人教版数学九年级上暑假专题训练专题十五 旋转中的几何模型一

人教版数学九年级上暑假自学课专题训练 专题十五 旋转中的几何模型一 专题导航 模型一、“手拉手”模型 模型特征： 两个等边三角形或等腰直角三角形或正方形共顶点． 模型说明： 如图1，△ABE，△ACF都是等边三角形，可证△AEC≌△ABF. 如图2，△ABD，△ACE都是等腰直角三角形，可证△ADC≌△ABE. 如图3，四边形ABEF，四边形ACHD都是正方形，可证△ABD≌△AFC. 　　 图1　　　 　　图2　　　　　　　 　图3 1.等腰（等边）三角形的“手拉手” 方法：等腰图形有旋转，辩清共点旋转边，关注三边旋转角，全等思考边角边。 典例剖析1 例1-1 .[问题提出] （1）如图①，均为等边三角形，点分别在边上．将绕点沿顺时针方向旋转，连结．在图②中证明． [学以致用] （2）在（1）的条件下，当点在同一条直线上时，的大小为 度． [拓展延伸] （3）在（1）的条件下，连结．若直接写出的面积的取值范围． 针对训练1 1．数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把他们的底角顶点连接起来，则形成一组全等三角形，我们把这个规律的图形称为“手拉手图形”．如图，已知等边的边长为，点，分别为，的中点，现将绕点顺时针旋转角度为，直线，相交于点；当旋转到图位置（、、在同一直线上）时，的度数为 ；在整个旋转过程中，当点与重合时，的长为 ．      2．综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图，已知和都是等边三角形，将绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图，已知和都是等边三角形．当点在射线上时，过点作于点，直接写出线段，与之间存在的数量关系为_____________． 3．【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图1，和是等边三角形，点B、C、E不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论________________；（写出一对即可） 上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”．    【类比分析】 （2）如下图，已知四边形中，，，是的平分线，且．将线段绕点E顺时针旋转得到线段．当时，连接，试判断线段和线段的数量关系，并说明理由；    ①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段和线段的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题； ②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件，则，再通过“手拉手”模型，合理添加辅助线，构造与全等的三角形来解决问题． 请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由． 能力提升1 1．综合与实践 某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)[材料理解]如图1，在中，分别以，为边向外作等腰和等腰．，，，连接，，试猜想与的大小关系，并说明理由； (2)[深入探究]如图2，在中，，，，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，求的长． (3)[延伸应用]如图3，在中，，点D为平面内一点，连接，，满足，，，，求的长． 2．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则BD＝CE, (1)在图1中证明小胖的发现； 借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题： (2)如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD； (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数（用含有m的式子表示）． 2.等腰直角三角形中的手拉手 典例剖析2 例1-1．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型∶它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．如图① ，在中，，点D，E分别在边上，，连接，M是的中点，连接．          (1)观察猜想 请直接写出与的数量关系和位置关系； (2)类比探究 将图① 中绕点C逆时针旋转到图② 的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)解决问题 若，将图① 中的绕点C逆时针旋转一周时，请直接写出的最大值与最小值． 针对训练2 1．如图，在等腰中，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，以为直角边，在左侧构造等腰，其中，，连接． (1)如图1，若点在上，求证：； 小明提供了如图2的思路：他利用的条件，在点作的垂线交的延长线于点，从而利用共点的两个等腰直角三角形“手拉手”模型，通过全等，转角得到结论． 请你按照小明的思路完成第（1）问； (2)如图3，若点在的下方，求证：； (3)如图4，若，，三点在一条直线上，求的长． 2．数学老师做了一节关于中点问题专题课，喜欢钻研数学的小明同学，借助本节课的所得所获，结合老师课堂所讲习题尝试进行改编，然后交给老师审阅，老师进行了简单修改后，将本题在数学课上分享给全班同学，并对小明同学的钻研精神提出表扬． 【问题展示】 如图1，在中，，，为中点，是延长线上一点，连接，于点，以点为圆心长为半径画弧交延长线于点．求证：． 小刚和小强同学结合课堂所学知识，经过自己的分析得出解题方法，如下： 【经验分享】 小刚同学的解题方法：由为中点，可以构造“平行八字型”，如图2，过点做于点，交于点，同时也得到了“一线三等角”模型，通过两个模型的转化，就可得到和的位置关系； 小强同学的解题方法：由为中点，结合等腰三角形的性质“三线合一”，可以连接得到等腰直角三角形，结合手拉手模型的特征，如图3，过点作交于点；推得的形状，进而得到和的位置关系； 请结合小刚或小强同学的解题方法写出一种解题过程． 【能力提升】 如图4，在中，，将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，交射线、于点、，连接，取中点，连接交于点，连接，，当． 求证：． 能力提升2 1．课题学习：三角形旋转问题中的“转化思想” 【阅读理解】 由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，是三角形旋转中的一个重要的“基本图形”，这个模型称为“手拉手模型”． 当发现题目的图形“不完整”时，要通过适当的辅助线将其补完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”． 【方法应用】    (1)如图1，在等腰中，，，点D在内部，连接，将绕点A顺时针旋转90°得到，连接，，．请直接写出和的数量关系：__________，位置关系：__________； (2)如图2，在等腰中，，，，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接 ，，，取中点M，连接． ①当点D在内部，猜想并证明与数量关系和位置关系； ②当B，M，E三点共线时，请直接写出的长度． 3.正方形中的手拉手 例3-1．综合与实践： 问题情景：如图1，正方形与正方形的边，（）在一条直线上，正方形以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为，在旋转过程中，两个正方形只有点重合，其它顶点均不重合，连接，．    （1）如图1，当，，在同一条直线上时，线段和的数量关系 ，位置关系 ； 操作发现： （2）当正方形旋转至如图2所示的位置时，（1）中的关系还成立吗？ （3）如图3，当点在延长线上时，连接，则的度数为 ． 针对训练3 1．（1）如图①，在正方形中，点E在边上，延长至点H，使．连接．求证：． 小明写出了如下证明过程： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴（依据）， ∴． 证明过程中的依据是________． 【探究】（2）如图②，连接图①中的，将线段绕着点E旋转，使点C的对应点F落在上，过点F作交于点G． 求证：． 【应用】（3）①如图③，将图②中的绕着点E逆时针旋转，使点F落在的延长线上，连接．若，，则的长为________． ②如图②中的绕着点E顺时针旋转，当A，F，G三点在同一条直线上时，若，，直接写出此时线段的长． 2．如图①，如图，在正方形中，点为边上一点，连接，点为的中点，过点作于点，连接，． 观察猜想： （1）与的数量关系是_____________； 和的数量关系是_____________； 探究发现： （2）将图①中的绕点逆时针旋转，使点恰好落在上，此时点F还是的中点．线段绕点旋转得到线段，连接，，，如图②所示，探究和的数量关系，并说明理由．    能力提升3 1．综合与实践 操作判断 （1）操作一：将正方形与正方形的顶点重合，点在正方形的边上，如图1，连接，取的中点，连接．操作发现（提示：交于点），与的位置关系是______；与的数量关系是______． （2）操作二：将正方形绕顶点顺时针旋转，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由． 模型二、对角互补模型 对角互补模型的特征： 外观呈现四边形，且对角和为180°。主要：含90°对角互补，含120°的对角互补两种类型。 解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线。 典例剖析4 例4-1 .在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD． （1）如图1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由． （2）如图2，若将（1）中的条件“∠B=90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）如图3，若∠DAB=90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由． 针对训练4 1．若四边形满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．    (1)如图①，四边形为对角互补四边形，且满足，，求的度数．小云同学是这么做的：将绕点A逆时针旋转，使得点D与点B重合，点C的对应点为点M．请你写出的度数为______； (2)如图②，四边形为对角互补四边形，且满足，，试说明：； (3)如图③，在和中，，，点B在线段上，且与互补．请你判断与的数量关系并证明． 2．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图①，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图②，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，作交延长线于点F． ①试判断四边形的形状，证明你的结论，并求出的长． ②若点M是边上的动点，求周长的最小值． 能力提升4 1．四边形若满足两组对角互补，即，，则我们称该四边形为“对角互补四边形”    (1)【思路点拨】 如图1，四边形为对角互补四边形，，． 求证：平分． 小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分． ①还可以知道、、三者数量关系为：_________； ②请你用旋转的知识描述如何旋转得到 _________； (2)【变式拓展】 如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，，请你仿照小云的做法，证明： 平分； ②； (3)【能力提升】 如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足，，则、、三者数量关系为：_________． 2．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：    (1)如图1，在正方形中，点F是上的一点，将绕B点旋转，使与重合，此时点F的对应点E在的延长线上，则四边形 “直等补”四边形；（填“是”或“不是”） (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，过点C作于点F．试探究线段，和的数量关系，并说明理由； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版数学九年级上暑假自学课专题训练 专题十五 旋转中的几何模型一（解析版） 专题导航 模型一、“手拉手”模型 模型特征： 两个等边三角形或等腰直角三角形或正方形共顶点． 模型说明： 如图1，△ABE，△ACF都是等边三角形，可证△AEC≌△ABF. 如图2，△ABD，△ACE都是等腰直角三角形，可证△ADC≌△ABE. 如图3，四边形ABEF，四边形ACHD都是正方形，可证△ABD≌△AFC. 　　 图1　　　 　　图2　　　　　　　 　图3 1.等腰（等边）三角形的“手拉手” 方法：等腰图形有旋转，辩清共点旋转边，关注三边旋转角，全等思考边角边。 典例剖析1 例1-1 .[问题提出] （1）如图①，均为等边三角形，点分别在边上．将绕点沿顺时针方向旋转，连结．在图②中证明． [学以致用] （2）在（1）的条件下，当点在同一条直线上时，的大小为 度． [拓展延伸] （3）在（1）的条件下，连结．若直接写出的面积的取值范围． 思路点拨】 （1）根据“手拉手”模型，证明即可； （2）分“当点E在线段CD上”和“当点E在线段CD的延长线上”两种情况，再根据“手拉手”模型中的结论即可求得的大小； （3）分别求出的面积最大值和最小值即可得到结论 【详解】 （1）均为等边三角形， ，， ， 即 在和中 ； （2）当在同一条直线上时，分两种情况： ①当点E在线段CD上时，如图， ∵是等边三角形， ， ， 由（1）可知，， ， ②当点E在线段CD的延长线上时，如图， 是等边三角形， ， 由（1）可知， ， 综上所述，的大小为或 （3）过点A作于点F，当点D在线段AF上时，点D到BC的距离最短，此时，点D到BC的距离为线段DF的长，如图： 是等边三角形，， ， 此时； 当D在线段FA的延长线上时，点D到BC的距离最大，此时点D到BC的距离为线段DF的长，如图， 是等边三角形，， ，， 此时，； 综上所述，的面积S 取值是 【点评】 利用“手拉手”模型，构造对应边“拉手线”组成的两个三角形全等是解题关键 针对训练1 1．数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把他们的底角顶点连接起来，则形成一组全等三角形，我们把这个规律的图形称为“手拉手图形”．如图，已知等边的边长为，点，分别为，的中点，现将绕点顺时针旋转角度为，直线，相交于点；当旋转到图位置（、、在同一直线上）时，的度数为 ；在整个旋转过程中，当点与重合时，的长为 ．      【答案】 /60度 或 【分析】根据等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质得，，从而得，利用勾股定理及等边三角形的性质分类讨论求解的长即可． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ，， 等边的边长为，点，分别为，的中点， ∴ 是边长为的等边三角形， ， ∴，即， ， ，， ， 如下图，在整个旋转过程中，当点与重合时，且点在的上方时，过点作于点， ∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如下图，在整个旋转过程中，当点与重合时，且点在的下方时，过点作于点， 同理得，， ∴． 故答案为：，或； 【点睛】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定及性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理以及直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定及性质以及等边三角形的性质是解题的关键． 2．综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图，已知和都是等边三角形，将绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图，已知和都是等边三角形．当点在射线上时，过点作于点，直接写出线段，与之间存在的数量关系为_____________． 【答案】（）见解析；（）见解析；（）或． 【分析】（）由和都是等边三角形得，，，．进而得．最后证明，即可得证； （）由和都是等边三角形，得，，，，从而得．进而证明得，即可得证； （）如图，当在线段上时，如图，当在线段的延长线上时，证明，可得；再证明，从而可得结论． 【详解】证明：（）和都是等边三角形， ，，，． ．． ． 在和中， ， ； （）和都是等边三角形， ，，，， ，， ． 在和中， ， ． ． ， ； （）或．理由如下： 如图，当在线段上时， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当在线段的延长线上时， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 3．【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图1，和是等边三角形，点B、C、E不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论________________；（写出一对即可） 上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”．    【类比分析】 （2）如下图，已知四边形中，，，是的平分线，且．将线段绕点E顺时针旋转得到线段．当时，连接，试判断线段和线段的数量关系，并说明理由；    ①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段和线段的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题； ②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件，则，再通过“手拉手”模型，合理添加辅助线，构造与全等的三角形来解决问题． 请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如下图，中，当时，点D、E为、上的点，，，若，，求线段的长．    【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）利用证明即可； （2）过点作平分交于，先证明四边形是平行四边形，可得，再证明是等边三角形，推出，再证得即可； （3）设，以、为边作，连接，将绕点逆时针旋转得，连接，可得是等边三角形，，，再得出，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案． 【详解】解：（1）．理由如下： 如图1，    和是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ； （2）如图2，过点作平分交于，    四边形中，，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平分， ， ， 是等边三角形， ，， ，， 即， 由旋转得：，， ， ， ； （3）如图3，以、为边作平行四边形，连接， 则，，，，    设，则， ， ， 又， 是等边三角形， 将绕点逆时针旋转得，连接， 是等边三角形，，， ， ， ， 即， ， 即的长为． 【点睛】本题是几何综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题关键． 能力提升1 1．综合与实践 某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)[材料理解]如图1，在中，分别以，为边向外作等腰和等腰．，，，连接，，试猜想与的大小关系，并说明理由； (2)[深入探究]如图2，在中，，，，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，求的长． (3)[延伸应用]如图3，在中，，点D为平面内一点，连接，，满足，，，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用等式的性质得出，再证明，即可得出结论； （2）利用等腰直角三角形的性质，证是直角三角莆，然后利用勾股定理求CD长，再证，得出，即可求解； （3）将绕点C顺时针旋转，得，交于F，连接AE，先证是等边三角形，再证是直角三角形，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：， 证明：， ， ， 在和中， ， （2）解：∵等腰直角和等腰直角， ，，， 在等腰直角，由勾股定理，得 ， ∵， ， 在直角，由勾股定理，得 ∴，即， 在和中， ， ； （3）解：，， 是等边三角形， ∴，， 将绕点C顺时针旋转，得，交于F，连接AE，如图3， ， 是等边三角形， ∴， 在直角，由勾股定理，得 ， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质是解题词的关键． 2．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则BD＝CE, (1)在图1中证明小胖的发现； 借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题： (2)如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD； (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数（用含有m的式子表示）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠EAF =m°. 【详解】分析：（1）如图1中，欲证明BD=EC，只要证明△DAB≌△EAC即可； （2）如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．首先证明△BDE是等边三角形，再证明△ABD≌△CBE即可解决问题； （3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM．想办法证明△AFE≌△AFG，可得∠EAF=∠FAG=m°. 详（1）证明：如图1中， ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠DAB=∠EAC， 在△DAB和△EAC中， ， ∴△DAB≌△EAC， ∴BD=EC． （2）证明：如图2中，延长DC到E，使得DB=DE． ∵DB=DE，∠BDC=60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴∠BD=BE，∠DBE=∠ABC=60°， ∴∠ABD=∠CBE， ∵AB=BC， ∴△ABD≌△CBE， ∴AD=EC， ∴BD=DE=DC+CE=DC+AD． ∴AD+CD=BD． （3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM． 由（1）可知△EAB≌△GAC， ∴∠1=∠2，BE=CG， ∵BD=DC，∠BDE=∠CDM，DE=DM， ∴△EDB≌△MDC， ∴EM=CM=CG，∠EBC=∠MCD， ∵∠EBC=∠ACF， ∴∠MCD=∠ACF， ∴∠FCM=∠ACB=∠ABC， ∴∠1=3=∠2， ∴∠FCG=∠ACB=∠MCF， ∵CF=CF，CG=CM， ∴△CFG≌△CFM， ∴FG=FM， ∵ED=DM，DF⊥EM， ∴FE=FM=FG， ∵AE=AG，AF=AF， ∴△AFE≌△AFG， ∴∠EAF=∠FAG=m°． 点睛：本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用“手拉手”图形中的全等三角形解决问题，学会构造“手拉手”模型，解决实际问题，属于中考压轴题． 2.等腰直角三角形中的手拉手 典例剖析2 例1-1．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型∶它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．如图① ，在中，，点D，E分别在边上，，连接，M是的中点，连接．          (1)观察猜想 请直接写出与的数量关系和位置关系； (2)类比探究 将图① 中绕点C逆时针旋转到图② 的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)解决问题 若，将图① 中的绕点C逆时针旋转一周时，请直接写出的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立，证明见解析 (3)的最大值为3，最小值为1 【分析】（1）证明，得到，由，推出，根据，得到，进而得到，即可得出结论； （2）延长至点F，使，连接，证明，为的中位线，即可证明结论； （3）利用（1）（2）的结论可知，当取最大值或最小值时，也取相应的最大值或最小值，当B，C，D三点共线时，可取最大值或最小值，结合图形计算即可． 【详解】（1）解： ∵ ∴ ∴ ∵M是的中点 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）证明：（1）中的结论仍然成立，证明过程如下 如图① ，延长至点F，使，连接， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵M是的中点， ∴为的中位线， ∴ 又∵ ∴ ∵， ∴， ∴； （3）解：的最大值为3，最小值为1 如图②和图③ ，利用（1）（2）的结论可知， 当取最大值或最小值时，也取相应的最大值或最小值， 当B，C，D三点共线时，可取最大值或最小值， 的最大值为， 的最大值为3； 的最小值为， 的最小值为1 【点睛】本题是三角形综合题，三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征，旋转的性质，三角形中位线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键． 针对训练2 1．如图，在等腰中，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，以为直角边，在左侧构造等腰，其中，，连接． (1)如图1，若点在上，求证：； 小明提供了如图2的思路：他利用的条件，在点作的垂线交的延长线于点，从而利用共点的两个等腰直角三角形“手拉手”模型，通过全等，转角得到结论． 请你按照小明的思路完成第（1）问； (2)如图3，若点在的下方，求证：； (3)如图4，若，，三点在一条直线上，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得，根据，可知，易知为等腰直角三角形，再结合为等腰直角三角形，利用即可证明，进而可知，即可证明结论； （2）由旋转可知，，则，结合题意可知，，由为等腰直角三角形，可知，，得，利用即可证明； （3）利用第（2）问的结果，和，从而推出长方形，根据边角边证明，结合，从而推出，根据等腰三角形的性质推出，最后利用勾股定理即可求出长度． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，则， ∴， ∴为等腰直角三角形，则， 又∵为等腰直角三角形，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由旋转可知，，则， ∵，， ∴，， 又∵为等腰直角三角形，则，， ∴， 在与中，， ∴； （3）解：由题意可知，当，，三点在一条直线上，， 作于，如图所示， 由（2）可知，， ， ， ． ， ． 为长方形， ，， ， ， ， ． ， ，， ． ． 设，则， ， 在中，， ． ． 【点睛】本题考查了三角形的全等，等腰三角形的性质，旋转的性质和勾股定理，解题的关键在于掌握相关性质定理以及证明为长方形． 2．数学老师做了一节关于中点问题专题课，喜欢钻研数学的小明同学，借助本节课的所得所获，结合老师课堂所讲习题尝试进行改编，然后交给老师审阅，老师进行了简单修改后，将本题在数学课上分享给全班同学，并对小明同学的钻研精神提出表扬． 【问题展示】 如图1，在中，，，为中点，是延长线上一点，连接，于点，以点为圆心长为半径画弧交延长线于点．求证：． 小刚和小强同学结合课堂所学知识，经过自己的分析得出解题方法，如下： 【经验分享】 小刚同学的解题方法：由为中点，可以构造“平行八字型”，如图2，过点做于点，交于点，同时也得到了“一线三等角”模型，通过两个模型的转化，就可得到和的位置关系； 小强同学的解题方法：由为中点，结合等腰三角形的性质“三线合一”，可以连接得到等腰直角三角形，结合手拉手模型的特征，如图3，过点作交于点；推得的形状，进而得到和的位置关系； 请结合小刚或小强同学的解题方法写出一种解题过程． 【能力提升】 如图4，在中，，将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，交射线、于点、，连接，取中点，连接交于点，连接，，当． 求证：． 【答案】【经验分享】：见解析；【能力提升】：见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 经验分享：小刚解法：证明得出，证明得出，从而推出，求出，即可得证； 小强解法：由等腰直角三角形的性质可得，证明得出，推出，求出即可得证； 能力提升：延长到点，使，连接，证明得出，证明，得出，从而得出垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，由等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】【经验分享】： 小刚解法： ，，， ． ． ． ，． ， ，． 为中点， ． ． ，． ．即． ． 依题知， ． ． 即． 小强解法： ，为中点， ，，． ，， ． ．即． ，， ． ，， ． ． ． ，． ． 依题知， 。 ． 即． 【能力提升】延长到点，使，连接， 依题知，，， ． 为中点， ． ，， ． ，． ． ． ，， ． ，． ． ．即． ， ． 垂直平分． ，． ，． ．即． ． 能力提升2 1．课题学习：三角形旋转问题中的“转化思想” 【阅读理解】 由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，是三角形旋转中的一个重要的“基本图形”，这个模型称为“手拉手模型”． 当发现题目的图形“不完整”时，要通过适当的辅助线将其补完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”． 【方法应用】    (1)如图1，在等腰中，，，点D在内部，连接，将绕点A顺时针旋转90°得到，连接，，．请直接写出和的数量关系：__________，位置关系：__________； (2)如图2，在等腰中，，，，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接 ，，，取中点M，连接． ①当点D在内部，猜想并证明与数量关系和位置关系； ②当B，M，E三点共线时，请直接写出的长度． 【答案】(1)， (2)①，；②或 【分析】（1）证明得，，再延长交于F，证明即可得． （2）①过点A作交延长线于N，连接，证明是的中位线，根据中位线性质得，，再由（1）可得，，，即可得出结论． ②分两种情况：当点E在延长线上，B，M，E三点共线时，当点E在线段上，B，M，E三点共线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：由旋转可得， ∴ ∵ ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， 延长交于F，如图， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴． （2）解：①， 过点A作交延长线于N，连接，如图， ∵等腰中，，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵∠ACB＝90°， ∴ ∴ ∵点M是和中点， ∴，， 由（1）可得，，， ∴，． ②当点E在延长线上，B，M，E三点共线时，如图，过点A作于F， ∵等腰中，，， ∴ 由旋转可得， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 由①知， ∴； 当点E在线段上，B，M，E三点共线时，如图，过点A作于F， 同法可得，，， ∴ 由①知， ∴； 综上，当B，M，E三点共线时， 的长度为或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三位线定理，勾股定理，旋转性质．本题属旋转综合探究题目，熟练掌握相差性质与判定是解题的关键． 3.正方形中的手拉手 例3-1．综合与实践： 问题情景：如图1，正方形与正方形的边，（）在一条直线上，正方形以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为，在旋转过程中，两个正方形只有点重合，其它顶点均不重合，连接，．    （1）如图1，当，，在同一条直线上时，线段和的数量关系 ，位置关系 ； 操作发现： （2）当正方形旋转至如图2所示的位置时，（1）中的关系还成立吗？ （3）如图3，当点在延长线上时，连接，则的度数为 ． 【答案】（1），；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）根据正方形的性质求解即可； （2）如图2，设的延长线与、相交于O、M，根据旋转性质得到，结合正方形的性质，证明得到，，再利用三角形的内角和定理和对顶角相等得到即可求解； （3）过F作交延长线于H，证明得到，，进而证明，再根据等腰三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）如图1，在正方形与正方形中，，，，， ∵，，在同一条直线上， ∴A、D、G也在同一直线上， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）（1）中的关系还成立，即，． 理由：如图2，设的延长线与、相交于O、M，    由旋转性质得， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， 又∵，， ∴， ∴； （3）过F作交延长线于H，则，    ∴， ∴，又 ∴， ∴，， ∴， ∴，又， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用全等三角形的性质求解是解答的关键． 针对训练3 1．（1）如图①，在正方形中，点E在边上，延长至点H，使．连接．求证：． 小明写出了如下证明过程： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴（依据）， ∴． 证明过程中的依据是________． 【探究】（2）如图②，连接图①中的，将线段绕着点E旋转，使点C的对应点F落在上，过点F作交于点G． 求证：． 【应用】（3）①如图③，将图②中的绕着点E逆时针旋转，使点F落在的延长线上，连接．若，，则的长为________． ②如图②中的绕着点E顺时针旋转，当A，F，G三点在同一条直线上时，若，，直接写出此时线段的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；②的长为． 【分析】（1）根据证明即可证明； （2）证明和是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可证明； （3）①作交的延长线于点，证得四边形是矩形，求得，，利用勾股定理求解即可； ②分两种情况讨论，画出图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 证明过程中的依据是． 故答案为：； （2）由（1）得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）①作交的延长线于点，如图， ∵正方形中， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴； 故答案为：； ②如图，当F，A，G三点在同一条直线上时，作交的延长线于点， 由①知， ∵是等腰直角三角形， ，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； 如图，当F，A，G三点在同一条直线上时，作交的延长线于点， 同理求得， ∴， ∴； 综上，的长为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 2．如图①，如图，在正方形中，点为边上一点，连接，点为的中点，过点作于点，连接，． 观察猜想： （1）与的数量关系是_____________； 和的数量关系是_____________； 探究发现： （2）将图①中的绕点逆时针旋转，使点恰好落在上，此时点F还是的中点．线段绕点旋转得到线段，连接，，，如图②所示，探究和的数量关系，并说明理由．    【答案】（1），；（2），理由见解析． 【分析】（）①根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，由等边对等角得到，则由三角形外角的性质得到，同理可得，据此可得结论；②由①可得； （）首先证明得到 ，再证明即可证明． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴ ∴， ∴； 故答案为： ②由①得， 故答案为：； （），理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵线段绕点旋转得到线段， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中,， ， ∴， ∴，， ∴， 由图中的绕点逆时针旋转，使点恰好落在上， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解答此题的关键． 