第9章中心对称图形—平行四边形　期末复习训练题　　2023—2024学年苏科版数学八年级下册　

2023-2024学年苏科版八年级数学下册《第9章中心对称图形—平行四边形》 期末复习训练题（附答案） 一、单选题 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．在下列命题中，正确的是（    ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．有一个角是直角且一组邻边相等的四边形是正方形 C．有两边平行的四边形是平行四边形 D．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形 3．在平行四边形中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，将绕着点A顺时针旋转到的位置，使点E首次落在上．已知，，则旋转角为（     ） A． B． C． D． 5．如图，矩形的对角线，，则矩形的面积为（    ） A． B．2 C． D．24 6．如图，中，是中线，是角平分线，于F，，，则的长为（    ） A．3 B．1.5 C．2 D．2.5 7．如图，菱形中，，，点P为线段的中点，Q，K分别为线段上的任意一点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D．2 8．如图，在正方形中，点，分别在，上，满足，连接，，点，分别是，的中点，连接．若．则可以用表示为（　） A． B． C． D． 二、填空题 9．若点、关于原点对称，则 ． 10．正十二边形绕着它的中心至少旋转 度，能与它本身重合． 11．如图，在中，对角线，相交于点O，若，，则的周长为 ． 12．如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则 ． 13．如图，在菱形中，，相交于点O，E为的中点，，则的度数是 ．    14．有一张矩形纸片，，，将纸片沿如图的折痕折叠，使折叠后的的对应边恰好经过点D，则线段的长为 ． 15．如图， 在 中， P为边上一动点 (且点P不与点B、C重合) ，于F．则的最小值为 ． 16．如图，在正方形中，，E和F分别是边，上的点，且，和交于点O，P为的中点，则 ．    三、解答题 17．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知的顶点都在网格上，完成下列任务． (1)将向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，画出； (2)以点为旋转中心，将（1）中按顺时针方向旋转，得到，画出； (3)在（1）（2）的条件下，利用网格点和无刻度的直尺画出线段的中点P． 18．如图，已知中，E，F是对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的度数． 19．如图，在四边形中，，对角线与相交于点，、分别是边、的中点． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 20．如图所示，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 21．如图，在菱形中，，过点分别作于点，于点，且． (1)写出之间的数量关系； (2)如图，当绕着点逆时针旋转到的两边与菱形的两边相交，但不垂直时，写出三者之间的关系，证明你的结论； (3)如图，当绕着点逆时针旋转到的两边与菱形的两边的延长线相交，但不垂直时，请直接写出三者之间的关系． 22．【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，正方形中，E在对角线上，连接，作 交于点 F，求证：． ①如图2，小明同学利用正方形的对称性，给出如下解题思路：连接，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图3，小龙同学根据正方形的对角线有关性质，给出另一种解题思路：过E作 于G， 于H，构造全等三角形． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学或转化线段或构造全等三角形，都是利用正方形的相关性质，为了帮助同学们更好地掌握正方形的性质，李老师在图l 中添加条件，并提出下面的问题，请你解答． 如图4，（1）中的条件不变，作 交CD于P，连接，求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在正方形中，将线段绕点A 逆时针旋转得到线段连接，，，当 时，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、是轴对称图形, 不是中心对称图形，故B选项不合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：C． 2．解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意； B、有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意； C、有两边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意； D、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原命题是真命题，符合题意； 故选：D． 3．解：如图： ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．解：根据题意，得， ∵绕着点A顺时针旋转到的位置， ∴，， ∴， ∴， 故选：Ｃ． 5．解：∵四边形为矩形，对角线， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故选：A． 6．解：延长交与点， 平分， ， ， ， ， ， ，， 又点是中点， 是的中位线， ， 故选：D． 7．解：如图所示，取中点E，连接，    ∵菱形中，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点P为线段的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时最小，即此时最小， ∴由垂线段最短可知最小值即为线段的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， 故选：C． 8．解：连接，如图： 四边形是正方形， ，， ， ， ，， 点，分别是，的中点， ，， ， ，， ，， ， ， 故选：． 9．解：∵点、关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为： 10．解：∵， ∴该图形绕中心至少旋转度后能与它本身重合． 故答案为：． 11．解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， 的周长． 故答案为：18． 12．解：根据旋转的性质，可得：、， ∴． 故答案为： 13．解： E为的中点，， ， 四边形为菱形， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， 故答案为： 14．解：∵将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D， ∴，，， 在中， 由勾股定理，得， ∴， 在中， 由勾股定理，得， 即， ∴， 故答案为：5． 15．解：连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 要使最小，只要最小即可， 当于P时最小， 在中，，由勾股定理得：， 由三角形面积公式得：， ∴， 即． 故答案为：4.8． 16．解：四边形是正方形， ，，， ， 在与中，， (SAS)， ， ， ， ， 为直角三角形， P为 的中点， ． 故答案为：． 17．（1）解：如图所示； （2）如图所示； （3）点P如图所示．                         ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴P为线段的中点． 18．（1）解：如图，连接，交于点O， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又 ， 四边形是平行四边形． （2）解： ， ，即， 又 ， ， ， 又 ， ， 又四边形是平行四边形， ． 19．（1）证明：连接、，如图， ，点、点分别是边、的中点， ，， ， 是的中点， 是的垂直平分线， ． （2）解：，， ， ， ， ， ，， ， 在中，，， ， 的长是5． 20．（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴，， 根据勾股定理得：， ∵四边形是矩形， ∴． 21．（1）解：如图，连接， ∵菱形中，， ∴，， ∴和为等边三角形， ∵于，于， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图，连接， ∵菱形中，， ∴，， ∴和为等边三角形， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， 同理可证， ∴， ∴， 即． 22．解：（1）选择小明同学的解题思路， 证明：如图1，连接， ∵四边形是正方形， ∴ 又∵， ∴ ，∴ 又∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 选择小龙同学的解题思路，证明：如图2，过E作于G，于H， ∵四边形是正方形， ∴平分， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图3，连接AF，CE，过E作EK⊥DP于K，过E作EQ⊥BC于Q， 由（1）得，，， ∴是等腰直角三角形，， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴四边形为矩形， ∴ ∴ 又∵， ∴，即， 又∵， ∴ ∴， ∴ （3）证明：∵ 四边形是正方形， ∴ ∵ 线段旋转得到， ∴， °，即 又∵ 如图4，过C作且，连接 ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴，， ∵， ∴， 是等腰直角三角形， 又∵ $$