精品解析：河北省衡水市第二中学2023-2024学年高二下学期6月期末素养评估数学试题

高二2023-2024学年下学期学科素养评估（期末） 数学学科试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集是实数集R，或，.如图所示，则阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 设：，，则使为真命题的一个充分非必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数的值域为，若，，则的最小值为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 20 4. 已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 7. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 8. 设，比较的大小关系（ ） A. B. b C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于任意实数，有以下四个命题，其中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是 D. 函数的值域为 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的最小值为 C. 方程的解有个 D. 导函数的极值点为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，且，则的取值范围为________. 13. 已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为________. 14. 已知函数满足：①；②，则的值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，集合 （1）当时，求； （2）记：，：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数对任意x满足：，二次函数满足：且. （1）求，的解析式； （2）若，解关于x的不等式. 17. 狗牯脑茶是江西珍贵名茶之一，产于罗霄山脉南麓支脉，吉安市遂川县汤湖镇狗牯脑山，该山形似狗头，取名“狗牯脑”所产之茶即从名之．某茶叶种植户欲生产狗牯脑茶，经过市场调研，生产狗牯脑茶需投入年固定成本3万元，每生产x（）吨另需投入流动成本万元，已知在年产量不足12吨时，，在年产量不少于12吨时，，每千克狗牯脑茶售价140元，通过市场分析，该茶叶种植户的狗牯脑茶当年能全部售完． （1）写出年利润（单位：万元）关于年产量x（）（单位：吨）的函数解析式（年利润＝年销售收入－年固定成本－流动成本）； （2）年产量为多少吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线经过原点，求的值； （2）求的单调区间； （3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围． 19. 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式.当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：.注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，表示在原点处的阶导数. （1）根据公式估算的值，精确到小数点后两位； （2）当时，比较与的大小，并证明； （3）设，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二2023-2024学年下学期学科素养评估（期末） 数学学科试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集是实数集R，或，.如图所示，则阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由韦恩图知阴影部分为，应用集合的并、补运算求结果. 【详解】由图知：阴影部分为，而或， 所以. 故选：A 2. 设：，，则使为真命题的一个充分非必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定使为真命题的充要条件，即可得使为真命题的一个充分非必要条件. 【详解】解：：，，若为真命题，则恒成立，由于，所以，则. 则使为真命题的一个充分非必要条件是. 故选：A. 3. 已知二次函数的值域为，若，，则的最小值为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据值域可得，利用基本不等式可求的最小值. 【详解】因为二次函数的值域为， 故即， 故， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为16， 故选：C. 4. 已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法求出定义域后求解参数即可. 【详解】根据题意，设，则，因为在上单调递增， 所以在区间上单调递增，则有，解得， 故选：B． 5. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质可求解 【详解】 ，， 故选：C 6. 已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】先由题意得到必是常数，设，（为常数），得，根据题意求出，即可得出结果. 【详解】由，且是定义域为的单调函数，可知必是常数， 设，（为常数），得，且，解得， ∴，因此. 故选B 【点睛】本题考查了单调函数的定义，单调函数中的和的对应关系，考查了推理和计算能力，属于常考题型． 7. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】C 【解析】 【分析】先利用题给条件求得三者正负号和三者间的关系，进而否定选项A和选项B，求得不等式的解集判断选项C；求得不等式的解集判断选项D. 【详解】关于的不等式的解集为 则且关于的方程的根为，， 则，解之得， 由，可得选项 A判断错误； ，故选项 B判断错误； 不等式可化为，解之得，故选项 C判断正确； 不等式可化为，即， 解之得或，故选项 D判断错误. 故选：C 8. 设，比较的大小关系（ ） A. B. b C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，构造、且，利用导数研究单调性比较大小关系. 【详解】由， 令且，则， 所以递减，则，故，则， 令且，则， 所以递减，则，故，则， 综上，. 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于任意实数，有以下四个命题，其中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A和C，通过取特殊值，即可判断出结果的正误；选项B，利用不等式的性质，即可判断出结果的正误；选项D，利用作差法，即可判断出结果的正误. 【详解】对于A选项，因为，，但是，所以选项A不正确； 对于B选项，因为成立，即，又，则，所以选项B正确； 对于C选项，因为，但是，所以C不正确； 对于D选项，若，则，即，故选项D正确. 故选：BD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是 D. 