2024年全国一卷新高考数学题型细分S2-5——导数大题2 （中下）

2024年全国一卷新高考题型细分S2-5 ——导数——大题2（中下） 1、 试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。 4、 《导数——大题》题目按难易程度排序：易、基础、中下、中档、中档长题、中上。具体题型有：切线、单调性、极值、最值、单调性分类讨论、恒成立、能成立、零点分析、拓展等，大概167道题。 导数 大题2（中下）： 1. （2024年鲁J46烟台二模）18．已知函数. (1)讨论的单调性；（[endnoteRef:2]） (2)若恒成立，求实数的取值范围. （单调性，恒成立，中下；） [2: 18．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先求导函数，再对m进行分类讨论得的正负情况，进而得函数单调性. （2）先由题意得出隐性条件得m的限制范围， 再对不等式两边同时取以为底的对数整理得左右两边为同样形式的不等式进而将原问题等价简化成研究 恒成立即可求解. 【详解】（1）由题可知，，且在定义域上单调递增， 当时，恒成立，此时在上单调递减， 当时，令，则， 所以时，，此时单调递减； 时，，此时单调递增， 当，即时， 此时在恒成立，单调递增， 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增. （2）因为，所以， 又，所以，即， 故时，恒成立， 令，，则， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以，从而． 将两边同时取以为底的对数可得 整理可得． 令，则，且在上单调递增， 因为且， 所以在上恒成立， 所以恒成立， 令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 所以， 又因为，所以． 【点睛】方法点睛：对于指、对、幂函数同时出现的复杂不等式问题，如本题，一般考虑用同构思想方法将不等式两边转化成形式一样的式子，再构造函数利用函数单调性来研究. ] 2. （2024年鲁J36济南名校联盟）17．已知函数 (1)讨论的单调性；（[endnoteRef:3]） (2)证明：. （单调性分类讨论，恒成立，中下；） [3: 17．(1)答案见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）求导可得，分和两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性； （2）构建，，根据单调性以及零点存在性定理分析的零点和符号，进而可得的单调性和最值，结合零点代换分析证明. 【详解】（1）由题意可得：的定义域为，， 当时，则在上恒成立， 可知在上单调递减； 当时，令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）构建， 则， 由可知， 构建， 因为在上单调递增，则在上单调递增， 且， 可知在上存在唯一零点， 当，则，即； 当，则，即； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 又因为，则，， 可得， 即，所以. ] 3. （2024年鲁J38济宁三模）19．已知. (1)判断在上的单调性；（[endnoteRef:4]） (2)已知正项数列满足. （i）证明:； （ii）若的前项和为，证明:. （单调性，恒成立，结合数列，中下；） [4: 19．(1)单调递减； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，再判断时，导数值的正负即可得解. （2）（i）利用（1）的结论，结合分析法可得，再利用分析法推理，构造函数借助导数确定单调性即可得；（ii）利用（i）的结论，借助放缩法及等比数列求和即得. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，则，即 所以在上单调递减. （2）（i）首先证明:，即证明，即证明，即证明， 由及（1）知，， 所以； 要证明，即证，只需证， 而，则只需证，， 令，则，由，知，则， 只需证，即证， 令，求导得， 于是函数在上单调递减，，即，因此， 所以. （ii）由（i）可知， ， 则当且时，， 当时，，所以. 【点睛】思路点睛：数列是一类特殊的函数某些数列问题，，准确构造相应的函数，借助函数导数研究其单调性是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件. ] 4. （2024年鲁J43日照二模）19．已知函数，． (1)判断函数在区间上的零点个数，并说明理由；（[endnoteRef:5]） (2)函数在区间上的所有极值之和为，证明：对于． （零点分析，极值，中下；） [5: 19．(1)两个，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，再分、、三种情况讨论，结合函数的单调性及零点存在性定理判断即可； （2）结合（1）可得的极值点，判断极值点的大小，求极值点的和，再构造函数，判断函数值小于即可． 【详解】（1）因为函数，所以， 当时，，所以，在上单调递减， 且，所以在上无零点； 当时，，所以，在上单调递增， 且，，所以在上有唯一零点； 当时，，，在上单调递减， 且，，所以在上有唯一零点； 综上，函数在区间上有两个零点． （2）因为，所以， 由（1）知，在无极值点，在有极小值点，记为， 在有极大值点，记为， 同理可得，在有极小值点，， 在有极值点， 由，得， 因为，，所以， 所以，因为，，所以， 所以，， 因为，所以， 由函数在上单调递增，得． 所以， 因为在内单调递减，所以，所以， 同理，，，， 因为在上单调递减，所以， 所以，且，； 当为偶数时，， 当为奇数时，， 综上知，对，． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． ] 5. （2024年鲁J44日照三模）17．已知函数，，. (1)讨论函数的单调性；（[endnoteRef:6]） (2)当时，对，，求正整数的最大值. （单调性分类讨论，恒成立，中下；） [6: 17．(1)答案见解析； (2)3. 【分析】（1）求出函数的导数，再按与分类求出函数的单调区间. （2）把代入，再等价变形给定的不等式，构造函数，利用导数求出最小值的范围得解. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， ①当时，有，此时函数在区间上单调递减； ②当时，当时，，此时函数在区间上单调递增； 当时，，此时函数在区间上单调递减. 所以当时，函数在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）当，时，恒成立，等价于恒成立， 设，，则， 当时，有， 函数在上单调递增，且，， 则存在唯一的，使得，即， 当时，，；当时，，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 设，则当时，，函数在上单调递减，又因为，所以. 所以正整数的最大值是3. ] 6. （2024年鲁J45泰安三模）15．已知函数. (1)讨论的最值；（[endnoteRef:7]） (2)若，且，求的取值范围. （最值分类讨论，恒成立，中下；） [7: 15．(1)最小值为，无最大值. (2). 【分析】（1）求得，结合导数的符号，求得函数的单调区间，进而求得其最值； （2）把不等式转化为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，进而求得的取值范围. 【详解】（1）.解：因为的定义域为，可得. 当时，令，可得； 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故当时，取得极小值，也是最小值，且最小值为，无最大值. （2）解：当时，由，可得， 整理得，即， 令， 则， 由（1）知，当时，的最小值为，即恒成立， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故当时，取得最大值，即， 故的取值范围为. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． ] 7. （2024年浙J36名校联盟三联考）19．在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”. (1)判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由；（[endnoteRef:8]） (2)已知函数是“旋转函数”，求的最大值； (3)若函数是“旋转函数”，求的取值范围. （拓展，最值，零点分析，中下；） [8: 19．(1)不是，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据函数的定义直接判断即可. （2）将已知条件转化为函数与直线最多一个交点，利用两个函数图象的交点与对应方程根的关系，分离，构造新函数，转化为新函数在上单调，进而求解. （3）同问题（2）根据已知条件构造新函数，转化为新函数在上单调，求导，分离参数，转化为恒成立问题求最值即可. 【详解】（1）函数不是“旋转函数”，理由如下： 逆时针旋转后与轴重合， 当时，有无数个与之对应，与函数的概念矛盾， 因此函数不是“旋转函数”. （2）由题意可得 函数与函数最多有1个交点， 且， 所以最多有一个根， 即最多有一个根， 因此函数与函数R最多有1个交点， 即函数在上单调， 因为，且， 所以，所以， 即，，即的最大值为. （3）由题意可得函数与函数最多有1个交点， 即， 即函数与函数最多有1个交点， 即函数在上单调， ，当时， 所以， 令，则， 因为在上单调减，且， 所以存在，使， 即， 所以在单调递增，单调递减， 所以， 即. 【点睛】方法点睛：利用函数的零点与对应方程的根的关系，我们经常进行灵活转化： 函数的零点个数方程的根的个数函数与图象的交点的个数； 另外，恒成立求参数范围问题往往分离参数，构造函数，通过求构造函数的最值来求出参数范围，例：若恒成立，只需，恒成立，只需. ] 8. （2024年浙J34杭州四月检）16．