3.1.1椭圆及其标准方程-2024-2025学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第一册）

3.1.1椭圆及其标准方程 [核心素养·学习目标] 课程标准 核心素养 1.了解椭圆的实际背景． 2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程. 数学抽象 直观想象 课前预习 预习01 椭圆的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝ (常数)且2a |F1F2|. 预习02　椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1 ，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 知识讲解 知识点01 椭圆的定义： 在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集. 【特别注意】椭圆标准方程的探求 （1）建系 以两定点、所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系（如图）．设，则，． （2）设点 设为椭圆上的任意一点，与、的距离的和等于()． 由定义得到椭圆上点的集合为． （3）列式 将条件式代数化，得 （4）化简 为使方程简单、对称、和谐，引入b，使，从而得到椭圆的标准方程 （a>b>0） 如果椭圆的焦点在轴上，并且焦点为,则椭圆方程为，这也是椭圆的标准方程，它可以看成将方程中的对换而得到的； （5）焦点 对于给定的椭圆的标准方程，要判断焦点在哪个轴上，只需比较与与项分母的大小即可．若项分母大，则焦点在轴上；若项分母大，则焦点在轴上． 知识点02 椭圆的标准方程：焦点在轴上:， 焦点在轴上:， 有时为了运算方便,可设方程:。 【大招总结】 大招1求椭圆的标准方程 　　确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面 (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式； (2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．　 大招2 椭圆的定义及其应用 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. (2)直线过左焦点与椭圆相交于A、B两点，则的周长为4a，即（直线过右焦点亦同）. （3）涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．　 大招3与椭圆有关的轨迹问题　 解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法 (1)直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0. (2)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可． (3)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．　　　 典型例题 题型01求椭圆的标准方程 【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10； (2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点； (3)椭圆的焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝； (4)经过两点(2，－)，的椭圆的标准方程； (5)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点． 【解析】(1)椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． ∵2a＝10，c＝4，∴b2＝a2－c2＝9， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. (2)椭圆的焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 由椭圆的定义，知2a＝ ＋ ＝＋＝2， ∴a＝. 又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. (3)∵c＝，∴a2－b2＝c2＝6.① 又由a∶b＝2∶1，得a＝2b，代入①得4b2－b2＝6， ∴b2＝2，∴a2＝8. 又∵椭圆的焦点在x轴上， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. (4)法一：(分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由已知条件得解得 则a2<b2，与题设中a>b>0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 法二：(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－)，代入，得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (5)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为 ＋＝1(a>b>0)． 因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.① 又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1， 即＋＝1.② 由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为 ＋＝1. 【变式】已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 题型02 根据椭圆的方程求参数的范围 【例2】若方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围为______． 【解析】方程表示的曲线是椭圆，则： ，解得：且； 故答案为：. 【变式】已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（       ） A．（－3，1） B．（－3，5） C．（4，5） D． 题型03求焦点三角形的内角或边长 【例3】椭圆＋＝1的两焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝6，则∠F1PF2的大小为________． 【解析】由＋＝1，知a＝4，b＝3，c＝， ∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，|F1F2|＝2c＝2， ∴cos∠F1PF2＝＝， ∴∠F1PF2＝60°. 【变式】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（       ） A． B． C． D． 题型04求焦点三角形的周长 【例4】椭圆＋＝1的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为________． 【解析】A，B都在椭圆上，由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a. 又因为|AB|＝|AF1|＋|BF1|， 所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a. 故△ABF2的周长为4×5＝20. 【变式】已知点是椭圆上的任意点，是椭圆的左焦点，是的中点，则的周长为（       ） A． B． C． D． 题型05求焦点三角形的面积 【例5】设是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积为（       ） A． B． C．4 D．6 【解析】易知，，所以，，即， 由椭圆的定义，知，又因为， 所以，又， 所以为直角三角形，所以. 故选：D. 【变式】如图所示，P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积． 题型06焦点三角形的内切圆问题 【例6】已知椭圆两焦点、，为椭圆上一点，若，则的内切圆半径为______ 【解析】由题意方程可得，，，，即, 设，， 则根据椭圆的定义可得：，① 在中，， 根据余弦定理可得：，② 联立①②得， , 设△内切圆半径为， △的周长为，面积为， 则 ， ， 故答案为： 【变式】已知椭圆，、为的左、右焦点，是椭圆上的动点，则内切圆半径的最大值为________． 题型07焦点三角形的综合问题 【例7】已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于，两点，则（       ） A．的周长为4 B．的周长为8 C．椭圆上的点到焦点的最短距离为1 D．椭圆上的点到焦点的最短距离为3 【解析】由题意，椭圆，可得，则， 则的周长为， 又由椭圆的几何性质，可得椭圆上的点到焦点的最短距离为. 故选：BC 【变式】【多选】已知椭圆的左、右焦点分别是，，为椭圆上一点，则下列结论正确的是（       ） A．的周长为6 B．的面积为 C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的直径为 题型08与椭圆有关的轨迹问题（直接法） 【例8】点A，B的坐标分别是(0,1)，(0，－1)，直线AM，BM相交于点M.且直线AM的斜率与直线BM的斜率的乘积是－，求点M的轨迹方程． 【解析】设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(0,1)，所以直线AM的斜率kAM＝(x≠0)，同理，直线BM的斜率kBM＝(x≠0)． 由已知有·＝－， 化简，得点M的轨迹方程为＋y2＝1(x≠0)． 【变式】已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 题型09与椭圆有关的轨迹问题（定义法） 【例9】若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（       ） A． B． C． D． 【解析】由题意得：到与的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，所以椭圆方程为. 故选：A 【变式】已知的周长等于10，，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点的轨迹方程可以是（     ） A． B． C． D． 题型10与椭圆有关的轨迹问题（相关点法） 【例10】已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________． 【解析】设P(xP，yP)，Q(x，y)， 由中点坐标公式得所以 又点P在椭圆＋＝1上，所以＋＝1， 即x2＋＝1. 【变式】已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（       ） A． B． C． D． 强化训练 1．椭圆上任一点到点的距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 2．已知点F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．2 3．已知点P为椭圆上动点，分别是椭圆C的焦点，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 4．椭圆上一点M到一个焦点的距离为4，则M到另一个焦点的距离为（    ） A．4 B．6 C．8 D．2 5．已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 6．若点满足方程，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．方程的化简结果是（　　） A． B． C． D． 8．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于，两点，则（    ） A．的周长为4 B．的周长为8 C．椭圆上的点到焦点的最短距离为1 D．椭圆上的点到焦点的最短距离为3 10．已知是椭圆上一动点，，分别是圆与圆上一动点，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 11．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值和最小值分别为（    ） A．最大值为25 B．最小值为15 C．最大值为 D．最小值为 12．已知椭圆的离心率为，短轴长为，两个焦点为，点为椭圆上一点，记，则下列结论中正确的是（    ） A．的周长与点的位置无关 B．当时，的面积取到最大值 C．的外接圆半径最小为 D．的内切圆半径最大为 13．已知椭圆的焦距为2，则实数m的值为 . 14．已知椭圆的左、右焦点为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合． （1）当时， ． （2）椭圆上有 个点，使得为直角三角形 15．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为 ． 16．设方程①；②．其中表示椭圆的方程是 ． 17．已知点是椭圆上的点，点、是椭圆的两个焦点． (1)若，求； (2)若的面积为9，求的大小． 18．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为，，经过点； (2)焦点在轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为. (3)两个焦点坐标分别是和，并且经过点. (4)已知椭圆中，且，求椭圆的标准方程. 19．设椭圆的两个焦点为，若点在椭圆上，且． (1)求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率； (2)求的面积； (3)求点的坐标． 20．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，，并且椭圆经过点； (2)经过两点，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.1椭圆及其标准方程 [核心素养·学习目标] 课程标准 核心素养 1.了解椭圆的实际背景． 2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程. 数学抽象 直观想象 课前预习 预习01 椭圆的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|. 预习02　椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 知识讲解 知识点01 椭圆的定义： 在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集. 【特别注意】椭圆标准方程的探求 （1）建系 以两定点、所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系（如图）．设，则，． （2）设点 设为椭圆上的任意一点，与、的距离的和等于()． 由定义得到椭圆上点的集合为． （3）列式 将条件式代数化，得 （4）化简 为使方程简单、对称、和谐，引入b，使，从而得到椭圆的标准方程 （a>b>0） 如果椭圆的焦点在轴上，并且焦点为,则椭圆方程为，这也是椭圆的标准方程，它可以看成将方程中的对换而得到的； （5）焦点 对于给定的椭圆的标准方程，要判断焦点在哪个轴上，只需比较与与项分母的大小即可．若项分母大，则焦点在轴上；若项分母大，则焦点在轴上． 知识点02 椭圆的标准方程：焦点在轴上:， 焦点在轴上:， 有时为了运算方便,可设方程:。 【大招总结】 大招1求椭圆的标准方程 　　确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面 (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式； (2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．　 大招2 椭圆的定义及其应用 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. (2)直线过左焦点与椭圆相交于A、B两点，则的周长为4a，即（直线过右焦点亦同）. （3）涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．　 大招3与椭圆有关的轨迹问题　 解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法 (1)直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0. (2)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可． (3)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．　　　 典型例题 题型01求椭圆的标准方程 【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10； (2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点； (3)椭圆的焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝； (4)经过两点(2，－)，的椭圆的标准方程； (5)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点． 【解析】(1)椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． ∵2a＝10，c＝4，∴b2＝a2－c2＝9， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. (2)椭圆的焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 由椭圆的定义，知2a＝ ＋ ＝＋＝2， ∴a＝. 又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. (3)∵c＝，∴a2－b2＝c2＝6.① 又由a∶b＝2∶1，得a＝2b，代入①得4b2－b2＝6， ∴b2＝2，∴a2＝8. 又∵椭圆的焦点在x轴上， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. (4)法一：(分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由已知条件得解得 则a2<b2，与题设中a>b>0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 法二：(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－)，代入，得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (5)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为 ＋＝1(a>b>0)． 因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.① 又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1， 即＋＝1.② 由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为 ＋＝1. 【变式】已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 【解析】设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，令x＝c，得y＝±.由|AB|＝3，得＝3.又a2－b2＝c2＝1，联立解得a2＝4，b2＝3.所以椭圆C的方程为＋＝1.故选C 题型02 根据椭圆的方程求参数的范围 【例2】若方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围为______． 【解析】方程表示的曲线是椭圆，则： ，解得：且； 故答案为：. 【变式】已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（       ） A．（－3，1） B．（－3，5） C．（4，5） D． 【解析】由题设，，可得. 故选：A 题型03求焦点三角形的内角或边长 【例3】椭圆＋＝1的两焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝6，则∠F1PF2的大小为________． 【解析】由＋＝1，知a＝4，b＝3，c＝， ∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，|F1F2|＝2c＝2， ∴cos∠F1PF2＝＝， ∴∠F1PF2＝60°. 【变式】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（       ） A． B． C． D． 【解析】由题意，椭圆方程，可得， 所以焦点， 又由椭圆的定义，可得，因为，所以， 在中，由余弦定理可得, 所以，解得， 又由，所以. 故选:C． 题型04求焦点三角形的周长 【例4】椭圆＋＝1的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为________． 【解析】A，B都在椭圆上，由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a. 又因为|AB|＝|AF1|＋|BF1|， 所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a. 故△ABF2的周长为4×5＝20. 变式1：已知点是椭圆上的任意点，是椭圆的左焦点，是的中点，则的周长为（       ） A． B． C． D． 【解析】在椭圆中，，，， 如图，设椭圆的另一个焦点为，连接， 因为、分别为、的中点，则， 则的周长为， 故选：A. 题型05求焦点三角形的面积 【例5】设是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积为（       ） A． B． C．4 D．6 【解析】易知，，所以，，即， 由椭圆的定义，知，又因为， 所以，又， 所以为直角三角形，所以. 故选：D. 【变式】如图所示，P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积． 【解析】由已知a＝2，b＝，得c＝＝＝1. ∴|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°，即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos 60°.∴4＝16－3|PF1|·|PF2|.∴|PF1|·|PF2|＝4.∴S＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝×4×＝. 题型06焦点三角形的内切圆问题 【例6】已知椭圆两焦点、，为椭圆上一点，若，则的内切圆半径为______ 【解析】由题意方程可得，，，，即, 设，， 则根据椭圆的定义可得：，① 在中，， 根据余弦定理可得：，② 联立①②得， , 设△内切圆半径为， △的周长为，面积为， 则 ， ， 故答案为： 【变式】已知椭圆，、为的左、右焦点，是椭圆上的动点，则内切圆半径的最大值为________． 【解析】∵，则 ∴的周长 ∵内切圆半径，则内切圆半径的最大即为最大 显然当为短轴顶点时最大，此时 则 故答案为：． 题型07焦点三角形的综合问题 【例7】已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于，两点，则（       ） A．的周长为4 B．的周长为8 C．椭圆上的点到焦点的最短距离为1 D．椭圆上的点到焦点的最短距离为3 【解析】由题意，椭圆，可得，则， 则的周长为， 又由椭圆的几何性质，可得椭圆上的点到焦点的最短距离为. 故选：BC 【变式】【多选】已知椭圆的左、右焦点分别是，，为椭圆上一点，则下列结论正确的是（       ） A．的周长为6 B．的面积为 C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的直径为 【解析】椭圆的左、右焦点分别是，， 为椭圆上一点，， 所以. 所以的周长为，A正确. 的面积为，B正确. 设的内切圆的半径为，则，C选项正确. 为锐角， ， 所以的外接圆的直径为，D选项错误. 故选：ABC 题型08与椭圆有关的轨迹问题（直接法） 【例8】点A，B的坐标分别是(0,1)，(0，－1)，直线AM，BM相交于点M.且直线AM的斜率与直线BM的斜率的乘积是－，求点M的轨迹方程． 【解析】设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(0,1)，所以直线AM的斜率kAM＝(x≠0)，同理，直线BM的斜率kBM＝(x≠0)． 由已知有·＝－， 化简，得点M的轨迹方程为＋y2＝1(x≠0)． 【变式】已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】由题意可知，，整理得， 则，故， 因为，所以，所以， 即． 故选：C． 题型09与椭圆有关的轨迹问题（定义法） 【例9】若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（       ） A． B． C． D． 【解析】由题意得：到与的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，所以椭圆方程为. 故选：A 【变式】已知的周长等于10，，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点的轨迹方程可以是（     ） A． B． C． D． 【解析】因为的周长等于10，， 所以， 因此点的轨迹是以为焦点的椭圆，且不在直线上， 因此有， 所以顶点的轨迹方程可以是， 故选：A 题型10与椭圆有关的轨迹问题（相关点法） 【例10】已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________． 【解析】设P(xP，yP)，Q(x，y)， 由中点坐标公式得所以 又点P在椭圆＋＝1上，所以＋＝1， 即x2＋＝1. 【变式】已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（       ） A． B． C． D． 【解析】设线段的中点，， 所以，解得， 又点在圆上， 则，即. 故选：A 强化训练 1．椭圆上任一点到点的距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】设点的坐标为，结合两点间的距离公式，化简得到，即可求解. 【详解】设点的坐标为，其中， 由，可得， 又由， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：B. 2．已知点F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．2 【答案】C 【分析】设，由坐标表示，由向量模的平方结合椭圆的范围得最小值． 【详解】椭圆的左右焦点. 设，则，， ∴， 又，则. ∴ ∵点P在椭圆上，∴， ∴当时，取最小值2． 故选：C． 3．已知点P为椭圆上动点，分别是椭圆C的焦点，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】由椭圆的定义可得，结合，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，所以， 又由椭圆的定义可得， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：D. 4．椭圆上一点M到一个焦点的距离为4，则M到另一个焦点的距离为（    ） A．4 B．6 C．8 D．2 【答案】B 【分析】椭圆的左、右焦点分别为，利用椭圆的定义求解. 【详解】设椭圆的左、右焦点分别为，椭圆长轴长， 不妨令，由，得. 故选：B 5．已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆的定义结合勾股定理求出，即可求解 【详解】由， 得， 又因为， 所以， 由， 得， 所以， 又. 因为椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆的方程是. 故选：B. 6．若点满足方程，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点距离公式的几何意义，结合椭圆的定义即可得解. 【详解】因为动点满足关系式， 所以该等式表示点到两个定点，的距离的和为12， 而，即动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，即，又，， 所以动点M的轨迹方程为. 故选：C. 7．方程的化简结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程的几何意义及椭圆定义得出结果即可. 【详解】方程的几何意义为动点到定点和的距离和为10，并且， 所以动点的轨迹为以两个定点为焦点，定值为的椭圆，所以， ， 根据 ，所以椭圆方程为. 故选：C. 8．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求方程表示椭圆的充要条件对应的的取值范围，再根据充分必要条件的定义判断即可. 【详解】若方程表示椭圆， 则, 解得且, 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：C. 9．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于，两点，则（    ） A．的周长为4 B．的周长为8 C．椭圆上的点到焦点的最短距离为1 D．椭圆上的点到焦点的最短距离为3 【答案】BC 【分析】根据椭圆的定义和椭圆的几何性质，即可求得三角形的周长和最短距离，得到答案. 【详解】由题意，椭圆，可得，则， 则的周长为， 又由椭圆的几何性质，可得椭圆上的点到焦点的最短距离为. 故选：BC 10．已知是椭圆上一动点，，分别是圆与圆上一动点，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】AD 【分析】利用圆的方程求出圆心与半径，判断圆心与椭圆的焦点坐标重合，利用圆的性质求解最值即可. 【详解】解：圆与圆的圆心分别为：；， 则、是椭圆的两个焦点坐标，两个圆的半径为， 所以的最大值为； 的最小值. 故选：AD. 11．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值和最小值分别为（    ） A．最大值为25 B．最小值为15 C．最大值为 D．最小值为 【答案】AB 【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】设椭圆的右焦点为，由椭圆的标准方程可知：， 可得，所以， 由椭圆的定义可知：， ， 当且仅当三点依次共线， 当且仅当三点依次共线， 故选：AB 12．已知椭圆的离心率为，短轴长为，两个焦点为，点为椭圆上一点，记，则下列结论中正确的是（    ） A．的周长与点的位置无关 B．当时，的面积取到最大值 C．的外接圆半径最小为 D．的内切圆半径最大为 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的定义、椭圆离心率的意义，结合正弦定理和内切圆的性质逐一判断即可. 【详解】由椭圆定义知，的周长为，故A正确；显然当位于短轴端点时的面积最大，由知此时，故B错误；由正弦定理知外接圆直径，由知最大为钝角，故时取最小值，故的最小值为，故C正确；设内切圆半径为，由知，越大则越大，，故， 故选：ACD 13．已知椭圆的焦距为2，则实数m的值为 . 【答案】3 【分析】先由的值判断焦点位置，再根据椭圆基本量的关系进行求解即可. 【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，所以，，， 所以，解得. 故答案为：3. 14．已知椭圆的左、右焦点为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合． （1）当时， ． （2）椭圆上有 个点，使得为直角三角形 【答案】 【分析】根据已知求出的值，结合椭圆的定义，设，根据已知列出关系式，求解得出的值，设，求出满足的点的个数，即可判断为直角三角形的个数. 【详解】由已知可得，，，， 所以，. 由椭圆的定义可得，，又， 如图1，设，由椭圆的定义可知，， 又， 所以， 即，解得，即； 设存在点，使得， 设，根据椭圆的定义有， 因为，所以， 即， 整理可得，解得. 如图，当点位于短轴顶点时有， 所以，满足的点有个； 分别过点，作轴的垂线，此时与椭圆有个交点， 即满足以及的点各有个. 综上所述，椭圆上有且仅有个点，使得为直角三角形. 故答案为：； 15．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程的形式，列出不等式组，即可求解. 【详解】根据题意，要使方程表示焦点在轴上的椭圆， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为： 16．设方程①；②．其中表示椭圆的方程是 ． 【答案】① 【分析】根据椭圆的定义和方程表示的几何意义分析判断即可. 【详解】对于①，方程表示平面内的动点到 定点与的距离之和等于8的点的轨迹，因为与之间的距离为6，且， 所以动点的轨迹是椭圆，所以方程①表示椭圆的方程， 对于②，方程表示平面内的动点到 定点与的距离之和等于2的点的轨迹，由于与之间的距离为2， 所以动点的轨迹是一条线段，所以方程②表示的不是椭圆方程， 故答案为：① 17．已知点是椭圆上的点，点、是椭圆的两个焦点． (1)若，求； (2)若的面积为9，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆的定义、三角形面积公式、余弦定理进行求解即可； （2）根据（1）中三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）设，设， 由，则， 所以有， 由余弦定理可知：， 所以有， 即 （2）由（1）可知：， 因为，所以，因此，即. 18．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为，，经过点； (2)焦点在轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为. (3)两个焦点坐标分别是和，并且经过点. (4)已知椭圆中，且，求椭圆的标准方程. 【答案】(1) (2) (3) (4)或. 【分析】（1）（2）（3）（4）由已知，结合椭圆标准方程的特征分别求解． 【详解】（1）设椭圆的标准方程为，依题可得， 将代入到方程中得，故， 所以椭圆的标准方程为. （2）设椭圆的标准方程为，依题可得，即， 所以，所以椭圆的标准方程为 （3）易知，焦点在轴上，可设椭圆的标准方程为：， 将代入标准方程解得，则椭圆的标准方程为：. （4）因为，，解得：， 又因为，所以，椭圆的标准方程为或. 19．设椭圆的两个焦点为，若点在椭圆上，且． (1)求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率； (2)求的面积； (3)求点的坐标． 【答案】(1)长轴长为，短轴长为，焦点为，，离心率为 (2) (3)或或或 【分析】（1）由椭圆方程可求得，由此可依次求得结果； （2）利用椭圆定义和勾股定理可构造方程求得，由此可求得三角形面积； （3）利用面积桥可求得点纵坐标，代入椭圆方程可得点横坐标，由此可得结果. 【详解】（1）由椭圆方程得：，，则， 椭圆的长轴长为；短轴长为；焦点坐标为，，离心率. （2）由椭圆定义知：， ，， 即，解得：，. （3）设，则，解得：， ，解得：； 点坐标为或或或. 20．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，，并且椭圆经过点； (2)经过两点，． 【答案】(1)； (2). 【分析】 （1）由题设椭圆焦点在y轴上且，设椭圆方程，根据参数关系及点在椭圆上列方程求参数，即得方程； （2）设椭圆方程，由点在椭圆上列方程组求参数，即得方程. 【详解】（1）由已知：椭圆焦点在y轴上且，则，且 设椭圆方程为，又在椭圆上， 所以， 故椭圆方程为. （2）设椭圆方程为，且，在椭圆上， 所以，则椭圆方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$