2.5逆命题和逆定理　导学案　2024—2025学年浙教版数学八年级上册　

浙教版数学八年级上册自主学案 第2章　特殊三角形 2.5　逆命题和逆定理 教材的地位 和作用 　本节课是在学完命题和定理相关概念之后进一步探讨命题和定理的知识,另一方面,本章已对等腰三角形的性质和判定有了深入的研究,性质和判定两者就是互逆命题、互逆定理的关系.换言之,本节课是命题知识学习的深入 教 学 目 标 知识与技能 　1.了解逆命题、逆定理的概念. 　2.会识别两个命题是不是互逆命题,会写出一个命题的逆命题. 　3.了解原命题成立,其逆命题不一定成立. 　4.理解线段的垂直平分线性质定理的逆定理的证明 过程与方法 　经历逆命题的概念的发现过程,了解一个命题都是由条件与结论两部分构成,每个命题都有它的逆命题,命题有真假之分 情感、态度 与价值观 　通过互逆命题的学习,感受数学中的互逆过程,辩证地看待性质和判定之间的关系,为今后的学习打下基础 教学 重点 难点 重点 　逆命题和逆定理的概念 难点 　写出一个命题的逆命题并证明其为真命题的表述 易错点 　对线段的垂直平分线的判定理解不透 知识点一　逆命题和逆定理 　　在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的　结论　,而第一个命题的结论是第二个命题的　条件　,那么这两个命题叫做互逆命题.如果一个定理的逆命题能被证明是　真命题　,那么就叫它是原定理的逆定理,这两个定理叫做互逆定理.  1.写出下列命题的逆命题: (1)同旁内角互补,两直线平行; (2)等腰三角形的两个底角相等. 解:(1)两直线平行,同旁内角互补. (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形. 2.请写出一对互逆定理. 解:(答案不唯一)定理:两直线平行,内错角相等.其逆定理为内错角相等,两直线平行. 知识点二　线段垂直平分线性质定理的逆定理 　　到线段两端距离相等的点在　线段的垂直平分线上　.  图2-5-1 3.如图2-5-1,AC=AD,BC=BD,则下列说法中正确的是　①③　(填序号).  ①点A在线段CD的垂直平分线上;②点C在线段AB的垂直平分线上;③AB是线段CD的垂直平分线;④CD是线段AB的垂直平分线. 类型一　逆命题及其证明 例1 (教材补充例题)已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”. (1)写出此命题的逆命题. (2)逆命题是真命题还是假命题?如果是真命题,请画出图形,并写出“已知”“求证”“证明”;如果是假命题,请举出反例. 解:(1)逆命题:两边上的高线相等的三角形是等腰三角形. (2)逆命题是真命题. 已知:如图,△ABC的两边AB,AC上的高线CE,BD相等. 求证:△ABC是等腰三角形. 证明:∵BD,CE是△ABC的高线, ∴CE⊥AB,BD⊥AC,∴∠ADB=∠AEC. 又∵∠A=∠A,BD=CE, ∴△ADB≌△AEC,∴AB=AC, ∴△ABC是等腰三角形. 【归纳总结】 写逆命题的“三步法”: 分析分清条件与结论 　↓ 交换互换条件与结论的位置 　↓ 检验检查表达是否符合逻辑 类型二　线段垂直平分线性质定理的逆定理 例2 (教材补充例题)如图2-5-2,在△ABC中,D为BC上的一点,连结AD,点E在AD上,并且∠1=∠2,∠3=∠4. 求证:AD垂直平分BC. 图2-5-2 证明:∵∠3=∠4, ∴EB=EC, ∴点E在线段BC的垂直平分线上. ∵∠1=∠2,∠3=∠4, ∴∠1+∠3=∠2+∠4, 即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC, ∴点A也在线段BC的垂直平分线上, ∴AD垂直平分BC. 【归纳总结】 判定线段垂直平分线的两种方法: (1)根据线段垂直平分线的定义; (2)先证明直线上有两点都在线段的垂直平分线上,再根据两点确定一条直线得该直线就是线段的垂直平分线. 　　1．如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上(不与点A，D重合)，连结PB，PC.下列命题中，不一定是真命题的是(　D　) 第1题图 A．若AB＝AC，AD⊥BC，则PB＝PC B．若PB＝PC，AD⊥BC，则AB＝AC C．若AB＝AC，∠1＝∠2，则PB＝PC D．若PB＝PC，∠1＝∠2，则AB＝AC 【解析】 若AB＝AC，AD⊥BC， 则D是BC的中点， ∴AP是BC的垂直平分线， ∴PB＝PC，∴A是真命题． 同理可得B是真命题． 若AB＝AC，∠1＝∠2，则AD⊥BC， 且D是BC的中点， ∴AP是BC的垂直平分线， ∴PB＝PC，C是真命题． 由PB＝PC，∠1＝∠2不一定能得到AB＝AC，D不一定是真命题． 2．命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题是__两边上的高线长相等的三角形是等腰三角形__．逆命题是__真__命题(填“真”或“假”)． 3．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连结BE，CD相交于点F. (1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由． (2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC. 　 第3题图 解：(1)∠ABE＝∠ACD.理由如下： ∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD， ∴△ABE≌△ACD(SAS)， ∴∠ABE＝∠ACD. (2)∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. 由(1)，得∠ABE＝∠ACD， ∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC. 又∵AB＝AC， ∴点A，F均在线段BC的垂直平分线上，即过点A，F的直线垂直平分线段BC. 4．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，直线DM，EN相交于点O. (1)试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由． (2)若∠BAC＝100°，求∠MON的度数． 第4题图 解：(1)点O在BC的垂直平分线上． 理由如下： 如答图，连结AO，BO，CO. ∵DM，EN分别是AB，AC的垂直平分线， ∴OA＝OB，OA＝OC，∴OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上． 第4题答图 (2)∵OM⊥AB，ON⊥AC， ∴∠AMO＝∠ANO＝90°. ∵∠AMO＋∠OAM＋∠AOM＝180°，∠ANO＋∠OAN＋∠AON＝180°， ∴∠AMO＋∠OAM＋∠AOM＋∠ANO＋∠OAN＋∠AON＝360°， 即∠AMO＋∠MAN＋∠ANO＋∠MON＝360°. 又∵∠MAN＝100°， ∴∠MON＝360°－∠AMO－∠ANO－∠MAN＝80°. 学科网（北京）股份有限公司 $$