专题12 函数的奇偶性-2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一）

2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一） 专题12 函数的奇偶性 考点一 函数奇偶性的判定 考点二 函数奇偶性的图像问题 考点三 利用函数的奇偶性求参数 考点四 利用函数的奇偶性求值和解析式 考点五 函数的奇偶性和单调性综合应用 一、函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数. 注：（1）奇偶性是整体性质； （2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）的等价形式为：， 的等价形式为：； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有； （5）若既是奇函数又是偶函数，则必有. 二、奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数. 三、用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性. 若=-，则是奇函数； 若=，则是偶函数； 若，则既不是奇函数，也不是偶函数； 若且，则既是奇函数，又是偶函数 四、判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立即可. （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 【题型一 函数奇偶性的判定】 策略方法 根据函数解析式判断函数y=f(x)奇偶性的步骤 (1)求出函数f(x)的定义域I. (2)判断定义域I是否关于原点对称,若否,则函数f(x)不具有奇偶性,结束判断;若是,则进行下一步. (3)∀x∈I,计算f(-x),若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数;若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数;若f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),则f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 提醒:①若函数解析式不是最简形式,需先化简函数解析式. ②若函数f(x)=0或可化为f(x)=0,且定义域关于原点对称,则函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数. 一、单选题 1．（23-24高一上·辽宁大连·期末）下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·辽宁·开学考试）设函数，则有（    ） A．是奇函数， B．是奇函数， C．是偶函数， D．是偶函数， 3．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）设函数，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，既是奇函数，又在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·重庆·期中）在下列函数中，在上递增的偶函数是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 6．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）判断下列函数的奇偶性 (1)； (2)； (3). 【题型二 函数奇偶性的图像问题】 策略方法 涉及奇偶函数图象问题,常利用奇函数图象关于原点对称、偶函数图象关于y轴对称解题. 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆·期中）函数的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的图像大致为：（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高一上·北京朝阳·期中）已知奇函数的定义域为，且在上的图像如图所示，则的单调递减区间为 . 三、解答题 4．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知函数是定义域为的偶函数，当时，（如图）．    (1)请补充完整函数的图像； (2)求出函数的解析式； (3)若函数的图像与直线有两个交点，直接写出实数m的取值范围． 5．（23-24高一上·陕西商洛·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．    (1)求函数在上的解析式； (2)画出函数的图像并根据图像写出函数的单调区间和值域． 【题型三 利用函数的奇偶性求参数】 策略方法 (1) 定义域含参数:奇(偶)函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数. (2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是关于x的恒等式求解. (3)若函数y=f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0. (4)若函数y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则b=0. 一、单选题 1．（23-24高一上·山西长治·期末）若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（23-24高一上·北京·期中）已知定义域为 的奇函数，则的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 3．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2024高一·全国·专题练习）已知为偶函数，则 . 5．（23-24高一上·上海·期末）定义在上的函数是奇函数，则实数 . 三、解答题 6．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知的定义域为，且恒成立. (1)求的值; (2)试判断的单调性，并用定义证明你的结论. 7．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数. (1)若函数为偶函数，求实数m的值； (2)若函数的定义域为，求实数m的取值范围. 【题型四 利用函数的奇偶性求值和解析式】 策略方法 根据函数的奇偶性及函数在定义域一侧的解析式求值时,应结合奇偶函数性质将待求值转化为定义域已知的区间上求解或根据函数解析式特征变形求解. 已知函数在某区间上的解析式及函数的奇偶性,求其对称区间或整个定义域上的解析式的方法如下: (1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式就把x设在哪个区间上. (2)将已知区间上对应的解析式代入. (3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而得出f(x)的解析式. 提醒:涉及奇函数在R上的解析式,不要忘记当x=0时,f(0)=0的特殊情况. 一、单选题 1．（23-24高一上·内蒙古·期末）已知函数是上的奇函数，当时，，则（    ） A．2 B．-2 C．3 D．-3 2．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知函数，且，则（    ） A．0 B． C． D． 3．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高一上·福建漳州·期末）若函数是偶函数，且当时，，则当时， . 6．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，且，则 . 三、解答题 7．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)求不等式的解集． 8．（23-24高一上·广东东莞·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明． 9．（23-24高一上·北京·期中）已知为上的奇函数，当时，． (1)求的值； (2)求的解析式． (3)写出解不等式的解集． 【题型五 函数的奇偶性和单调性综合应用】 策略方法 1．比较大小的方法: (1)自变量在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小. (2)自变量不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小. 2．利用函数的奇偶性和单调性解不等式 利用函数的奇偶性和单调性解不等式,解题的关键是利用单调性去掉“f”,因此需要利用奇偶性把不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式.奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反,解题时要注意把x1,x2转化到同一个单调区间研究,对于偶函数f(x)要注意利用f(|x1|)<f(|x2|)或f(|x1|)>f(|x2|)避免讨论;对于奇函数f(x),注意f(x)在x=0处有定义和无定义的区别,当f(x)在x=0处无定义时要注意分类讨论. 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·北京·阶段练习）若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，有，若，则的解集为 . 5．（23-24高一上·福建莆田·期末）已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 6．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）在上满足，且在上是递减函数，若，则的取值范围是 . 三、解答题 7．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并用定义法证明在上的单调性； (3)解关于x的不等式． 8．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知定义在上的偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一） 专题12 函数的奇偶性 考点一 函数奇偶性的判定 考点二 函数奇偶性的图像问题 考点三 利用函数的奇偶性求参数 考点四 利用函数的奇偶性求值和解析式 考点五 函数的奇偶性和单调性综合应用 一、函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数. 注：（1）奇偶性是整体性质； （2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）的等价形式为：， 的等价形式为：； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有； （5）若既是奇函数又是偶函数，则必有. 二、奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数. 三、用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性. 若=-，则是奇函数； 若=，则是偶函数； 若，则既不是奇函数，也不是偶函数； 若且，则既是奇函数，又是偶函数 四、判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立即可. （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 【题型一 函数奇偶性的判定】 策略方法 根据函数解析式判断函数y=f(x)奇偶性的步骤 (1)求出函数f(x)的定义域I. (2)判断定义域I是否关于原点对称,若否,则函数f(x)不具有奇偶性,结束判断;若是,则进行下一步. (3)∀x∈I,计算f(-x),若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数;若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数;若f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),则f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 提醒:①若函数解析式不是最简形式,需先化简函数解析式. ②若函数f(x)=0或可化为f(x)=0,且定义域关于原点对称,则函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数. 一、单选题 1．（23-24高一上·辽宁大连·期末）下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由偶函数的定义逐一判断每一选项即可. 【详解】对于A，的定义域为，它不关于原点对称，故A不符合题意； 对于B，对于而言，，故B不符合题意； 对于C，对于而言，，故C不符合题意； 对于D，对于而言，其定义域为全体实数，关于原点对称，且，故D符合题意. 故选：D. 2．（23-24高一下·辽宁·开学考试）设函数，则有（    ） A．是奇函数， B．是奇函数， C．是偶函数， D．是偶函数， 【答案】C 【分析】 利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性，由解析式计算一一判定选项即可. 【详解】因为函数表达式为，定义域为， 所以，所以为偶函数； 又，所以C正确. 故选：C 3．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）设函数，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简各选项中函数的解析式，利用函数奇偶性的定义判断可得出合适的选项. 【详解】因为， 对于A选项，， 令，该函数的定义域为， ，则为奇函数，A满足要求； 对于B选项， ， 令，该函数的定义域为，则， 所以，函数不是奇函数，B不满足条件； 对于C选项， ， 令，该函数的定义域为，则， 所以，函数不是奇函数，C不满足条件； 对于D选项，， 令，该函数的定义域为，则， 所以，函数不是奇函数，D不满足要求. 故选：A. 4．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，既是奇函数，又在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本初等函数的奇偶性和单调性逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，设，该函数的定义域为，， 所以，函数为偶函数，且当时，，即函数在上是增函数，A不满足要求； 对于B选项，函数为奇函数，且该函数在上为增函数，B不满足要求； 对于C选项，函数为偶函数，且该函数在上为增函数，C不满足要求； 对于D选项，函数为奇函数，且该函数在上为减函数，D满足要求. 故选：D. 5．（23-24高一上·重庆·期中）在下列函数中，在上递增的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用偶函数的特性，结合单调性逐项判断即得. 【详解】对于A，由于与时的函数值分别为，显然函数图象关于y轴 不对称，即函数不是偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为R，且，则是偶函数，在上单调递增，B是； 对于C，函数的定义域为，且， 函数是奇函数，C不是； 对于D，函数的定义域为，不具奇偶性，D不是. 故选：B 二、解答题 6．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）判断下列函数的奇偶性 (1)； (2)； (3). 【答案】(1)奇函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)非奇非偶函数 【分析】（1）先求定义域，判断与的关系； （2）先求定义域，判断与的关系； （3）先求定义域，判断与的关系； 【详解】（1）定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数. （2），所以定义域为，关于原点对称， 此时，所以既是奇函数又是偶函数. （3），所以定义域为， 不关于原点对称，所以为非奇非偶函数. 【题型二 函数奇偶性的图像问题】 策略方法 涉及奇偶函数图象问题,常利用奇函数图象关于原点对称、偶函数图象关于y轴对称解题. 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆·期中）函数的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】 结合奇函数的图象性质及特殊函数值判断即可. 【详解】解：由，得函数为奇函数，排除B项， 由，得，则排除C、D两项. 故选：A. 2．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的图像大致为：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到函数为偶函数，排除BD；再计算出，排除C，得到答案. 【详解】的定义域为R，且， 故为偶函数，排除BD， ，故， 显然C选项不满足此要求，舍去，A选项满足 故选：A 二、填空题 3．（23-24高一上·北京朝阳·期中）已知奇函数的定义域为，且在上的图像如图所示，则的单调递减区间为 . 【答案】， 【分析】直接根据图像以及奇函数的对称性可得答案. 【详解】根据图像可得在上的单调增区间为，单调减区间为， 又函数为奇函数， 由奇函数在对称的区间上单调性相同得： 在上的单调增区间为，单调减区间为.故答案为：， 三、解答题 4．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知函数是定义域为的偶函数，当时，（如图）．    (1)请补充完整函数的图像； (2)求出函数的解析式； (3)若函数的图像与直线有两个交点，直接写出实数m的取值范围． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)或． 【分析】（1）根据题意，由偶函数的图像关于轴对称，即可画出函数图像； （2）根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，结合函数图像，即可得到结果. 【详解】（1）如图：    （2）时，顶点，过点，， 设时函数解析式为，代入， 得，，. （3）由图可知，若函数的图像与直线有两个交点，则或． 5．（23-24高一上·陕西商洛·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．    (1)求函数在上的解析式； (2)画出函数的图像并根据图像写出函数的单调区间和值域． 【答案】(1) (2)图象见解析，单调递增区间为，单调递减区间为，值域为. 【分析】（1）根据奇函数的性质先求出，再根据奇函数性性质求出时的解析式，即可得答案. （2）根据函数解析式可作出函数图象，由图象可得函数的单调区间以及值域. 【详解】（1）由题意知函数是定义在上的奇函数，故； 当时，， 则时，，故， 函数在上的解析式为. （2）画出函数的图像如图：    由图可知，函数的单调递增区间为， 单调递减区间为，值域为. 【题型三 利用函数的奇偶性求参数】 策略方法 (1) 定义域含参数:奇(偶)函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数. (2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是关于x的恒等式求解. (3)若函数y=f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0. (4)若函数y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则b=0. 一、单选题 1．（23-24高一上·山西长治·期末）若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据题意，结合，列出方程，即可求得的值. 【详解】由函数为奇函数，可得， 可得，解得， 经检验，当时，， 满足，符合题意，所以. 故选：D. 2．（23-24高一上·北京·期中）已知定义域为 的奇函数，则的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 【答案】B 【分析】由奇函数定义域的对称性求得，由奇函数的性质求得，然后求值． 【详解】因为是奇函数，则，，，， 所以， 故， 所以. 故选：B． 3．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶函数的性质，即可求出，即可求出结果. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，得到， 显然，由图象关于轴对称，得到，解得， 所以，满足要求， 得到. 故选：A. 二、填空题 4．（2024高一·全国·专题练习）已知为偶函数，则 . 【答案】 【分析】法一：先利用求得，然后代入验证；法二：利用偶函数的定义建立方程求解即可. 【详解】法一：特殊值法：因为为偶函数，所以， 所以，解得， 经检验，当时，为偶函数，符合题意. 法二：定义法：因为为偶函数，所以， 所以，化简得， 所以，解得. 故答案为： 5．（23-24高一上·上海·期末）定义在上的函数是奇函数，则实数 . 【答案】/ 【分析】根据题意，利用，求得，结合函数奇偶性的定义及判定，即可求解. 【详解】由函数为上的奇函数，则，解得， 经检验，当时，， 此时，此时函数为奇函数， 所以. 故答案为：. 三、解答题 6．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知的定义域为，且恒成立. (1)求的值; (2)试判断的单调性，并用定义证明你的结论. 【答案】(1) (2)为上的增函数，证明见解析 【分析】（1）根据题意得，求得并检验； （2）根据单调性定义判断并证明结论. 【详解】（1）因为满足，故函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得， 当时，，满足，符合题意， 故. （2）由（1）可知，.函数在上为增函数. 证明如下： 任取，所以， 所以 所以. 故为上的增函数. 7．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数. (1)若函数为偶函数，求实数m的值； (2)若函数的定义域为，求实数m的取值范围. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据偶函数的定义列式求解即可； （2）把已知转化为对任意的恒成立，利用判别式列不等式求解即可. 【详解】（1）因为为偶函数，所以， 即， 所以对定义域内的任意实数恒成立，所以； （2）由已知，对任意的恒成立， 所以，即，解得， 所以实数m的取值范围为. 【题型四 利用函数的奇偶性求值和解析式】 策略方法 根据函数的奇偶性及函数在定义域一侧的解析式求值时,应结合奇偶函数性质将待求值转化为定义域已知的区间上求解或根据函数解析式特征变形求解. 已知函数在某区间上的解析式及函数的奇偶性,求其对称区间或整个定义域上的解析式的方法如下: (1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式就把x设在哪个区间上. (2)将已知区间上对应的解析式代入. (3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而得出f(x)的解析式. 提醒:涉及奇函数在R上的解析式,不要忘记当x=0时,f(0)=0的特殊情况. 一、单选题 1．（23-24高一上·内蒙古·期末）已知函数是上的奇函数，当时，，则（    ） A．2 B．-2 C．3 D．-3 【答案】D 【分析】根据函数为上的奇函数，得到，利用求出答案. 【详解】因为是上的奇函数，且当时，， 所以，即，故， 又，则. 故选：D 2．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知函数，且，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】令可判断为奇函数，则，再根据奇函数的性质计算可得. 【详解】令，，则， 所以为奇函数， 则，又，所以，即， 所以， 所以. 故选：D 3．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】根据题意，由①得， 因为为奇函数，为偶函数，所以，， 所以②， 由①②得，所以， 则. 故选：A. 4．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】是定义域为的奇函数， 当时，，所以. 故选：A 二、填空题 5．（23-24高一上·福建漳州·期末）若函数是偶函数，且当时，，则当时， . 【答案】 【分析】根据偶函数的性质求解即可. 【详解】解：因为数是偶函数，且当时，， 所以当时，， 所以， 即， 所以当时，. 故答案为： 6．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，且，则 . 【答案】8 【分析】根据题意构造奇函数，结合奇函数性质求解答案即可. 【详解】令，定义域， 且， 所以是奇函数， 所以， 代入，得. 故答案为：8 三、解答题 7．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义运算求解； （2）根据（1）中解析式，分和两种情况，结合二次不等式运算求解. 【详解】（1）若，则， 由题意可得：， 所以. （2）由（1）可知：， 若时，令，即，解得或（舍去）； 若时，令，即，解得或（舍去）； 综上所述：不等式的解集为. 8．（23-24高一上·广东东莞·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明． 【答案】(1) (2)函数在区间上单调递增，证明过程见解析 【分析】（1）直接由奇函数的定义求解即可. （2）直接由单调性的定义证明即可. 【详解】（1）函数是定义在R上的奇函数，所以， 又当时，， 所以当时，，， 所以函数的解析式为. （2）函数在区间上单调递增，理由如下： 不妨设，则 ， 因为，所以， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增. 9．（23-24高一上·北京·期中）已知为上的奇函数，当时，． (1)求的值； (2)求的解析式． (3)写出解不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质可求得的值； （2）设，则，利用奇函数的性质可得出函数在时的解析式，再由设可得出函数的解析式； （3）分、两种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集. 【详解】（1）解：因为函数为上的奇函数，当时，， 则. （2）解：因为函数为上的奇函数， 当时，，则， 又因为满足，故. （3）当时，，可得，解得或， 此时，或； 当时，，可得，解得或， 此时，. 综上所述，原不等式的解集为. 【题型五 函数的奇偶性和单调性综合应用】 策略方法 1．比较大小的方法: (1)自变量在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小. (2)自变量不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小. 2．利用函数的奇偶性和单调性解不等式 利用函数的奇偶性和单调性解不等式,解题的关键是利用单调性去掉“f”,因此需要利用奇偶性把不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式.奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反,解题时要注意把x1,x2转化到同一个单调区间研究,对于偶函数f(x)要注意利用f(|x1|)<f(|x2|)或f(|x1|)>f(|x2|)避免讨论;对于奇函数f(x),注意f(x)在x=0处有定义和无定义的区别,当f(x)在x=0处无定义时要注意分类讨论. 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的性质，分段解不等式即得. 【详解】函数是上的偶函数，在上是减函数，则在上是增函数，， 不等式化为：或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 2．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的性质和函数的单调性即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以， 又因为是在区间单调递减， 所以，即，于是有，解得或， 故不等式的解集为. 故选：A. 3．（22-23高一上·北京·阶段练习）若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据函数的性质，确定和的解集，再转化不等式求解集. 【详解】为上的奇函数，且在单调递减，， ，，且在上单调递减， 所以或，或， 可得，或， 即或，即， 故选：B. 二、填空题 4．（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，有，若，则的解集为 . 【答案】 【分析】依题意可知函数是在上单调递增的奇函数，再由结合单调性和奇偶性即可求得的解集. 【详解】由任意，有可得， 函数在上单调递增， 又根据奇函数性质可得，且在上单调递增； 所以当时，，可得； 当时，，可得； 综上可得的解集为. 故答案为： 5．（23-24高一上·福建莆田·期末）已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式等价转化为，解得即可. 【详解】因为偶函数在区间上是增函数， 所以在区间上单调递减， 不等式等价于，等价于， 即，解得，即满足的取值范围是. 故答案为： 6．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）在上满足，且在上是递减函数，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性化简不等式，结合函数的定义域求得的取值范围. 【详解】∵，∴. ∵，∴. ∴，解得， ∴的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题 7．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并用定义法证明在上的单调性； (3)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）借助奇函数的性质计算可得、，借助可得，即可得解； （2）借助单调性的定义，令后计算的正负即可得； （3）结合函数定义域，奇函数的性质与函数的单调性计算即可得. 【详解】（1）由题意可得， 即，即，故，， 又，故，即； （2）在上单调递增，证明如下： 设， 则 ， 由，则，，， 故， 故在上单调递增； （3）由函数为奇函数，故， 又函数在上单调递增，故有， 解得. 所以不等式的解集为. 8．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知定义在上的偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性以及求得，也即求得的解析式. （2）先判断的单调性，根据单调性和奇偶性化简不等式，由此求得不等式的解集. 【详解】（1）∵ 是定义在上的偶函数， ∴ ，，即， 又，即 ，解得， 所以，经检验符合题意． （2）由（1）知：，∴在上为单调递减函数， 因为，即， 又∵为偶函数，可得， 综上可得：，  解得或， 所以不等式的解集为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$