精品解析：2024年广东省惠州市大亚湾区中考二模数学试题

2024年大亚湾区九年级第二次模拟考数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2024 D. －2024 2. 年月日时，第二十五届哈尔滨冰雪大世界正式闭园，该届冰雪大世界共计运营天，累计接待游客人次，为海内外游客展示了中国东北地区的冰雪魅力．将“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若是关于x的方程的解，则的值是（ ） A. B. 2 C. 1 D. 0 6. 如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形的两条对角线相交于O，且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 8. 某校举行“遵守交通安全，从我做起”演讲比赛．7位评委给选手甲的评分如下：91，95，89，93，88，94，95，则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 95，92 B. 93，93 C. 93，92 D. 95，93 9. 已知一次函数和反比例函数，当时，的取值范围为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 10. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为136，小正方形面积为16，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 12. 在平面直角坐标系中，点在y轴上，则________． 13. 若半径为的扇形弧长为，则该扇形的圆心角度数为______． 14. 某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度（单位：m/s）与所受阻力（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为，则所受阻力为__________． 15. 如图，均为等边三角形，点O、A、B、C在同一条直线上，，则的值为________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分 16. 计算： 17. 先化简，再求值：，其中： 18. 图，已知，平分交于点． （1）尺规作图：作的角平分线交于点；（不写作图过程，只保留作图痕迹） （2）判断四边形的形状，并说明理由． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5相体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图的两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题． （1）这次共抽取了 名学生进行调查． （2）请你估计该校约有 名学生喜爱打乒乓球． （3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？ 20. 某店在批发中心选购鸡仔饼和杏仁饼．鸡仔饼每盒进价比杏仁饼每盒进价多5元，用300元购进鸡仔饼的盒数是用100元购进杏仁饼的盒数的2 倍． （1）鸡仔饼、杏仁饼的进价各是多少元/盒？ （2）该店计划购进鸡仔饼、杏仁饼共60盒，其中鸡仔饼每盒售价28 元，杏仁饼每盒售价18元．若鸡仔饼、杏仁饼全部售出时，总获利超过680元，则至少购进鸡仔饼多少盒？ 21. 年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为． （1）求点离地面的高度； （2）求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：) 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF． （1）求证：直线PA为⊙O的切线； （2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明； （3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和线段PE的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的正半轴交于点． （1）求的值及抛物线的解析式． （2）如图①，若点为直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标； （3）如图②，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为． ①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； ②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年大亚湾区九年级第二次模拟考数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2024 D. －2024 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了化简绝对值以及相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，据此即可作答． 【详解】解： ∴的相反数是 故选：A 2. 年月日时，第二十五届哈尔滨冰雪大世界正式闭园，该届冰雪大世界共计运营天，累计接待游客人次，为海内外游客展示了中国东北地区的冰雪魅力．将“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示，根据科学记数法正确表示即可，熟练掌握“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法”是解题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转后与自身重合．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形但是中心对称图形，故选项不符合题意； B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项符合题意； C．既不是轴对称又不是中心对称图形，故选项不符合题意； D．既不是轴对称又不是中心对称图形，故选项不符合题意． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相除、同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项、同底数幂相除、同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 5. 若是关于x的方程的解，则的值是（ ） A. B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解，将代入方程，求出的值，从而求出的值．掌握其解法是本题的关键． 【详解】解：将代入方程， 得， 解得， 则． 故选：D． 6. 如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理解答即可. 【详解】解：∵， ∴； 故选：C. 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键. 7. 如图，四边形的两条对角线相交于O，且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的定义及其判定对各选项逐一判断即可得． 【详解】解：四边形的两条对角线相交于点，且互相平分， 四边形是平行四边形， ， 当或时，均可判定四边形是菱形，故选项A，C正确； 当时，但与可能不相等，四边形不是菱形，故选项B错误； 当时， 由得：， ， ， 平行四边形是菱形，故选项D正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和判定． 8. 某校举行“遵守交通安全，从我做起”演讲比赛．7位评委给选手甲的评分如下：91，95，89，93，88，94，95，则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 95，92 B. 93，93 C. 93，92 D. 95，93 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义求解． 【详解】解：这组数据从小到大排序为：88，89，91，93，94，95，95， 95出现了2次，出现次数最多，所以这组数据的众数为95； 这组数据最中间数为93，所以这组数据的中位数是93． 故选：D． 【点睛】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．也考查了中位数：将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数． 9. 已知一次函数和反比例函数，当时，的取值范围为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象与性质、根据一次函数和反比例函数的交点求不等式的解集，先求出一次函数和反比例函数的交点横坐标，根据函数图象分析得出答案即可，熟练掌握根据一次函数和反比例函数的交点求不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数和反比例函数， ∴时，， 整理得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，， 如图，画出图象观察分析， ∴当时，的取值范围为或， 故选：A． 10. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为136，小正方形面积为16，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形性质，锐角三角函数，勾股定理．根据题意先求得大正方形边长的平方为136，再求得小正方形边长为4，再利用三角函数正切值等于该角的对边与邻边的比值即可得到本题答案． 【详解】解：∵大正方形面积为136，小正方形面积为16， ∴大正方形边长的平方为136，小正方形边长为4， ∴设一个直角三角形短直角边为x，则长直角边为， ∴在一个直角三角形中应用勾股定理：， 解得或（舍去） ∴长直角长为10，短直角边长为6， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式直接分解即可． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，点在y轴上，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了在y轴上的点的坐标特点，根据在y轴上的点横坐标为0进行求解即可． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴， ∴， 故答案为：0． 13. 若半径为的扇形弧长为，则该扇形的圆心角度数为______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长公式． 设该扇形的圆心角度数为，根据弧长公式建立方程即可求解． 【详解】解：设设该扇形的圆心角度数为， 根据弧长公式得：，解得，即圆心角度数为． 故答案为：． 14. 某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度（单位：m/s）与所受阻力（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为，则所受阻力为__________． 【答案】2500 【解析】 【分析】根据题意得知函数成反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数的解析式，再将代入求的值． 【详解】解：设功率为，由题可知，即，将，代入解得， 即反比例函数为：， 将代入， 得， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数，熟练掌握将自变量代入解析式求得函数值是解题的关键． 15. 如图，均为等边三角形，点O、A、B、C在同一条直线上，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，过点B作于H，先求出，再由等边三角形的性质得到，解直角三角形得到，则，证明，则，可得；同理可得，则． 【详解】解：如图所示，过点B作于H， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 同理可得， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算、二次根式的加减法、特殊角的三角函数值，先计算零指数幂、化简绝对值、特殊角三角函数值计算、化简二次根式、计算负整数指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解： 17. 先化简，再求值：，其中： 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再根据分母有理化的方法求值即可． 【详解】解： 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，分母有理化，正确计算是解题的关键． 18. 图，已知，平分交于点． （1）尺规作图：作的角平分线交于点；（不写作图过程，只保留作图痕迹） （2）判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=CB，AD∥CB，∠A=∠C，∠ABC=∠ADC， ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠ABE=∠ABC，∠CDF=∠ADC， ∴∠ABE=∠CDF， 在△ABE和△CDF中 ∵， ∴ (ASA) ∴AE=CF， ∴DE=BF， 又∵DE∥BF， ∴四边形BEDF是平行四边形． 【解析】 【分析】(1)利用尺柜作出的角平分线即可； (2)由平行四边形的性质得出AB=CD，AD=CB，∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，证出∠ABE=∠CDF，由ASA即可得出，由全等三角形的性质得出AE=CF，得出DE=BF，证明BEDF是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图—基本作图，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是数量掌握五种基本作图，属于中考常考题． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5相体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图的两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题． （1）这次共抽取了 名学生进行调查． （2）请你估计该校约有 名学生喜爱打乒乓球． （3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？ 【答案】（1）50 （2）300 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图、条形统计图的知识．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）由跳绳的人数有4人，占的百分比为8%，可得总人数； （2）首先由条形图与扇形图可求得；由，即可求得该校约有300名学生喜爱打乒乓球； （3）首先根据题意画出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与抽到一男一女学生的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵跳绳的人数有4人，占的百分比为， ∴； 故答案为：50； 【小问2详解】 解：； ； 故答案为：300； 【小问3详解】 解：列表如下： 男1 男2 男3 女 男1 男2，男1 男3，男1 女，男1 男2 男1，男2 男3，男2 女，男2 男3 男1，男3 男2，男3 女，男3 女 男1，女 男2，女 男3，女 ∵所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种． ∴抽到一男一女的概率． 20. 某店在批发中心选购鸡仔饼和杏仁饼．鸡仔饼每盒进价比杏仁饼每盒进价多5元，用300元购进鸡仔饼的盒数是用100元购进杏仁饼的盒数的2 倍． （1）鸡仔饼、杏仁饼的进价各是多少元/盒？ （2）该店计划购进鸡仔饼、杏仁饼共60盒，其中鸡仔饼每盒售价28 元，杏仁饼每盒售价18元．若鸡仔饼、杏仁饼全部售出时，总获利超过680元，则至少购进鸡仔饼多少盒？ 【答案】（1）鸡仔饼的进价是15元/盒，杏仁饼的进价是10元/盒 （2）至少购进鸡仔饼41盒 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找出数量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式． （1）设鸡仔饼的进价是元/盒，则杏仁饼的进价是元/盒，根据用300元购进鸡仔饼的盒数是用100元购进杏仁饼的盒数的2倍．列出分式方程，解方程即可； （2）设购进鸡仔饼盒，则购进杏仁饼盒，根据总获利超过680元，列出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设鸡仔饼的进价是元/盒，则杏仁饼的进价是元/盒， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：鸡仔饼的进价是15元/盒，杏仁饼的进价是10元/盒； 【小问2详解】 设购进鸡仔饼盒，则购进杏仁饼盒， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴的最小值为41， 答：至少购进鸡仔饼41盒． 21. 年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为． （1）求点离地面的高度； （2）求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：) 【答案】（1） （2）飞船从处到处的平均速度约为 【解析】 【分析】（1）根据含度角的直角三角形的性质即可得到结论； （2）在中，根据直角三角形的性质得到，在中，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， 【小问2详解】 在中，，，， ， 在中，，， ， ， ， 飞船从处到处的平均速度． 【点睛】本题考查了解直角三角形-俯角仰角问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF． （1）求证：直线PA为⊙O的切线； （2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明； （3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和线段PE的长． 【答案】 解：（1）连接OB， ∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO=90°． ∵OA=OB，BA⊥PO于D， ∴AD=BD，∠POA=∠POB． 又∵PO=PO，∴△PAO≌△PBO（SAS）． ∴∠PAO=∠PBO=90°．∴直线PA为⊙O的切线． （2）EF2=4OD•OP．证明如下： ∵∠PAO=∠PDA=90°，∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°． ∴∠OAD=∠OPA．∴△OAD∽△OPA，∴，即OA2=OD•OP． 又∵EF=2OA，∴EF2=4OD•OP． （3）cos∠ACB=，PE= 【解析】 【详解】解：（1）略； （2）略 （3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，∴OD=BC=3（三角形中位线定理）． 设AD=x， ∵tan∠F=，∴FD=2x，OA=OF=2x﹣3． 在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）2=x2+32， 解得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去）．∴AD=4，OA=2x﹣3=5． ∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°． 又∵AC=2OA=10，BC=6，∴cos∠ACB=． ∵OA2=OD•OP，∴3（PE+5）=25． ∴PE=． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的正半轴交于点． （1）求的值及抛物线的解析式． （2）如图①，若点为直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标； （3）如图②，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为． ①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； ②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）①当时，线段有最大值为4；②存在，或 【解析】 【分析】（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论； （2）由（1）可得，则，设，可表达点的坐标，代入抛物线的解析式即可得出结论； （3）①由点，坐标可得出直线的解析式，由此可表达点，的坐标，进而表达的长度，结合二次函数的性质可得出结论； ②根据题意需要分两种情况，当时，当时，分别求出的值即可． 【小问1详解】 直线与轴交于点， ， ， 直线的表达式为； 当时，， 点的坐标为， 将点的坐标为，点的坐标为，代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 如图，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 的坐标为， 将点的坐标代入解析式可得，， 解得或（舍去） 的坐标为； 【小问3详解】 ①由（1）可知，直线的解析式为：； 点的横坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 设线段的长度为， 则 ， 当时，线段有最大值为4； ②存在，理由如下： 由图形可知， 若与相似，则需要分两种情况， 当时，由（2）可知，，此时； 当时，过点作轴交抛物线于点， 令， 解得（舍或， 即， 综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，解题的关键是第（3）问中需分两种情况讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $