21.4 一次函数的应用 课件-2023-2024学年冀教版数学八年级下册

21.4 一次函数的应用 ■考点一 根据实际问题构造一次函数模型解决问题 [考点解读] -1- 第一课时 一次函数的应用（一） 解一次 函数实 际应用 题的一 般步骤 ①设实际问题中的自变量与自变量的函数 ②通过列方程（组）与待定系数法求一次函数表达式 ③确定自变量的取值范围 ④应用一次函数的性质解决问题 ⑤检验所求解是否符合题意 ⑥作答 21.4 一次函数的应用 -2- 典题精析 例 1 汽车行驶前，油箱可存油 55 升，已知每行驶百千米汽车耗油 10 升，求油箱中的余油量 Q（升）与行驶距离 x（百千米）之间的函数表达式；为了保证行车安全，油箱中至少存油 5 升，加油一次汽车最多可行驶多少千米？ 21.4 一次函数的应用 -3- 解析：∵ 每行驶百千米耗油 10 升，∴ 行驶 x 百千米共耗油 10x 升，∴ 余油量为（55-10x）升，据此可得出函数表达式为 Q=55-10x； 由题意可知要使油箱中至少存油 5 升，即 Q≥5，可得 55-10x≥5，解得 x≤5，即加油一次汽车最多可行驶 500 千米． 答案：解：由题意可得，油箱中的余油量 Q（升） 与行驶距离 x（百千米）之间的函数表达式为 Q=55-10x；令 Q≥5，则 55-10x≥5，解得 x≤5，即为了保证行车安全，油箱中至少存油 5 升，加油一次汽车最多可行驶 500 千米． 易错：列出的不等式的不等号是大于号. 错因：把“至少”理解成了大于. 满分备考：判断一次函数关系，自变量每变化 1，函数值变化的值是比例系数 k；还要判断在哪个数据基础上变化，本题中，是在 55 的基础上减 少，所以函数关系式是 Q=55-10x. 21.4 一次函数的应用 ■考点二 根据表格或图像确定一次函数关系式并解决问题 根据表格寻找正比例函数或一次函数关系式，可先用描点法画出函数的大致图像，推测其函数类型，再用待定系数法求出函数表达式，并根据函数性质特点解决所提出的问题. -4- 21.4 一次函数的应用 -5- 典题精析 例 2 某市樱桃节前夕，果品公司对该年市场营销进行了调研，得到以下数据： （1）在直角坐标系内作出各组有序数对对应的点，连接各点并观察所得的图形，判断 y 与 x 之间的函数表达式； （2）樱桃节后，为了尽快清空剩余的樱桃，使销售量不得低于 8 000 kg，应在何范围内定价？ 销售价 x（元/kg） … 25 24 23 22 … 销售量 y（kg） … 2000 2500 3000 3500 … 21.4 一次函数的应用 -6- 解析：（1）根据数据描点并连线画出图形为一条直线，由函数图像设 y 与 x 之间的函数表达式为 y=kx+b，由待定系数法就可以求出结论； （2）使销售量不得低于 8 000 kg，即 y≥8 000， 令-500x+14 500≥8 000，解得 x≤13，即可确定定价范围. 答案：解：（1）由题意描点并连线，得 21.4 一次函数的应用 -7- 由函数图像，设 y 与 x 之间的函数表达式为 y= kx+b，由题意，得 解得 ∴y=-500x+14 500， ∴y 与 x 之间的函数表达式为 y=-500x+14 500. （2）令 y≥8 000，即-500x+14 500≥8 000， 解得 x≤13，∴x 的取值范围是 0＜x≤13，即定价范围应为 0~13 元/kg. 易错：（2）y≤8 000，即-500x+14 500≤8 000， 解得 x≥13，定价应不低于 13 元/kg. 错因：不等关系弄反. 满分备考：根据表格数据总结函数类型，除了画出图像，还可以直接分析表格数据中函数值相对自变量的变化情况进行对函数类型的猜想验证. 2 000＝25k+b， 2 500＝24k+b， k＝-500， b＝14 500， 21.4 一次函数的应用 -8- [题型探究] ■题型 分段函数的应用 例 为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自 1 月 1 日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格 如表所示： 每月用气量 单价（元/m3） 不超出 75 m3 的部分 2.5 超出 75 m3 不超过 125 m3 的部分 a 超出 125 m3 的部分 a+0.25 21.4 一次函数的应用 -9- （1）若某用户 3 月份用气量为 60 m3，应缴费多少元？ （2）调价后每月支付燃气费用 y（单位：元）与 每月用气量 x（单位：m3）的关系如图所示，求 y 与 x 的表达式及 a 的值. 解析：（1）根据单价×数量＝总价就可以求出 3 月份应该缴纳的费用； （2）（结合统计表的数据）根据单价×数量＝总价的关系建立方程就可以求出 a 值，再从 0≤x≤75， 75＜x≤125 和 x＞125 运用待定系数法分别表示出 y 与 x 的函数关系式即可. 21.4 一次函数的应用 -10- 答案：解：（1）由题意，得 60×2.5＝150（元），即若某用户 3 月份用气量为 60 m3，应缴费 150 元. （2）由题意，得 a＝（325-75×2.5）÷（125-75）＝2.75， ∴a+0.25＝3.设线段 OA 的表达式为 y1＝k1x，则有 2.5×75＝75k1，∴k1＝2.5，∴ 线段 OA 的表达式为 y1＝2.5x （0≤x≤75）； 设线段 AB 的表达式为 y2＝k2x+b，由图像，得 解得 ∴ 线段 AB 的表达式为 y2＝2.75x-18.75（75＜x≤125）；（385-325）÷3＝20，故 C（145，385），设射线 BC 的表达式为 y3＝ k3x+b1，由图像，得 解得 ∴ 射线 BC 的表达式为 y3＝3x-50（x＞125）. 187.5＝75k2+b， 325＝125k2+b， k2＝2.75， b＝-18.75， 325＝125k3+b1， 385＝145k3+b1， k3＝3， b1＝-50， 2.5x（0≤x≤75）， 2.75x-18.75（75＜x≤125）， 3x-50（x＞125）. 综上所述，y= 21.4 一次函数的应用 -11- 题型解法：运用函数的图像解题，关键是读懂函数图像的意义，特别要注意图中“拐点”的作用，此点是分段函数的分界点.结合函数图像信息，利用待定系数法求出每一段函数的表达式. 21.4 一次函数的应用 ■考点一 涉及两个一次函数的实际问题 涉及两个一次函数的实际问题通常图像都在同一直角坐标系中，经过对两个图像的分析比较，求出表达式解答相关问题，此类型题在行程问题中出现较多，通常比较两者的路程、速度、时间等解决相关问题，特别要关注图像的交点、转折点等特殊点的实际意义. [考点解读] -12- 第二课时 一次函数的应用（二） 21.4 一次函数的应用 -13- 典题精析 例 1 小东从 A 地出发以某一速度向 B 地走去，同时小明从 B 地出发以另一速度向 A 地而行， 如图所示，图中的线段 y1，y2 分别表示小东、小明 离 B 地的距离 y（千米）与所用时间 x（时）之间的关系． （1）试用文字说明：交点 P 所表示的实际意义； （2）试求出 A，B 两地之间的距离． 21.4 一次函数的应用 -14- 解析：（1）因为小东从 A 地出发以某一速度向 B 地走去，同时小明从 B 地出发以另一速度向 A 地而行，所以交点 P（2.5，7.5）的意义是经过 2.5 小时后，小东与小明在距离 B 地 7.5 千米处相遇； （2）需求直线 y1 的表达式，因为它过点（2.5， 7.5），（4，0），利用待定系数法即可求出其表达式．然后令x=0，求出此时的 y 值即可． 答案：解：（1）交点 P 所表示的实际意义：经过2.5 小时后，小东与小明在距离 B 地 7.5 千米处相遇. （2）设 y1=kx+b（k≠0），又 y1 经过点 P（2.5，7.5），（4，0）， ∴ 解得 ∴y1=-5x+20，当 x=0 时，y1=20，故 A，B 两地之间的距离为 20 千米． 2.5k+b＝7.5， 4k+b＝0， k＝-5， b＝20， 21.4 一次函数的应用 -15- 易错：误认为相交点的 7.5 千米是 A，B 两地之间的距离． 错因：图像的意义没有弄明白. 满分备考：在多个函数图像的基础上解决问题，首先要注意每个函数图像对应的横纵坐标的意义，然后结合题意分析各个函数图像的实际变化情况，再结合起来分析相交点、转折点等关键点的实际意义. 21.4 一次函数的应用 -16- ■考点二 最佳方案选择问题 常见题型 （1）最低费用、最高利润问题； （2）方案选择问题 解题步骤 （1）从数学的角度分析实际问题，建立函数模型； （2）列出不等式（组）或方程（组），求出自变量在取不同值时对应的函数值的大小关系； （3）结合实际需求，选择最佳方案 21.4 一次函数的应用 -17- 典题精析 例 2 某游泳馆普通票价 20 元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①金卡售价 600 元/张，每次凭卡不再收费； ②银卡售价 150 元/张，每次凭卡另收 10 元． 暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳 x 次时，所需总费用为 y 元. （1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y 与 x 之间的函数关系式； （2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点 A，B，C 的坐标； （3）请根据函数图像，直接写出选择哪种消费方式更合算． 21.4 一次函数的应用 -18- 解析：（1）根据银卡售价 150 元/张，每次凭卡另收 10 元，可得选择银卡消费时，y 与 x 之间的函数关系式；根据游泳馆普通票价 20 元/张，可得出选择普通票消费时，y 与 x 之间的函数关系式； （2）利用函数交点坐标求法分别得出即可； （3）利用（2）中交点的坐标以及结合函数图像即可得出答案． 21.4 一次函数的应用 -19- 答案：解：（1）由题意可得，选择银卡消费时，y 与 x 之间的函数关系式为 y=10x+150； 选择普通票消费时，y 与 x 之间的函数关系式为 y=20x. （2）联立 解得 故 B（15，300）； 当 y=10x+150，x=0 时，y=150，故 A（0，150）； 当 y=10x+150=600 时，解得 x=45， 故 C（45，600）. （3）结合图像由 A，B，C 的坐标可得： 当 0＜x＜15 时，选择普通票消费更划算； 当 x=15 时，银卡、普通票的费用相同，均比金卡合算； 当 15＜x＜45 时，选择银卡消费更划算； 当 x=45 时，金卡、银卡的费用相同，均比普通票合算； 当 x＞45 时，选择金卡消费更划算． y=10x+150， y=20x， x=15， y=300， 21.4 一次函数的应用 -20- 易错：（3）当 0＜x＜15 时，选择普通票消费更划算； 当 15＜x＜45 时，选择银卡消费更划算；当 x＞45 时，选择金卡消费更划算． 错因：丢掉了 x=15 和 x=45 时的情况. 满分备考：利用一次函数构建数学模型解题时，可以结合图像，根据自变量的取值范围作出合理的判断. 21.4 一次函数的应用 -21- [题型探究] ■题型一 最高利润问题 例 1 某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共 60 个，其进价与售价间的关系如下表： （1）商店用 4 200 元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？ （2）设商店所获利润为 y（单位：元），购进篮球的个数为 x（单位：个），请写出 y 与 x 之间的函数 关系式（不要求写出 x 的取值范围）； （3）若要使商店的进货成本在 4 300 元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于 1 400 元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？ 篮球 排球 进价（元/个） 80 50 售价（元/个） 105 70 21.4 一次函数的应用 -22- 解析：（1）设购进篮球 m 个，排球 n 个，根据购进篮球和排球共 60 个且共需 4 200 元，即可得出关 于 m，n 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设商店所获利润为 y 元，购进篮球 x 个，则购进排球（60-x）个，根据总利润＝单个利润×购进 数量，即可得出 y 与 x 之间的函数关系式； （3）设购进篮球 x 个，则购进排球（60-x）个，根据进货成本在 4 300 元的限额内，且全部销售完后 所获利润不低于 1 400 元，即可得出关于 x 的一元一次不等式组，解之即可得出 x 的取值范围，取其整数即可得出各购进方案，再结合（2）的结论利用一次函数的性质即可解决最值问题. 21.4 一次函数的应用 -23- 答案：解：（1）设购进篮球 m 个，排球 n 个， 根据题意， 得 解得 答：购进篮球 40 个，排球 20 个. （2）设商店所获利润为 y 元，购进篮球 x 个，则购进排球（60-x）个， 根据题意，得 y＝（105-80）x+（70-50）（60-x）＝5x+1 200， ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝5x+1 200. （3）设购进篮球 x 个，则购进排球（60-x）个， 根据题意，得 解得40≤x≤ . ∵x 取整数， ∴x＝40，41，42，43，共有四种方案. m+n=60， 80m+50n=4 200， m=40， n=20. 5x+1 200≥1 400， 80x+50（60-x）≤4 300， 21.4 一次函数的应用 -24- 方案一：购进篮球 40 个，排球 20 个； 方案二：购进篮球 41 个，排球 19 个； 方案三：购进篮球 42 个，排球 18 个； 方案四：购进篮球 43 个，排球 17 个. ∵ 在 y＝5x+1 200 中，k＝5＞0， ∴y 随 x 的增大而增大， ∴ 当 x＝43 时，可获得最大利润，最大利润为5×43+1 200＝1 415（元）. 题型解法：对于最佳方案问题，问题中所能提供的方案往往不唯一，应正确运用一次函数的性质选择出符合题意的方案. 21.4 一次函数的应用 -25- ■ 题型二 调运方案的选择问题 例 2 南海地质勘探队在南沙群岛的一小岛发现很有价值的 A，B 两种矿石，A 矿石大约 565 吨，B 矿石大约 500 吨，上报公司，要一次性将两种矿石运往冶炼厂，需要不同型号的甲、乙两种货船共 30 艘，甲货船每艘运费 1 000 元，乙货船每艘运费 1 200 元． （1）设运送这些矿石的总费用为 y 元，若使用甲货船 x 艘，请写出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）如果甲货船最多可装 A 矿石 20 吨和 B 矿石 15 吨，乙货船最多可装 A 矿石 15 吨和 B 矿石 25吨， 装矿石时按此要求安排甲、乙两种货船，共有几种安排方案？ 哪种安排方案运费最低并求出最低运费． 21.4 一次函数的应用 -26- 解析：（1）根据这些矿石的总费用为 y=甲货船运费+乙货船运费，即可解答； （2）根据 A 矿石大约 565 吨，B 矿石大约 500 吨，列出不等式组，确定 x 的取值范围，根据 x 为整数，确定 x 的取值，即可解答． 答案：解：（1）若使用甲货船 x 艘，则使用乙货船 （30-x）艘，根据题意，得 y=1 000x+1 200（30-x）= 36 000-200x. （2）设安排甲货船 x 艘，则安排乙货船（30-x）艘， 根据题意， 得 解得 ∴23≤x≤25.∵x 为整数， ∴x=23，24，25，共三种安排方案. 20x+15(30-x)≥565, 15x+25(30-x)≥500, x≥23， x≤25， 21.4 一次函数的应用 -27- 方案一：安排甲货船 23 艘，乙货船 7 艘， 运费 y=36 000-200×23=31 400（元）； 方案二：安排甲货船 24 艘，乙货船 6 艘， 运费 y=36 000-200×24=31 200（元）； 方案三：安排甲货船 25 艘，乙货船 5 艘， 运费 y=36 000-200×25=31 000（元）. 经比较得方案三运费最低，为 31 000 元． 题型解法：此题为方案的设计与选择问题，解决此类问题的关键就是从实际问题中抽象出一次函数模型，用一次函数的增减性确定最佳方案. 21.4 一次函数的应用 -1- ■考点 简单的一次函数的应用 1. 如图，正方形 ABCD 的边长为 2， 点 M 是 CD 边上的动点，设 CM= x，梯形 ABCM 的面积为 y，那么 y 与 x 之间的函数关系式是 ______ ________________，当点 M 位于 CD 的中点时，y=________. ▍考点集训/夯实基础 第一课时 简单的一次函数的应用 （第 1 题图） 21.4 一次函数的应用 -2- 2.（教材 P101，AT3 变式）科学家通过实验探究出一定质量的某气体在体积不变的情况下，压强 p（千帕）随温度 t （℃）变化的函数关系式是 p=kt+b（k，b 为常数，k≠0），其图像是如图所示的射线 AB． （1）根据图像求出上 述气体的压强 p 与 温度 t 之间的函数关系式； （2）求出当压强 p 为 200 千帕时，上述气体的温度． （第 2 题图） 21.4 一次函数的应用 -3- 3.（教材 P100，练习 T2 高仿）4 月初，某地连续降雨导致该地某水库水位持续上涨，下表是该水库 4 月 1 日～4 月 4 日的水位变化情况： （1）请建立该水库水位 y 与日期 x 之间的函数模型； （2）请用求出的函数表达式预测该水库今年 4 月 6 日的水位； （3）你能用求出的函数表达式预测该水库今年 12 月 1 日的水位吗？ 日期 x 1 2 3 4 水位 y/m 20.00 20.50 21.00 21.50 21.4 一次函数的应用 -4- ■考点 两个一次函数的综合应用 1.（教材 P104，练习 T1 变式）如图，l1反映了某公司的销售收入与销 售量的关系，l2 反映了该公司 产品的销售成本与销售量的关系，当该公司盈利（收入大于成本）时，销售量 （ ） Ａ． 小于 3 ｔ Ｂ． 大于 3 ｔ Ｃ． 小于 4 ｔ Ｄ． 大于 4 ｔ ▍考点集训/夯实基础 第二课时 两个一次函数的综合应用 （第 1 题图） 21.4 一次函数的应用 -5- 2. 某文化用品商店出售书包和文具盒，书包每个定价 40 元，文具盒每个定价 10 元，该店制定了两种优惠方案： 方案一：买一个书包赠送一个文具盒； 方案二：按总价的九折付款.购买时，顾客只能选用其中的一种方案．某学校为给学生发奖品，需购买 5 个书包，文具盒若干（不少于 5 个）．设文具盒个数为 x（个），付款金额为 y（元）． （1）分别写出两种优惠方案中 y 与 x 之间的关系式； （2）若购买 20 个文具盒，通过计算比较以上两种方案中哪种更省钱. 21.4 一次函数的应用 -6- 3.（教材 P104，练习 T2 高仿）如图，某面粉加工企业急需汽车，但因资金问题无力购买，公司经理打算租一辆汽车．一国有公司的条件是每百千米租费110 元； 一个体出租车公司的条件是每月付工资1 000元，油钱 600 元，另外每百千米付 10 元，请问： （1）公司经理根据自己的情况该怎样租汽车？ （2）求出两个图像的交 点的坐标，并解释交点坐标所表示的实际意义. （第 3 题图） -17- 第二十一章 一次函数 21.4 一次函数的应用 第一课时 简单的一次函数的应用 1. y=x+2 3 提示：y= ×（MC+AB）×BC= ×（x+2）×2=x+2，当点 M 位于 CD 的中 点时，x=MC=1，y=1+2=3. 2. 解：（1）由函数 p=kt+b 的图像过点（0，100）， （25，110），可得 解得 ∴ 所求的函数关系式是p= t+100（t≥0）； （2）当 p=200 时，由（1）得 t+100=200， 解得 t=250，即当压强为 200 千帕时，气体 的温度是 250 ℃． b＝100， 25k+b＝110， b＝100， k＝ ， -18- 第二十一章 一次函数 3. 解：（1）水库的水位 y 随日期 x 的变化是均匀的，∴y 与 x 之间的函数为一次函数，设 y=kx+b，把（1，20）和（2，20.5）代入，得 解得 ∴ 该水库水位 y 与日期 x 之间的函数关系为 y=0.5x+19.5，将（3，21.00）与（4，21.50） 分别代入函数，均满足，因此该函数模型成立； （2）当 x=6 时，y=0.5×6+19.5=22.5， 可预测该水库今年 4 月 6 日的水位为 22.5 m； （3）不能.理由如下： ∵12 月远远大于 4 月，∴ 所建立的函数模型远离已知数据，作预测是不可靠的． k+b＝20， 2k+b＝20.5， k＝0.5， b＝19.5， $$