2024年全国一卷数学新高考题型细分S4 创新大题4

2024年全国一卷新高考题型细分S4 ——创新大题4 1、 试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。 4、 《创新大题》大概58道。 创新大题4： 1. （2024年冀J47唐山二模）19．数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：1．证明当（）时命题成立；2．假设（，且）时命题成立，推导出在时命题也成立．用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即，整数是商．如，则；再如，则．当时，则称整除．现从序号分别为，，，，…，的个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到（）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为．如表示当只有1个人时幸运者就是；表示当有6个人而时幸运者是；表示当有6个人而时幸运者是． (1)求；（[endnoteRef:2]） (2)当时，，求；当时，解释上述递推关系式的实际意义； (3)由（2）推测当（）时，的结果，并用数学归纳法证明． [2: 19．(1) (2)，答案见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）用模取余法可求结论； （2）由，，可求； 从个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为，从个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为，后者的圆环可以认为是前者的圆环退出一人而形成的，可推得结论； （3）取时，分别求得，，，； 可得当（）时，，进而利用数学归纳法证明即可． 【详解】（1）因为，所以． （2）因为，且， 所以，故． 当时，递推关系式的实际意义： 当从个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为， 而从个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为． 如果把二者关联起来，后者的圆环可以认为是前者的圆环退出一人而形成的， 当然还要重新排序，由于退出来的是，则原环的就成了新环的， 也就是说原环的序号下标要比新环的大，原环的就成了新环的． 需要注意，新环序号后面一直到，如果下标加上，就会超过． 如新环序号对应的是原环中的，…，新环序号对应的是原环中的． 也就是说，得用新环的序号下标加上再减去，才能在原环中找到对应的序号， 这就需要用模取余，即． （3）由题设可知，由（2）知： ； ； ； ； ； ； ； 由此推测，当（）时，． 下面用数学归纳法证明： 1．当时，，推测成立； 2．假设当（，，且）时推测成立， 即． 由（2）知 ． （ⅰ）当时，； （ⅱ）当时，，此时， 即． 故当时，推测成立． 综上所述，当（）时，． 推测成立. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. ] 2. （2024年鄂J18四月调）19．在如图三角形数阵中，第n行有n个数，表示第i行第j个数，例如，表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列其中已知，， (1)求m及（[endnoteRef:3]） (2)记除以3的余数为，，的前n项为，求 [3: 19．(1)； (2) 【分析】（1）根据等差数列和等比数列基本量的计算即可求解，进而可求解， （2）根据为除以3的余数，对j分奇偶，结合等差数列求和公式，即可分类求解. 【详解】（1）由题意，可知， ，， ，， 化简整理，得，解得舍去，或， ， ， （2） j 等于除以3的余数. 当j为奇数时 ①时 ②时 ③时 当j为偶数时 ①时 ②时 ③时 时 当时 当时， 综上 【点睛】方法点睛：根据对三角形数阵的定义结合已知条件列方程，即可得m，先求，再得； 根据数阵性质可得，即等于除以3的余数， 分n为偶数、n为奇数两种大类来讨论，每种大类又分为、、三种情况，讨论可得 ] 3. （2024年冀J46石家庄二检）19．设集合是一个非空数集，对任意，定义，称为集合的一个度量，称集合为一个对于度量而言的度量空间，该度量空间记为. 定义1：若是度量空间上的一个函数，且存在，使得对任意，均有：，则称是度量空间上的一个“压缩函数”.（[endnoteRef:4]） 定义2：记无穷数列为，若是度量空间上的数列，且对任意正实数，都存在一个正整数，使得对任意正整数，均有，则称是度量空间上的一个“基本数列”. (1)设，证明：是度量空间上的一个“压缩函数”； (2)已知是度量空间上的一个压缩函数，且，定义，，证明：为度量空间上的一个“基本数列”. [4: 19．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由正弦函数的性质可知：在上的值域，进而得出是从到的函数，然后证明存在，对任意，都有即可； （2）先由压缩函数的定义得到：必存在，使得对任意，，，进而得到，再利用绝对值三角不等式得出，分类讨论与两种情况即可得证， 【详解】（1）由正弦函数的性质可知：在上单调递增， 在上单调递减，所以，， ，所以在上的值域为， 所以是从到的函数， 另一方面，我们证明存在，对任意，都有， 取，则对任意，不妨设，分两种情形讨论： ①当时，令，则， 所以在上单调递增，因为，所以，即， 所以，即， ②当时，令，则， 所以在上单调递增，因为，所以，即， 所以，即， 综上所述，对任意，都有， 所以是度量空间上的一个“压缩函数”. （2）证明：因为是度量空间上的一个压缩函数， 所以必存在，使得对任意，， 即， 因为，， 所以， 由绝对值三角不等式可知： 对任意，有 ， 又因为，所以， 所以， ①当时，对任意，有，所以， 所以对任意，对任意正整数，当时，均有， ②当时，对任意，取一个正整数， 则，即， 则当时，有， 综上所述，对任意，都存在一个正整数，使得对任意正整数，当时，均有，， 故为度量空间上的一个“基本数列”. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. ] 4. （2024年冀J43名校二联考）19．设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按照某种确定的对应关系，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B中的每一个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称：为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A与B等势，记作.若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作.（[endnoteRef:5]） 例如：对于集合，，存在一一对应关系，因此. (1)已知集合，，试判断是否成立?请说明理由； (2)证明：①； ②. [5: 19．(1)成立，理由见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据新定义判断即可； （2）①取特殊函数满足定义域为，值域为即可利用其证明 ②设，，假设，利用反证法得证. 【详解】（1）设，，令 则C与D存在一一对应，所以集合. （2）①取函数，其中，，两个集合之间存在一一对应，故. 备注：函数举例不唯一，只要保证定义域为，值域为即可， 如：或等等均可， ②设，， 假设，即存在对应关系：为一一对应， 对于集合B中的元素，，，至少存在一个（，且）与这三个集合中的某一个对应，所以集合A中必存在. 记，则，故， 从而存在，使得； 若，则，矛盾； 若，则，矛盾. 因此，不存在A到B的一一对应，所以. 【点睛】关键点点睛：压轴数论问题，关键在于理解新的集合有关定义，能想到取特殊函数，并借助函数证明是关键所在，此题难度在考场上基本不能完成. ] 5. （2024年鄂J25武汉洪山二模）19．在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为． (1)试求，，，的值；（[endnoteRef:6]） (2)设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求，与φ（p）和φ（q）的关系； (3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言： ①准备两个不同的、足够大的素数p，q； ②计算，欧拉函数； ③求正整数k，使得kq除以的余数是1； ④其中称为公钥，称为私钥． 已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是．若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列，数列满足，求数列的前n项和． [6: 19．(1)； (2)，； (3). 【分析】（1）利用欧拉函数的定义直接求值. （2）利用欧拉函数的定义求出，进而分析计算. （3）根据给定信息求出，再利用差角的正切公式，借助裂项求和法求解即得. 【详解】（1）由欧拉函数的定义知，不越过3且与3互素的正整数有1，2，则， 不越过9且与9互素的正整数有1，2，4，5，7，8，则， 不越过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，则， 不越过21且与21互素的正整数有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，则， 所以. （2）在不大于的正整数中，只有3的倍数不与互素，而3的倍数有个， 因此. 由，是两个不同的素数，得， 在不超过的正整数中，的倍数有个，的倍数有个， 于是， 所以. （3）计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是，则，从而 由（2）得，， 即正整数满足的条件为：， ，令，则， 令，则， 取，则，于是， 因此，即， ， . 【点睛】关键点睛：数列求和，利用差角的正切变式进行裂项是求解的关键. ] 6. （2024年冀J39承德二模）19．给定一个元函数组：，若对任意正整数，均有，则把称作该函数组的“初始函数”.已知是函数组，的“初始函数”，且. (1)求函数的单调区间；（[endnoteRef:7]） (2)设，记，数列的前项和为.是三个互不相等的正整数，若，求除以4的余数. [7: 19．(1)增区间，减区间 (2)0或3 【分析】（1）根据题意求出，利用导数结合正余弦函数的性质求出单调区间； （2）根据题意得，分类讨论可得，，从而可得，对能否被4整除分情况讨论可得结果. 【详解】（1）根据题意可知， ， 函数的定义域为， 令，即， 解得：， 即函数的单调递增区间为：， 令，即， 解得：， 所以函数的单调递减区间为：， 故函数的单调递增区间为：， 单调递减区间为：， （2）因为， 所以， 当时 当时，， 易得： 又因为，即， 可得，， ， ①若均能被4整除，，满足题意，余数为0； ②若只有1个被4整除，不妨设，则有， 符合题意的其中一个除以4余1，另一个除以4余2或3， 此时除以4的余数为0或3； 下面说明当都不能被4整除时，不符合题意. 将问题加强为：在数列中任取三项，不妨设，（其中等号 不能同时成立），均无法满足， 当或者时，显然不成立； ②当时，同除以，即， 左边为奇数，右边为偶数，也无法成立. 综上所述，当满足时，除以4的余数为0或3. 【点睛】方法点睛：利用导数求函数单调性步骤：（1）求函数定义域；（2）求函数导数；（3）令导数大于零，解不等式，结合定义域写出函数单调递增区间，令导数小于零，解不等式，结合定义域写出函数单调递减区间. ] 7. （2024年冀J29邢台二模）19．在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式型或型极限的一种重要方法，其含义为：若函数和满足下列条件：（[endnoteRef:8]） ①且（或，）； ②在点的附近区域内两者都可导，且； ③（可为实数，也可为），则． (1)用洛必达法则求； (2)函数（，），判断并说明的零点个数； (3)已知，，，求的解析式． 参考公式：，． [8: 19．(1) (2)仅在时存在1个零点，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用洛必达法则求解即可； （2）构造函数，结合的单调性求解即可； （3）利用累乘法求出的表达式，然后结合，利用洛必达法则求极限即可. 【详解】（1） （2），， 所以，． 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， ，， 当时，，所以仅在时存在1个零点． （3），所以，，…， 将各式相乘得， 两侧同时运算极限，所以， 即， 令，原式可化为，又， 由（1）得， 故，由题意函数的定义域为， 综上， 【点睛】方法点睛：本题考查新定义，注意理解新定义，结合洛必达法则的适用条件，构造函数，从而利用洛必达法则求极限. ] 8. （2024年冀J27名校联盟三模）19．已知和数表，其中.若数表满足如下两个性质，则称数表由生成.（[endnoteRef:9]） ①任意中有三个，一个3； ②存在，使中恰有三个数相等. (1)判断数表是否由生成；（结论无需证明） (2)是否存在数表由生成？说明理由； (3)若存在数表由生成，写出所有可能的值. [9: 19．(1)是 (2)不存在，理由见解析 (3)3，7，11. 【分析】（1）根据数表满足的两个性质进行检验，即可得结论； （2）采用反证的方法，即若存在这样的数表A，由性质①推出对任意的，中均有2个奇数，2个偶数，则推出不满足性质②，即得结论； （3）判断出的所有可能的值为3，7，11，一方面说明取这些值时可以由生成数表A，另一方面，分类证明的取值只能为3，7，11，由此可得所有可能的值. 【详解】（1）数表是由生成； 检验性质①： 当时，，共三个，一个3； 当时，，共三个，一个3； 当时，，共三个，一个3； 任意中有三个，一个3； 检验性质②： 当时，，恰有3个数相等. （2）不存在数表由生成,理由如下: 若存在这样的数表A，由性质①任意中有三个，一个3， 则或-1，总有与的奇偶性相反， 类似的，与的奇偶性相反，与的奇偶性相反，与的奇偶性相反； 因为中恰有2个奇数，2个偶数， 所以对任意的，中均有2个奇数，2个偶数， 此时中至多有2个数相等，不满足性质②； 综上，不存在数表由生成； （3）的所有可能的值为3，7，11. 一方面，当时，可以生成数表； 当时，可以生成数表； 当时，可以生成数表； 另一方面，若存在数表A由生成， 首先证明：除以4余3； 证明：对任意的，令， 则， 分三种情况：（i）若，且，则； （ii）若，且，则； （iii）若，且，则； 均有与除以4的余数相同. 特别的，“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”； 类似的，“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”； “存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”； “存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”； “存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”； “存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”； 所以，存在，使得中恰有3个数相等的一个必要不充分条件是中至少有3个数除以4的余数相同. 注意到与除以4余3，除以4余0，故除以4余3. 其次证明：； 证明：只需证明； 由上述证明知若可以生成数表A，则必存在， 使得； 若，则，，， 所以，对任意，均有，矛盾； 最后证明：； 证明：由上述证明可得若可以生成数表A， 则必存在，使得， ，， ， 欲使上述等号成立，对任意的，， 则，， 经检验，不符合题意； 综上，所有可能的取值为3，7，11. 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第3问中确定所有可能的取值，解答时要根据数表A满足的性质分类讨论求解，并进行证明，证明过程比较复杂，需要有清晰的思路. ] 9. （2024年闽J23厦门四检）19．帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，在计算机数学中有着广泛的应用.已知函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，.其中，，…，.已知在处的阶帕德近似为. (1)求实数a，b的值；（[endnoteRef:10]） (2)设，证明：； (3)已知是方程的三个不等实根，求实数的取值范围，并证明：. [10: 19．(1)， (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）结合题意，利用导数计算即可得； （2）由题意可得，借助导数研究其单调性即其正负即可得解； （3）设，借助导数，分及进行讨论，结合函数单调性与零点的存在性定理计算可得当且仅当时，存在三个不等实根，且满足，且，结合（2）中所得，代入计算并化简即可得解. 【详解】（1）依题意可知，，因为，所以， 此时，，因为，， 所以，， 因为，所以； （2）依题意，， ， 故在单调递增， 由，故，，，， 综上，，； （3）不妨设，令， ， 当时，，此时单调递增，不存在三个不等实根； 当时，令，其判别式， 若，即，恒成立，即， 此时单调递减，不存在三个不等实根； 若，即，存在两个不等正实根， 此时有当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又因为，且，故， 因为，所以，即， 所以， 所以存在，满足， 又因为， 故存在，满足， 故当且仅当时，存在三个不等实根， 且满足，且， 由（2）可知，当时，， 因此，， 故， 化简可得：， 因此，命题得证. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助导数与零点的存在性定理得到当且仅当时，存在三个不等实根，且满足，且后，结合（2）中所得，从而得到，再进行化简即可得. ] 10. （2024年闽J22厦门三检）19．若实数集对，均有，则称具有Bernoulli型关系． (1)若集合，判断是否具有Bernoulli型关系，并说明理由； (2)设集合，若具有Bernoulli型关系，求非负实数的取值范围； (3)当时，证明：．（[endnoteRef:11]） [11: 19．(1)具有Bernoulli型关系，理由见解析； (2), (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义判断是否满足即可； （2）令，，，再对其求导，分，，三种情况分析单调性及最值，即可求解； （3）化简，可得且，根据（2）中的结论，可得，再根据的范围求出的范围，进而可求出的范围，最后可得的范围． 【详解】（1）依题意，是否具有型关系，等价于判定以下两个不等式对于是否均成立： ①，②， ，， 具有型关系． （2）令，，， 则， ①当时，显然有，成立； ②当时， 若，则，即，在区间上单调递减， 若，则，即， 若，则，即，在区间上单调递增， 的最小值为，，， 成立； ③当时， 若，则，即，在区间上单调递增， 若，则，即， 若，则，即，在区间上单调递减， 的最大值为，， ，即 当，且时，不能恒成立， 综上所述，可知若具有型关系，则， 非负实数的取值范围为,． （3）证明：， 显然且， 由（2）中的结论：当时，，可知， 当时，， ，， 当时，显然成立； 当时， ， 综上所述，当时，． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数单调性证明与数列有关的不等式，关键是利用（2）的结论得，并适当的放缩裂项求和. ] 11. （2024年湘J32长沙雅礼一测）19. 若函数满足且（），则称函数为“函数”．（[endnoteRef:12]） （1）试判断是否为“函数”，并说明理由； （2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； （3）在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． [12: 【答案】（1）不是“函数”，理由见解析 （2），单调递增区间为，； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干条件代入检验，得到，故不是“函数”； （2）求出函数的周期，由得到，结合当时，，从而得到函数解析式，并求出单调递增区间； （3）画出在上图象，数形结合，由函数的对称性，分三种情况进行求解，得到. 【小问1详解】 不是“函数”，理由如下： ， ，， 则， 故不是“函数”； 【小问2详解】 函数满足，故的周期为， 因为， 所以， 当时，，， 当时，，， 综上：， 中， 当时，，，此时单调递增区间为， ，中， 当时，，， 则， 当，即时，函数单调递增， 经检验，其他范围不是单调递增区间， 所以在上的单调递增区间为，； 【小问3详解】 由（2）知：函数在上图象为： 当或1时，有4个解，由对称性可知：其和为， 当时，有6个解，由对称性可知：其和为， 当时，有8个解，其和为， 所以. 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. ] 12. （2024年浙J24金华一中）16. 太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池两个重要组件，太阳能板通过电池板将太阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中．已知在一定条件下，入射光功率密度（E为入射光能量且为入射光入射有效面积），电池板转换效率与入射光功率密度成反比，且比例系数为k． （1）若平方米，求蓄电池电能储存量Q与E的关系式； （2）现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量，锂离子蓄电池的放电量．设，给定不同的Q，请分析并讨论为了使得太阳能板供电效果更好，应该选择哪种蓄电池？([endnoteRef:13]) 注：①蓄电池电能储存量； ②当S，k，Q一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好． [13: 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用题目所给公式及数据计算即可得； （2）用S，k，Q表示出两种蓄电池的放电量后作差比大小即可得. 【小问1详解】 ， 若平方米，则； 【小问2详解】 由，即， 铅酸蓄电池的放电量为：， 锂离子蓄电池的放电量为：， 则 ， 令，可得， 即时，，此时应选择铅酸蓄电池， 当时，，此时应选择锂离子蓄电池， 当时，，两种电池都可以. ] 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$