重难点03 函数和不等式中的恒成立、有解问题-2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修第一册）

2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一） 重难点03 函数和不等式中的恒成立、有解问题 考点一 一元二次不等式中的恒成立和有解问题 考点二 基本不等式中的恒成立问题 考点三 函数不等式中的恒成立和有解问题 一、恒成立和有解问题思路一览 设函数的值域为或，或或中之一种，则 ①若恒成立（即无解），则； ②若恒成立（即无解），则； ③若有解（即存在使得成立），则； ④若有解（即存在使得成立），则； ⑤若有解（即无解），则； ⑥若无解（即有解），则． 【说明】（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法． （2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍） 二、分离参数的方法 ①常规法分离参数：如； ②倒数法分离参数：如； 【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】 ③讨论法分离参数：如: ④整体法分离参数：如； ⑤不完全分离参数法：如； ⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数． 【注意】 （1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）． 但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法． （2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】 三、其他恒成立类型一 ①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ②在 上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ③在上是单调函数，方法一：分上述两种情形讨论；(常用方法) 四、其他恒成立类型二 ①，使得方程成立． ②，使得方程成． 五、其他恒成立类型三 ①，； ②，； ③，； ④，． 【题型一 一元二次不等式中的恒成立和有解问题】 一、单选题 1．（23-24高一下·河南·阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）不等式对任意实数恒成立，则参数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京东城·期中）已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（　　 ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·河南·期中）“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·天津·期中）若命题“”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2023高三·全国·专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【题型二 基本不等式中的恒成立问题】 一、单选题 1．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 2．（23-24高一上·天津东丽·阶段练习）若，恒成立，则最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 5．（2023高三·全国·专题练习）若正实数满足，且恒成立，则的最大值为 ． 6．（23-24高一上·陕西汉中·期中）若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围是 7．（23-24高一上·山东枣庄·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 8．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习），使得成立，则实数的取值范围为 ． 【题型三 函数不等式中的恒成立和有解问题】 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江金华·期末）若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆·期末）已知命题“对，都有恒成立”为真，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河南郑州·期末）用表示a，b两个数中的最大值，设函数，若时，不等式恒成立，则实数m的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）在上定义新运算，若存在实数，使得成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数，若，对于，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，，，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24高一上·北京·期中）若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是 ． 10．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 . 11．（23-24高一上·北京·期末）已知,其中.若,则的取值范围是 ;若,则的取值范围是 . 12．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，若，使恒成立，则实数的取值范围为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一） 重难点03 函数和不等式中的恒成立、有解问题 考点一 一元二次不等式中的恒成立和有解问题 考点二 基本不等式中的恒成立问题 考点三 函数不等式中的恒成立和有解问题 一、恒成立和有解问题思路一览 设函数的值域为或，或或中之一种，则 ①若恒成立（即无解），则； ②若恒成立（即无解），则； ③若有解（即存在使得成立），则； ④若有解（即存在使得成立），则； ⑤若有解（即无解），则； ⑥若无解（即有解），则． 【说明】（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法． （2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍） 二、分离参数的方法 ①常规法分离参数：如； ②倒数法分离参数：如； 【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】 ③讨论法分离参数：如: ④整体法分离参数：如； ⑤不完全分离参数法：如； ⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数． 【注意】 （1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）． 但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法． （2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】 三、其他恒成立类型一 ①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ②在 上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ③在上是单调函数，方法一：分上述两种情形讨论；(常用方法) 四、其他恒成立类型二 ①，使得方程成立． ②，使得方程成． 五、其他恒成立类型三 ①，； ②，； ③，； ④，． 【题型一 一元二次不等式中的恒成立和有解问题】 一、单选题 1．（23-24高一下·河南·阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】命题“，”为假命题，所以它的否定为真命题，建立不等式求解即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以它的否定“，”为真命题， 则，解得． 故选：D 2．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）不等式对任意实数恒成立，则参数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次不等式任意恒成立结论可得结果. 【详解】不等式对任意实数恒成立，即恒成立， 故判别式，解得， 故选：A. 3．（23-24高一上·北京东城·期中）已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对的取值进行分类讨论，在时，需结合二次函数的图象分析，得到与之等价的不等式组，求解即得. 【详解】因不等式对任意的实数x恒成立，则 ①当时，不等式为，恒成立，符合题意； ②当时，不等式在R上恒成立等价于，解得：. 综上可得：实数k的取值范围为. 故选：C. 4．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】参变分离可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为对任意的，恒成立， 所以对任意的，恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：D 5．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解. 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，满足不等式恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 函数的图像抛物线对称轴为， 时，在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力. 6．（23-24高一上·河南·期中）“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】存在量词命题的否定是全称命题，由存在量词命题是假命题，则其否定是真命题，转化为恒成立问题求解，分离参数求解最值即可得充要条件. 【详解】“，”为假命题“，”为真命题， 所以恒成立， 设，由，则， 故“，”为真命题. 选项A，， 即是“，”为假命题的一个既不充分又不必要条件， 故A不正确； 选项B，因为，但， 所以是“，”为真命题的一个充分不必要条件， 故B正确， 选项C，是“，”为真命题的一个充要条件， 故C不正确； 选项D，， 是“，”为真命题的一个必要条件不充分条件， 故D不正确. 故选：B． 7．（23-24高一上·天津·期中）若命题“”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得命题“”为真命题，根据二次函数的性质只需即可. 【详解】因为命题“”为假命题， 所以命题“”为真命题， 因为函数在上单调递减， 所以只需，解得， 即的取值范围为. 故选：A 8．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，转化为不等式在有解，结合二次函数的性质，求得其最小值，即可求解. 【详解】由使得不等式成立是真命题， 即不等式在有解， 因为，当时，， 所以，即实数的取值范围为. 故选：C. 9．（2023高三·全国·专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用二次函数的图象及根的分布计算即可. 【详解】易知恒成立，即有两个不等实数根， 又，即二次函数有两个异号零点， 所以要满足不等式在区间上有解， 所以只需， 解得，所以实数m的取值范围是． 故选A． 10．（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，由参变量分离法可得，利用基本不等式求出的最大值，即可求得实数的取值范围. 【详解】当时，由，可得，则， 因为，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，当时，的最大值为，故. 故选：A. 【题型二 基本不等式中的恒成立问题】 一、单选题 1．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式求的最小值即可. 【详解】因为，故， 当且仅当，即时取等号，故. 故选：D 2．（23-24高一上·天津东丽·阶段练习）若，恒成立，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得，后由基本不等式可得答案. 【详解】由题可得， 又注意到， 当且仅当，即时取等号.则. 故选：C 3．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可. 【详解】因为正实数、满足， 即，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 因为正实数、满足，且恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B． 4．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合基本不等式判断“”和“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，对于任意正实数x，y， ，当且仅当时取等号， 即此时不等式 对于任意正实数x，y恒成立； 当不等式 对于任意正实数x，y恒成立时， ， 当且仅当时取等号， 此时需满足，解得，此时a不一定等于9， 故“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的充分不必要条件， 故选：A 二、填空题 5．（2023高三·全国·专题练习）若正实数满足，且恒成立，则的最大值为 ． 【答案】1 【分析】由恒成立，即，利用基本不等式可得解. 【详解】正实数满足， ，， 又恒成立，，即的最大值为1． 故答案为：1. 6．（23-24高一上·陕西汉中·期中）若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围是 【答案】 【分析】利用基本不等式 求出在上的最小值，即可求得实数的取值范围. 【详解】当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故. 故实数的取值范围是. 故答案为：. 7．（23-24高一上·山东枣庄·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】依题意可得，利用基本不等式求出的最小值，进而得到关于的一元二次不等式，解得的范围． 【详解】，，， ， ， 当且仅当，即，时取等号， 即（当且仅当，时取等号）， 因为恒成立，，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 8．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习），使得成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据求出，使成立，再根据，求出使成立，进而解出答案. 【详解】解：因为，使得成立， 所以成立， 因为，当且仅当时成立， 故，即， 因为，使得成立， 所以，即，故. 故答案为：. 【题型三 函数不等式中的恒成立和有解问题】 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江金华·期末）若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出函数在上的最大值即得. 【详解】令函数，显然在上单调递减，， 因为任意，不等式恒成立，于是， 所以. 故选：A 2．（23-24高一上·重庆·期末）已知命题“对，都有恒成立”为真，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则问题转化为在的最小值满足，再利用二次函数的性质解不等式即可求出. 【详解】令，则问题转化为在上的最小值满足即可. 当时，，最小值为，符合题意； 当时，对称轴，函数在上单调递减， 而适合题意； 当时，对称轴， 则， 所以； 综上的取值范围为. 故选：A. 3．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由分段函数的定义域要求及所给不等式中的绝对值进行分类讨论，再借助参变分离进行计算即可得. 【详解】当时，，故， 即，由随增大而增大，故， 当时，恒成立。 当时，，故， 即，由随增大而增大，故， 当时，，故， 即，由随增大而减小，故， 即， 综上所述，. 故选：C. 4．（23-24高一上·河南郑州·期末）用表示a，b两个数中的最大值，设函数，若时，不等式恒成立，则实数m的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合不等式及函数新定义求解函数解析式，然后根据分段函数性质求解函数的最小值即可求解恒成立问题. 【详解】当时，若，则，解得或（舍去）， 若，则，解得， 所以，作出函数图象，如图： 当时，函数单调递增，所以当时，有最小值为1； 当时，函数单调递减，所以； 综上，的最小值为1，因为不等式恒成立，所以， 所以，所以实数m的最大值是2. 故选：B 5．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）在上定义新运算，若存在实数，使得成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得存在实数，使得，则，求出函数在区间上的最大值，即可得出实数的取值范围，即可得解. 【详解】由已知，存在实数，使得，则， 因为二次函数在区间上单调递减，则， 所以，，故实数的最大值为. 故选：A. 6．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出求解即可. 【详解】，，所以，， 在上单调递减，所以， 当时，，即，取成立. 当时，，即，得，所以 当时，，即，得，所以， 综上： 的取值范围是. 故选：A 7．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数，若，对于，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由自变量的取值范围，求出函数值的取值范围，依题意只需即可，从而得到不等式解得可得答案. 【详解】因为，， 所以， 当时，， 当时，， 因为，对于，都有成立， 所以的最大值大于的最大值，故舍去 即，解得． 故选：B． 8．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，，，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性可得函数在内的单调性与最值情况，所以，，根据不等式能成立，可得，，所以，可得，进而可得参数范围. 【详解】由已知当时，，当且仅当，即时等号成立， 且在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以在上的最大值为， 又，，使成立， 即， 所以，使，即在上的最大值， 即，解得或， 又， 所以， 故选：A. 二、填空题 9．（23-24高一上·北京·期中）若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】原不等式可化为，设，只需求出在时的最小值，即可得出答案. 【详解】原不等式可化为，设， 则， 当且仅当，且，即时，函数有最小值为， 因为恒成立，所以. 故答案为：. 10．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据存在性的性质，结合二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数的对称轴为， 所以当时，该二次函数单调递增，所以， 因为存在，使得不等式成立， 所以有，或， 因此实数的取值范围为， 故答案为： 11．（23-24高一上·北京·期末）已知,其中.若,则的取值范围是 ;若,则的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化为,则求出的最大值即可;,根据单调性求出的最小值即可. 【详解】, 因为的对称轴为,所以当时,, 则; , 因为的对称轴为,所以当时,为增函数, 则当时,, 即. 故答案为：;. 12．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，若，使恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先通过在上有解，将问题转化为关于的一次函数的最值问题，得到在上恒成立，去绝对值，通过参变分离进一步将问题转化为最值问题求解即可. 【详解】令在上有解， ，在上单调递增， 即，即， 在上恒成立， 即， 或， 即，解得或， 则在上恒成立， 当时，恒成立， 当时，有，即 又明显在上单调递增，， 当时，有，即 ， 综上实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键是转化为在上恒成立，然后再分两类讨论，最后利用分离参数法即可得到答案. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$