2024年全国一卷数学新高考题型细分S3-6——二项式定理2

2024年全国一卷新高考题型细分S3-6 ——计数原理——二项式定理2 1、 试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。 4、 《计数原理——二项式定理》主要分类有：基本计算，反求系数底数，两个二项式，三项式，系数的和二项式系数的和，换元法等，大概98道题。 二项式——系数和、二项式系数和： 1. （2024年粤J01）在（其中）的展开式中，的系数为，各项系数之和为，则_[endnoteRef:2]______. [2: 【答案】5 【解析】 【分析】由题意可根据二项式展开式中x的系数以及各项系数之和，列出关于的方程，即可求得答案. 【详解】由题意得的展开式中的系数为，即， 令，得各项系数之和为，则n为奇数，且， 即得， 故答案为：5 ] 2. （2024年粤J104名校一联考）2. 二项式的各项系数之和为（ [endnoteRef:3] ） A. 512 B. C. 2 D. [3: 【答案】B 【解析】 【分析】令进而求解即得. 【详解】令，则二项式的各项系数之和为， 故选：B ] 3. （2024年浙J32北斗星盟联考）12．若展开式的二项式系数之和为128，则展开式中的系数为 [endnoteRef:4] . [4: 12．280 【分析】先由二项式系数和为128，求出，再求出展开式的通项，令，即可得出答案. 【详解】展开式的二项式系数之和为，解得：， 所以展开式的通项为：， 令，解得：， 所以展开式中的系数为：. 故答案为：280. ] 4. （2024年浙J35金华义乌三模）12．若二项式的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为[endnoteRef:5] ． [5: 12．54 【分析】先利用赋值法求出n的值，然后利用展开式通项求常数项． 【详解】解：令x＝1，有4n＝256， 解得n＝4，所以展开式通项为：， 令4﹣2k＝0得，k＝2． 故常数项为：． 故答案为：54． 【点睛】本题考查了赋值法求二项式展开式的系数和、二项式展开式的通项公式，属于基础题. ] 5. （2024年苏J08宿迁调研）12. 已知的展开式中二项式系数和为32，则展开式中的常数项为[endnoteRef:6]_________． [6: 【答案】10 【解析】 【分析】由展开式中二项式系数和为32，令，求出，然后利用通项公式中的指数为，求出，进而得出常数项. 【详解】令，则当时，常数项为． 故答案为：10. ] 6. （2024年粤J124广州天河三模）12．在的展开式中，若各项系数的和为，则的系数为 [endnoteRef:7] ． [7: 12． 【分析】令，即可表示出二项式系数之和求出，然后利用通项公式直接求解即可. 【详解】由题知，令，则原式为， 因为各项系数的和为，所以，则， 则原式为， 因为通项为， 所以的系数为. 故答案为： ] 7. （2024年苏J24苏锡常镇一调）2. 设，则（ [endnoteRef:8] ） A. B. C. D. [8: 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值法，分别令可得. 【详解】令，则，； 令，则； . 故选：C. ] 8. （2024年浙J22九加一联盟三月考）12. 已知 ．若， 则__[endnoteRef:9]______． [9: 【答案】 【解析】 【分析】借助赋值法可得，结合二项式定理计算即可得解. 【详解】令，则有，即， 即有，则. 故答案为：. ] 9. （2024年湘J46长沙一中二模）4．已知，若，则的取值可以为（ [endnoteRef:10]   ） A．2 B．1 C． D． [10: 4．A 【分析】借助赋值法计算即可得. 【详解】令，有， 即或. 故选：A. ] 10. （2024年苏J24苏锡常镇一调）2. 设，则（ [endnoteRef:11] ） A. B. C. D. [11: 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值法，分别令可得. 【详解】令，则，； 令，则； . 故选：C. ] 11. （2024年粤J105湛江二模）5. 已知，则（ [endnoteRef:12] ） A B. C. 15 D. 17 [12: 【答案】D 【解析】 【分析】令得到展开式系数和，再写出展开式的通项，求出，即可得解. 【详解】令，得， 又展开式的通项为（且）， 所以，所以. 故选：D ] 12. （2024年苏J34航附二模）5．已知，则（   [endnoteRef:13] ） A．48 B．192 C．128 D．72（先求导，再赋值） [13: 5．B 【分析】令，求导，然后令求解. 【详解】解：令， 则， 令，得． 故选：B． ] 13. （2024年鄂J27宜荆荆随恩二模）12．已知，则[endnoteRef:14] ．（先求导，再赋值） [14: 12．21 【分析】对两边求导，再利用赋值法，令，可得，原式中令，可求得，即可求解. 【详解】对两边求导可得： ， 令，可得， 即， 又，令，可得， 所以. 故答案为：. ] 14. （2024年苏J38航附五月测）6．已知，则（[endnoteRef:15]    ） A．-1 B．0 C．1 D．2（赋值求和） [15: 6．D 【分析】先根据二项展开式的通项公式求得，再利用赋值法，令，进而即可求解． 【详解】由， 则，得， 令，得， 左右两边除以，得， 所以． 故选：D． ] 二项式定理——除法求余数： 15. （2024年鄂J23荆州四适）4．已知，则被3除的余数为（  [endnoteRef:16]  ） A．3 B．2 C．1 D．0 [16: 4．D 【分析】先对二项展开式中的进行赋值，得出，再将看作进行展开，再利用二项展开式特点分析即得. 【详解】令，得，令，得， 两式相减，， 因为， 其中被3整除，所以被3除的余数为1， 综上，能被3整除． 故选：D. ] 16. （2024年冀J43名校二联考，鄂J20黄冈浠水三模）5．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，则的值可以是（[endnoteRef:17]    ） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 [17: 5．D 【分析】首先根据二项式定理化简，再判断余数，结合选项，即可求解. 【详解】， 所以除以9的余数是8， 选项中只有2024除以9余8. 故选：D ] 17. （2024年鄂J02八市联考）5. 已知今天是星期三，则天后是（[endnoteRef:18] ） A. 星期一 B. 星期二 C. 星期三 D. 星期五 [18: 【答案】A 【解析】 【分析】结合二项式展开式，求出它除以7的余数，可得结论. 【详解】 ． 即除以7的余数为5，所以天后是星期一. 故选：A. ] 二项式——换元法求系数： 18. （2024年鲁J33潍坊三模）8．已知 ，则 （[endnoteRef:19]      ） A．8 B．10 C． D． [19: 8．B 【分析】由，利用二项式定理求解指定项的系数. 【详解】， 其中展开式的通项为，且， 当时，，此时只需乘以第一个因式中的2，可得； 当时，，此时只需乘以第一个因式中的，可得. 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把表示成，利用即可二项式定理求解. ] 19. （2024年粤J33珠海一中预测）13. 若，则_[endnoteRef:20]_________. [20: 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再由的展开式中，的系数为求得即可. 【详解】根据的系数为1可知，的展开式中，的系数为，而中，的系数为， ，解得. 故答案为：. ] 20. （2024年粤J42江门一模）6. 已知，则的值是（ [endnoteRef:21] ） A. 680 B. C. 1360 D. [21: 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法，分别令和，将得到的两式相加，结合等比数列的求和，即可求得答案. 【详解】令，则，即 令，则， 即， 两式相加可得， 故选：B ] 二项式——中下： 21. （2024年粤J18执信二调）13. 在的展开式中，含的项的系数是_[endnoteRef:22]_________.（用数字作答） [22: 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式可直接写出含项的系数，求得答案. 【详解】因为在， 所以含的项为：， 所以含的项的系数是. 故答案为： ] 22. （2024年浙J04温州一适）14. ___[endnoteRef:23]___. [23: 【答案】82 【解析】 【分析】用二项式定理展开，注意合并相反项再求和. 【详解】 可得两式和的结果为82， 故答案为：82 ] 23. （2024年鲁J03临沂一模）5. 的展开式中含项的系数为（ [endnoteRef:24] ） A. 9 B. 10 C. 18 D. 20 [24: 【答案】A 【解析】 【分析】先求出展开式中含项的系数，进而可根据已知条件求出结果. 【详解】二项展开式的通项为， 令，则， 即的展开式中含项的系数为， ∴的展开式中含项的系数为， 故选：. ] 24. （2024年苏J21南通二适）3 若，则等于（ [endnoteRef:25] ） A. 49 B. 55 C. 120 D. 165 [25: 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，再根据组合数的性质计算可得. 【详解】因为二项式展开式的通项为（且）， 又， 所以 . 故选：D ] 25. （2024年冀J29邢台二模）12．已知，则 [endnoteRef:26] . [26: 12．3 【分析】根据二项式的通项求项的系数即可. 【详解】的通项为，所以展开式中的系数为， 的通项为，所以展开式中的系数为， 所以. 故答案为：3. ] 二项式定理——综合基础： 26. （多选，2024年浙J12金华一中模拟）9. 在的展开式中,下列说法正确的是( [endnoteRef:27] ) A. 常数项是 B. 第四项和第六项的系数相等 C. 各项的二项式系数之和为 D. 各项的系数之和为 [27: 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项式定理,的通项公式为,对于A,令进行判断;对于B,令和计算判断即可;对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为可进行判断;对于D,令即可进行判断. 【详解】根据二项式定理,的通项公式为, 对于A,常数项为,故A正确; 对于B,第四项的系数为,第六项的系数为,故B错误; 对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为,故C正确; 对于D,令,各项的系数之和为,故D错误. 故选:AC. ] 27. （2024年鄂J26武昌五月检）2．已知二项式展开式的二项式系数的和为64，则 （ [endnoteRef:28]   ） A． B． C．展开式的常数项为 D．的展开式中各项系数的和为1 [28: 2．D 【分析】根据二项式系数和可得n，化简通项公式，由x的指数为0求出k，然后可得常数项，再令即可判断D. 【详解】由题可知，，则，所以AB错误； 展开式中的第项为. 令，得，则，故C错误； 令得，则的展开式中各项系数的和为1， 故选：D. ] 28. （多选，2024年湘J48长沙长郡四适）9．的展开式中，下列说法正确的是（   [endnoteRef:29] ） A．所有项系数和为64 B．常数项为第4项 C．整式共有3项 D．项的系数 [29: 9．AC 【分析】根据赋值法可求出所有项系数和判断A，由二项展开式的通项公式可判断BCD即可. 【详解】令，由知，所有项系数和为64，故A正确； 二项展开式的通项公式为，令，解得，故展开式第5项为常数项，故B错误； 当时，，展开式为整式，故C正确； 当时，，，故D错误. 故选：AC ] 二项式定理——综合中下： 29. （2024年湘J42岳阳三检）9．下列结论正确的是（[endnoteRef:30]    ） A．，则 B． C．的展开式的第6项的系数是 D．的展开式中的系数为 [30: 9．BD 【分析】根据组合数的性质，解不等式判断A，利用组合数的性质证明结论判断B，根据二项式展开式的通项公式求第6项，确定其系数，判断C，结合二项式展开式的通项公式及组合数性质求展开式中的系数，判断D. 【详解】对于A，因为，由组合数性质可得或，A错误， 对于B，， 所以，B正确， 对于C，展开式的第6项为，所以第6项的系数是，C错误， 对于D，的展开式中的系数为，的展开式中的系数为， 的展开式中的系数为， 所以的展开式中的系数为 ，D正确， 故选：BD. ] 30. （多选，2024年鄂J24荆州三适）9．已知(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则（   [endnoteRef:31] ） A．a0的值为2 B．a5的值为16 C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5 D．a1＋a3＋a5的值为120 [31: 9．ABC 【分析】对于A，利用赋值法，令即可求解； 对于B，利用二项式展开式的通项进行求解； 对于C，利用赋值法，令得到a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，再减去即可； 对于D，利用赋值法，分别令与，得到两个式子联立即可求解. 【详解】对于A，令x＝0，得a0＝2×1＝2，故A正确； 对于B，(1－2x)5的展开式的通项为，所以，故B正确； 对于C，令x＝1，得(2＋1)(1－2×1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6  ①，即a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－3－a0＝－3－2＝－5，故C正确； 对于D，令x＝－1，得(2－1)[1－2×(－1)]5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6  ②，由①②解得a1＋a3＋a5＝－123，故D不正确. 故选：ABC ] 31. （多选，2024年粤J04顺德二检）10. 若，则（ [endnoteRef:32] ） A. B. C. D. [32: 【答案】ACD 【解析】 【分析】将，，代入判断ACD，利用二项式展开式的通项公式判断B即可. 【详解】将代入得，解得，A正确； 由二项式定理可知展开式的通项为， 令得，所以，B错误； 将代入得， 即，C正确； 将代入得， 即①， 将代入得， 即②， ①+②得，所以， ①-②得，所以， 所以，D正确； 故选：ACD ] 二项式——中档、中上、未： 32. （2024年浙J01湖州一中模拟）13. 已知，若存在使得，则k的最大值为[endnoteRef:33]________．（中档，未） [33: 【答案】1011 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项可得，讨论的奇偶性，结合分析求解即可. 【详解】二项式的通项为， 二项式的通项为， 所以，， 若，则有： 当为奇数时，此时，即， 则，可得， 又因为为奇数，所以的最大值为1011； 当为偶数时，此时，不合题意； 综上所述：的最大值为1011. 故答案为：1011. ] 33. （2024年冀J47唐山二模）13．公式，其等号右侧展开式共有类非同类项，的展开式共有类非同类项；那么的展开式共有 类非同类项，的展开式共有[endnoteRef:34] 类非同类项．（中档，未） [34: 13． 10 【分析】直接展开，即可得到结果；再根据所给条件，猜想的展开式共有类非同类项，再用数学归纳法证明，即可得到结果. 【详解】因为 ， 所以的展开式共有类非同类项， 又，， 猜想， 共有类非同类项， 下面用数学归纳法证明： 当时，，有类非同类项，又，所以猜想成立， 假设时，有类非同类项， 则时，， 有，所以时，猜想也成立， 综上，的展开式共有类非同类项， 故答案为：，. ] 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$