九年级下·全国·课后作业）下列函数中（x，t是自变量），哪些是二次函数？ ． 【答案】和是二次函数 【分析】根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：是关于的二次函数； 不是二次函数； 是一次函数，不是二次函数； 是关于的二次函数， 故和是二次函数． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是掌握其定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．、、是常数，也叫做二次函数的一般形式． 6．（2022九年级上·全国·专题练习）下列函数中，哪些是二次函数？ （1）y＝3x—1； （2） ； （3）  ； （4） ； （5） ； （6） 【答案】（2）（4）是二次函数 【分析】根据二次函数的定义，即可求解． 【详解】解∶（1）不是二次函数，因为自变量的最高次数是1． （2）是二次函数，因为符合二次函数的概念． （3）不是二次函数，因为自变量的最高次数是3． （4）是二次函数，因为符合二次函数的概念． （5）不是二次函数，因为原式整理后为y=－x． （6）不是二次函数，因为x－2为分式，不是整式． 故（2）（4）是二次函数． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（其中a、b、c均为常数，且）的函数关系称为二次函数是解题的关键． 【变式训练3 根据二次函数的定义求参数】 1．（23-24九年级上·吉林长春·期中）当函数是二次函数时，则a的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的定义：形如、、是常数的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义解答即可； 【详解】解：由题意得：，即， 故选：B． 2．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）若函数是二次函数，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数是解答此题的关键． 根据二次函数的定义列出关于的方程，求出的值即可． 【详解】∵函数是二次函数， ∴， 解得， 故选：B． 3．（23-24九年级上·四川广安·期末）若关于的函数的图象是抛物线，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数，其图象为抛物线，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为： 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）如果是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ． 【答案】敏敏 【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得，，即可求解；理解定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．” 是解题的关键． 【详解】解：是二次函数， ， 解得，， 又， 即， ， 故敏敏正确． 5．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）当为何值时，函数是二次函数． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，可得，且，即可求解． 【详解】解：是二次函数， ，解得， 又 ． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数． 6．（22-23九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知函数是二次函数，求m的值． 【答案】 【分析】根据形如函数是二次函数，可得答案． 【详解】解：由题意：， 解得， ∴时，函数 是二次函数． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数． 【变式训练4 待定系数法求二次函数解析式】 1．（23-24九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象经过，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】将代入，求解即可．掌握图象上的点的坐标满足函数关系式，是解题的关键． 【详解】解：将代入，得：； 故选：D． 2．（22-23九年级上·河北沧州·阶段练习）若二次函数图象的顶点坐标为，且过点，则该二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设抛物线的解析式为利用待定系数法求出a即可解决问题． 【详解】解：设抛物线的解析式为 把点代入抛物线的解析式得到 抛物线的解析式为： 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键学会利用抛物线的顶点式解决问题，属于中考常考题型． 3．（23-24九年级上·广东广州·期中）二次函数经过点，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查求二次函数解析式中的系数，能够熟练掌握待定系数法是解决本题的关键． 【详解】解：将代入中得：， 解得：， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）若二次函数的图象经过点，则c的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，把代入二次函数解析式中求出c的值即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 故答案为：3． 5．（2023·广东佛山·三模）已知二次函数的图象经过点，且当时，函数有最大值是2．求二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，根据题意可知二次函数的顶点坐标为，设二次函数的解析式为：，把代入解析式解出a的值即可求出答案． 【详解】解：∵当时，函数有最大值是2， ∴二次函数的顶点坐标为：， 设二次函数的解析式为：， ∵二次函数的图象经过点 ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：． 6．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）根据所给条件，求二次函数解析式 (1)已知二次函数，当时有最大值，其图象经过点 (2)二次函数的图象经过，，三点 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查利用待定系数法求二次函数的解析式； （1）由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出a的值即可； （2）设抛物线解析式为将点代入，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 抛物线解析式为． （2）设抛物线解析式为，将点代入， ∴，解得： ∴． 1．（22-23九年级上·安徽淮北·阶段练习）二次函数的一次项系数是（        ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项”作答即可． 【详解】解：二次函数的一次项系数是． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 2．（22-23九年级上·北京·期中）如图，用一段长为 米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为，另一边的长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，与，与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，正例函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】分别列出与的关系式，与的关系式判断即可； 【详解】解：由题意可得： ， ∴与成一次函数关系；与成二次函数关系； 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的表达形式；熟练根据题意列出相对应的函数关系式是解题的关键． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）函数的一次项系数是（　　） A． B．1 C．3 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的基本概念，熟知二次函数的基本知识是关键．一般地，把形如（是常数）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项，根据二次函数的相关概念即可获得答案． 【详解】解：函数的一次项系数是． 故选：A． 4．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）若是关于x的二次函数，则m的值为（　  　） A． B．或1 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据“形如的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴且， 解得：． 故选：A 5．（2023九年级上·浙江·专题练习）已知函数y＝ax2+bx，当x＝1时，y＝﹣1；当x＝﹣1时，y＝2，则a，b的值分别是（    ） A．，﹣ B．， C．1，2 D．﹣1，2 【答案】A 【分析】把两组对应值分别代入y＝ax2+bx中得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：根据题意得： ，解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 6．（22-23九年级下·全国·单元测试）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】首先表示出原边长为2厘米的正方形面积，再表示出边长增加x厘米后正方形的面积，再根据面积随之增加y平方厘米可列出方程． 【详解】解：原边长为2厘米的正方形面积为：2×2＝4（平方厘米）， 边长增加x厘米后边长变为：x＋2， 则面积为：（x＋2）2平方厘米， ∴y＝（x＋2）2−4＝x2＋4x． 故答案为：y＝x2＋4x． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正方形的面积． 7．（23-24九年级上·广东中山·阶段练习）二次函数的二次项系数是 ． 【答案】2 【分析】根据二次函数一般式的定义求解． 【详解】解：二次函数的二次项系数是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数的基本概念，解题的关键是掌握中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 8．（23-24七年级上·浙江丽水·阶段练习）抛物线的二次项系数是 ；一次项系数是 ． 【答案】 1 4 【分析】形如：（，，是常数且）的函数是二次函数，特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．其中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：二次函数的二次项系数是1，一次项系数是4， 故答案为：1；4． 【点睛】本题考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 9．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）二次函数的图像经过点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标特征，将已知点代入函数解析式中求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴，解得， 故答案为：． 10．（22-23九年级上·广东广州·期中）二次函数中，满足下表： … 0 1 2 3 … … 0 … 则表中的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法，熟练掌握二次函数的基本性质是解答本题的关键． 根据题意得：，在二次函数图像上，代入得到二次函数解析式为：，当时，求出，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： ，在二次函数图像上， ， 解得， 这个二次函数解析式为：， 当时，， ， 故答案为：． 11．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）已知函数（为常数）是关于的二次函数，求的值． 【答案】 【分析】直接利用二次函数的定义即可求解． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，正确把握定义形如的式子叫二次函数是解题关键． 12．（23-24九年级上·广东汕尾·期中）已知抛物线的顶点坐标是，且过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式，设抛物线的解析式为，根据顶点坐标得到．把代入解析式求出a的值，即可得到抛物线的解析式． 【详解】解：设抛物线的解析式为． ∵抛物线的顶点坐标是， ∴． 把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 13．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）有一个周长为80cm的正方形，从四个角各减去一个正方形，做成一个无盖盒子．设这个盒子的底面面积为y cm，减去的正方形的边长为x cm，求y与x的函数关系式. 【答案】y＝4x2-80x+400. 【分析】首先计算出正方形的边长，再利用正方形的性质表示出无盖盒子的底边边长，进而得出函数关系式． 【详解】解：正方形的边长为80÷4＝20cm， 根据题意可得：y＝(20−2x)2＝4x2-80x+400． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，表示出正方形盒子的底边长是解题关键． 14．（22-23九年级·上海·假期作业）下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (2)不是； (3)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (4)不是 【分析】根据二次函数的概念求解即可． 【详解】（1）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （2），不含二次项，故不是二次函数； （3）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （4）中不是整式，故不是二次函数． 【点睛】本题考查二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念，解题的关键是掌握以上知识点．形如（）的函数叫做二次函数，其中叫做二次项、叫做一次项系数、是常数项． 15．（23-24九年级上·浙江金华·期末）在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质和待定系数法求函数的解析式．待定系数法分别求出表达式比较的大小即可． 【详解】解：设过、、三点的抛物线表达式为：，则有， ， 解得：， 设过、、三点的抛物线表达式为：，则有， ， 解得：， 设过、、三点的抛物线表达式为：，则有， ， 解得：， 设过、、三点的抛物线表达式为：，则有， ， 解得：， ， 的值最大为：． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $$