精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

梅河口市第五中学2023~2024学年度下学期 高一数学试题 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至3页，第Ⅱ卷第4至6页，共6页．满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上并将条形码粘贴在粘贴处． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知为虚数单位，且，则（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意先对原式进行化简，可求得，利用共轭复数的定义可得，再利用复数的运算可求得答案. 【详解】由题意得：，则， . 故选：C. 2. 有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（ ） A. 11 B. 13 C. 16 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】将样本数据由小到大排列，结合上四分位数的定义可求得这组数据的上四分位数. 【详解】将样本数据由小到大排列依次为：11，11，11，13，13，13，14，15，16，18，20，24， 因为，所以这组数据的上四分位数为. 故选：D 3. 如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中条件连接，取的中点，连接,，作出异面直线所成的角，利用余弦定理求解即可. 【详解】连接，取的中点，连接,， 由题意知，，则异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 4. 2024年3月，树人中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（ ） A. 成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多30 B. 成绩在第1~50名的学生中，高三最多有32人 C. 高一学生成绩在第101~150名的人数一定比高三学生成绩在第1~50名的人数多 D. 成绩在第51~100名的学生中，高二人数比高一人数多 【答案】D 【解析】 【分析】由饼状图可计算出高一年级共90人，高二年级共60人，高三年级共50人，再由高一学生排名分布频率条形图可计算出各排名段中高一年级学生的人数，由此即可判断出答案. 【详解】由饼状图可知，成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多，A正确； 成绩在第名的学生中，高一人数为，因此高三最多有32人，B正确； 由条形图知高一学生的成绩在第名的人数为， 而高三的学生成绩在第名的人数最多为人， 故高一学生的成绩在第名的人数一定比高三的学生成绩在第名的人数多，C正确； 成绩在第名的学生中，高一人数为， 高二成绩在第名的人数最多为， 即成绩在第51~100名的学生中，高一的人数一定比高二的人数多，D错误. 故选：D. 5. 如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面，使，设与SM交于点N，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于点，连接，根据线面平行得性质证明，再根据可得，进而可得出答案. 【详解】连接交于点，连接，则平面即为平面， 因为，平面，平面，所以， 因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分， 所以，， 所以且，所以， 又，所以，所以. 故选：B. 6. 已知向量，若向量在向量上的投影向量，则（ ） A. B. C. 3 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量的概念结合平面向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可知， 所以，则. 故选：A 7. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖．如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为4，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出示意图，根据线段数量关系即可求解. 【详解】如图，是圆锥的锥顶，是圆柱上底面的圆心，是圆柱下底面的圆心，是圆球的圆心，是圆柱上底面和圆球的交点，， 设圆锥和圆柱的高为，则，， 因为，所以， 所以，所以球的半径为， 所以球的体积为. 故选：D. 8. 已知非零平面向量，的夹角为，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积的定义及运算律可得，再利用数量积的运算律变形，并结合基本不等式求解即得. 【详解】由向量，的夹角为及，得，即， 则，令， 于是 ，当且仅当，即时取等号， 由，解得， 所以当且时，取得最大值. 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的或不答的得0分．） 9. 已知一组不全相等的样本数据，由生成一组新的样本数据，则新数据与原数据中可能相等的量有（ ） A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 标准差 【答案】BC 【解析】 【分析】利用极差的定义可判断A选项；利用平均数公式可判断B选项；利用中位数的定义可判断C选项；利用方差公式可判断D选项. 【详解】A：不妨设，则的极差为的极差为， 因为不全相等，所以，故A错误； B|、C：设的平均数为，则的平均数为， 当时，，故B正确； 时，取为为，他们的中位数相等，故C正确； D：设的标准差为，则的标准差为， 因为不全相等，所以，故D错误． 故选：BC. 10. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有唯一解，则或 D. 若，的平分线交AC于点D，，则的最大值为9. 【答案】BC 【解析】 【分析】用余弦定理统一成边形式化简判断出A的真假；由为锐角三角形，与正弦函数的单调性可得B选项的真假；根据边角的关系与解的数量判断C的真假；根据三角形面积可得到，将变为，展开后利用基本不等式，即可求得答案，判断出D的真假． 【详解】对于A，因为，由余弦定理可得：， 所以有，整理可得， 所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，若为锐角三角形，所以，故， 由正弦函数在单调递增，则，故B正确． 对于C，若有一个解，则或，所以或，故C正确． 选项D，的平分线交于点，， 由，由角平分线性质和三角形面积公式得， 得，即，得， 得， 当且仅当，即时，取等号，故D错误． 故选：BC． 11. 如图所示，在直三棱柱中，若，，则下列说法中正确的有（ ） A. 三棱锥表面积为 B. 点在线段上运动，则的最小值为 C. 、分别为、的中点，过点的平面截三棱柱，则该截面周长为 D. 点在侧面及其边界上运动，点在棱上运动，若直线，是共面直线，则点的轨迹长度为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据锥体表面积公式计算可得；对于B，利用展开面求得最小值即可判断；对于C，作出截面，利用三角形重心的性质与勾股定理求解即可判断；对于D，利用平面的性质求得点的轨迹，从而得以判断. 【详解】对于A：在直三棱柱中， 平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可证， 又，所以，， 所以， 所以三棱锥表面积，故A正确； 对于B：将沿旋转与共面且位于的异侧， 如图所示， ， 即点在线段上运动，则的最小值为，故B正确， 对于C：延长、，设，连接交于点，连接， 则过的截面为如图所示四边形， 因为，是的中点，故是的中点， 又为的中点，所以为的重心， ，， 所以截面周长为，故C正确， 对于D：平面，共面，所以平面， 又点在侧面及其边界上运动，平面平面， 所以点轨迹为线段，且，故点的轨迹长度为，故D错误. 故选：ABC. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案直接填写在答题卡内指定处．） 12. 已知复数，，若（为的共轭复数），则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知 都是实数，且,再结合共轭复数的定义列出不等式组，解出的取值范围即可. 【详解】,, ,, 都是实数，且, ,解得, 即实数的取值范围为 故答案为： 13. 已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为4和8，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则该圆台的体积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆台的高后，由体积公式计算． 【详解】如图，是扇环的圆心， 长为，长为， 由已知，所以，从而，即为圆台母线长， 所以圆台的高为， 体积为 故答案为：． 14. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，点为其外接圆的圆心.已知，则当角取到最大值时的面积为______ 【答案】 【解析】 【分析】设中点为，则利用向量的加法得到，而，，以此求出．然后利用余弦定理和不等式确定C最大时b值，利用勾股定理确定直角三角形后得出面积． 【详解】设中点为，则 ，，即， 由知角为锐角，故 ， 当且仅当，即时最小，又在递减，故最大.此时， 恰有，即为直角三角形，. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：运用平面向量数量积的运算性质，结合余弦定理进行求解是解题的关键. 四、解答题（本大题共5小题，第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共77分．解答时要求有必要的文字说明、证明过程和演算步骤） 15. 已知一个平面内的三个向量，，，其中 （1）若向量为单位向量，且与共线，求向量的坐标； （2）若，且与垂直，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设，结合题意建立方程求解即可； （2）由与垂直计算可求得，再由夹角的计算公式计算即可． 【小问1详解】 设，因为，且向量为单位向量，且与共线， 所以，解得或， 所以向量的坐标为或； 【小问2详解】 设向量与的夹角为， 因为与垂直，所以， 即， 因为，，所以， 所以，解得， 所以， 所以向量与的夹角的余弦值为 16. 如图，四棱锥中，底面为菱形，的中点为，的中点为，且平面． （1）证明：平面； （2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，可得，由直线与平面平行判定可得平面； （2）作，垂足为，连接，作，垂足为，即可证明平面，分别求出和的值，设直线与平面所成角为，求出直线与平面所成角的正弦值即可． 【小问1详解】 连接，则为与的交点，连接， 底面为菱形，所以为的中点，又的中点为， 可得， 平面，平面， 平面； 【小问2详解】 作，垂足为，连接， 作，垂足为， 平面，平面，， 又，，平面，平面， 平面，， 又，，平面，平面， ，四边形菱形，为等边三角形， 又，，，， ，， 在中，， 由，得，点到平面的距离为， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 17. 2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． （注：若总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，记总样本的平均数为，样本方差为．则样本方差） 【答案】（1）；63. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意先求出，进一步结合平均数公式、百分位数的定义即可列式求解； （2）首先算出抽样比，再根据加权平均公式以及方差的性质即可列式求解. 【小问1详解】 由题意可知：，解得， 可知每组的频率依次为：，，，，， 所以平均数为， 因为， 设第25百分位数为，则，则， 解得，故第25百分位数为63． 【小问2详解】 设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为， 且两组频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差 ． 故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是． 18. 如下图，四棱锥的体积为，底面为等腰梯形，，，，，，是垂足，平面平面． （1）证明：； （2）若，分别为，的中点，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理和线面垂直的判断定理证明即可证明； （2）根据二面角定义即可求出二面角的平面角. 【小问1详解】 连接， ∵平面平面，，平面平面，平面， ∴平面， 因为平面，所以， 由题意可知，等腰梯形的高为1， 故等腰梯形的面积为：， ∴， ∴， 在中，，． ∴，即， ∴为的三等分点， ∴． 又∵，面，面， ∴平面， ∵平面，∴． 【小问2详解】 取中点，连接，则四边形为平行四边形， ∴． ∵，分别为，的中点， ∴， ∴， ∴四点共面． 连接交于，连接，则二面角即二面角． ∵平面，平面， ∴， 易知四边形为正方形，则， ∵，∴， 又，平面，平面， ∴平面． ∵，∴平面， ∵平面，平面， ∴，． ∴是二面角的平面角， 在中，，， ∴，∴， ∴二面角的余弦值为. 19. 在锐角中，角所对的边分别是．已知，． （1）求角； （2）若是内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由； （3）若是中上的一点，且满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2）存在，当且仅当时等号成立， （3）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再利用诱导公式及两角和的正弦公式化简，即可求出，从而得解； （2）根据平面向量线性运算得到，根据数量积的运算律及定义得到，再由余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解； （3）依题意可得平分，由面积公式得到，再由正弦定理将边化角，最后转化为关于的三角函数，由的范围求出函数的值域，即可得解. 【小问1详解】 ，， 由正弦定理可得， 所以， 所以， 所以， 又，，则， ，又，， 【小问2详解】 点是内一动点，， ，， ， 由余弦定理，可得， 即，所以，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立，； 【小问3详解】 ，， ，即平分， ， 所以， 又，， 所以，解得，， 则，则，即， 即． 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是由夹角公式得到，即平分，再由面积公式转化为求出的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梅河口市第五中学2023~2024学年度下学期 高一数学试题 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至3页，第Ⅱ卷第4至6页，共6页．满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上并将条形码粘贴在粘贴处． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知为虚数单位，且，则（ ） A. 3 B. C. 5 D. 2. 有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（ ） A. 11 B. 13 C. 16 D. 17 3. 如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 2024年3月，树人中学组织三个年级学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（ ） A. 成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多30 B. 成绩在第1~50名的学生中，高三最多有32人 C. 高一学生成绩在第101~150名的人数一定比高三学生成绩在第1~50名的人数多 D. 成绩在第51~100名的学生中，高二人数比高一人数多 5. 如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面，使，设与SM交于点N，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，若向量在向量上投影向量，则（ ） A. B. C. 3 D. 7 7. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖．如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为4，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知非零平面向量，的夹角为，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的或不答的得0分．） 9. 已知一组不全相等的样本数据，由生成一组新的样本数据，则新数据与原数据中可能相等的量有（ ） A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 标准差 10. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有唯一解，则或 D. 若，的平分线交AC于点D，，则的最大值为9. 11. 如图所示，在直三棱柱中，若，，则下列说法中正确有（ ） A. 三棱锥表面积为 B. 点在线段上运动，则的最小值为 C. 、分别为、的中点，过点的平面截三棱柱，则该截面周长为 D. 点在侧面及其边界上运动，点在棱上运动，若直线，是共面直线，则点的轨迹长度为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案直接填写在答题卡内指定处．） 12. 已知复数，，若（为的共轭复数），则实数的取值范围为________. 13. 已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为4和8，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则该圆台的体积为_________. 14. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，点为其外接圆的圆心.已知，则当角取到最大值时的面积为______ 四、解答题（本大题共5小题，第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共77分．解答时要求有必要的文字说明、证明过程和演算步骤） 15. 已知一个平面内的三个向量，，，其中 （1）若向量为单位向量，且与共线，求向量的坐标； （2）若，且与垂直，求向量与的夹角的余弦值. 16. 如图，四棱锥中，底面为菱形，的中点为，的中点为，且平面． （1）证明：平面； （2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． （注：若总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，记总样本的平均数为，样本方差为．则样本方差） 18. 如下图，四棱锥的体积为，底面为等腰梯形，，，，，，是垂足，平面平面． （1）证明：； （2）若，分别为，中点，求二面角的余弦值． 19. 在锐角中，角所对的边分别是．已知，． （1）求角； （2）若是内一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由； （3）若是中上的一点，且满足，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $