2024年全国一卷数学新高考题型细分S2-5——导数大题3 中下

2024年全国一卷新高考题型细分S2-5 ——导数——大题3（中下） 1、 试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。 4、 《导数——大题》题目按难易程度排序：易、基础、中下、中档、中档长题、中上。具体题型有：切线、单调性、极值、最值、单调性分类讨论、恒成立、能成立、零点分析、拓展等，大概167道题。 导数 大题3（中下）： 1. （2024年鲁J21济南三月考）16 已知函数. （1）当时，求的单调区间；（[endnoteRef:2]） （2）讨论极值点的个数. （单调性，零点分析，中下；） [2: 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得到函数的极值点个数. 【小问1详解】 当时，定义域为， 又， 所以， 由，解得，此时单调递增； 由，解得，此时单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 函数的定义域为， 由题意知，， 当时，，所以在上单调递增， 即极值点的个数为个； 当时，易知， 故解关于的方程得，，， 所以， 又，， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 即极值点的个数为个. 综上，当时，极值点的个数为个；当时，极值点的个数为个. ] 2. （2024年湘J32长沙雅礼一测）17. 已知函数(其中为常数且)在处取得极值. (1)当时，求的极大值点和极小值点；（[endnoteRef:3]） (2)若在上的最大值为1，求的值. （极值，最值，中下；） [3: 【答案】（Ⅰ）单调递增区间为，；单调递减区间为; （Ⅱ）或. 【解析】 【详解】试题分析：（1）通过求解函数的导数，结合函数的极值点，求出，然后通过函数的单调性求解极值点即可；（2）令，求出，，然后讨论当时，得出的单调区间，求出的最大值，求出；再讨论时，当，及时，分别得出的单调区间，求出的最大值，即可求出的值. 试题解析：(1)∵ ∴. ∵函数在处取得极值， ∴ ∴当时，，则 、随的变化情况如下表： ∴的单调递增区间为和，单调递减区间为 ∴的极大值点为，的极小值点为1. (2)∵ 令得，， ∵在处取得极值 ∴ （ⅰ）当时，在上单调递增，在上单调递减， ∴在区间上的最大值为，则，即 ∴ （ⅱ）当时， ①当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增， ∴的最大值1可能在或处取得， 而 ∴ ∴ ②当时，在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增 ∴的最大值1可能在或处取得，而 ∴，即，与 ③当时，在区间上单调递增，在上单调递减， ∴的最大值1可能在处取得，而，矛盾． 综上所述，或. 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用． ] 3. （2024年湘J29邵阳二联考）17. 设函数. （1）求的极值；（[endnoteRef:4]） （2）若对任意，有恒成立，求的最大值. （极值，恒成立，中下；） [4: 【答案】17. 极小值，无极大值； 18. . 【解析】 【分析】（1）求导，判断函数单调性即可确定极值; （2）分离参数并构造新函数，求导，判断函数单调性求出最小值即可求解. 【小问1详解】 . 令，得，令，得. 故在单调递减，在单调递增. 在处取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 对恒成立，即对恒成立. 令，则只需即可. . 易知均在上单调递增， 故在上单调递增且. 当时，单调递减； 当时，单调递增. .故，故的最大值为. ] 4. （2024年湘J21一起考一模）17. 已知函数，. （1）若的极大值为1，求实数a的值；（[endnoteRef:5]） （2）若，求证：. （极值，恒成立，中下；） [5: 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分类讨论，利用导数判断函数的单调区间，根据极大值建立方程求解即可； （2）把问题转化为证明，构造函数，利用导数研究函数最值即可证明. 【小问1详解】 的定义域为，. 当时，，在上单调递增，函数无极值； 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得极大值，极大值为，解得. 经验证符合题意，故实数a的值为. 【小问2详解】 当时，，故要证，即证. 令，则，. 令，，则， 所以在上单调递增， 又因为，， 所以，使得，即， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 又因为，即， 所以， 所以，即，故得证. ] 5. （2024年鲁J07淄博一模）17. 已知函数 （1）讨论函数在区间上的单调性;（[endnoteRef:6]） （2）证明函数在区间上有且仅有两个零点. （单调性，零点分析，中下；） [6: 【答案】（1）单调递增； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再判断导函数值的正负即得. （2）利用导数，结合零点存在性定理推理论证即可. 【小问1详解】 函数，当时，， 所以在上的单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，，当时，，函数在上单调递增， ，，因此函数在上有唯一零点； 当时，令，求导得，在上单调递增， ，则存在，使得， 当时，，函数，即单调递减， 当时，，函数，即单调递增， 又，，则存在，使得， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 而，，因此函数上有唯一零点， 所以函数在区间上有且仅有两个零点. ] 6. （2024年鲁J04青岛一适）16. 已知函数． （1）若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程； （2）讨论的单调性．（[endnoteRef:7]） （切线，单调性分类讨论，中下；） [7: 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求导，根据可得，即可利用点斜式求解， （2）求导，结合分类讨论求解导函数的正负，结合二次方程根的情况，即可求解. 【小问1详解】 当时，，解得 又因为，所以切线方程为：，即 【小问2详解】 的定义域为， 当时，得恒成立，在单调递增 当时，令， （i）当即时， 恒成立，在单调递增 （ii）当即时， 由得，或， 由得， 所以在，单调递增， 在单调递减 综上：当时，在单调递增； 当时，在，单调递增； 在单调递减 ] 7. （2024年粤J33珠海一中预测）23. 已知函数. （1）讨论的单调性；（[endnoteRef:8]） （2）若（e是自然对数的底数），且，，，证明：. （单调性分类讨论，零点分析，中下；） [8: 【答案】（1）结论见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再按分类探讨的正负作答. （2）等价变形给定等式，结合时函数的单调性，由，，再构造函数，，利用导数、均值不等式推理作答. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得则，由得， 若，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增， 若，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减； 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由，两边取对数得，即， 由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减， ，而，时，恒成立， 因此当时，存在且，满足， 若，则成立； 若，则，记，， 则， 即有函数在上单调递增，，即， 于是， 而，，，函数在上单调递增，因此，即， 又，则有，则， 所以. 【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. ] 8. （2024年粤J40汕头一模）16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程；（[endnoteRef:9]） （2）若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围. （切线，零点分析，中下；） [9: 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，利用导数探讨函数的单调性，求出的范围. 【小问1详解】 当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为， 求导得， 当时，，由，得，由，得， 则函数在上递增，在上递减，函数只有极大值，不合题意； 当时，由，得或， ①若，即，由，得或，由，得， 则函数在上递增，在上递减， 因此函数的极大值为，极小值为，符合题意； ②若，即，由，得或，由，得， 则函数在上递增，在上递减， 因此函数的极大值为，极小值为，符合题意； ③若，即，由在上恒成立，得在上递增， 函数无极值，不合题意， 所以的取值范围为. ] 9. （2024年湘J03长沙一中）17. 已知函数，. （1）若函数在上单调递增，求的最小值；（[endnoteRef:10]） （2）若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围． （单调性，零点分析，中下；） [10: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知，对任意的恒成立，分析函数在上的单调性，根据可求得实数的取值范围，即可得解； （2）令，分析可知，函数的图象与直线只有一个公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：由已知可得，则， 因函数在上单调递增， 所以对任意的恒成立， 又因为函数在上为增函数， 则，解得，故实数的最小值为. 【小问2详解】 解：，令，可得， 因为函数的图象与有且只有一个交点， 令，则函数的图象与直线只有一个公共点， 则，令，解得或，令，解得， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 则的极大值为，极小值为， 图象如下所示：    由图可知，当或时，函数的图象与直线只有一个公共点， 因此，实数的取值范围是. ] 10. （2024年苏J09徐州适应）16. 已知函数，．（[endnoteRef:11]） （1）若函数在上单调递减，求a的取值范围： （2）若直线与的图象相切，求a的值． （单调性，切线，中下；） [11: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数的单调性与导数的正负，得出导函数的恒成立关系，利用分离参数和基本不等式即可求解； （2）利用导数的几何意义及切点的位置关系，建立方程组即可求解. 【小问1详解】 记在上单调递减， 对恒成立， ，而， 当且仅当即时，等号成立， 所以当时，取得最小值为. 所以a的取值范围为 【小问2详解】 设直线与的图象相切于， ， 由题意可知， 代入， ，左边式子关于单调递减且时，左边 ] 11. （2024年浙J04温州一适）20. 已知（）. （1）求导函数的最值；（[endnoteRef:12]） （2）试讨论关于的方程（）的根的个数，并说明理由. （最值，零点分析，中下；） [12: 【答案】（1）最大值等于 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数，令，对再求导，利用导数确定单调性得最值； （2）方程变形为，令，对求导，确定单调性，得出函数值域后可得结论． 【小问1详解】 ∵，记 ∴，解得： 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值等于. 【小问2详解】 方法1：由，即，即. 令，∴，由解得： ∴在上单调递增，在上单调递减，∴，且 所以：当时，方程无解；当时，方程有1个解；当时，方程有2个解. 方法2：由，即，即. 令，，∴，由解得： ∴在上单调递增，在上单调递减，∴，且 所以：当时，方程无解；当时，方程有1个解；当时，方程有2个解. 方法3：由，即，两边取对数得：，即. 令，所以由，解得 当时，，单调递增，当时，，单调递减 所以 当，即时，方程无解； 当，即时，方程有1个解； 当，即时，方程有2个解. ] 12. （2024年浙J03台州一评）22. 设 （1）求证：；（[endnoteRef:13]） （2）若恒成立，求整数的最大值．（参考数据，） （恒成立，恒成立，中下；） [13: 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）将问题转化成求证，，构造函数，通过求导，利用导数与函数单调性间的关系，得出的单调区间，从而求出的最小值，即可证明结果； （2）通过取值，得出，再利用（1）结果，证明时，，再通过构造函数，求出函数最值即可得出结果. 【小问1详解】 要证：，（，）， 只要证：，又当时，，当时，， 即与同号，故只要证：，即证：， 令，（，），则， 当时，，时，， 所以在上递减，在上递增， 所以，故原不等式得证． 【小问2详解】 因为，当时，有， 则，所以整数． 当时，由（1）可得， 下证：，，只要证：． 令，， 因为， 所以在上单调递减，故，所以得证, 综上所述，整数的最大值为2． 【点睛】证明不等式或恒（能）成立问题，常通过构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，将问题转化成求函数最值. ] 13. （2024年粤J139深圳外国语九模）17．已知在时，取得极大值． (1)讨论在上的单调性；（[endnoteRef:14]） (2)令，试判断在上零点的个数． （单调性分类讨论，零点分析，中下；） [14: 17．(1)单调递增区间是，，递减区间是， (2)三个零点 【分析】 （1）求导数，令，则或，通过讨论的正负，可得的单调区间． （2）分别讨论和，求出单调性，可得结果． 【详解】（1）由题意，，因为在时，取得极大值， 则，得， 所以， 令，则或． 时，，单调递增， 时，单调递减， 时，，单调递增， 时，，单调递减． 所以的单调递增区间是，，递减区间是，． （2）在R上有3个零点，理由如下： ， 因为，所以是的一个零点． ， 所以是偶函数，即要确定在R上的零点个数，需确定时，的零点个数即可． ①当时，， 令，即或， 时，单调递减，且， 时，单调递增，且， 所以在有唯一零点； ②当时，由于， ， 而在单调递增，， 所以恒成立，故在无零点， 所以在有一个零点， 由于是偶函数，所以在有一个零点，而， 综上在R有且仅有三个零点． ] 14. （2024年粤J126广东三模）15．已知函数，其中为常数. (1)过原点作图象的切线，求直线的方程；（[endnoteRef:15]） (2)若，使成立，求的最小值. （切线，恒成立能成立，中下；） [15: 15．(1) (2). 【分析】（1）设切点，求导得出切线方程，代入原点，求出参数即得切线方程； （2）由题意，将其等价转化为在有解，即只需求在上的最小值，利用导数分析推理即得的最小值. 【详解】（1）         设切点坐标为，则切线方程为， 因为切线经过原点，所以，解得，     所以切线的斜率为，所以的方程为. （2），，即成立， 则得在有解， 故有时，.         令，，，         令得；令得， 故在单调递减，单调递增， 所以，         则，故的最小值为. ] 15. （2024年粤J127汕头二模）16．设是由满足下列条件的函数构成的集合：①方程有实根；②在定义域区间上可导，且满足. (1)判断，是否是集合中的元素，并说明理由；（[endnoteRef:16]） (2)设函数为集合中的任意一个元素，证明：对其定义域区间中的任意、，都有. （拓展，中下；） [16: 16．(1)，理由见解析； (2)见解析. 【分析】（1）验证分别满足题中①②两个条件即可判断； （2）不妨设，令，是单调递减函数，得，证得结论. 【详解】（1）                                             当时，，满足条件②；                         令，                             则，                                 在上存在零点， 即方程有实数根，满足条件①，                                 综上可知， （2）不妨设 在D上单调递增，                                 ，即①                                 令                                                     则，在D上单调递减， ，即，②                     由①②得： ] 16. （2024年粤J128深圳二模）16．已知函数，是的导函数，且． (1)若曲线在处的切线为，求k，b的值；（[endnoteRef:17]） (2)在（1）的条件下，证明：． （切线，恒成立，中下；） [17: 16．(1)，； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据题意，求导可得的值，再由导数意义可求切线，得到答案； （2）设函数，利用导数研究函数的单调性从而求出最小值大于0，可得证. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以． 则曲线在点处的切线斜率为． 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为， 即得，． （2）设函数，， 则， 设，则， 所以，当时，，单调递增． 又因为， 所以，时，，单调递增； 时，，单调递减． 又当时，， 综上在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 即， 所以，当时，． ] 17. （2024年冀J30保定二模）19．已知函数为其导函数．（[endnoteRef:18]） (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若存在两个不同的正数，使得，证明：． （恒成立，零点分析，中下；） [18: 19．(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）利用导数求函数的最大值，转化为最大值小于等于1，即可求解； （2）不等式转化为证明，即证明，构造函数，利用导数证明函数的单调性，即可证明. 【详解】（1），当时，单调递增； 当时，单调递减．所以， 解得，即的取值范围为． （2）证明：不妨设，则，要证， 即证，则证，则证， 所以只需证，即． 令，则，． 当时，，则， 所以在上单调递减，则．所以． 由（1）知在上单调递增，所以，从而成立． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用分析法，转化为证明. ] 18. （2024年冀J27名校联盟三模）17．已知函数． (1)当时，证明：．（[endnoteRef:19]） (2)若函数，试问：函数是否存在极小值？若存在，求出极小值；若不存在，请说明理由． （恒成立，极值，中下；） [19: 17．(1)证明见解析 (2)存在；极小值为0． 【分析】（1）构造新函数，利用导数研究函数的单调性和最值，即可得证； （2）对函数求导，并构造新函数，结合零点存在性定理及函数的单调性即可求解. 【详解】（1）证明：函数定义域为, 令，则， 当时，，且，所以， 函数在上单调递减，故， 即，故得证，. （2）由题意，则， 令，则 当时，，故函数在单调递增，则，即， 所以在单调递增； 当时，单调递增，且，又， 故，使得， 所以当时，，即函数在上单调递增，即， 所以函数在上单调递减； 当时，，即， 所以函数在上单调递增. 综上所述，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，当时，函数有极小值，极小值为. 故存在，极小值为0. ] 19. （2024年J02全国二卷）16. 已知函数．([endnoteRef:20]) （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． （切线，极值，中下；） [20: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. ] 20. （2024年粤J29珠海一中）15．已知函数． (1)求函数的极值点；（[endnoteRef:21]） (2)记曲线在处的切线为，求证，与有唯一公共点． （极值，零点，中下；） [21: 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）利用导数的性质，结合极值点的定义进行求解即可； （2）根据导数的几何意义，结合导数的性质进行运算证明即可. 【详解】（1）， 令， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以函数的极值点为； （2）由（1）可知：，而， 所以切线的方程为， 由，或， 当时，，此时，与有公共点， 当时，设， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以， 即，当且仅当时取等号， 所以由，即，此时与有公共点， 综上所述：与有唯一公共点. ] 21. （2024年粤J52燕博园）18.（16分）设函数常数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间；（[endnoteRef:22]） （3）证明：. （切线，单调性分类讨论，恒成立，中下；） [22: 18.（16分） 解由得，. （1）当时，. 所以，故曲线在点处的切线方程为 ，即. （2） 当时，，函数在单调递减，是的单调递减区间. 当时，，函数在单调递减，是的单调递减区间. 当时，令，解得，且当时，； 当时，；当时，.所以的单调递减区间是和，的单调递增区间是. 当时，令，解得，且当时，；当时，.所以的单调递增区间是的单调递减区间是. （3）由（2）知，当时，.由单调递减且可知： 当时，，即，故；当时，，即，故. 综上可知，. ] 22. （2024年粤J01）已知，其中. （1）求的单调区间；([endnoteRef:23]) （2）若，证明：当时，. （单调性分类讨论，恒成立，中下；） [23: 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意求导后分类讨论即可求得答案； （2）先求得，再将原式转化为证明，通过二次求导判断函数单调性进而即可得证. 【小问1详解】 由，得， 当时，，在单调递增； 当时，令，得，此时单调递增， 令，得，此时单调递减. 综上所述，当时，增区间为，无减区间 当时，增区间为，减区间为 【小问2详解】 因为，，所以，， 要证，即证， 即证，即证， 设， 则， 令， 则对恒成立， 所以在单调递增，所以时，， 所以对恒成立，所以在单调递增， 所以时，， 即成立，故原式得证 【点睛】方法点睛：本题考查利用导数证明函数不等式恒成立问题，常见方法如下： （1）构造函数法：通过构造函数，利用导数研究函数单调性，转化为求函数最值问题； （2）放缩法：一是利用题目中已知条件进行放缩，二是利用常见的二级结论进行放缩； （3）同构法：指数和对数同时出现，往往将不等式形式进行变形，通过同构化简不等式进而证明即可. ] 23. （2024年浙J12金华一中模拟）17. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程；（[endnoteRef:24]） （2）当时，求函数的最小值． （切线，最值，中下；） [24: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义得出切线方程； （2）对函数求导，用导数方法判断函数在上的单调性，即可得出结果. 【小问1详解】 由， 得， 所以，， 函数在处的切线方程 【小问2详解】 令， 当时，，则， 所以 ，所以， 所以在单调递减； 当时，，则， 此时， 所以在单调递增， 所以当时，函数取得最小值； 所以当时，函数的最小值为 ] 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$