2.7探索勾股定理　自主学案 2024—2025学年浙教版数学八年级上册

浙教版数学八年级上册自主学案 第2章　特殊三角形 2.7　探索勾股定理 第1课时　勾股定理 教材的地位 和作用 　本节是通过经历探索勾股定理,在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养学生的语言表达能力和逻辑能力,学好本节知识为更好地学习直角三角形打下了良好的基础 教 学 目 标 知识与技能 　1.经历探索勾股定理的过程,掌握勾股定理. 　2.会用勾股定理解决简单的几何问题 过程与方法 　1.经历“测量—猜想—总结—验证”等一系列过程,体会数学定理发现的过程. 　2.在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养语言表达能力和初步的逻辑能力. 　3.在探索过程中,体会数形结合、由特殊到一般及化归等数学思想方法 情感、态度 与价值观 　1.通过了解勾股定理丰富的历史渊源,感受祖先的智慧,增强民族自豪感. 　2.体验解决问题的方法的多样性,进一步养成合作交流意识和探索精神 教学 重点 难点 重点 　勾股定理 难点 　勾股定理的探索过程 易错点 　直角边(斜边)不明确时,未进行分类讨论 知识点　勾股定理 　　直角三角形两条直角边的　平方和　等于斜边的　平方　.  　　如果a,b为直角三角形的两条直角边的长,c为斜边的长,那么　a2+b2=c2　.  1.在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=4,则c=　5　;若a=6,c=10,则b=　8　.  类型一　勾股定理的简单应用 例1 (教材补充例题)如图2-7-1,已知在△ABC中,CD⊥AB于点D,BD=5,BC=13,AC=20.求CD和AB的长. 图2-7-1 解:∵CD⊥AB, ∴∠CDB=∠CDA=90°. 在Rt△CBD中, 由勾股定理,得BD2+CD2=BC2, ∴CD2=BC2-BD2=132-52=144, ∴CD=12. 在Rt△CDA中,由勾股定理,得AD2+CD2=AC2,∴AD2=AC2-CD2=202-122=256, ∴AD=16,∴AB=AD+BD=16+5=21. 【归纳总结】 利用勾股定理求直角三角形的边长的“三步法”: 分 分清哪条边是斜边,哪些边是直角边 列 若求斜边,则列;若求直角边,则列或(c为斜边长,a,b为直角边长) 化 即把带有的式子进行计算或化简为整数 注意:(1)普通直角三角形:知二求一(知道两条边能求出第三条边);特殊直角三角形:知一求二(知道一条边可以求出另外两条边). (2)若条件中没有明确指出斜边、直角边,则要分类讨论. 类型二　勾股定理的实际应用 例2 (教材例2针对训练)如图2-7-2是一个滑梯的示意图,若将滑道AC水平放置,则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3米,CD=1米,求滑道AC的长. 　　解:设滑道AC的长为x米. 图2-7-2 ∵AC=AB, ∴AB=AC=x米. ∵EB=CD=1米, ∴AE=(x-1)米. 在Rt△ACE中,AC2=CE2+AE2, 即x2=32+(x-1)2, 解得x=5, ∴滑道AC的长为5米. 【归纳总结】 应用勾股定理解决实际问题的一般思路: (1)根据题意,画出适当的示意图,构建直角三角形模型; (2)分析图中已知什么,求什么,已知与所求之间有什么数量关系; (3)利用勾股定理计算或列方程,进而解决实际问题. 类型三　勾股定理的验证 例3 (教材补充例题)(1)如图2-7-3①,对任意的Rt△ABC绕其锐角顶点A逆时针旋转90°可得∠BAE=90°,且四边形ACFD是一个正方形,它的面积和四边形ABFE的面积相等,而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和.根据图示写出证明勾股定理的过程; (2)图②是由任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的,请你根据图示再写出一种证明勾股定理的方法. 图2-7-3 解:(1)S正方形ACFD=S△BAE+S△BFE, 即b2=c2+(b+a)(b-a), 2b2=c2+(b+a)(b-a), ∴a2+b2=c2. (2)Rt△ACD可以看成是Rt△BEA绕其直角顶点顺时针旋转90°,再向下平移得到的.一方面,四边形ABCD的面积等于△ABC和Rt△ACD的面积之和,另一方面,四边形ABCD的面积等于Rt△ABD和△BCD的面积之和, ∴S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD, 即b2+ab=c2+a(b-a), 整理,得a2+b2=c2. 