能力提升3 1．综合与实践 操作判断 （1）操作一：将正方形与正方形的顶点重合，点在正方形的边上，如图1，连接，取的中点，连接．操作发现（提示：交于点），与的位置关系是______；与的数量关系是______． （2）操作二：将正方形绕顶点顺时针旋转，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）成立，见解析 【分析】本题是四边形的综合题，考查的是正方形的性质、旋转变换的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角是解题的关键，注意正方形的性质和勾股定理是关键． （1）延长交于点，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）连接，作交于点，延长交于点，连接，进而利用证明，进而利用全等三角形的性质解答即可； 【详解】解：（1）延长交于点， 正方形与正方形的顶点重合， ∴ ∴， ， 的中点， ， 在与中， ， ∴， ，， ， ，， ， ，， ， 故答案为：，； （2）两个结论仍然成立，理由如下： 连接，作交于点，延长交于点，连接， 四边形是正方形， ∴，，， ， ∵， ， 为的中点， ， ， ， ，， 在正方形中，，， ，， ， 在正方形与正方形中，， ， ， ， ∴， ，， ， ， ∴为等腰直角三角形， 为的中点， ，， ，； 模型二、对角互补模型 对角互补模型的特征： 外观呈现四边形，且对角和为180°。主要：含90°对角互补，含120°的对角互补两种类型。 解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线。 典例剖析4 例4-1 .在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD． （1）如图1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由． （2）如图2，若将（1）中的条件“∠B=90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）如图3，若∠DAB=90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由． 【答案】（1）AC=AD+AB；（2）成立；（3）AD+AB=AC． 【分析】（1）结论：AC=AD+AB，只要证明AD=AC，AB=AC即可解决问题； （2）（1）中的结论成立．以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题； （3）结论：AD+AB=AC．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题； 【详解】（1）AC=AD+AB． 理由如下： 如图1中，在四边形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°， ∴∠D=90°， ∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠BAC=60°， ∵∠B=90°， ∴AB=AC， 同理AD=AC， ∴AC=AD+AB． （2）（1）中的结论成立，理由如下： 以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，如图2， ∵∠BAC=60°， ∴△AEC为等边三角形， ∴AC=AE=CE， ∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°， ∴∠DCB=60°， ∴∠DCA=∠BCE， ∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°， ∴∠D=∠CBE， ∵CA=CE， ∴△DAC≌△BEC， ∴AD=BE， ∴AC=AE=AD+AB． （3）结论：AD+AB=AC．理由如下： 过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，如图3， ∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=90°， ∴∠DCB=90°， ∵∠ACE=90°， ∴∠DCA=∠BCE， 又∵AC平分∠DAB， ∴∠CAB=45°， ∴∠E=45°， ∴AC=CE． 又∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠CBE=180°， ∴∠D=∠CBE， ∴△CDA≌△CBE， ∴AD=BE， ∴AD+AB=AE． 在Rt△ACE中，AC=CE， ∴AE==AC， ∴AD+AB=AC． 【点评】本题是四边形探究的综合题，属于压轴题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段的和差倍分关系，对于线段和差问题，常常采用截长法或补短法构造辅助线，通过全等三角形来解决． 针对训练4 1．若四边形满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．    (1)如图①，四边形为对角互补四边形，且满足，，求的度数．小云同学是这么做的：将绕点A逆时针旋转，使得点D与点B重合，点C的对应点为点M．请你写出的度数为______； (2)如图②，四边形为对角互补四边形，且满足，，试说明：； (3)如图③，在和中，，，点B在线段上，且与互补．请你判断与的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）由题意知，，由旋转的性质可得，，，则，三点共线，是等腰直角三角形，进而可求； （2）如图②，将绕点A逆时针旋转，使得点D与点B重合，点C的对应点为点E，同理（1）可求点C，B，E在同一条直线上．，为等边三角形，进而可得． （3）如图③，连接，将绕点A逆时针旋转，使得点B与点D重合，点C的对应点为点M，由与互补，可得，，点C，D，M在同一条直线上，由旋转的性质可知，则，证明，则，，然后可求． 