2.4等腰三角形的判定定理自主学案 2023-2024学年浙教版数学八年级上册

浙教版数学八年级上册自主学案 第2章　特殊三角形 2.4　等腰三角形的判定定理 教材的地位 和作用 　等腰三角形的判定是在学习了等腰三角形的概念和性质的基础上对等腰三角形的又一深入探索,是在同一个三角形中边角相等关系互相转换的重要依据,是判定等腰三角形和证明线段相等的重要方法 教 学 目 标 知识与技能 　掌握等腰(边)三角形的判定定理,并能灵活地应用它们进行简单的推理、判断、计算和作图 过程与方法 　经历等腰(边)三角形判定定理的探究过程,进一步养成分析问题、思考问题的习惯,提高分析问题和解决问题的能力 情感、态度 与价值观 　通过积极参与分析,体验学习知识的乐趣与思考的魅力 教学 重点 难点 重点 　等腰(边)三角形的判定定理 难点 　综合应用等腰(边)三角形的性质与判定解决几何问题 易错点 　未弄清判定定理的条件和结论,与性质定理混淆 知识点一　等腰三角形的判定 　　如果一个三角形有　两个角相等　,那么这个三角形是等腰三角形.(该定理可以简单地说成:在同一个三角形中,　等角对等边　)  1.如图2-4-1,在△ABC中,∠B=∠C,AB=5,则AC的长为 (D) 图2-4-1 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.3 C.4 D.5 知识点二　等边三角形的判定 　　　三个角都相等　的三角形是等边三角形.  　　有一个角是　60°　的等腰三角形是等边三角形.  2.若一个三角形是轴对称图形,且有一个内角为60°,则这个三角形一定是 (C) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.上述三种情形都有可能 类型一　等腰三角形的判定定理 例1 (教材补充例题)如图2-4-2,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,过点O作DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E. 图2-4-2 (1)若DE=6,则BD+CE等于 (B) A.5 B.6 C.7 D.8 (2)若△ADE的周长为13,AB=7,则AC的长为　6　.  【归纳总结】 “角平分线+平行线➝等腰三角形”基本图形: 图2-4-3 ⇒△BFE为等腰三角形 类型二　等腰三角形的判定与性质的综合应用 　　例2 (教材补充例题)如图2-4-4所示,在△ABC中,∠ABC=90°,D是AB延长线上一点,点E在BC上,连结DE并延长交AC于点F,且EF=FC. 求证:AF=DF. 图2-4-4 　　证明:∵EF=FC, ∴∠FEC=∠C(等边对等角). ∵∠BED=∠FEC,∴∠BED=∠C. ∵∠ABC=90°, ∴∠A+∠C=90°,∠D+∠BED=90°, ∴∠A=∠D,∴AF=DF(等角对等边). 类型三　等边三角形的判定定理 　　例3 (教材补充例题)如图2-4-5,已知在△AEC中,∠EAC=120°,AD平分∠EAC,交EC于点D,BC∥AD,交EA的延长线于点B. 求证:△ABC是等边三角形. 　图2-4-5 证明:∵∠EAC=120°,AD平分∠EAC, ∴∠EAD=∠DAC=∠EAC=60°. ∵AD∥BC, ∴∠BCA=∠DAC=60°,∠B=∠EAD=60°. 又∵∠BAC=180°-∠EAC=60°, ∴∠BCA=∠B=∠BAC, ∴△ABC是等边三角形. 【归纳总结】 等边三角形的判定方法: 判定角度 判定方法 边 三条边都相等的三角形是等边三角形 角 三个内角都相等的三角形是等边三角形 边与角 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形 对称轴 有三条对称轴的三角形是等边三角形 1．如图所示为5×5的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C的个数为(　C　) 第1题图 A．2 B．4 C．6 D．7 【解析】 若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，则满足条件的点C有6个，如答图所示． 第1题答图 2．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为__70°或40°或20°__. 第2题图 【解析】 ∵∠B＝50°，∠C＝90°， ∴∠BAC＝40°. 如答图，分三种情况讨论： 第2题答图 ①当AC＝AD时，∠ACD＝(180°－∠BAC)＝70°； ②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝∠BAC＝40°； ③当AC＝AD″时，∠ACD″＝∠BAC＝20°. 综上所述，∠ACD的度数为70°或40°或20°. 3．如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE. (1)若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数． (2)写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由． 第3题图 解：(1)∵∠ABC＝80°，BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD＝50°. 又∵∠A＝40°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠ABC＝60°. 又∵CE＝BC， ∴△BCE是等边三角形， ∴∠EBC＝∠ECB＝60°， ∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝20°. (2)∠BEC＋∠BDC＝110°.理由如下： 设∠BEC＝α，∠BDC＝β， 则α＝∠A＋∠ABE＝40°＋∠ABE. ∵CE＝BC， ∴∠CBE＝∠BEC＝α， ∴∠ABC＝∠ABE＋∠CBE＝∠A＋2∠ABE＝40°＋2∠ABE. ∵在△BDC中，BD＝BC， ∴∠BCD＝∠BDC＝β， ∴∠BDC＋∠BCD＋∠DBC＝2β＋40°＋2∠ABE＝180°， ∴β＝70°－∠ABE， ∴α＋β＝40°＋∠ABE＋70°－∠ABE＝110°， ∴∠BEC＋∠BDC＝110°. 学科网（北京）股份有限公司 $$