【归纳总结】 用拼图法验证勾股定理,首先通过拼图找出面积间的相等关系,再结合图形进行代数变形即可推导出勾股定理.一般步骤为:拼出图形→用含边长的式子表示图形的面积→找出相等关系→恒等变形→推导出勾股定理. 1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在AC边上的点B′处，AE为折痕，则B′E的长为(　B　) 第1题图 A．1 B． C．2 D．3 【解析】 由折叠可知，B′E＝BE，AB′＝AB＝3，∠AB′E＝∠B＝90°， ∴∠CB′E＝90°. 设BE＝B′E＝x，则EC＝4－x. ∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝＝5， ∴B′C＝AC－AB′＝2. 在Rt△B′EC中，由勾股定理，得B′E2＋B′C2＝EC2， 即x2＋22＝(4－x)2， 解得x＝，即B′E的长为. 2．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a∶c＝3∶5，b＝32，则a＝__24__，c＝__40__. 第2题图 【解析】 设a＝3x(x>0)，则c＝5x. 由题意，得a2＋b2＝c2，即(3x)2＋322＝(5x)2，∴x＝8， ∴3x＝24，5x＝40，即a＝24，c＝40. 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，DE是AB的垂直平分线，点E在BC的延长线上，则CE的长为____. 第3题图 【解析】 ∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4， ∴BC＝＝3，∠ACE＝90°. ∵DE是AB的垂直平分线， ∴BE＝AE. 设CE＝x，则AE＝BE＝3＋x， 在Rt△ACE中，AC2＋CE2＝AE2， ∴42＋x2＝(3＋x)2，解得x＝， ∴CE＝. 4．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积． 第4题图 解：如答图，过点A作AD⊥BC于点D. 设BD＝x，则CD＝14－x. 由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2， ∴152－x2＝132－(14－x)2， 解得x＝9，即BD＝9， ∴AD＝＝12， ∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84. 第4题答图 5．如图，△ACB与△ECD均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在AB边上．若AD＝5，BD＝12.求DE的长． 第5题图 解：∵△ACB与△ECD均为等腰直角三角形， ∴CD＝CE，CB＝CA，∠B＝∠CAB＝45°. ∵∠ACB＝∠ECD＝90°， 即∠ACD＋∠BCD＝∠ACE＋∠ACD， ∴∠ACE＝∠BCD. 在△ACE和△BCD中， ∵ ∴△ACE≌△BCD(SAS)， ∴∠EAC＝∠B＝45°，AE＝BD＝12， ∴∠EAD＝∠EAC＋∠CAB＝90°， ∴DE＝＝＝13. 第2课时　勾股定理的逆定理 教材的地位 和作用 　本节是对直角三角形判定方法的补充和完善,更是今后学习直角三角形全等的判定、解直角三角形的重要基础 教 学 目 标 知识与技能 　1.掌握勾股定理的逆定理. 　2.会用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形 过程与方法 　经历勾股定理逆定理的探索过程,进一步提高分析问题和解决问题的能力 情感、态度 与价值观 　通过对勾股定理逆定理的综合应用,进一步提升学生学习数学的兴趣及克服困难的勇气,体验勾股定理及其逆定理在实际生活中的实用性 教学 重点 难点 重点 　勾股定理的逆定理 难点 　利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形 易错点 　混淆勾股定理及其逆定理而致错;对于边长含有字母的三角形,无法确定最大边 知识点　勾股定理的逆定理 如果三角形中两边的　平方和　等于第三边的　平方　,那么这个三角形是直角三角形.  1.以下列各组数为边长的三角形中,是直角三角形的是 (B)　　　　　　　　　　　　　　 A.3,4,6 B.9,12,15 C.5,12,14 D.10,16,25 类型一　利用勾股定理的逆定理判断三角形形状 例1 (教材补充例题)根据下列条件,分别判断以a,b,c为边的△ABC是不是直角三角形,如果是,指出哪条边所对的角是直角. (1)a=20,b=21,c=29; (2)a∶b∶c=∶1∶. 解:(1)∵a2=400,b2=441,c2=841, ∴a2+b2=c2, ∴△ABC是直角三角形,边c所对的角是直角. (2)设a=x,b=x,c=x(x>0). ∵a2=x2,b2=x2,c2=x2, ∴a2+c2≠b2, ∴△ABC不是直角三角形. 【归纳总结】 由三边长判断一个三角形是不是直角三角形的“三步法”: 类型二　勾股定理的逆定理的应用 例2 (教材补充例题)如图2-7-4,D为△ABC的边BC上的一点,AB=10,AD=6,DC=2AD,BD=DC. (1)求BD的长; (2)求△ABC的面积. 图2-7-4 解:(1)∵AD=6,DC=2AD,BD=DC, ∴DC=12,BD=8. (2)在△ABD中, ∵AB=10,AD=6,BD=8, ∴AB2=AD2+BD2, ∴△ABD为直角三角形, ∴AD⊥BC. ∵DC=12,BD=8, ∴BC=BD+DC=8+12=20, ∴S△ABC=BC·AD=×20×6=60. 【归纳总结】 勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的重要方法.它的特点是根据“数”的特征,判定“形”的特征. 类型三　勾股定理及其逆定理的综合应用 例3 (教材补充例题)如图2-7-5是一块地,∠ADC=90°,AD=12 m,CD=9 m,AB=39 m,BC=36 m,求这块地的面积. 图2-7-5 解:连结AC. ∵∠ADC=90°,AD=12 m,CD=9 m, ∴AC==15 m. ∵152+362=392,即AC2+BC2=AB2, ∴△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°, ∴这块地的面积是×15×36-×9×12=216(m2). 【归纳总结】 不规则四边形面积的求法: 四边形问题常通过连结对角线或延长两边交于一点等方法转化为三角形问题来求解. 1．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为 5里，12里，13里，问这块沙田的面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500 m，则该沙田的面积为(　A　) A．7.5 km2 B．15 km2 C．75 km2 D．750 km2 【解析】 将里换算为千米，则三角形沙田的三边长分别为2.5 km，6 km，6.5 km. ∵2.52＋62＝6.52，∴这个三角形为直角三角形，直角边长为2.5 km和6 km， ∴S＝×6×2.5＝7.5(km2)． 2．如图，在△DEF中，DE＝17，EF＝30，EF边上的中线DG＝8，则△DGF是__直角__三角形． 第2题图 【解析】 ∵DG是EF边上的中线， ∴EG＝EF＝15， ∴EG2＋DG2＝152＋82＝289＝172＝DE2， ∴△DEG为直角三角形，且∠DGE＝90°， ∴∠DGF＝90°， ∴△DGF是直角三角形． 3．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口(如图)，向北偏东40°方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西的某个方向航行，已知它们离开港口1.5 h后相距30海里(即AB＝30海里)，问另一艘轮船航行的方向是北偏西多少度？ 　第3题图 解：由题意，得OA＝16×1.5＝24(海里)，OB＝12×1.5＝18(海里)，AB＝30海里， ∴OA2＋OB2＝AB2， ∴△OAB是直角三角形，∠AOB＝90°. 又∵∠AOD＝40°， ∴∠BOD＝∠AOB－∠AOD＝50°，即另一艘轮船航行的方向是北偏西50°. 4．如图，在四边形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝4 cm，BC＝13 cm，CD＝12 cm，∠A＝90°，求四边形ABCD的面积． 第4题图 解：如答图，连结BD. ∵AB＝3 cm，AD＝4 cm，∠A＝90°， ∴BD＝5 cm，S△ABD＝×3×4＝6(cm2)． ∵BD＝5 cm，BC＝13 cm，CD＝12 cm， ∴BD2＋CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°， ∴S△BDC＝×5×12＝30(cm2)， ∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝6＋30＝36(cm2)． 第4题答图 学科网（北京）股份有限公司 $$