【详解】（1）解：由题意知，， 由旋转的性质可得，，， ∴， ∴三点共线， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：； （2）解：如图②，将绕点A逆时针旋转，使得点D与点B重合，点C的对应点为点E，    由题意知， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴． ∴点C，B，E在同一条直线上． ∴， ∴为等边三角形， ∴． （3）解：，理由如下： 如图③，连接，将绕点A逆时针旋转，使得点B与点D重合，点C的对应点为点M，    ∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴点C，D，M在同一条直线上． 由旋转的性质可知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 2．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图①，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图②，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，作交延长线于点F． ①试判断四边形的形状，证明你的结论，并求出的长． ②若点M是边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①四边形是正方形，；②周长的最小值为 【分析】（1）由旋转可得，由全等三角形的性质则可得四边形符合“直等补”四边形的条件，因而问题解决； （2）①由已知可得四边形是矩形，现证明，则易得是正方形；设，由勾股定理建立方程即可求得x的值； ②作点C关于的对称点H，连接，交于点N，则当M与N重合时，的周长最小，即可求得周长的最小值． 【详解】（1）解：∵在正方形中，， 又绕B点旋转得到，且与重合， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为“直等补”四边形； （2）解：①∵，， ∴； ∵四边形是“直等补”四边形，， ∴， ∴， 即， ∴四边形是矩形； ∴； 即， ∴； 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（舍去）， ∴； ②如图，作点C关于的对称点H，连接，交于点N， 则， ∵， ∴当M与N重合时，取得最小值，最小值为线段的长； ∵的周长为， ∴的周长最小值为； ∵， ∴由勾股定理得：， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题是几何综合问题，考查了正方形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，新定义，轴对称的性质等知识，构造适当的辅助线是解题的关键． 能力提升4 1．四边形若满足两组对角互补，即，，则我们称该四边形为“对角互补四边形”    (1)【思路点拨】 如图1，四边形为对角互补四边形，，． 求证：平分． 小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分． ①还可以知道、、三者数量关系为：_________； ②请你用旋转的知识描述如何旋转得到 _________； (2)【变式拓展】 如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，，请你仿照小云的做法，证明： 平分； ②； (3)【能力提升】 如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足，，则、、三者数量关系为：_________． 【答案】(1)①；②绕点A逆时针旋转得到 (2)①见解析；②见解析； (3) 【分析】（1）①由题意可得，，，即可得； ②根据旋转的定义可得出答案； （2）①延长至，使，连接，证明，可确定是等边三角形，在求出，即可证明； ②由①直接可证明； （3）延长至，使，连接，证明，结合已知可求，过点作交于点，则有，，再由即可求解． 【详解】（1）解：①， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ②∵， ∴绕点A逆时针旋转得到． （2）解：①延长至，使，连接，如图2，    四边形为对角互补四边形， ， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 平分； ②，， ， ； （3）解：延长至，使，连接，如图3，    四边形为对角互补四边形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 过点作交于点， 为的中点， ， 在中，， ， ， 【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，恰当的构造辅助线是解题的关键． 2．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：    (1)如图1，在正方形中，点F是上的一点，将绕B点旋转，使与重合，此时点F的对应点E在的延长线上，则四边形 “直等补”四边形；（填“是”或“不是”） (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，过点C作于点F．试探究线段，和的数量关系，并说明理由； 【答案】(1)是 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了新定义，旋转的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质． （1）由旋转可得，，又在正方形中，，从而，因此满足，，，故四边形是“直等补”四边形； （2）由四边形是“直等补”四边形，，，可得，，从而，又，，证得四边形是矩形，有，，利用“”证明，从而， 进而证得． 【详解】（1）∵将绕B点旋转，使与重合，此时点F的对应点E在的延长线上， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴四边形是“直等补”四边形． 故答案为：是 （2）∵四边形是“直等补”四边形，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，        ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$