精品解析：广东省珠海市第一中学平沙校区2023-2024学年高一上学期期末教学质量检测数学试题

2023－2024学年第一学期高中期末教学质量检测 高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第五章5.5. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边过点，则角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. -2 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是正实数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 12 D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. “”的否定是“” B. ，方程有实数根 C. 是4的倍数 D. 半径为3，且圆心角为的扇形的面积为 10. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数有且只有一个零点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 若不等式的解集为，则 12. 已知，其中且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13. __________. 14. 写出函数在上的一个减区间：__________. 15. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解析式为__________. 16. 在数学中连乘符号是“Π”，例如：若，则，已知函数，，，且，则使为整数的共有__________个. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）. 18. 已知为锐角，且. （1）求的值； （2）若，求的值. 19. 已知函数，不等式的解集是. （1）求的解析式； （2）若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围. 20. 已知函数且的图象过定点，函数与的图象交于点. （1）若，求的值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 21. 已知幂函数在上是增函数. （1）求的解析式； （2）设函数，求在上的最小值. 22. 已知函数. （1）若，求； （2）设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023－2024学年第一学期高中期末教学质量检测 高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第五章5.5. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求得集合，进而求得. 【详解】由，得， 所以，， 则. 故选：D 2. 已知角的终边过点，则角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求得正确答案. 【详解】. 故选：A 3. 下列四组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】分别看四个选项中函数的定义域、值域和对应法则，从而可选出正确答案. 【详解】对于A: 函数的定义域为R，值域也是R，函数定义域为R， 值域为，所以这两个函数的值域不一样，而不表示同一个函数，故A错误； 对于B：函数的定义域为R，函数的定义域为， 所以这两个函数的定义域不一样，而不表示同一个函数，故B错误； 对于C：函数的定义域为，函数的定义域为R， 所以这两个函数的定义域不一样，而不表示同一个函数，故C错误； 对于D：与，两个函数的定义域都，对应法则，值域都相同，所以表示同一个函数，故D正确. 故选：D. 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析给定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得. 【详解】易知函数在R上增函数， 又，， ， ， 由零点存在定理，可知零点所在区间为. 故选：. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：在分子和分母中同时除以，利用弦化切可求得所求代数式的值；解法二：利用二倍角公式可求得所求代数式的值. 【详解】解法一：. 解法二：. 故选：B. 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性、充分和必要条件、不等式的性质等知识确定正确答案. 【详解】由，得，当时，得不到； 由，得，所以. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数表达式以及对数运算求得正确答案. 【详解】因为， 所以 . 故选：D 8. 已知是正实数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】， 当且仅当，时等号成立. 故选：B 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. “”的否定是“” B. ，方程有实数根 C. 是4的倍数 D. 半径为3，且圆心角为的扇形的面积为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定、一元二次方程的跟、奇数和偶数、扇形面积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】根据存在量词命题的否定的知识可知， “”的否定是“”，所以A正确； 因为，所以B正确； 当是偶数时，是奇数不是4的倍数， 当是奇数时，设，则， 所以不是4的倍数，所以C错误； 根据扇形的面积公式，可得，所以D错误. 故选：AB 10. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】结合对数函数与指数函数的单调性逐项判断. 【详解】由，得，所以，故A正确B错误； 因为函数在上单调递减， 所以，即，故C错误，D正确. 故选：AD. 11. 已知函数有且只有一个零点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 若不等式的解集为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据题意得出；再由二次函数的最值的求法可判断选项A，根据基本不等式可判断选项B，由三个二次之间的关系可判断选项C，由三个二次之间的关系及韦达定理可判断选项D. 