函数的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，利用相等函数的定义，即可求解；选项B，根据条件，利用抽象函数的定义，得到的定义域为，即可求解；选项C，利用分段函数的性质，即可求解；选项D，通过换元，将问题转化成求的值域，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】对于选项A，因为的定义域需满足， 解得，的定义域需满足，解得， 故两函数有相同的定义域及对应关系，表示同一个函数，所以选项A正确； 对于选项B，因为函数的定义域为，由，得，所以的定义域为， 对于函数，由，得， 所以函数的定义域为，所以选项B正确； 对于选项C，由题意可得，解得，即，所以选项C错误； 对于选项D，令，（），则， 所以函数，函数在上单调递增， 所以当时，y有最小值，所以函数的值域为，所以选项D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的最小值为 C. 方程的解有个 D. 导函数的极值点为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断ABC选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断D选项. 【详解】因为，该函数的定义域为，， 令，可得，列表如下： 减 极小值 增 且当时，；当时，， 作出函数的图象如下图所示： 对于A选项，在区间上单调递增，A对； 对于B选项，的最小值为，B对； 对于C选项，方程的解只有个，C错； 对于D选项，令，该函数的定义域为， ，令，可得；令，可得. 所以，函数的单调递减区间为，递增区间为， 所以，函数的极值点为，D对. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，且，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式变形，然后解不等式即可. 【详解】由题意，且，当且仅当时，即时等号成立， 令，则上式为：，即， 解得或（舍），所以的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用定义证明函数在上单调递增，转化不等式，求解即可. 【详解】任取，从而， 因为，所以， 所以，则在R上单调递增. 不等式等价于不等式， 即. 因为在R上单调递增，所以，解得. 故答案为：. 14. 已知函数满足：①；②，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】 题意说明在上最大值为9，然后分类讨论求函数的最大值，由此可得结论． 【详解】因为函数满足： ①，；②，， 即函数在上的最大值为9， 因为，对称轴是，开口向下， 当时，在单调递增，在单调递减， 故，解得：，不合题意， 当时，在单调递增， 故，解得：，符合题意． 综上所述，． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，集合 （1）当时，求； （2）记：，：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得； （2）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 解：由，解得， 所以， 当时， 所以或， 又， 所以； 【小问2详解】 解：因为是的必要不充分条件， 所以， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 16. 已知函数对任意x满足：，二次函数满足：且. （1）求，的解析式； （2）若，解关于x的不等式. 【答案】（1）， （2）答案见解析 【解析】 【分析】(1)用方程组法求 ，用待定系数法求 ； (2)先将不等式化为 ，根据 分类求解即可. 【小问1详解】 ①，用代替上式中的x， 得②， 联立①②，可得； 设（）， 所以， 即 所以，解得，， 又，得， 所以. 【小问2详解】 因为， 即，化简得，， ①当，即，即时，不等式的解为或； ②当，即，即，当时，不等式的解为或， ③当，即时，，解得且， 综上所述，当时，不等式的解为或； 当时，不等式的解为且； 当时，不等式的解为或. 17. 狗牯脑茶是江西珍贵名茶之一，产于罗霄山脉南麓支脉，吉安市遂川县汤湖镇狗牯脑山，该山形似狗头，取名“狗牯脑”所产之茶即从名之．某茶叶种植户欲生产狗牯脑茶，经过市场调研，生产狗牯脑茶需投入年固定成本3万元，每生产x（）吨另需投入流动成本万元，已知在年产量不足12吨时，，在年产量不少于12吨时，，每千克狗牯脑茶售价140元，通过市场分析，该茶叶种植户的狗牯脑茶当年能全部售完． （1）写出年利润（单位：万元）关于年产量x（）（单位：吨）的函数解析式（年利润＝年销售收入－年固定成本－流动成本）； （2）年产量为多少吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）当年产量为18吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大，最大年利润是54万元 【解析】 【分析】（1）根据给出的计算公式，分段写出函数解析式； （2）分段求函数的最大值，再进行比较. 【小问1详解】 由题意知，1吨狗牯脑茶售价为14万元，当时，， 当时，， 故年利润（万元）关于年产量x（吨）的函数解析式为． 【小问2详解】 当时，，当时，取得最大值． 当时，． 当且仅当，即时取等号，即当时，取得最大值． ∵50＜54， ∴当年产量为18吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大，最大年利润是54万元. 18. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线经过原点，求的值； （2）求的单调区间； （3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围． 【答案】（1） （2）增区间为，减区间为； （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线方程，代入原点坐标，即可求解的值； （2）求解函数的导数，利用导数求解函数的单调性即可； （3）题设条件等价于在上的最大值小于在上的最大值，分别求解函数和函数在上的最大值即可. 【小问1详解】 解：（1）由，可得． 因为，， 所以切点坐标为，切线方程为：， 因为切线经过，所以， 解得． 【小问2详解】 解：由题可知的定义域为，， 令，则，解得或， 因为所以，所以， 令，即，解得：， 令，即，解得：或， 又的定义域为， 所以，增区间为，减区间为． 【小问3详解】 解：题设条件等价于在上的最大值小于在上的最大值． 因为，所以函数在区间的最大值为， 由（2）得函数在上单调递增，故在区间上， 所以，即，故， 所以的取值范围是． 19. 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式.当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：.注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，表示在原点处的阶导数. （1）根据公式估算的值，精确到小数点后两位； （2）当时，比较与的大小，并证明； （3）设，证明：. 【答案】（1） （2）由（1）得，得到结论：当时， 下面给出证明：令，则， 令，则， 所以函数在上单调递增，即当时，， 所以在上恒成立，所以函数在上单调递增， 即当时，， 故当时，. （3）因为，所以，则， 由（2）可得：且， 故， 即， ，， ， 所以， . 【解析】 【分析】（1）根据泰勒公式求得，赋值即可求得近似值； （2）构造函数，利用导数判断其单调性和最值，即可证明； （3）根据（2）中所得结论，将目标式左边的通项放缩为 ，再裂项求和即可证明. 【小问1详解】 由公式可得， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第三问的处理关键是能够利用第二问结论，将原式左边的通项放缩为 ，再裂项求和即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $