2024年全国一卷新高考数学题型细分S3-6——二项式定理1

2024年全国一卷新高考题型细分S3-6 ——计数原理——二项式定理1 1、 试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。 4、 《计数原理——二项式定理》主要分类有：基本计算，反求系数底数，两个二项式，三项式，系数的和二项式系数的和，换元法等，大概98道题。 二项式——基本计算： 1. （2024年冀J16邯郸三调）4. 在的展开式中，的系数为（ [endnoteRef:2] ） A. B. C. 6 D. 192 [2: 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式的通项为， 令，得， 所以的系数为． 故选：A. ] 2. （2024年粤J03佛山一中二调）13. 在的展开式中，的系数为[endnoteRef:3]__________. [3: 【答案】 【解析】 【分析】由二项式的展开式的通项进行求解即可. 【详解】的展开式的通项为 令得，所以，的系数为. 故答案为：. ] 3. （2024年湘J22一起考二模）12. 的展开式中的系数是[endnoteRef:4]___________. [4: 【答案】40 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式，即得解 【详解】因为，所以的展开式中的系数是40. 故答案为：40 ] 4. （2024年冀J05唐山一模）12. 在的展开式中，常数项为[endnoteRef:5]______．（用数字作答） [5: 【答案】 【解析】 【分析】先由二项式定理求出的展开式的通项公式，再求出常数项即可． 【详解】因为展开式的通项公式为：， 令，解得， 所以常数项为：. 故答案为： ] 5. （2024年鲁J04青岛一适）2. 在展开式中，项的系数为（ [endnoteRef:6] ） A. 1 B. 10 C. 40 D. 80 [6: 【答案】D 【解析】 【分析】利用通项求解可得. 【详解】通项公式为， 当时，， 所以项的系数为80. 故选：D ] 6. （2024年浙J38绍兴四月适）12．的展开式中的系数是[endnoteRef:7] .（用数字作答） [7: 12． 【分析】根据二项式定理求通项，从而可得的系数. 【详解】展开式的通项为， 则当时，的系数为. 故答案为：. ] 7. （2024年浙J39绍兴上虞调测）12．的展开式的第四项为[endnoteRef:8] . [8: 12． 【分析】写出二项式的通项公式，代值计算即得. 【详解】的展开式的通项为， 令，得 故答案为：. ] 8. （2024年浙J40台州二评）12．的展开式中的系数为[endnoteRef:9] （用数字作答）. [9: 12．20 【分析】求出展开式的通项，再令的系数等于，即可得解. 【详解】展开式的通项为， 令，则， 所以的展开式中的系数为. 故答案为：. ] 9. （2024年鲁J38济宁三模）2．的展开式中的系数为（   [endnoteRef:10] ） A． B． C．120 D．160 [10: 2．A 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再由给定幂指数求解即得. 【详解】二项式展开式的通项为， 由，得，所以的展开式中的系数为. 故选：A ] 10. （2024年鲁J31威海二模）12．的展开式中的系数为[endnoteRef:11] ．（用数字作答） [11: 12．35 【分析】化简通项，根据x的指数等于13求出r，然后可得所求系数. 【详解】， 令，解得，所以的系数为. 故答案为：35 ] 11. （2024年湘J04师大附中）13. 一组数据为3，5，1，6，8，2，记这组数据上四分位数为，则二项式展开式的常数项为[endnoteRef:12]__________． [12: 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数的计算方法，求得，求得二项展开式的通项为，即可求解. 【详解】将这组数据从小到大排成一列为：， 由，所以这组数据的四分位数为，所以二项式为， 则二项展开式的通项为， 令，解得，所以展开式的常数项为. 故答案为：. ] 12. （2024年粤J135茂名二测）12．的展开式中的系数是[endnoteRef:13] . [13: 12．40 【分析】利用二项展开式的通项公式，即得解 【详解】因为，所以的展开式中的系数是40. 故答案为：40 ] 13. （2024年鄂J21黄冈二模）12．的展开式中常数项为[endnoteRef:14] ． [14: 12．60 【分析】先求出展开式的通项公式,再令 的指数为0,解出,进而可求出常数项. 【详解】 的展开式中的通项公式：. 令-6=0，解得r=4． ∴的展开式中常数项为:=60． 故答案为60． 【点睛】本题考查了二项式定理,属基础题. ] 14. （2024年闽J24漳州四检）3．二项式展开式中，项的系数为（[endnoteRef:15]    ） A． B． C． D． [15: 3．D 【分析】先求出的展开式的通项，再求出展开式中项系数即可． 【详解】根据题意，二项式的展开式的通项， 其中项为，， 所以的展开式中项的系数为． 故选：D． ] 15. （2024年闽J22厦门三检）12．