暑假作业12 一次函数的8大综合问题【暑假分层作业】-2024年八年级数学暑假培优练（人教版）

作业12 一次函数综合问题精炼 题型目录 题型一：几何图形中的函数关系 题型二：一次函数与几何图形的综合问题 题型三：一次函数与特殊三角形的构造问题 题型四、一次函数与特殊四边形的构造问题 题型五、一次函数与三角形的综合问题 题型六、一次函数与图形变换 题型七、一次函数中的自定义问题 题型八、一次函数中的几何最值问题 题型一：几何图形中的函数关系 1．如图1，在正方形中，，E是对角线上一动点（不与点A、C重合），连接，作交边或边的延长线于点F，以和为邻边构造矩形，连接．    (1)线段的数量关系是______；位置关系是______． (2)如图2，当时，求的长． (3)设，求y与x之间的函数解析式． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）证明：如图，作于点，于点，   ， 正方形中， ，，平分， 四边形为正方形， ，， 矩形中，， ， 则， 即， 和中 ， ， 矩形是正方形， ，， ， 则， 即， 和中， ， ， 等腰直角中有， ， 即，； （2）如图，过点作，交于点，交于点，过点作，交于点，交于点．   四边形是正方形， ，， 四边形，，，是矩形， ，． 对角线平分， ，， ，是等腰直角三角形， 四边形，为正方形， ． ， ． ， ． ， ， ， 四边形是正方形， 由（1）可得． 设，则， ． ， 即， 解得， ； （3）如（2）图，， ． 又，， ， 即． 2．如图，在中，，，．正方形的边长为，边和边都在直线l上，点E和点A重合．正方形以速度沿直线l向右运动，当点G在边上时，停止运动，设正方形的运动时间为，正方形与的重叠部分的面积为S．    (1)当时，______； (2)当点G在边上时，_______； (3)求S与t之间的函数解析式． 【答案】(1)2 (2)3 (3) 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 如图1所示，当时，则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2；    （2）解：当点G在边上时，同理可得， ∴， ∴， 故答案为：3；    （3）解：当时，如图1所示， 同理可得， ∴；    当时，如图2所示， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴；    当时，如图3所示， 同理可得，， ∴．    3．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，为等腰三角形，且．点，，，其中a，b满足． (1)直接写出点B，C坐标； (2)过点A作x轴平行线m，过点C作直线m，垂足为D．动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿直线m向右运动，连接．设运动时间为t秒，的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； (3)如图2，在（2）的条件下，延长交直线m与点E，当P在线段上运动时，使，，求此时P点坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：， 解得：， ∵，， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∵，且轴， ∴，， ∵， ∴， ∵，且， 当时，， ， 当时，， ， ∴； （3）解：设交于点H， 设，则， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于N，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 答：此时点P坐标为． 4．如图，在矩形中，，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点匀速运动，同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，以为邻边构造，设与矩形重叠部分的面积为，点的运动时间为（秒）．    (1)当时，与矩形重叠部分的面积为______，当时，与矩形重叠部分的面积为______； (2)当点与点重合时，求的值； (3)当与矩形重叠部分的图形是四边形时，求与之间的函数关系式； (4)当以为顶点的四边形恰好是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1)2；12 (2) (3) (4)2或6 【详解】（1）解：动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点匀速运动；动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动， 当时，，，如图所示：   在矩形中，，， ， 四边形与矩形重叠部分的面积四边形的面积； 当时，，点运动路程为，则，如图所示：   矩形中，，， 四边形与矩形重叠部分的面积四边形的面积； 故答案为：2；12； （2）解：当点与点重合时，如图所示：   矩形中，， 由题意可得，， 以为邻边构造， ， 矩形中，， ，解得， 故答案为：； （3）解：当四边形与矩形重叠部分的图形是四边形时，分三种情况： ①当时，如图所示：   ，， 四边形的面积； ②当时，如图所示：   矩形中，， 由题意可得，， 四边形的面积； ③当时，与交于，如图所示：    此时重叠部分是五边形，不合题意； ④当时，与交于，如图所示：   在中，根据题意可知， ， 连接， ∵，， ∴， ∴， ； 综上所述：与之间的函数关系式为； （4）解：由（3）可知， ①当时，如图所示：   当与重合时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ； ②当时，如图所示：   ， 若以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则， ， 以为邻边构造， ， 而当在上时，与不垂直，故此种情况不存在； ③当时，与交于，如图所示：   矩形中，， 由题意可得，， 以为邻边构造， ， 矩形中，，则， 若以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则， ，解得； 综上所述，当以为顶点的四边形恰好是平行四边形时，的值为或． 题型二：一次函数与几何图形的综合问题 5．如图1，已知直线与x轴和y轴分别交于点B和A，以点B为直角顶点在第二象限作等腰直角． (1)求直线的关系式； (2)如图2，延长到点D，交y轴于点E，连接，若，求的长； (3)如图3，在（1）的条件下，直线交x轴于M，点是线段上一点，在线段上是否存在一点N，使直线把的面积分为的两部分，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点N的坐标为或 【详解】（1）解：在中，令，得， 令，得， 解得：， ∴，， 如图1，过点C作轴于F， 则， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的关系式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的关系式为； （2）解：如图2，过点C作轴于H，过点D作轴于G， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得， ， ， ， 在中，； （3）解：存在点N，使得使直线把的面积分为的两部分．理由如下： 在中，令，得， ∴， 由（2）知：直线的解析式为， 当时，， ， ∵，， ， ∵直线把的面积分为的两部分， 或， 设，则， 当时，如图3（i）， 则， 解得：， ； 当时，如图3（ii）， 则， 解得：， ∴； 综上所述，点N的坐标为或． 6．在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A、C分别在x轴、y轴上，且点C的坐标为． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，边上有一动点D，连接，点F在线段上，使得，点G在的延长线上，点E在线段上，连接，满足，若D点的纵坐标为t，的长为d，求d与t的关系式； (3)如图3，在（2）问的条件下，E在线段上，连接，若，当时，求t值，并直接写出G点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)； 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，C的坐标为， ∴，轴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为； （2）过点作， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点在线段上，纵坐标为， ∴， ∴； （3）在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 即：， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴． 7．在平面直角坐标系中，已知点，，且．    (1)直接写出______，______，______； (2)如图1，点P在x轴上，，、的补角的角平分线交于点F，求出的度数； (3)如图2，作射线BO，过A作，已知是平面内一点，问当a满足什么条件时，总是成立的？ 【答案】(1)4；3；2 (2)； (3)当时，总是成立的． 【详解】（1）解：， ，，， ，，， 故答案为：4；3；2； （2）解：设与的交点为点，如图1，    ∵， ， ， ， ， 设，则， 、的补角的角平分线交于点， ，， ∵， ， ， ； （3）解：当点不在与直线的交点的左边时，过作，如图2，    则有，， ， ， 设的解析式为， ， ， ， 直线的解析式为：， 令，提， 解得，， ，， 延长交直线于点．设， ， ， ， ， ， ∴当时，总是成立的． 8．在数学课“合作学习”环节，沈老师要求同学们通过观察如图1所示的坐标系中一次函数的图象，从而来发现某些规律．    同学们通过讨论，积极发言，主要把进行分类，得出一次函数的部分性质： 对于一次函数（，为常数，且）， 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小． 【跟进练习】对于函数，当时，则的取值范围是________． 爱思考的小敏同学提出了看法，我还发现：与这两条直线是互相垂直的． 这是一种巧合还是存在着某种联系？ 沈老师说：这两者确实存在着某种联系，同学们不妨再举几个类似的例子，看看能否提出你们的猜想．通过讨论，同学们最终形成共识，得到下列结论： “若两条直线函数表达式为与（，均不为0），当时，两条直线互相垂直；反之亦成立”这个结论． 【结论理解】若直线与直线互相垂直，则________． 【灵活运用】如图2，的斜边在轴上，且，，延长交轴于点，求点的坐标．    【延伸拓展】在平面直角坐标系中，已知直线经过点，与轴的交点为，点在坐标轴上，若以为顶点的三角形是直角三角形．请直接写出点的坐标． 【答案】【跟进练习】；【结论理解】；【灵活运用】；【延伸拓展】，，， 【详解】解：【跟进练习】 ， 当时，；当时， 故答案为：； 【结论理解】直线与直线互相垂直 故答案为：； 【灵活运用】， 直线的解析式为： 设直线的解析式为： 将代入得， 由得 ； 【延伸拓展】直线经过点 得 与轴的交点 ，，为顶点的三角形是直角三角形 如图，    当，点C在y轴上时，点坐标是， 当时，直线，直线与坐标轴交点即可所求点C， 点C在y轴上时，点坐标是， 点C在x轴上时，点坐标是， 当时，直线，直线与坐标轴交点即可所求点C， 点C在x轴上时，点坐标是， 综上所述：点坐标可以是以下各点： ，，，． 题型三：一次函数与特殊三角形的构造问题 9．综合与探索 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图2，3在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， （1）直接写出_________，_________；在第二象限构造等腰直角，使得，则点的坐标为_________； （2）如图3，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式； 【拓展应用】 （3）如图4，直线分别交轴和轴于两点，点在平面直角坐标系上，使以为腰的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4，2；（2），详见解析(3)存在，C点坐标分别为：，，，，详见解析 【详解】（1）在中，分别令，， 解得，，即点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， 故答案为：4，2； 过点E作轴于M，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴点E的坐标为， 故答案为：； （2）过点B作交于点C，过点A作轴，过点C作轴与交于点D，与x轴交于点N，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， ， 解得， ∴的函数表达式为：； （3）存在，理由如下： ∵直线：分别交x轴和y轴于两点， ∴分别令，，得，， ∴，， ①如图，将直线绕点B顺时针旋转，然后过点A作交旋转后的直线于点， ∴， ∴， ∴由“k型全等”得，，， ∴， ∴， ②如图，将直线绕点B逆时针旋转，然后过点A作交旋转后的直线于点，过A点作轴的直线与过点B作轴的直线交于点G， 与过点作轴的直线交于点H，交y轴于点I， ∴四边形和四边形都为平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴由“k型全等”得，，， ∴， ∴， ③如图，将直线绕点A逆时针旋转，然后过点B作交旋转后的直线于点，过作轴于点， ∴， ∴， ∴由“k型全等”得，，， ∴， ∴， ④如图，将直线绕点A顺时针旋转，然后过点B作交旋转后的直线于点，过B点作轴的直线与过点A作轴的直线交于点P， 与过点作轴的直线交于点Q，交x轴于点T， ∴四边形和四边形都为平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴由“k型全等”得，，， ∴， ∴， 综上所述：C点坐标为：，，，． 10．综合运用 (1)如图1，，顶点在直线上，过点作于点，过点作于点，当时，判断线段与的数量关系（直接写出结果，不要求写解答过程） (2)如图2，直线与坐标轴交于点，，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数解析式． (3)如图3，四边形为长方形，其中为坐标原点，点的坐标为，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，是线段上的动点，是直线上的动点且在第四象限，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【详解】（1）解：， ， 又，， ，， ， ， ， ； （2）解：直线与坐标轴交于点，， 、， 如图2，过点做交直线于点，过点作轴于， ，，， ， 将直线绕点顺时针旋转至直线， ， ， ， ，， ， 点坐标为， 设的解析式为，将，点坐标代入，得， 解得， 的函数表达式为； （3）解：当点是直线上的动点且在第四象限时，分两种情况： 当点在矩形的内部时，如图，过作轴的平行线，交直线于，交直线于， 设，则，，， 由（1）可得，，则， 即：， 解得， ， ， 此时，，，符合题意； 当点在矩形的外部时，如图，过作轴的平行线，交直线于，交直线于， 设，则，，， 同理可得：，则， 即：， 解得， ， ，， 此时，，，，符合题意， 综上，点的坐标为或． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)在平面直角坐标系中有一点，使得，请求出点的坐标； (3)点为直线上的动点，过点作轴的平行线，交于点，点为轴上的一动点，且为等边三角形，请直接写出满足条件的点的横坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为 (2)点的坐标为或 (3)满足条件的点的横坐标为或 【详解】（1）解：点在直线：上， ，即， 直线：过点，点， ， 解得：， 直线的函数表达式为； （2）解：直线的函数表达式为， 当时，， 解得， ， 如图，过点作，当点在直线上时，， ， 设直线的解析式为：， 直线经过， ， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， ； 如图，当点在上方时，此时点所在直线到的距离与到的距离相等， ， 故此时点所在直线解析式为， 当时，， 故； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：设点，则， 如图，当时，作于， ， 则，， 是等边三角形，， ，， ， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的横坐标为； 如图，当时，作于， ， 则，， 是等边三角形，， ，， ， ， 解得：或（不符合题意，舍去） 此时点的横坐标为， 综上所述，满足条件的点的横坐标为或． 