第10章 概率知识点汇总-2023-2024学年高一数学下学期备考期末复习（人教A版2019必修第二册）

《人教A版必修二知识点汇总》 第十章 《概率》知识点汇总 10.1.1 有限样本空间与随机事件 1.随机试验的概念与特征 （1）概念 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示。 （2）特征 ①重复性：试验可以在相同条件下重复进行； ②明确性：试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③唯一性：每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不确定出现哪个结果。 2、样本点、样本空间以及有限样本空间 （1）样本点 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，用表示样本点 （2） 样本空间 全体样本点的集合称为试验的样本空间，用表示样本空间. 注：在本书中，我们只讨论为有限集的情况。 （3） 有限样本空间 如果一个随机试验有个可能结果则称样本空间为有限样本空间. （4） 实例运用 例1 抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间. 解：由题意可将此随机试验用树状图表示为 ∴此实验的样本空间 如果用表示“正面朝上”，表示“反面朝上"，则样本空间. 例2抛掷一枚骰子，观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间. 解:用表示朝上面的“点数为”, ∵落地时朝上面的点数有1，2，3，4，5, 6,共6个可能的基本结果， ∴试验的样本空间. 例3 抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间. 解:掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用表示，第二枚硬币可能的基本结果用表示，那么试验的样本点可用表示， 记1表示硬币“正面朝上”，0表示硬币“反面朝上”， 则试验的样本空间. 3.随机事件、必然事件与不可能事件 （1）随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示. 为了描述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件. 随机事件一般用大写字母表示。 在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件A发生. （2）必然事件 作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件。 （3） 不可能事件 空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件。 注：必然事件与不可能事件不具有随机性，为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形，每个事件都是样本空间Ω的一个子集. 例如：抛掷一枚骰子，试验的样本空间， 其中随机事件称为这一随机试验的基本事件. 设随机事件“朝上点数为奇数”，则随机事件也可以用样本空间的子集表示为 ， 且只要朝上点数为中的任意一个，就说事件发生. 样本空间称为必然事件，空集称为不可能事件. 4.实例运用 例4如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常. (1)写出试验的样本空间; (2)用集合表示下列事件： ； ； 解:(1)分别用和表示元件和的可能状态，则这个电路的工作状态可用表示. 且用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则可将此随机实验用树状图表示为 开始 故此试验的样本空间为 (2) ①∵等价于，且中恰有两个为1, ∴； ②∵等价于，且中至少有一个是1， ∴ ③∵“等价于，， ∴ 10.1.2　事件的关系和运算 1.事件的包含关系 一般地，若事件发生，则事件一定发生，我们就称事件包含事件(或事件包含于事件)， 记作(或).可以用图 10.1-4 表示. 特别地，如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，则称事件 与事件相等，记作. 例如 在掷骰子试验中， ， ， ∵，即， ∴称事件包含事件. 2.并事件（和事件） 一般地，若事件和事件至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中，我们就称这个事件为事件与事件的并事件（或和事件）， 记作：(或)，（如图所示：绿色区域和黄色区域表示这个并事件）. 例如 在掷骰子试验中， ， ， ， ∵ ，即(或)， ∴称事件为事件和事件的并事件. 3.交事件（积事件） 一般地，若事件与事件同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件中，也在事件中，我们就称这样的一个事件为事件与事件的交事件（或积事件）， 记作(或) ，（如图所示的蓝色区域）. 例如 在掷骰子试验中， ， ， ， ∵，即(或) ∴称事件为事件和事件的交事件. 4.互斥事件 一般地，若事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，我们就称事件与事件互斥（或互不相容）.（如图所示） 例如 在掷骰子试验中， ， ， ∵事件与事件不能同时发生，即 ∴称事件和事件互斥. 5.对立事件 一般地，若事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，我们就称事件与事件互为对立.事件的对立事件记作. （如图所示） 例如 在掷骰子试验中， ， ， ∵,且， 即， ∴称事件与事件互为对立事件. 小结：综上所述，事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示如下 6.实例运用 例5 如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效. 设事件=“甲元件正常”，. (1)写出表示两个元件工作状态的样本空间； (2)用集合的形式表示事件以及它们的对立事件； (3)用集合的形式表示事件和事件，并说明它们的含义及关系. 解： （1）分别用表示甲、乙两个元件的可能状态，则这个电路的工作状态可用表示.且用1表示元件“正常”，用0表示“失效”，则两个元件工作状态的样本空间为 . （2） 由题意可得 ， ， ， . （3） 由（2）可得 ，事件表示电路工作正常； ，事件表示电路工作不正常； ∴事件和事件互为对立事件. 10.1.3 古典概型 1.概率的概念 对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率. 事件的概率记为:. 2.古典概型及其概率计算公式 （1）古典概型 当一个随机试验具有如下特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个; ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 例如：抛掷一枚骰子试验，样本空间， ∵样本空间中有6个样本点，即,满足有限性； 且每个样本点发生的可能性均为，满足等可能性； ∴此试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. （2）古典概型的概率计算公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率为 其中和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数. 3.实例运用 例 抛掷一枚骰子，试验的样本空间， 设随机事件“朝上点数为奇数”，即， ∵，， ∴ . 10.1.4 概率的基本性质 1.概率的基本性质1 （1）性质1（非负数性） 对任意的事件，都有 . （2） 性质2（确定性事件的概率） 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即. （3） 性质3（互斥事件的概率） 如果事件与事件互斥，那么 （4） 性质4（对立事件的概率） 如果事件与事件互为对立事件，那么 （5） 性质5（包含关系事件的概率） 如果，那么 （6） 性质6（非互斥事件的概率） 设是一个随机试验中的两个事件，我们有. 2.实例运用 例1.