第二章 一元二次函数、方程和不等式自我检测卷-2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019必修第一册）

2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019） 第二章 一元二次函数、方程和不等式自我检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 2．下列不等式中成立的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 3．已知，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 4．若不等式的解集为，那么不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 5．已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（　　 ） A． B． C． D． 6．“”是“不等式对于任意正实数恒成立”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．下列结论正确的个数有（    ）个 ①是的充要条件 ②已知实数、满足，则的最小值为 ③命题“，”的否定是“，” ④关于x的不等式有解，实数a的范围是或. A．1 B．2 C．3 D．4 8．关于的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C．或 D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．已知均为非零实数，则下列一定正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 10．下列条件中，是“”的一个充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 11．已知，设，，则以下四个命题中正确的是（    ） A．若，则有最小值 B．若，则有最大值2 C．若，则 D．若，则有最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知，，则x的取值范围是 ． 13．当时，关于x的不等式恒成立，则的取值范围是 . 14．关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有7个整数，写出一个符合条件的整数 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）解不等式 (1) (2) 16．（15分）已知，，且. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值. 17．（15分）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 18．（17分）已知函数 (1)是否存在实数使得关于的不等式的解集为，若存在．求实数的值或取值范围，若不存在，请说明理由； (2)若关于的不等式的解集是，集合，若，求实数的取值范围. 19．（17分）已知命题对于成立，命题关于k的不等式成立． (1)若命题p为真命题，求实数k的取值范围； (2)若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019） 第二章 一元二次函数、方程和不等式自我检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】因为， 所以. 故选：A. 2．下列不等式中成立的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】B 【详解】对于A，易知， 又，所以，，所以，即，A错误； 对于B，， 又，可得，所以，即，可得B正确； 对于C，当时，不成立，即C错误； 对于D，易知，又，所以，即， 可得，因此D错误. 故选：B 3．已知，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，故，即， 当且仅当时，等号成立，所以. 故选：A. 4．若不等式的解集为，那么不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【详解】由题意得和1为方程的两个根且， 则，解得， 所以不等式，即，即， 故选:D. 5．已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因不等式对任意的实数x恒成立，则 ①当时，不等式为，恒成立，符合题意； ②当时，不等式在R上恒成立等价于，解得：. 综上可得：实数k的取值范围为. 故选：C. 6．“”是“不等式对于任意正实数恒成立”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，对于任意正实数， ．当且仅当时等号成立， 所以：是对于任意正实数恒成立的充分条件； 同理：若时， ，当且仅当时等号成立， 也成立， 故不是对于任意正实数恒成立的必要条件． 综上：是对于任意正实数恒成立的充分不必要条件． 故选：A． 7．下列结论正确的个数有（    ）个 ①是的充要条件 ②已知实数、满足，则的最小值为 ③命题“，”的否定是“，” ④关于x的不等式有解，实数a的范围是或. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】①由，即同号，故；由，即同号，故， 所以是的充要条件，正确； ②因为，所以，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，错误； ③由存在量词命题的否定为全称量词命题知命题， 命题“，”的否定是“，”，正确； ④由题设，解得或，正确. 故选：C 8．关于的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】当方程没有根时，，即， 解得； 当方程有根，且根都不为负根时，可得，解得， 综上可知， 即关于的方程没有一个负根时，， 所以至少有一个负根的充要条件是. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．已知均为非零实数，则下列一定正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，时，显然不成立，故B错误； 对于C，因为，且函数在单调递减，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，根据不等式的性质可知，，故D正确. 故选：ACD. 10．下列条件中，是“”的一个充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由：或. 是“”的充分不必要条件对应的集合应该是或的真子集. 满足条件的有AB. 故选：AB 11．已知，设，，则以下四个命题中正确的是（    ） A．若，则有最小值 B．若，则有最大值2 C．若，则 D．若，则有最大值 【答案】BC 【详解】由题意知，，，，， 对于A：当时，，当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为，故A错误； 对于B：当 时，，当且仅当时等号成立， 令，则，且，解得，即，解得， 所以，即有最大值，当且仅当，时取等号，故B正确； 对于C：当时，，当且仅当，即，时等号成立， 所以，得，所以，故C正确； 对于D：当时，得， 所以， 当且仅当，即、时取等号，即有最小值，故D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知，，则x的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为， 所以，即，得． 故答案为：． 13．当时，关于x的不等式恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】关于x的不等式恒成立 即，时恒成立， ， 又， 当且仅当，即时等号成立， . 故答案为：. 14．关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有7个整数，写出一个符合条件的整数 ． 【答案】 （答案不唯一） 【详解】因为函数的图象对称轴为， 又因为关于的一元二次不等式的解集中有且仅有7个整数， 所以个整数分别为； 所以，解得，， 故答案为：（答案不唯一）． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）解不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由，得， 即，解得， 所以不等式的解集为； （2）由，得， 即，解得或， 所以不等式得解集为或. 16．（15分）已知，，且. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得，又，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为8； （2）由恒成立，得恒成立， 又，所以， 由（1）可知，所以， 当且仅当，即，时等号成立，即，故的最大值是4. 17．（15分）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 【答案】(1)100 (2)存在， 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元, 则 , 整理得 , 解得 , 因为 且 , 所以 , 故 , 所以要使这 名研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资, 调整后的研发人员的人数最少为 100 人. （2）由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资， 得 , 整理得 ; 由条件②技术人员年人均工资不减少, 得 , 解得 假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后, 满足以上两个条件, 即 恒成立， 因为 , 当且仅当 , 即 时等号成立, 所以 , 又因为 , 当 时, 取得最大值 11 , 所以 所以 , 即 , 即存在这样的 满足条件, 其范围为 . 18．（17分）已知函数 (1)是否存在实数使得关于的不等式的解集为，若存在．求实数的值或取值范围，若不存在，请说明理由； (2)若关于的不等式的解集是，集合，若，求实数的取值范围. 【答案】(1)存在 (2) 【详解】（1）设在恒成立， 显然当，即时不满足在上恒成立； 当时， ， 综上，存在使得的解集为； （2）由题意可设在上恒成立， 当，即时，，满足在上恒成立； 当，即时， 在上恒成立； ，； 当，即时，可得，， 综上． 19．（17分）已知命题对于成立，命题关于k的不等式成立． (1)若命题p为真命题，求实数k的取值范围； (2)若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若命题为真，则有 ， 解得， 所以实数k的取值范围为：. （2）设集合， 关于k的不等式成立， 若，不等式的解集为：， 若，不等式的解集为：， 若，不等式的解集为：， 因为命题p是命题q的必要不充分条件， 若，则为的真子集，故成立， 若，需满足为的真子集，则，所以， 若，需满足为的真子集，则，所以， 所以实数m的取值范围为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$