12．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交，轴于点，，在轴负半轴有一点C，满足，作直线，点D是y轴正半轴上的一个动点． (1)求直线的函数表达式； (2)过点D作y轴的垂线，分别交直线，于点，，若，求点D的坐标； (3)如图2，连接，将沿直线进行翻折，翻折后点O的对应点为点E，连接，若为直角三角形，求的长度． 【答案】(1)； (2)或； (3)或或8． 【详解】（1）解：令， ，则， 令，即， ，则，， ， ， ， 设直线的函数表达式为， 将，代入， 得， 解得， 直线的函数表达式为； （2）解：①点D在线段上时，如下图所示， 设，则， ， ， ， ， 的坐标为； ②点D在线段延长线上时，如下图所示： 设，则， ， ， ， ， 的坐标为； 综上所述，若，D的坐标为或； （3）解：，， ， 设，则， 将沿直线进行翻折得到， ，，， ①当时，如图所示： ，此时点A、E、B三点在一条直线上，点E在直线上， ，， 在中，， 即， 解得； ②当时，如图所示： 作于点F， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 在中，， 即， 解得； ③当时，如图所示： ， 四边形是正方形， 即， ； 综上所述，当为直角三角形，的长度为或或8． 13．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，点是线段上一点（不与点重合）．    (1)求点的坐标． (2)连接，将沿直线翻折得到，点为点的对应点，点在第一象限，且． ①求点的坐标． ②若直线与交于点，在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点，点； (2)①；②存在，或或 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，有，解得：， ∴点，点 （2）解：①过点P作于F，    ∵将沿直线翻折得到， ∴, ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ②如图：    ∵， ⋅ ∵，直线与交于点E， ∴，解得， ∴点E的坐标, ∴， 当是以为腰的等腰三角形时，， ∴, ∴点Q的坐标为 当是以为腰的等腰三角形时，， ∴， ∴点Q的坐标为， 当是以为腰的等腰三角形时，， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，存在点Q，使是以为腰的等腰三角形，点Q的坐标为或或． 题型四、一次函数与特殊四边形的构造问题 14．如图，平面直角坐标系中，，．为矩形对角线的中点，过点的直线分别与、交于点、． (1)求证：； (2)设，的面积为，求与的函数关系式； (3)若点在坐标轴上，平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是矩形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)点坐标为或或 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如下图，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与的函数关系式为； （3）解：①如图，点在轴上， 设点标为， 则，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， ∵点相左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度得到， ∴点相左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度，可得； ②如下图，点在轴上， 设点坐标为，则，， ∵， ∴，解得， ∵相左平移8个单位长度，向下平移16个单位长度得到 ， ∴相左平移8个单位长度，向下平移16个单位长度，可得到； ③当点原点重合时，则点与点重合，此时点坐标为． 综上所述，点坐标为或或． 15．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标是，点的坐标是（）．直线交轴于点，记点关于轴的对称点为，点为轴上一动点． (1)当时，求的长； (2)当时，用含的代数式表示的长； (3)是否存在四边形，使四边形为正方形？若存在，请求出所有满足条件的和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在四边形，使四边形为正方形，，． 【详解】（1）解：由，得到， 设直线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线解析式为， 令，得到， ∴， 即； （2）解：根据题意，设直线AP解析式为， 把代入得，， ∴， ∴直线解析式为， 令，得到， ； （3）解：存在四边形，使四边形为正方形，理由为： 若四边形为正方形，则有， 即， 解得， ∴， ∴， ∴． 16．如图，平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点A落在点D处，与交于点E．的长满足式子． (1)求点A，C的坐标； (2)求出点E的坐标和直线的函数解析式； (3)F是x轴上一点，在坐标平面内是否存在点P，使以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，或或或 【详解】（1）解：， ，， ，（负值舍去）， ，； （2）解：矩形中， ， 由折叠得， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 点E的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的函数解析式为； （3）解：存在，点P的坐标为或或或． 矩形中，， ， ， 当以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形时，存在四种情况，如图： 当为边，为对角线时，, 当点P在点B左侧时，如所示，点坐标为， 当点P在点B右侧时，如所示，点坐标为； 当为边，为对角线时，点P与点B关于x轴对称，如所示，点坐标为； 当为对角线时，如所示， 设，则， 在中，，即， 解得， 可得点坐标为，即， 综上可知，点P的坐标为或或或． 17．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，点是的中点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，若点是直线上的一动点，当时，求点的坐标； (3)将直线向右平移3个单位长度得到直线，若点为平移后直线上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点为顶点，为边的四边形为菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)点F的坐标为 【详解】（1）解：对于一次函数，令，得；令，得， ∴直线与轴、轴交点坐标分别为， 又点是中点， ， 设直线，把代入， ， ， 直线的解析式为； （2）解：∵点在直线上， 设点， ∵， ， 又， ，解得：或－6， 或 （3）解：存在； ∵直线向右平移个单位得到线段， ∴直线上点A向右平移3个单位后的点坐标为，且在直线上， 设直线的解析式为，把点代入得：， ∴， ∴直线的解析式为； ∵点E在直线上， ∴设点E的坐标为，又设点F的坐标为； ∵， ∴， 又； ①以为菱形的邻边； ∵菱形的对角线相互平分， ∴，即， ∵菱形的四边相等， ∴，即， ∴， 解得：， 当时，，则点F坐标为； 当时，，则点F坐标为； ②以为菱形的对角线； ∵， ∴的中点坐标为， ∴对角线的中点坐标也为， ∴， 即， 即； ∵， 由菱形的性质知，，即， ∴， 解得：， ∴； 综上，点F的坐标为． 题型五、一次函数与三角形的综合问题 18．已知：如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点． 点在直线上，且在第二象限内，过点作轴，交直线于点． (1)分别求直线和直线的表达式； (2)若点的坐标为，作的平分线，交轴于点． ①求点的坐标； ②是否存在点，使得与全等？