【详解】因为有且只有一个零点， 所以，即. 对于选项A，因为， 所以 ，故选项A正确； 对于选项B，因为，当且仅当时，等号成立，故选项错误； 对于选项C，因为， 所以不等式的解集为，故选项C正确； 对于选项D，因为不等式的解集为， 所以方程的两根为，且， 所以，故选项D正确. 故选：ACD. 12. 已知，其中且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意化简得或，结合且即可判断AB；结合平方关系以及即可判断CD. 【详解】因为，其中且， 所以， 所以或，即或. 因为且，所以，所以，B正确，A错误； 因为，所以，所以，C错误； 因为，所以，D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13. __________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式即可求解. 【详解】. 故答案为：. 14. 写出函数在上的一个减区间：__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用余弦函数的单调性求解即可. 【详解】函数的减区间为的增区间，即， 据此只需写内的任何一个非空子集，例如. 故答案为：（答案不唯一） 15. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解析式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质得到，求出时的函数解析式，求出答案. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以. 当时，， 所以当时，. 综上， 故答案为： 16. 在数学中连乘符号是“Π”，例如：若，则，已知函数，，，且，则使为整数的共有__________个. 【答案】8 【解析】 【分析】根据已知条件利用对数运算求得，再由为整数，利用指数运算等知识求得正确答案. 【详解】由于，故. 要使为整数，则，从而，. 而，故，结合，知可取. 从而，故使为整数的共有8个. 故答案为：8. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）. 【答案】（1）4 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据指数的运算性质即可化简计算； （2）利用换底公式，换成已知对数即可化简求值. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式 . 18. 已知为锐角，且. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行化简即可； （2）根据（1）的结论，结合两角差的正弦公式进行求解即可. 【小问1详解】 ， . . 又为锐角， ， ； 【小问2详解】 由（1）可知. ，且为锐角， ， 19. 已知函数，不等式的解集是. （1）求的解析式； （2）若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解集的形式转化为一元二次方程的解求待定系数； （2）问题转化为一元二次不等式在给定区间内有解，进一步转化为二次函数在给定区间内的值域问题. 【小问1详解】 因为不等式的解集是 所以0，5是方程的两个实数根， 可得. 所以. 【小问2详解】 由，得，即. 令， 由题可知有解，即即可. 当时，，显然不合题意. 当时，图象的对称轴为直线. ①当时，在上单调递减， 所以，解得； ②当时，在上单调递增， 所以，解得. 综上，的取值范围是. 20. 已知函数且的图象过定点，函数与的图象交于点. （1）若，求的值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）的图象过定点，利用点在的图象上求出，利用得，换元法解方程可得答案； （2）（方法一）转化为在上恒成立，令，求出可得答案；（方法二）转化为在上恒成立，令，即求时，，分、、讨论，求出可得答案. 【小问1详解】 因为对任意的且，都有， 所以的图象过定点， 又因为点在的图象上， 所以，解得， 所以， 由，得， 令，则，且，整理得，即， 所以或2，即或，解得或1； 【小问2详解】 （方法一）， 则在上恒成立， 即在上恒成立. 令，则. 因为在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围是； （方法二）， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则当时，， 图象的对称轴为直线， ①当，即时，在上单调递增， 所以，则，又，所以； ②当，即时，在上单调递减， 在上单调递增， 所以，整理得无实数解； ③当，即时，在上单调递减， 所以，则，又，所以无解. 综上，实数的取值范围为. 21. 已知幂函数在上是增函数. （1）求的解析式； （2）设函数，求在上的最小值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性求得，进而求得. （2）根据复合函数的单调性求得在上的最小值. 【小问1详解】 因为是幂函数， 所以， 解得或. 又在上是增函数，则，即， 所以，则. 【小问2详解】 由（1）得，所以. 令，当时，单调递减. 又函数在其定义域内单调递增， 由复合函数的单调性可得在上单调递减， 所以. 22. 已知函数. （1）若，求； （2）设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且. 【答案】（1） （2）由题意得. ①当时，，所以单调递增. 又，由于，而， 所以.又， 所以由零点存在定理得在内有唯一零点，使得. 当时，，所以，则在上无零点； 当时，，所以，则在上无零点. 综上，在上有且仅有一个零点. ②由①得，且， 则. 由函数的单调性得函数在上单调递增， 则， 故. 【解析】 【分析】（1）化简已知条件求得，利用诱导公式求得. （2）先求得的表达式，然后对进行分类讨论，结合零点存在性定理证得在上有且仅有一个零点，求得的表达式，然后利用函数的单调性证得不等式成立. 【小问1详解】 由，则， 所以 . 【小问2详解】 略 【点睛】求解已知三角函数值求三角函数值的问题，可以考虑利用诱导公式等三角恒等变换的公式来进行求解.判断函数零点的个数，除了零点存在性定理外，还需要结合函数的单调性来进行判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $