《2.8直角三角形全等的判定》学案2023－2024学年浙教版数学八年级上册

浙教版数学八年级上册自主学案 第2章 特殊三角形 2.8 直角三角形全等的判定 教材的地位 和作用 本节内容是在一般三角形全等的判定方法基础上,进一步研究判定直角三角形全等的特殊方法.学习本课时内容之前最好让学生自主回顾全等三角形的判定及性质 教 学 目 标 知识与技能 1.掌握直角三角形全等的判定定理,并能应用. 2.了解角平分线性质定理的逆定理——角的内部,到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上,以及它的简单应用 过程与方法 经历探索两个直角三角形全等的判定条件的过程,发展合情推理的能力 情感、态度 与价值观 进一步完善三角形全等的判定方法,理解事物特殊与一般的关系 教学 重点 难点 重点 直角三角形全等的判定方法“HL” 难点 直角三角形全等的判定方法“HL”的说理过程 易错点 未能选用适当的方法说明两个直角三角形全等;未注意利用“HL”的前提条件是直角三角形 知识点一 直角三角形全等的判定定理 斜边和一条直角边 对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“ HL ”). 图2-8-1 1.如图2-8-1,∠BAD=∠BCD=90 ,AB=CB,可以证明 BAD≌ BCD的理由是(A) A.HL B.ASA C.SAS D.AAS 知识点二 角平分线性质定理的逆定理 角的内部, 到角两边距离相等 的点,在这个角的平分线上. 2.如图2-8-2,PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,且PD=PE,连结AP,则∠BAP = ∠CAP(填“>”“=”或“<”). 图2-8-2 类型一 用“HL”判定两直角三角形全等 例1 (教材补充例题)已知:如图2-8-3,在四边形ACBD中,∠C=∠D=90 ,BC=BD. 求证:AC=AD. 图2-8-3 证明:连结AB. 在Rt ABC和Rt ABD中,∵ ∴Rt ABC≌Rt ABD(HL), ∴AC=AD. 【归纳总结】 “HL”定理是判定两个直角三角形全等的特有定理.判定一般三角形全等的四种方法对直角三角形也适用. 类型二 角平分线的判定定理的应用 例2 (教材作业题第4题针对训练)如图2-8-4,DE⊥AB,交AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F.若BD=CD,BE=CF.求证:AD平分∠BAC. 图2-8-4 证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠E=∠DFC=90 . 在Rt BDE和Rt CDF中, ∵ ∴Rt BDE≌Rt CDF(HL),∴DE=DF. 又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴AD平分∠BAC. 【归纳总结】 角平分线的判定: (1)已知条件与角有关时,利用角平分线的定义; (2)已知条件与线有关时,若角内部的一点到角两边的距离相等,则这个点在角平分线上.若没有垂线段,则需作出垂线段. 1.如图,已知在Rt ABC中,∠ACB=90 ,AC=BC,D是AC上一点,点E在BC的延长线上,且AE=BD,BD的延长线与AE相交于点F,则∠BFE的度数为( C ) 第1题图 A. 60 B. 80 C. 90 D. 100 【解析】 ∵∠ACB=90 , ∴∠ACE=∠BCD=90 . 又∵BC=AC,BD=AE, ∴Rt BDC≌Rt AEC(HL), ∴∠CBD=∠CAE. 易知∠CAE+∠E=90 , ∴∠EBF+∠E=90 , ∴∠BFE=90 . 2.如图,∠C=90 ,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q分别在线段AC和射线AX上运动,且PQ=AB,当AP=_5或10_时, ABC与 APQ全等. 第2题图 3.(1)如图1,求证:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等. (2)如图2,∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P,连结AP.若∠BAC=62 ,则∠PAC的度数为_59_ . 第3题图 解:(1)已知:如答图1,有 ABC. 求证:∠ABC,∠BCA,∠ACB三个角的平分线相交于点F,且点F到三边的距离相等.证明如下: 作∠BAC的平分线,与∠BCA的平分线相交于点F,连结BF.过点F作FG⊥AB于点G,FD⊥BC于点D,FE⊥AC于点E. 第3题答图1 在 AGF和 AEF中, ∵ ∴ AGF≌ AEF(AAS), ∴FG=FE. 同理可得,FD=FE, ∴FG=FD, ∴点F在∠ABC的平分线上, 即BF平分∠ABC, ∴三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等. (2)如答图2,过点P作PN⊥BD于点N,PF⊥BA,交BA的延长线于点F,PM⊥AC于点M. 第3题答图2 ∵CP平分∠ACD, ∴PM=PN. ∵BP平分∠ABC, ∴PF=PN, ∴PF=PM, ∴∠FAP=∠PAC, ∴∠FAC=2∠PAC. 又∵∠FAC+∠BAC=180 , ∴2∠PAC+∠BAC=180 . 又∵∠BAC=62 , ∴∠PAC=(180 -∠BAC)=(180 -62 )=59 . 4.已知:点O到 ABC的两边AB,AC所在直线的距离相等,且OB=OC. (1)如图1,若点O在BC上,求证:AB=AC. (2)如图2,若点O在 ABC的内部,求证:AB=AC. 第4题图 证明:(1)在Rt OEC和Rt OFB中, ∵ ∴Rt OEC≌Rt OFB(HL), ∴∠B=∠C,∴AB=AC. (2)在Rt OEC和Rt OFB中, ∵ ∴Rt OEC≌Rt OFB(HL), ∴∠OBF=∠OCE. ∵OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB, ∴∠OBF+∠OBC=∠OCE+∠OCB, 即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC. 学科网(北京)股份有限公司 $$