预习07 基本不等式（七大考点）-2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019必修第一册）

2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019） 预习07基本不等式 一、两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 二、基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 考点01 对基本不等式的理解 【方法点拨】基本不等式的2个注意点：①不等式成立的条件：都是正数； (2)“当且仅当”的含义：当时，的等号成立，即当时， 【例1】若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【例2】已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．3 【变式1-1】若，则的最 值是 ，此时 ， . 【变式1-2】已知，则的最大值为（    ） A．8 B．16 C．2 D．4 【变式1-3】（多选）已知正数a，b满足则ab的值可能为（    ） A． B． C． D． 考点02 配凑法求最值 【方法点拨】添项配凑出“和为定值”或“积为定值”，使用基本不等式 【例3】成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【例4】已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D．8 【变式2-2】已知，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式2-3】已知，则的最大值为 ． 考点03 商式求最值 【方法点拨】形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开即化为，再利用不等式求最值。 【例5】已知，则 的最大值是（    ） A． B． C．2 D．7 【例6】求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 【变式3-1】已知，则的最小值为 . 【变式3-2】的最大值为 . 【变式3-3】求函数的最小值. 考点04 “1”的妙用 【方法点拨】出现分式相加模型，可进行以下步骤： ①根据已知条件或者利用分母得到“1”的表达式； ②把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘，进而构造和的形式，利用基本不等式求解最值． 【例7】若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【例8】已知非负实数满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式4-1】设，则的最小值为 ． 【变式4-2】若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 【变式4-3】若，且，则的最小值为 . 考点05 消元法求最值 【方法点拨】消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后利用基本不等式求解 【例9】已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例10】已知实数a，b满足，则的最大值为 ． 【变式5-1】已知正实数满足，则的最小值为 . 【变式5-2】已知，，且，则的最小值为 . 【变式5-3】若正实数满足，则的最小值是 . 考点06 恒成立问题 【方法点拨】恒成立问题常用分离参数法的方法：将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可. 【例11】（多选）已知且，若恒成立，则实数可取（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例12】已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】若，关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 【变式6-2】若对任意，恒成立，求的取值范围． 【变式6-3】若对于任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 考点07 实际问题 【方法点拨】利用基本不等式求解实际应用题的三个注意点： ①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； ②根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值； ③在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 【例13】某厂计划建造一个容积为，深为的长方体无盖水池.若池底的造价为元每平方米，池壁的造价为元每平方米，则这个水池的最低造价为 元. 【例14】如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 【变式7-1】如图，某人沿围墙修建一个直角梯形花坛，设直角边米，米，若米，问当 米时，直角梯形花坛的面积最大．    【变式7-2】某经销商计划购进一批产品，并租借库房用来储存.经过调研，每月的房租费用（单位：万元）与储存库到门店的距离（单位：）成反比，每月从储存库运送到门店费用（单位：万元）与成正比.若储存库租在距离门店处，则和分别为1万元和4万元.为降低成本，经销商应该把储存库租在距离门店 千米处，才能使两项费用之和最小. 【变式7-3】第19届杭州亚运会将于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为15元，年销售10万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价. 一、单选题 1．若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是不相等的正数，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 5．已知，，且．若恒成立，则实数的最大值是（ ） A．4 B．8 C．3 D．6 二、多选题 6．已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最小值 7．小王、小张、小李三名同学同时从小区门口地沿同一条路按三种不同方式到达学校门口地，用时（单位：秒）分别为．小王有一半的路程以速度（单位：米/秒）奔跑，另一半的路程以速度（单位：米/秒）奔跑；小张全程以速度（单位：米/秒）奔跑：小李有一半的时间以速度（单位：米/秒）奔跑，另一半的时间以速度（单位：米/秒）奔跑．其中，．则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．若正数，，满足，且的最小值是4，则的值为 ． 9．若实数，且，则的最小值为 . 四、解答题 10．证明： (1)； (2)． 11．已知，，. (1)求的最小值并说明取得最小值时，满足的条件； (2)，恒成立，求的取值范围. 12．某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理.哪种方案较为合理？并说明理由.（注：年平均盈利额） 13．已知命题p：，使得成立；命题q：正数a，b满足，不等式恒成立. (1)若命题p真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019） 预习07基本不等式 一、两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 二、基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 考点01 对基本不等式的理解 【方法点拨】基本不等式的2个注意点：①不等式成立的条件：都是正数； (2)“当且仅当”的含义：当时，的等号成立，即当时， 【例1】若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】由题意，解得，等号成立当且仅当. 故选：B. 【例2】已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【详解】当时，，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为3. 故选：D 【变式1-1】若，则的最 值是 ，此时 ， . 【答案】 大 81 9 9 【详解】因x>0，y>0，且x+y=18，由可得，当且仅当时取等号，即xy的最大值是81，此时. 故答案为：大；81；9；9. 【变式1-2】已知，则的最大值为（    ） A．8 B．16 C．2 D．4 【答案】D 【详解】因为，所以，， 故，当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为4. 故选：D 【变式1-3】（多选）已知正数a，b满足则ab的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】解：依题意得， 则，当且仅当时，等号成立． 故选： 考点02 配凑法求最值 【方法点拨】添项配凑出“和为定值”或“积为定值”，使用基本不等式 【例3】成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，当且仅当时去等号，即时取等号； 所以使得，的充要条件为，而充分不要条件应该为的真子集，所以应选. 故选：A 【例4】已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，当时，， ， 当且仅当，即时取等号， 最大值为， 故选：C. 【变式2-1】已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D．8 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，所以， 即的最大值为0. 故选：B 【变式2-2】已知，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】 由于，所以， 由, （当且仅当时取等号），可得的最小值为3， 故选：D． 【变式2-3】已知，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，则， 当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为． 故答案为：. 考点03 商式求最值 【方法点拨】形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开即化为，再利用不等式求最值。 【例5】已知，则 的最大值是（    ） A． B． C．2 D．7 【答案】A 【详解】 ， ，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以  的最大值为 故选：A 【例6】求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）3；（2）；（3）10. 【详解】（1） ∵（当且仅当，即x=1时取“=”） 即的最小值为3； （2）令，则在是单增， ∴当t=2时，y取最小值； 即y的最小值为 （3）令，则可化为： 当且仅当t=3时取“=” 即y的最小值为10 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 【变式3-1】已知，则的最小值为 . 【答案】 【详解】令，则， 所以，当且仅当，即时取等号，所以的在最小值为. 故答案为：. 【变式3-2】的最大值为 . 【答案】 【详解】令，则，， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特点灵活变形，配凑出和或积为常数的形式. 【变式3-3】求函数的最小值. 【答案】最小值为2. 【解析】先求出函数的定义域，再将函数化简到，然后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】函数的定义域为，. ， 当且仅当，即时取到“”. 所以当时，函数的最小值为2. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 考点04 “1”的妙用 【方法点拨】出现分式相加模型，可进行以下步骤： ①根据已知条件或者利用分母得到“1”的表达式； ②把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘，进而构造和的形式，利用基本不等式求解最值． 【例7】若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 【例8】已知非负实数满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】因为非负实数满足， 显然，则，所以， 则 ，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 【变式4-1】设，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 当且仅当时取等号，结合已知条件解得，时取等号. 故答案为： 【变式4-2】若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，取得最小值， 故选：D． 【变式4-3】若，且，则的最小值为 . 【答案】/0.8 【详解】，，， ， ， ，当且仅当时，即时取等号． 故答案为：． 考点05 消元法求最值 【方法点拨】消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后利用基本不等式求解 【例9】已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为正实数x，y满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 【例10】已知实数a，b满足，则的最大值为 ． 【答案】2 【详解】由得，则 ， 当且仅当时，此时，，或者，时等号成立， 所以的最大值为2． 故答案为：2. 【变式5-1】已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】正实数满足，故，所以， 则，又，解得， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 【变式5-2】已知，，且，则的最小值为 . 【答案】8 【详解】因为， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以，当且仅当即时取等． 则的最小值为. 故答案为：. 【变式5-3】若正实数满足，则的最小值是 . 【答案】9 【详解】解析一:， 则，等号成立时. 所以的最小值是9. 解析二:， 则， 等号成立时所以的最小值是9. 故答案为：9. 考点06 恒成立问题 【方法点拨】恒成立问题常用分离参数法的方法：将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可. 【例11】（多选）已知且，若恒成立，则实数可取（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【详解】由题意知，， 所以， 当且仅当时取等号，所以，解得，所以A、B正确. 故选：AB. 【例12】已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为18，可得， 所以实数m的取值范围为. 故选：B. 【变式6-1】若，关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】若关于的不等式恒成立，则， 因为，故， 当且仅当时取等，故得，解得. 故答案为： 【变式6-2】若对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】 【详解】由， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故的取值范围为． 【变式6-3】若对于任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可得当时，恒成立， 因为，当且仅当即时取等号， 所以，即实数的取值范围是， 故答案为：. 考点07 实际问题 【方法点拨】利用基本不等式求解实际应用题的三个注意点： ①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； ②根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值； ③在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 【例13】某厂计划建造一个容积为，深为的长方体无盖水池.若池底的造价为元每平方米，池壁的造价为元每平方米，则这个水池的最低造价为 元. 【答案】 【详解】因为水池的容积为，深为，所以底面积为， 设水池池底的一边长为，则另一边长为， 则总造价 （元）. 当且仅当，即时，取最小值为. 所以水池的最低造价为元. 故答案为：. 【例14】如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 【答案】(1) (2)纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 【详解】（1）由题意，， . （2）， 当且仅当，即时等号成立， 所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 【变式7-1】如图，某人沿围墙修建一个直角梯形花坛，设直角边米，米，若米，问当 米时，直角梯形花坛的面积最大．    【答案】 【详解】由题意米， 则直角梯形花坛的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当米时，直角梯形花坛的面积最大． 故答案为：. 【变式7-2】某经销商计划购进一批产品，并租借库房用来储存.经过调研，每月的房租费用（单位：万元）与储存库到门店的距离（单位：）成反比，每月从储存库运送到门店费用（单位：万元）与成正比.若储存库租在距离门店处，则和分别为1万元和4万元.为降低成本，经销商应该把储存库租在距离门店 千米处，才能使两项费用之和最小. 【答案】2.5 【详解】依题意，设，其中是比例系数， 因为储存库租在距离门店处时，和分别为1万元和4万元， 所以，即，其中0， 所以两项费用之和， 当且仅当，即时等号成立， 故把储存库租在距离门店2.5千米处，才能使两项费用之和最小. 故答案为： 【变式7-3】第19届杭州亚运会将于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为15元，年销售10万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价. 【答案】(1)50 (2)至少应达到万件，商品的每件定价为20元 【详解】（1）设定价为元，则销售量为万件， 由已知可得，， 整理可得，，解得， 所以，该商品每件定价最多为50元. （2）由已知可得，，. 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，. 所以，当该商品改革后的销售量至少应达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，商品的每件定价为20元. 一、单选题 1．若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，所以直接由基本不等式可得， 等号成立当且仅当，即，此时满足题意. 故选：A. 2．已知是不相等的正数，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为不相等的正实数，所以 由基本不等式得： 所以，又因为，所以. 故选：B. 3．已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为， 又因为，所以， 所以，当且仅当时，即时等号成立， 所以， 即y的最大值是. 故选：D. 4．已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D 5．已知，，且．若恒成立，则实数的最大值是（ ） A．4 B．8 C．3 D．6 【答案】A 【详解】由，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：A. 二、多选题 6．已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】AB 【详解】对于A，由，得，当且仅当，即，时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当，即，时取等号，故B正确； 对于C，由，得， 所以， 当且仅当，即，即时取等号，故C错误； 对于D，有， 而由于和不相等，从而它们不能同时为零，所以，故D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用基本不等式及不等式的性质求出或否定最值. 7．小王、小张、小李三名同学同时从小区门口地沿同一条路按三种不同方式到达学校门口地，用时（单位：秒）分别为．小王有一半的路程以速度（单位：米/秒）奔跑，另一半的路程以速度（单位：米/秒）奔跑；小张全程以速度（单位：米/秒）奔跑：小李有一半的时间以速度（单位：米/秒）奔跑，另一半的时间以速度（单位：米/秒）奔跑．其中，．则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】设从地到地的距离为， 根据题意可知，， 易知满足，则； 由，可得， ， 即可得，可知A正确，B错误； 易知，即C正确； 则，而； 显然，即D错误. 故选：AC 三、填空题 8．若正数，，满足，且的最小值是4，则的值为 ． 【答案】1 【详解】由题意得，， 所以，即， 当且仅当时，等号成立， 令，则，方程， ，所以是方程的根， 所以. 故答案为：1 9．若实数，且，则的最小值为 . 【答案】4 【详解】由可得， 因为，所以，即，则， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 10．证明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析﹒ 【详解】（1）， ，当且仅当时取等号； （2）， ∴ ，当且仅当a＝b时取等号﹒ 11．已知，，. (1)求的最小值并说明取得最小值时，满足的条件； (2)，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)最小值，当，满足时取得最小值. (2)实数的取值范围是. 【详解】（1）∵， ∴， ∵，，∴，， ∴由基本不等式，有， 当且仅当，即时，等号成立， ∴， 即的最小值为，当且仅当时，取得最小值. （2）由已知， ， 当时，由基本不等式，有， 当且仅当，即时等号成立， ∴， 即已知，当且仅当时，取最小值，， 又∵恒成立， ∴， ∴实数的取值范围是. 12．某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理.哪种方案较为合理？并说明理由.（注：年平均盈利额） 【答案】方案二更合理，理由见解析 【详解】方案二更合理，理由如下： 设为前年的总盈利额，单位：万元； 由题意可得， 方案一：总盈利额， 当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利润为万元； 方案二：平均盈利额为， 当且仅当，即时，等号成立；即时，平均盈利额最大，此时， 此时处理掉设备，总利润为万元； 综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合适. 13．已知命题p：，使得成立；命题q：正数a，b满足，不等式恒成立. (1)若命题p真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）∵p为真命题，∴， ∵，∴，∴， 当且仅当，即时取等号. 所以. （2）若q为真，则， ∵，，， ∴， 当且仅当，即时取等号. 所以. ①若p为真，q为假，则且，即； ②若p为假，q为真，则且，即. 综上，或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$