已知函数． (1)讨论函数的单调性；([endnoteRef:9]) (2)若函数有两个极值点， （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：函数有且只有一个零点． （单调性分类讨论，零点分析，中下；） [9: 16．(1)答案见解析； (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，再分、、三种情况，分别求出函数的单调区间； （2）（ⅰ）由（1）直接解得；（ⅱ）结合函数的最值与零点存在性定理证明即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 且， 当时，恒成立，所以在单调递减； 当时，令，即，解得，， 因为，所以，则， 所以当时， 当时， 当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减； 当时，此时， 所以时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上可得：当时在单调递减； 当时在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减； 当时在上单调递增，在上单调递减． （2）（ⅰ）由（1）可知． （ⅱ）由（1）在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 又，所以，则， 又， 又， 所以在上没有零点， 又，则，则，， 则， 所以，所以在上存在一个零点， 综上可得函数有且只有一个零点． ] 9. （2024年粤J110珠海一中冲刺）17．已知函数． (1)讨论的单调性；（[endnoteRef:10]） (2)若函数有两个零点， （一）求m的取值范围； （二）求证：． （单调性分类讨论，零点分析，中下；） [10: 【答案】(1)答案见解析； (2)（一）；（二）证明见解析. 【分析】（1）先求得，再按m分类讨论，即可求得的单调性； （2）（一）利用导数求得的单调性，利用零点存在定理即可求得m的取值范围；（二）构造新函数，并利用导数求得其单调性，进而证得成立. 【详解】（1）函数， 当时，则在上单调递增； 当时，令，得． 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在内单调递减，在单调递增． （2）（一）由题意可得：， 令，整理可得， 设， 则， 且，， 令，解得；令，解得; 则在内单调递减，在内单调递增， 由题意可知：有两个零点， 则，解得， 若，令，则， 则， 可知在内有且仅有一个零点； 且当x趋近于趋近于，可知内有且仅有一个零点； 即，符合题意，综上所述：m的取值范围为． （二）由（一）可知：令， 则， 令，则， 因为，则， 可知在内单调递增，则， 可得在内恒成立，可知在内单调递增， 则，即， 不妨设，则， 且在内单调递减， 可得，即，证毕． ] 10. （2024年粤J109珠海一中冲刺，末）16．已知函数在区间内恰有一个极值点，其中为自然对数的底数. (1)求实数的取值范围；（[endnoteRef:11]） (2)证明：在区间内有唯一零点. （零点分析，零点分析，中下；） [11: 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导得，分和讨论的单调性，并保证在内有唯一零点即可； （2）利用导数确定在区间上的单调性，根据零点存在性定理证明即可. 【详解】（1）由题意可得，当时，， ①当时，在上单调递增，没有极值点，不合题意； ②当时，令，则在上， 所以在上单调递减， 因为，且连续不间断， 所以，解得， 由零点存在定理，此时在内有唯一零点， 所以当时，；当时，， 所以在内有唯一极大值点，符合题意， 综上，实数的取值范围为. （2）由（1）知，当时，， 所以在上， 在上单调递减， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 又因为，所以在内无零点， 当时，因为，，且连续不间断， 所以由零点存在定理，在内有唯一零点，即在内有唯一零点. ] 11. （2024年粤J44梅州二月检）18. 已知函数. （1）若是函数的一个极值点，求的值；（[endnoteRef:12]） （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）证明：（为自然对数的底数）. （极值，恒成立，恒成立，中下；） [12: 【答案】（1） （2） （3）证明详见解析 【解析】 【分析】（1）由求得，验证后确定的值. （2）对进行分类讨论，根据在区间上的最小值不小于求得的取值范围. （3）将要证明的不等式转化为证明，结合（2）的结论来证得不等式成立. 【小问1详解】 ，定义域为， ，因为是的一个极值点， 所以. 此时，所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增，所以是的极小值点，符合题意， 所以. 【小问2详解】 因为在上恒成立，所以. 当时，在上恒成立， 在上单调递增，所以成立，符合题意. 当时，令，得， 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，这与矛盾. 综上所述，的取值范围是. 【小问3详解】 要证明，即证明，即证明， 由（2）得时，在上单调递增， 所以， 从而原不等式成立. 【点睛】求解函数在区间上最值的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间；（5）根据单调区间来求得最值. ] 12. （2024年浙J23适应）18. 已知函数 （1）当 时，求函数在点处的切线方程；（[endnoteRef:13]） （2）若函数在上的图象与直线总有两个不同交点，求实数a的取值范围． （切线，零点分析，中下；） [13: 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】（1）把代入函数解析式，求出函数在出的导数，可得函数f(x)在点处的切线方程； （2）求出原函数的导函数，分和讨论，当时由导函数在不同区间的符号得到原函数的单调性，从而求出函数在区间上的最小值点，由题意列出不等式组，可得a的取值范围. 【详解】（1）当时，，，， 函数在点处的切线方程为： ; （2）由，得， 当时，在上单调递减，不满足题意； 当时，在上恒小于0，函数在上单调递减，不满足题意； 当，由可得 ， 当或时，或，函数在都是单调函数， 函数在上的图象与直线不可能两个不同交点， 故需； 由，得， 当时，＜0，单调递减； 由＞0，得， 当时，，单调递增； 函数在上的图象与直线恒有两个不同交点， 则需，可得， 实数a的取值范围是. 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想及分类讨论的思想，是中档题.解答时要注意将图象的交点问题转化为函数的最值问题进行解决. ] 13. （2024年浙J20丽湖衢二模）17. 设函数. （1）当时，求函数的单调区间；（[endnoteRef:14]） （2）若对定义域内任意的实数，恒有，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数） （单调性，恒成立，中下；） [14: 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解； （2）依题意可得在上恒成立，设，，利用导数说明函数的单调性，即可得到且，利用导数求出的范围，即可求出的范围. 【小问1详解】 当时定义域为， 且， 令，则， 所以在上单调递增， 又，所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】 函数定义域为， 依题意在上恒成立， 设，，则， 设，则恒成立， 所以在上单调递增， 且当时，当时， 所以使得，即， 所以， 则当时，即单调递减， 当时，即单调递增， 所以 ， 令，则且， 所以为增函数， 由，所以， 又与均为减函数，所以在上单调递减， 所以当时， 所以实数的取值范围为. ] 14. （2024年粤J137梅州二模）18．已知函数，，（）． (1)证明：当时，；（[endnoteRef:15]） (2)讨论函数在上的零点个数． （恒成立，零点分析，中下；） [15: 18．(1)证明见解析 (2)当时，在上没有零点：当时，在上有且仅有1个零点． 【分析】（1）结合已知不等式构造函数，对其求导，结合导数与单调性关系即可证明； （2）对求导，结合导数与单调性关系及函数零点存在定理对的范围进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）证明，令， 则， 记，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减：在上单调递增， 从而在上，， 所以在上单调递增， 因此在上，，即； （2），， ，在上，， 所以，在上递增，，即函数在上无零点； ，记， 则，在上递增， 而， 故存在，使， 当时，递减，时，递增，， 而，， 在上无零点，在,上有唯一零点， 综上，当时，在上没有零点： 当时，在上有且仅有1个零点． 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. ] 15. （2024年粤J134揭阳二模）19．已知函数. (1)当时，证明：是增函数.（[endnoteRef:16]） (2)若恒成立，求的取值范围. (3)证明：（，）. （单调性，恒成立，中下；） [16: 19．(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，得到答案； （2）参变分离得到，构造函数，求导得到其单调性和最值，得到，求出的求值范围； （3）由（2）可知，当时，，所以，…，，相加后得到结果. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则. 令，则在上恒成立， 则在上单调递增， 则，故在上恒成立，是增函数. （2）当时，等价于， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以. 