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线：；直线： (2)的坐标；，， 【 【详解】（1）解：直线：与直线：相交于点， ，， 解得：，， 直线：；直线：； （2）解：①如图，作于，令交轴于，则， 点的坐标为， ，， ， 平分， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ； ②如图，当时， 此时，， 轴， ， ； 如图，当时，作轴于，连接交于， ， ，， 垂直平分， 设，则，，， 将代入得：， 解得：， 由勾股定理得出， ， 解得：（不符合题意，舍去）或， 此时， 故； 如图，当时， 由（1）可得：， ， ， ， ，， 设，则， 解得：或（舍去）， 故； 综上所述：，，． 19．如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以为边在第一象限内作矩形．        (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交AC于点，交于点D，折痕，求线段的长度和直线的解析式； (3)在第（2）的条件下，在坐标平面内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，或或 【详解】（1）∵直线与x轴、y轴分别交于点A、C， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． （2）∵，对折，使得点A与点C重合， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 故， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为． （3）存在，且或或．理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故当P与O重合时，满足条件，此时； 如图，过点B作,交的延长线于点P， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，符合题意， ∵, 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故点； 如图，设与交于点G， 则四边形是菱形， ∴，， 故, 点O作,交的延长线于点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，符合题意， ∵, 故直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故点； ∴或或． 20．如图，直线分别与轴交于两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且． (1)直接写出两点的坐标； (2)在轴上方是否存在点，使以点为顶点的三角形与全等？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点是轴上的一点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，求此时直线的函数表达式． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为； (2)或； (3)或． 【详解】（1）解：直线过点， ∴， ∴， 当时，， ∴点的坐标为，即， ∵， ∴， ∵点在轴正半轴， ∴点的坐标为； （2）解：分和两种情况考虑，如图， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 当时，，， ∴， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：依照题意画出图形，如图所示， 由翻折得，，， ∵，， ∴， ∴或， ∴设，则或， 在中，， ∴ ， 即或， 解得或， ∴点的坐标为或， 设直线的函数表达式为， ∴或， 解得或， ∴直线的函数表达式为或． 题型六、一次函数与图形变换 21．如图，平面直角坐标系中，，，，，． (1)求、、的坐标和的面积； (2)如图，点在线段上，求与之间的数量关系； 将点向上平移个单位长度至点（点在内部），若的面积等于，求点的坐标； (3)在（）的条件下，将线段向右平移个单位；得到线段，其中点，点的对应点分别为点，点．若点在射线上，连接，，得到，若，则的取值范围是_______． 【答案】(1)，，，；(2)；； (3)或． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∴； （2）设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， ∵在线段上， ∴，整理得； 如图，连接， 由题意得， ∵， ∴，整理得， ∵， ∴， ∴； （3）同（）理得：解析式为，由题意将线段向右平移个单位， ∴解析式为， ∵点在射线上， ∴， 过作轴于点，过作轴于点， 当点在轴上方时，如图， ∴， ∵， ∴，解得：， 当交点在轴下方时，如图， 同理， ∵， ∴，解得：， 综上可知：或． 22．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与交于点，与x轴，y轴分别交于A，B两点，与x轴，y轴正半轴分别交于C，D两点，且． (1)求直线的解析式； (2)如图2，连接，若点P为y轴负半轴上一点，点Q是x轴上一动点，连接，，当时，求周长的最小值； (3)如图3，将直线向上平移经过点D，平移后的直线记为，若点M为y轴上一动点，点N为直线上一动点，是否存在点M，N，使是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点N的坐标，并写出其中一个点N的求解过程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，N的坐标为或或或． 【详解】（1）解：把代入 ， 解得， ∴点E的坐标为， 把代入得， ∴点B的坐标为， ∵， ∴， ∴点C的坐标为， 设的解析式为， 把代入得： ， 解得， ∴的解析式为； （2）解∶作P关于x轴的对称点，连接交x轴于Q，此时最小，则周长的最小值为，如下图所示∶ 在中， ， 在中，令得， ， ∵点B的坐标为， ， ∵点E的坐标为， ， ∵， ， ， ， ， ， ， 周长的最小值为； （3）解:存在点M，N，使是以为直角边的等腰直角三角形 ，，，， ，E为的中点， ， 若M为直角顶点，过N作轴于H, 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ∵直线：向上平移经过点， ∴直线：， 设， ， ， ， 解得， ． 同理可得； 若为直角顶点，为直角边，在轴负半轴时，过作轴于，如图： 同理可得， ∵，直线：， ∴直线解析式为， 在中令得， ∴； 若为直角顶点，为直角边，在正轴负半轴时，过作轴于，如图： 同理可得， 综上所述，N的坐标为或或或． 23．已知：如图，一次函数的图像分别与轴、轴相交于点、，且与经过轴负半轴上的点的一次函数的图像相交于点，直线与轴相交于点，与关于轴对称，． (1)求直线的函数表达式和点的坐标； (2)点为线段上的一个动点，连接． ①若直线将的面积分为两部分，试求点的坐标： ②点是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的函数表达式为：，点的坐标为． (2)①点的坐标为或；②存在点，将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上，点坐标为或． 【详解】（1）解：根据题意得： 点、， ， 与关于轴对称，， ，， ， 把点和点的坐标代入一次函数， ， 解得， 直线的函数表达式为：， 令， 解得：， ， 点的坐标为． （2）①如图，过点作轴于点，连接， ， ，， ， ， 、、， 点是线段的中点， ， 当点在线段上时，则有 ， ， ， 解得：， ； 当点在线段上时，设直线与轴交于点，如图，此时有 ， ， ，解得， ， ， 直线的解析式为， 令， 解得：， ， 综上所述，若直线将的面积分为两部分，点的坐标为或． ②存在，理由如下： 将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上，分三种情况： 当点落在轴负半轴上处，如图， 由折叠性质可知，，， 由 题意可知，，， 则， ， ， ， ， ， ， ， 轴， 点的纵坐标为， ； 当点落在轴上处，如图， 过点作于点，作轴于点，过点作轴于点， 由折叠性质得： 平分， ， ， ， 即， 解得：， ； 当点落在轴正半轴上处，如图， 此时，点和点重合，和符合题意，舍去， 综上所述，存在点，将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上，此时点坐标为或． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，以为腰在第二象限作等腰直角，． (1)求点的坐标． (2)是轴上的一个动点，是否存在这样的点，使得的值最大？如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出点的坐标． 【答案】(1)； (2)存在， 【详解】（1）如图1，过点作轴于点． 对于一次函数， 令，则， 令，则，即， ∴，， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． （2）存在点，使得的值最大． ∵是轴上的一个动点，∴， ∴当点在的延长线与轴的交点上时，，此时的值最大． 如图2，延长交轴于点，设直线的表达式为． ∵，， ∴ 解得 ∴直线的表达式为． 当时，，解得， ∴． 题型七、一次函数中的自定义问题 25．定义：在平面直角坐标系中，我们称直线，为常数）是点的关联直线，点是直线的关联点；特别地，当时，直线的关联点为． 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． 【定义辨析】 （1）直线的关联点的坐标是（   ） A．    B．    C．    D． 【定义延伸】 （2）点的关联直线与直线交于点，求点的坐标；； 【定义应用】 （3）点的关联直线与轴交于点，，求的值． 【答案】（1）D；（2）C的坐标为；（3）的值为或． 【详解】解：（1）直线，为常数），点是直线的关联点， 直线的关联点的坐标是， 故答案为：D； （2）直线，当时，，解得， 点的坐标为， 直线，为常数）是点的关联直线， 点的关联直线为， 联立得，解得， 的坐标为； （3）点的关联直线为， 当时，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ①如图1，当点在直线左侧时，过点作，交直线于点，过点作垂直轴于点． ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 的坐标为， 把点代入得，； ②如图2，当点在直线右侧时， 同理可证， ，， 点的坐标为 把点代入得，， 综上所述，的值为或． 26．如图1，直线交轴于点，交轴于点．直线关于轴对称的直线交轴于点C，直线经过点C． (1)①求线段的长； ②求出直线的函数表达式； (2)点R、T分别在直线、上．若以A、B、R、T为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点R的坐标； (3)如图2，点在x轴上，过点E作直线．轴，交直线于点P，点在四边形内部，直线交于点Q，直线交于M，求的值． 【答案】(1)①；②直线的函数表达式为； (2)点的坐标为或或； (3)． 【详解】（1）解：①∵直线交x轴于A，交y轴于B， 令，． ∴，． ∴，． ∴，． ∴，． ∵， ∴； ②∵点与点C关于轴对称， ∴． ∵直线经过点C． ∴， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵．， ∴设直线． ∴． 解得：． ∴直线． ∵点R在直线上， ∴设点的坐标为． ①如下图所示，当点R在线段上时． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴经过平移之后到达． ∴． ∵点T在直线上， ∴，解得． ∴点的坐标为； ②如下图所示，当点R在线段延长线上时． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴经过平移之后到达． ∴． ∵点T在直线上， ∴，解得． ∴点的坐标为； ③如下图所示，当点R在线段延长线上时． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴经过平移之后到达． ∴． ∵点T在直线上， ∴，解得． ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或； （3）解：由题意得， ∴， ∴点的坐标为， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线经过点与， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵直线与x轴交于点Q， ∴． ∴． 解得：． ∴． ∴． 设直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴． 解得：和（舍去）． ∴直线的解析式为． ∵直线与直线交于点M． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 27．在平面直角坐标系中，已知线段，为线段上任意一点，已知图形，为图形上任意一点，当，两点间的距离最小时，将此时的长度称为图形与线段的近点距；当，两点间的距离最大时，将此时的长度称为图形与线段的远点距．       根据阅读材料解决下列问题： 如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，正方形的对称中心为原点． (1)线段与线段的近点距是__________，远点距是__________． (2)如图2，直线与轴，轴分别交于点，，则线段和正方形的近点距是__________，远点距是__________． (3)直线与轴，轴分别交于点，，线段与正方形的近距点是，则的值是__________． (4)在平面直角坐标系中，有一个矩形，若此矩形至少有一个顶点在以为圆心1为半径的圆上，其余各点可能在圆上或圆内，将正方形绕点旋转一周，在旋转过程中，它与矩形的近点距的最小值是__________，远点距的最大值是__________． 【答案】(1)4，(2)，(3)(4)1， 【详解】（1）解：由题意得，线段与线段的近点距是， 远点距是， 故答案为：4，； （2）解：如图2中，连接，延长交于． 当，， 当，则，解得， ∴， ∵为正方形对角线， ∴平分， ，， ∵， ∴， 在中，， ， ∵， ， ，， ， 或的长是远点距， 线段和正方形的近点距是，远点距是． 故答案为：，． （3）解：如图3中，设直线交直线于，． 当，， 当，则，解得， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， ∴的长度是线段与正方形的远点距， 即 作于， ∵ 是等腰直角三角形， 而， 在中，由勾股定理可得， ， ， 同理可得， 把，代入得到， 把，代入得到， 故答案为：． （4）解：如图，当矩形在圆上的点H与圆的x轴交点重合时，此时近点矩为的长度，； 如图，当矩形在圆上的点H在第四象限且在对角线上时，此时为远点距， ∴． 故答案为：1，． 28．对于平面直角坐标中的任意两点，，若点到两坐标轴的距离之和等于点到两坐标轴的距离之和，则称，两点为和合点，如图中的，两点即为“和合点”． (1)已知点，，，． ①在上面四点中， 与点为“和合点”的是 ； ②若点， 过点 作直线轴，点在直线上， 、两点为“和合点”， 则点的坐标为 ； ③若点在第二象限，点在第四象限， 且、两点为“和合点”， 、两点为“和合点”， 求， 的值． (2)如图2，已知点，，点是线段上的一动点， 且满足 过点作直线轴，若在直线上存在点，使得，两点为“和合点”，直接写出的最大值． 【答案】(1)①A，C；②或；③ (2) 【详解】（1）①∵，，， ∴点A到两坐标轴的距离之和为， 点B到两坐标轴的距离之和为， 点C到两坐标轴的距离之和为， 点D到两坐标轴的距离之和为， ∵点到两坐标轴的距离之和为， ∴在上面四点中，与点为“和合点”的是A，C． 故答案为：A，C； ②∵点，过点F作直线轴，点G直线l上， ∴设 ∴点G到两坐标轴的距离之和为 ∵A、G两点为“和合点” ∴，解得 ∴点G的坐标为或； ③∵点在第二象限，点在第四象限， ∴，，，， ∵A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”， ∴，即 解得； （2）∵点是线段上的一动点，且满足， ∴ ∴点R到两坐标轴的距离之和为 设 ∵R，S两点为“和合点”， ∴ ∴． 所以最大值为． 29．结合已经学过的“距离”我们知道：点到直线的“距离”是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中最短的线段（即垂线段）的长度．类似的我们给出两个图形M、N的“距离”定义：如果点P为图形M上的任意一点，点Q为图形N上的任意一点，且P、Q两点的“距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“距离”，记为特别地，当图形M，N有公共点时，图形M，N的“距离”．    (1)如图1，在平面直角坐标系中，，若，，，则_________， _________； (2)如图2，已知的三个顶点的坐标分别为，，，将一次函数的图象记为L． ①若，且，求k的值； ②若，求k的取值范围． 【答案】(1)， 【详解】（1）解：，， ，， ， 如图，作于点，    ， ， ， ， 故答案：，； （2）解：①如图，设图象与轴交于，与轴交于，作于点．    当，则， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； ②图象经过点或点时， 图象与只有一个交点， 符合， 当图象经过点时， 将代入得： ， 解得， 当图象经过点时， 将代入得： ， 解得：， 当或时，图象与有两个交点，满足， 的取值范围为或． 题型八、一次函数中的几何最值问题 30．已知，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，直线与轴的交点为． (1)点的坐标为______； (2)在轴上找一点，连接，使的值最小，求出此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)的面积为6 【详解】（1）解：设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴点C的坐标为； 故答案为：； （2）解：存在，理由如下： 如图，作点关于轴的对称点P，连接，交轴于点D，连接，如图所示： ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时的值最小， ∵， ∴点关于轴的对称点P的坐标为， 设直线的解析式为， 根据题意，可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， 解得：， ∴点D的坐标． （3）解： ． 答：的面积为6． 31．预备知识：在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么?一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？” 小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为， 将点代入得：， 整理得． 为任意实数，等式恒成立； ，． ，． 这条直线的函数表达式为． 请仿照小明的做法，完成问题： （1）随着变量的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线，求直线的函数表达式． 问题探究：（2）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，且，，则点的坐标为 ． 结论应用：（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，是直线上的一个动点，连接，过点作，且，连接，求线段的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）设直线的表达式为， 将代入得：， 整理得：， ∵为任意实数，等式恒成立， ∴，， 解得：，， ∴直线的表达式为； （2）如图，作轴于，轴于， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和种， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）如图，作轴于，轴于， ， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是直线上的一个动点， ∴设， 在中，当时，，当时，，解得， ∴，， 当时，，， ， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴随着的减小而增大， ∴此时， 当时，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，为最小，最小值为； 当时，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴此时 ， ∵， ∴的最小值为． 32．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点关于轴的对称点为． (1)点的坐标为 　　； (2)已知一次函数的图象经过点与，求这个一次函数的解析式； (3)点是轴上的一个动点，当　　时，的周长最小； (4)点，是轴上的两个动点，当 时，的周长最小； (5)点，点分别是轴和轴上的动点，当四边形的周长最小时，　　 ，此时四边形的面积为 　　 ． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)，． 【详解】（1）解：∵点关于轴的对称点为， ∴， 故答案为：； （2）解：设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为； （3）解：∵周长为，且为定值， ∴只要最小， ∵， ∴三点共线时，最小， 令，得， 故答案为：； （4）解：如图，四边形周长为 ∴只要最小， 作，且，连接， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴，即共线时，最小， ∵，， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 故答案为：； （5）解：根据轴对称的性质，作关于轴的对称点，关于轴的对称点，连接交轴于，交轴于， 此时四边形周长为， ∴点共线时，，此时四边形周长最小， ∵，， ∴，， 设直线的函数解析式为， ∴，解得：， ∴直线的函数解析式为， 当时，；当时，， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：，． 33．如图所示，已知点，，，，过、两点的直线的函数表达式为，动点从现在的位置出发，沿轴以每秒个单位长度的速度向上移动，设移动时间为． (1)若直线随点向上平移，则： ①当时，求直线的函数表达式． ②当点，位于直线的异侧时，确定的取值范围． (2)当点移动到某一位置时，的周长最小，试确定的值． 【答案】(1)①；② (2)秒 【详解】（1）解：（1）①∵过、两点的直线的函数表达式为，，， 动点从现在的位置出发，沿轴以每秒个单位长度的速度向上移动，设移动时间为，设平移后的函数表达式为， 当时，， ∴此时， ∴， ∴， 当时，直线的函数表达式为； ②当直线：过点时， 得：， 解得：， 当直线：过点时， 得：， 解得：， ∴当点，位于直线的异侧时，的取值范围为； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ∴，， ∴的周长：， 此为的周长的最小值， 则点即为所求点， 设直线的表达式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴点， ∴， ∴的值为秒． 试卷第98页，共99页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 作业12 一次函数综合问题精炼 题型目录 题型一：几何图形中的函数关系 题型二：一次函数与几何图形的综合问题 题型三：一次函数与特殊三角形的构造问题 题型四、一次函数与特殊四边形的构造问题 题型五、一次函数与三角形的综合问题 题型六、一次函数与图形变换 题型七、一次函数中的自定义问题 题型八、一次函数中的几何最值问题 题型一：几何图形中的函数关系 1．如图1，在正方形中，，E是对角线上一动点（不与点A、C重合），连接，作交边或边的延长线于点F，以和为邻边构造矩形，连接．    (1)线段的数量关系是______；位置关系是______． (2)如图2，当时，求的长． (3)设，求y与x之间的函数解析式． 2．如图，在中，，，．正方形的边长为，边和边都在直线l上，点E和点A重合．正方形以速度沿直线l向右运动，当点G在边上时，停止运动，设正方形的运动时间为，正方形与的重叠部分的面积为S．    (1)当时，______； (2)当点G在边上时，_______； (3)求S与t之间的函数解析式． 3．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，为等腰三角形，且．点，，，其中a，b满足． (1)直接写出点B，C坐标； (2)过点A作x轴平行线m，过点C作直线m，垂足为D．