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件，，事件＝{抽到三等品}，且已知.则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ）. A.0.7 B.0.2 C.0.1 D.0.3 解： ∵“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到一等品”， 又事件A＝{抽到一等品}，P(A)＝0.7， ∴“抽到的不是一等品”的概率是1－0.7＝0.3 故选D. 例2.已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.3. (1)如果B⊆A，那么P(A∪B)＝ ，P(AB)＝ ； (2)如果A，B互斥，那么P(A∪B)＝ ，P(AB)＝ . 解： （1）如果B⊆A，那么A∪B＝A，A∩B＝B， 则P(A∪B)＝P(A)＝0.5， P(AB)＝P(B)＝0.3. （2）如果A，B互斥，那么AB＝∅， ∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8， P(AB)＝0. 例3.某校选派5人，参加全市高中学校举行的数学竞赛，根据往届竞赛情况估计本次竞赛获奖人数及概率如下： （1）若获奖人数不超过2人的概率为0.56，求的值； 解：记事件“在竞赛中，该校有人获奖”为则事件彼此互斥 ∵获奖人数不超过2人的概率为0.56， ∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56， 解得 (2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求的值. 解：由获奖人数最多4人的概率为0.96， 得P(A5)＝1－0.96＝0.04， 即z＝0.04. 由获奖人数最少3人的概率为0.44， 得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44， 即y＋0.2＋0.04＝0.44， 解得 例4.某公司三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4000人，女职工1600人；第二分厂有男职工3000人，女职工1400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人.如果从该公司职工中随机抽选1人， 求该职工为女职工或为第三分厂职工的概率. 解：记事件A＝“抽取的为女职工”，记事件B＝“抽取的为第三分厂的职工”， 则A∩B 表示“抽取的为第三分厂的女职工”， A∪B 表示“抽取的为女职工或第三分厂的职工”， 则有 ∴ 10.2 事件的相互独立性 1.相互独立事件的定义 对任意两个事件A与B， 如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. 注：相互独立事件也可以从感官上来判定——即两个互不影响的事件互为独立事件. 2.相互独立事件的性质 如果事件与事件相互独立， 那么事件与,与,与也相互独立. 3.实例运用 例1一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件与事件是否相互独立? 解： ∵样本空间 , ∴ ∴ ∴此时 故事件与事件不独立: 例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率: (1)两人都中靶; (2)恰好有一人中靶; (3)两人都脱靶; (4)至少有一人中靶. 解： 设 “甲中靶”,“乙中靶”， 则“甲脱靶”,“乙脱靶”. ∵两个人射击的结果互不影响， ∴与相互独立,与,与,与也相互独立. 又∵已知 ∴ （1）“两人都中靶”，由事件的独立性定义得 （2）“恰好有一人中靶”，且与互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义，得 （3）事件“两人都脱靶”，所以 （4） ∵事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”， ∴根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中靶”的概率为 例3 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 .在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. 求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率. 解:设 分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.根据独立性假定，得 设 “两轮活动‘星队’猜对3个成语”， 则且与互斥，与，与分别相互独立， ∴ 故“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是. 10.3 频率与概率 1.频率的稳定性 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性. 一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率 称频率的这个性质为频率的稳定性 . 因此，我们可以用频率估计概率. 注：①频率，它可以通过试验得到，因此频率是一个试验值，它具有随机性和稳定性； ②概率，它是一个理论值，具有唯一性. ③频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，因此可以由频率估算出概率. 例如 利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件发生的频数和频率列表如下： 序号 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.50 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.5 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 用折线图表示频率的波动情况如下： 可以发现: (1)试验次数相同，频率可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性； (2)从整体来看，频率在概率附近波动， 当试验次数较少时，波动幅度较大; 当试验次数较大时，波动幅度较小， 综上，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率 2.实例运用 例1 新生婴儿性别比是每 100 名女婴对应的男婴数,通过抽样调查得知，我国 2014年、2015 年出生的婴儿性别比分别为 115.88 和 113.51. (1) 分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率(新生儿中男婴的比率，精确到0.001): (2) 根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗? 解: (1)2014年男婴出生的频率为 2015 年男婴出生的频率为 由此估计，我国2014年男婴出生率约为0.537，2015年男婴出牛率约为0.532. (2)由于调查新牛儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度，因此我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论. 例2 一个游戏包含两个随机事件和，规定事件发生则甲获胜，事件发生则乙获胜，判断游戏是否公平的标准是事件和发生的概率是否相等. 在游戏过程中甲发现:玩了10次时，双方各胜5次;但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了 700次，据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的、你更支持谁的结论?为什么? 解:由题意我更支持甲对游戏公平性的判断，理由如下 （1） 当游戏玩了10次时，； （2） 当游戏玩了1000次时， ，， 根据频率的稳定性，可估计，， ∵， ∴有理由认为游戏是不公平. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$