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 则，所以，即，故的取值范围为. （3）证明：由（2）可知，当时，有，则， 所以，…，， 故. 【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由前面几问中的特征式的特征而得到. ] 16. （2024年鄂J24荆州三适）19．已知函数，其中是自然对数的底数.（[endnoteRef:17]） (1)当时，求曲线在点处的切线的斜截式方程； (2)当时，求出函数的所有零点； (3)证明：. （切线，零点，恒成立，中下；） [17: 19．(1)； (2)有唯一零点； (3)证明见解析. 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）把代入，利用导数探讨单调性，求出函数最小值即得. （3）对所证不等式作等价变形得，再构造函数依次证明即得. 【详解】（1）当时，，求导得， 则，又， 因此曲线在点处的切线方程为， 所以切线的斜截式方程为. （2）当时，，求导得， 令，，则， 则在单调递增，而，当时，，即， 当时，，，函数在上递减，在上递增，又， 所以当时，有唯一零点. （3）不等式 ， 令函数，求导得，当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增，则，即， 因此，， 令，求导得，函数在上递增， ，因此，又， 从而， 所以原不等式得证. 【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理. ] 17. （2024年鄂J22黄石二中三模）17．已知函数有两个零点，. (1)求实数的取值范围；（[endnoteRef:18]） (2)如果，求此时的取值范围. （零点，零点，中下；） [18: 17．(1) (2) 【分析】（1）令，可得，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围； （2）依题意可得，利用换元法表示，通过构造函数法，利用导数证得，结合（1）求得的取值范围. 【详解】（1）令，即， 令，则， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，且时，当时， 又与有两个交点，所以. （2）由（1）可得，， 又， 所以，即， 令，，则， 所以，， 记，，则， 令，，则， 所以在上，即单调递减， 由于， 所以当时，，所以， 所以函数在区间上单调递减， 故，即， 而，在区间上单调递增， 故且， 即． 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数零点或方程的根，通常有三种思路： （1）用最值或极值研究；（2）用数形结合思想研究；（3）构造辅助函数研究． ] 18. （2024年鄂J19黄冈八模）17．已知函数（为自然对数的底数） （1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值； （2）求函数的极值；（[endnoteRef:19]） （3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值. （切线，零点，中下；） [19: 17．（1）（2）当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（3）的最大值为 【分析】（1）求出，由导数的几何意义，解方程即可；（2）解方程，注意分类讨论，以确定的符号，从而确定的单调性，得极大值或极小值（极值点多时，最好列表表示）；（3）题意就是方程无实数解，即关于的方程在上没有实数解．一般是分类讨论，时，无实数解，时，方程变为，因此可通过求函数的值域来求得的范围． 【详解】（1）由,得． 又曲线在点处的切线平行于轴, 得,即,解得． （2）, ①当时,,为上的增函数, 所以函数无极值． ②当时,令,得,． ,;,． 所以在上单调递减,在上单调递增, 故在处取得极小值,且极小值为,无极大值． 综上,当时,函数无极小值 当,在处取得极小值,无极大值． （3）当时, 令, 则直线:与曲线没有公共点, 等价于方程在上没有实数解． 假设,此时,, 又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故． 又时,,知方程在上没有实数解． 所以的最大值为． 解法二: （1）（2）同解法一． （3）当时,． 直线:与曲线没有公共点, 等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程: （*） 在上没有实数解． ①当时,方程（*）可化为,在上没有实数解． ②当时,方程（*）化为． 令,则有． 令,得, 当变化时,的变化情况如下表: 当时,,同时当趋于时,趋于, 从而的取值范围为． 所以当时,方程（*）无实数解, 解得的取值范围是． 综上,得的最大值为． 考点：导数的几何意义，极值，导数与单调性、值域，方程根的分布． ] 19. （2024年鄂J18四月调）17．已知函数． (1)讨论的单调区间（[endnoteRef:20]） (2)若函数，，证明：． （单调性分类讨论，恒成立，中下；） [20: 17．(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出，对的取值分类讨论，即可得的单调性； （2）借助（1）中结论得，转化所证不等式，结合同角三角函数关系即可证明不等式． 【详解】（1）由题知，函数的定义域为， ， 当时，有， 当或时，，当时，， 所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，有，， 所以在上单调递增； 当时，有， 当或时，，当时，， 所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知：当时，在上单调递增， 所以，当时，，即． 因为，所以， 所以． ] 20. （2024年鄂J26武昌五月检）17．已知函数. (1)讨论的单调性；（[endnoteRef:21]） (2)若有两个零点，求的取值范围. （单调性分类讨论，零点分析，中下；） [21: 17．(1)见解析；(2) 【分析】（1）将函数求导后，对分成两种情况，讨论函数的单调性.（2）结合（1）的结论，当时函数在定义域上递减，至多只有一个零点，不符合题意.当时，利用函数的最小值小于零，求得的取值范围，并验证此时函数有两个零点，由此求得点的取值范围. 【详解】（1） 若，，在上单调递减； 若，当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增. （2）若，在上单调递减， 至多一个零点，不符合题意. 若，由（1）可知，的最小值为 令，，所以在上单调递增， 又，当时，，至多一个零点，不符合题意， 当时， 又因为，结合单调性可知在有一个零点 令，，当时，单调递减，当时，单调递增，的最小值为，所以 当时， 结合单调性可知在有一个零点 综上所述，若有两个零点，的范围是 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求解有关零点个数的问题，考查分类讨论的思想方法，考查分析和解决问题的能力，属于中档题.在求解有关利用导数求函数单调区间的问题中，导函数往往含有参数，此时就要对参数进行分类讨论.函数零点个数问题，往往转化为函数最值来解决. ] 21. （2024年冀J47唐山二模）17．（1）证明：；（[endnoteRef:22]） （2）若，，利用（1）结合自己所学知识，求. （单调性，中下；） [22: 17．（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）利用，结合二倍角的正弦与余弦公式可证结论； （2）由（1）可得是方程的一个实根，令，求导可判断在上单调递减，进而可得函数在上有零点，可求. 【详解】（1） ； （2）由（1）可知，， 即是方程的一个实根. 令，， 显然，当时，， 所以在上单调递减， 又， 所以，即. ] 22. （2024年冀J45石家庄三检）17．已知函数． (1)讨论函数的单调性；（[endnoteRef:23]） (2)当时，若函数，求函数极值点的个数． （单调性分类讨论，零点分析，中下；） [23: 17．(1)答案见解析 (2)2 【分析】（1）求导得，分类讨论当，，时分别确定导函数的符合从而得函数单调性即可； （2）求导得，令，求导确定其单调性与最值，从而可得的单调与极值情况. 【详解】（1）， 当时，当时，单调递增；当时，单调递减． 当时，当时，单调递增；当时，单调递减； 当时，在单调递增． （2）时，， 设在区间单调递增． 因为， 所以存在唯一使得， 当时，单调递减，即单调递减； 当时，单调递增，即单调递增． ，且在单调递减，所以，又 因此在区间存在唯一零点 当时，单调递增； 当时，单调递减；所以极值点为， 因此极值点个数为2. ] 23. （2024年冀J43名校二联考）17．已知函数.（[endnoteRef:24]） (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围. （切线，恒成立，中下；） [24: 17．(1)； (2). 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程； （2）分和讨论，利用导数结合不等式放缩判断导数正负，结合单调性验证恒成立是否满足. 【详解】（1）当时，，则， 所以切线斜率为，又， 所以，切线方程是. （2）①当时，因为，所以， 所以. 记，则， 令，则. 因为当时，，所以在区间上单调递增， 所以，， 所以，在区间上单调递增， 所以，，所以. ②当时，， 因为当时，， 令，则， 若，则，即在区间上单调递增. 若，则， 所以在区间上单调递增. 所以当时，在区间上单调递增. 因为，， 所以，存在，使得， 所以，当时，，即在区间上单调递减， 所以，不满足题意. 综上可知，实数的取值范围为. ] 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$