动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿直线m向右运动，连接．设运动时间为t秒，的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； (3)如图2，在（2）的条件下，延长交直线m与点E，当P在线段上运动时，使，，求此时P点坐标． 4．如图，在矩形中，，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点匀速运动，同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，以为邻边构造，设与矩形重叠部分的面积为，点的运动时间为（秒）．    (1)当时，与矩形重叠部分的面积为______，当时，与矩形重叠部分的面积为______； (2)当点与点重合时，求的值； (3)当与矩形重叠部分的图形是四边形时，求与之间的函数关系式； (4)当以为顶点的四边形恰好是平行四边形时，直接写出的值．   在矩形中，，， ， 四边形与矩形重叠部分的面积四边形的面积； 当时，，点运动路程为，则，如图所示：   矩形中，，， 四边形与矩形重叠部分的面积四边形的面积；   矩形中，，   矩形中，，      ， 若以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则， ，   矩形中，， 题型二：一次函数与几何图形的综合问题 5．如图1，已知直线与x轴和y轴分别交于点B和A，以点B为直角顶点在第二象限作等腰直角． (1)求直线的关系式； (2)如图2，延长到点D，交y轴于点E，连接，若，求的长； (3)如图3，在（1）的条件下，直线交x轴于M，点是线段上一点，在线段上是否存在一点N，使直线把的面积分为的两部分，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 6．在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A、C分别在x轴、y轴上，且点C的坐标为． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，边上有一动点D，连接，点F在线段上，使得，点G在的延长线上，点E在线段上，连接，满足，若D点的纵坐标为t，的长为d，求d与t的关系式； (3)如图3，在（2）问的条件下，E在线段上，连接，若，当时，求t值，并直接写出G点的坐标． 7．在平面直角坐标系中，已知点，，且．    (1)直接写出______，______，______； (2)如图1，点P在x轴上，，、的补角的角平分线交于点F，求出的度数； (3)如图2，作射线BO，过A作，已知是平面内一点，问当a满足什么条件时，总是成立的？ 8．在数学课“合作学习”环节，沈老师要求同学们通过观察如图1所示的坐标系中一次函数的图象，从而来发现某些规律．    同学们通过讨论，积极发言，主要把进行分类，得出一次函数的部分性质： 对于一次函数（，为常数，且）， 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小． 【跟进练习】对于函数，当时，则的取值范围是________． 爱思考的小敏同学提出了看法，我还发现：与这两条直线是互相垂直的． 这是一种巧合还是存在着某种联系？ 沈老师说：这两者确实存在着某种联系，同学们不妨再举几个类似的例子，看看能否提出你们的猜想．通过讨论，同学们最终形成共识，得到下列结论： “若两条直线函数表达式为与（，均不为0），当时，两条直线互相垂直；反之亦成立”这个结论． 【结论理解】若直线与直线互相垂直，则________． 【灵活运用】如图2，的斜边在轴上，且，，延长交轴于点，求点的坐标．    【延伸拓展】在平面直角坐标系中，已知直线经过点，与轴的交点为，点在坐标轴上，若以为顶点的三角形是直角三角形．请直接写出点的坐标． 题型三：一次函数与特殊三角形的构造问题 9．综合与探索 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图2，3在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， （1）直接写出_________，_________；在第二象限构造等腰直角，使得，则点的坐标为_________； （2）如图3，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式； 【拓展应用】 （3）如图4，直线分别交轴和轴于两点，点在平面直角坐标系上，使以为腰的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．综合运用 (1)如图1，，顶点在直线上，过点作于点，过点作于点，当时，判断线段与的数量关系（直接写出结果，不要求写解答过程） (2)如图2，直线与坐标轴交于点，，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数解析式． (3)如图3，四边形为长方形，其中为坐标原点，点的坐标为，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，是线段上的动点，是直线上的动点且在第四象限，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)在平面直角坐标系中有一点，使得，请求出点的坐标； (3)点为直线上的动点，过点作轴的平行线，交于点，点为轴上的一动点，且为等边三角形，请直接写出满足条件的点的横坐标． 12．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交，轴于点，，在轴负半轴有一点C，满足，作直线，点D是y轴正半轴上的一个动点． (1)求直线的函数表达式； (2)过点D作y轴的垂线，分别交直线，于点，，若，求点D的坐标； (3)如图2，连接，将沿直线进行翻折，翻折后点O的对应点为点E，连接，若为直角三角形，求的长度． 13．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，点是线段上一点（不与点重合）．    (1)求点的坐标． (2)连接，将沿直线翻折得到，点为点的对应点，点在第一象限，且． ①求点的坐标． ②若直线与交于点，在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型四、一次函数与特殊四边形的构造问题 14．如图，平面直角坐标系中，，．为矩形对角线的中点，过点的直线分别与、交于点、． (1)求证：； (2)设，的面积为，求与的函数关系式； (3)若点在坐标轴上，平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是矩形，请直接写出点的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标是，点的坐标是（）．直线交轴于点，记点关于轴的对称点为，点为轴上一动点． (1)当时，求的长； (2)当时，用含的代数式表示的长； (3)是否存在四边形，使四边形为正方形？若存在，请求出所有满足条件的和点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点A落在点D处，与交于点E．的长满足式子． (1)求点A，C的坐标； (2)求出点E的坐标和直线的函数解析式； (3)F是x轴上一点，在坐标平面内是否存在点P，使以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，点是的中点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，若点是直线上的一动点，当时，求点的坐标； (3)将直线向右平移3个单位长度得到直线，若点为平移后直线上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点为顶点，为边的四边形为菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型五、一次函数与三角形的综合问题 18．已知：如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点． 点在直线上，且在第二象限内，过点作轴，交直线于点． (1)分别求直线和直线的表达式； (2)若点的坐标为，作的平分线，交轴于点． ①求点的坐标； ②是否存在点，使得与全等？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以为边在第一象限内作矩形．        (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交AC于点，交于点D，折痕，求线段的长度和直线的解析式； (3)在第（2）的条件下，在坐标平面内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，直线分别与轴交于两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且． (1)直接写出两点的坐标； (2)在轴上方是否存在点，使以点为顶点的三角形与全等？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点是轴上的一点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，求此时直线的函数表达式． 题型六、一次函数与图形变换 21．如图，平面直角坐标系中，，，，，． (1)求、、的坐标和的面积； (2)如图，点在线段上，求与之间的数量关系； 将点向上平移个单位长度至点（点在内部），若的面积等于，求点的坐标； (3)在（）的条件下，将线段向右平移个单位；得到线段，其中点，点的对应点分别为点，点．若点在射线上，连接，，得到，若，则的取值范围是_______． 22．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与交于点，与x轴，y轴分别交于A，B两点，与x轴，y轴正半轴分别交于C，D两点，且． (1)求直线的解析式； (2)如图2，连接，若点P为y轴负半轴上一点，点Q是x轴上一动点，连接，，当时，求周长的最小值； (3)如图3，将直线向上平移经过点D，平移后的直线记为，若点M为y轴上一动点，点N为直线上一动点，是否存在点M，N，使是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点N的坐标，并写出其中一个点N的求解过程；若不存在，请说明理由． 23．已知：如图，一次函数的图像分别与轴、轴相交于点、，且与经过轴负半轴上的点的一次函数的图像相交于点，直线与轴相交于点，与关于轴对称，． (1)求直线的函数表达式和点的坐标； (2)点为线段上的一个动点，连接． ①若直线将的面积分为两部分，试求点的坐标： ②点是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，以为腰在第二象限作等腰直角，． (1)求点的坐标． (2)是轴上的一个动点，是否存在这样的点，使得的值最大？如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出点的坐标． 题型七、一次函数中的自定义问题 25．定义：在平面直角坐标系中，我们称直线，为常数）是点的关联直线，点是直线的关联点；特别地，当时，直线的关联点为． 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． 【定义辨析】 （1）直线的关联点的坐标是（   ） A．    B．    C．    D． 【定义延伸】 （2）点的关联直线与直线交于点，求点的坐标；； 【定义应用】 （3）点的关联直线与轴交于点，，求的值． 26．如图1，直线交轴于点，交轴于点．直线关于轴对称的直线交轴于点C，直线经过点C． (1)①求线段的长； ②求出直线的函数表达式； (2)点R、T分别在直线、上．若以A、B、R、T为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点R的坐标； (3)如图2，点在x轴上，过点E作直线．轴，交直线于点P，点在四边形内部，直线交于点Q，直线交于M，求的值． 27．在平面直角坐标系中，已知线段，为线段上任意一点，已知图形，为图形上任意一点，当，两点间的距离最小时，将此时的长度称为图形与线段的近点距；当，两点间的距离最大时，将此时的长度称为图形与线段的远点距．       根据阅读材料解决下列问题： 如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，正方形的对称中心为原点． (1)线段与线段的近点距是__________，远点距是__________． (2)如图2，直线与轴，轴分别交于点，，则线段和正方形的近点距是__________，远点距是__________． (3)直线与轴，轴分别交于点，，线段与正方形的近距点是，则的值是__________． (4)在平面直角坐标系中，有一个矩形，若此矩形至少有一个顶点在以为圆心1为半径的圆上，其余各点可能在圆上或圆内，将正方形绕点旋转一周，在旋转过程中，它与矩形的近点距的最小值是__________，远点距的最大值是__________． 28．对于平面直角坐标中的任意两点，，若点到两坐标轴的距离之和等于点到两坐标轴的距离之和，则称，两点为和合点，如图中的，两点即为“和合点”． (1)已知点，，，． ①在上面四点中， 与点为“和合点”的是 ； ②若点， 过点 作直线轴，点在直线上， 、两点为“和合点”， 则点的坐标为 ； ③若点在第二象限，点在第四象限， 且、两点为“和合点”， 、两点为“和合点”， 求， 的值． (2)如图2，已知点，，点是线段上的一动点， 且满足 过点作直线轴，若在直线上存在点，使得，两点为“和合点”，直接写出的最大值． 29．结合已经学过的“距离”我们知道：点到直线的“距离”是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中最短的线段（即垂线段）的长度．类似的我们给出两个图形M、N的“距离”定义：如果点P为图形M上的任意一点，点Q为图形N上的任意一点，且P、Q两点的“距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“距离”，记为特别地，当图形M，N有公共点时，图形M，N的“距离”．    (1)如图1，在平面直角坐标系中，，若，，，则_________， _________； (2)如图2，已知的三个顶点的坐标分别为，，，将一次函数的图象记为L． ①若，且，求k的值； ②若，求k的取值范围． 题型八、一次函数中的几何最值问题 30．已知，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，直线与轴的交点为． (1)点的坐标为______； (2)在轴上找一点，连接，使的值最小，求出此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，求的面积． 31．预备知识：在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么?一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？” 小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为， 将点代入得：， 整理得． 为任意实数，等式恒成立； ，． ，． 这条直线的函数表达式为． 请仿照小明的做法，完成问题： （1）随着变量的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线，求直线的函数表达式． 问题探究：（2）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，且，，则点的坐标为 ． 结论应用：（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，是直线上的一个动点，连接，过点作，且，连接，求线段的最小值． 32．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点关于轴的对称点为． (1)点的坐标为 　　； (2)已知一次函数的图象经过点与，求这个一次函数的解析式； (3)点是轴上的一个动点，当　　时，的周长最小； (4)点，是轴上的两个动点，当 时，的周长最小； (5)点，点分别是轴和轴上的动点，当四边形的周长最小时，　　 ，此时四边形的面积为 　　 ． 33．如图所示，已知点，，，，过、两点的直线的函数表达式为，动点从现在的位置出发，沿轴以每秒个单位长度的速度向上移动，设移动时间为． (1)若直线随点向上平移，则： ①当时，求直线的函数表达式． ②当点，位于直线的异侧时，确定的取值范围． (2)当点移动到某一位置时，的周长最小，试确定的值． 试卷第98页，共99页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！23 学科网（北京）股份有限公司 $$