展开式中的常数项为 [endnoteRef:16] ． [16: 12．160 【分析】由题意利用二项式定理可得解. 【详解】二项式的展开式的通项公式， 令，可得， 所以展开式中的常数项为. 故答案为：160. ] 16. （2024年浙J41天域二模）4．展开式的常数项为（ [endnoteRef:17]   ） A． B． C． D． [17: 4．A 【分析】写出二项展开式的通项公式，令的指数为0，得出常数项的项数，即可得常数项． 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为. 故选：A. ] 17. （2024年粤J120大湾区二模）2．的展开式中，的系数为（   [endnoteRef:18] ） A． B．10 C． D．40 [18: 2．C 【分析】利用二项展开式的通项，求指定项的系数. 【详解】展开式的通项为，， 所以的系数为． 故选：C ] 18. （2024年粤J126广东三模）13．展开式中项的系数为 [endnoteRef:19] . [19: 13．30 【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可求出指定项的系数. 【详解】展开式的通项表达式为， 当时，， . 故答案为:30. ] 19. （2024年粤J125新会华侨二模）4．展开式中系数为有理数的项共有（  [endnoteRef:20]  ） A．2项 B．3项 C．4项 D．5项 [20: 4．D 【分析】根据二项式展开式的通项公式直接得出结果. 【详解】展开式的通项公式为（）， 所以展开式中的第1项、第3项、第5项、第7项、第9项的系数均为有理数，共5项. 故选：D ] 20. （2024年粤J07六校联考）1. 展开式中第3项的系数是（ [endnoteRef:21] ） A. 90 B. -90 C. -270 D. 270 [21: 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理求出通项公式，进而求出第3项. 【详解】展开式的第3项为，故第3项系数为90， 故选：A ] 21. （2024年浙J05名校二联考）13. 的展开式中的系数是[endnoteRef:22]__________. [22: 【答案】8 【解析】 【分析】写出二项式展开式的通项公式，令的指数为1，解出，可得结果. 【详解】展开式的通项公式为，(其中)， 令，解得，即二项式展开式中的系数为. 故答案为：8 ] 22. （2024年鄂J04名校联盟）13. 的展开式中的常数项为[endnoteRef:23]___________（用数字填写答案）. [23: 【答案】60 【解析】 【分析】根据条件，利用通项公式为，即可求出结果. 【详解】因为二项展开式的通项公式为， 令，则，得到，所以展开式中常数项为60， 故答案为：. ] 23. （2024年闽J12福州三检）12．的展开式中的常数项为[endnoteRef:24]______． [24: 160； 解析：易知该二项展开式通项为，∴当时，得到常数项为160，故应填160． ] 24. （2024年鄂J03武汉二联）13. 的展开式中，的系数为_[endnoteRef:25]_____． [25: 【答案】-20 【解析】 【分析】由二项式定理，展开式的通项公式求出指定项的系数. 【详解】展开式的通项公式，令，解得：，则，所以的系数为-20. 故答案为：-20 ] 25. （2024年湘J27长沙一中适应）4. 若n为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是（ [endnoteRef:26] ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 [26: 【答案】A 【解析】 【分析】根据第六十百分位数，结合二项式通项公式进行求解即可. 【详解】因为n为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，， 所以， 二项式的通项公式为， 令，所以常数项为， 故选：A ] 26. （2024年粤J21中附一调）13. 在的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为[endnoteRef:27]____________． [27: 【答案】 【解析】 【分析】由题可得的二项展开式共有7项，通项为：，则该项系数为有理数时，为偶数，即可得答案. 【详解】的二项展开式共有7项，通项为：， 其中，要使项系数为有理数，则为偶数，即时， 项系数为有理数，则相应概率为：. 故答案为：. ] 二项式——基本计算反求指数、底数： 27. （2024年浙J31五校联考）12．若展开式中的常数项为，则实数 [endnoteRef:28] . [28: 12． 【分析】求得二项展开式的通项，结合通项求得的值，代入列出方程，即可求解. 【详解】由二项式展开式的通项为， 令，可得，代入可得，解得. 故答案为：. ] 28. （2024年粤J35中山一中二调）13. 若的二项展开式的第7项为常数项，则_[endnoteRef:29]_________. [29: 【答案】18 【解析】 【分析】把二项展开式的通项公式写出来，根据题意列出方程即可得解. 【详解】因为，且由题意时为常数项，故，所以. 故答案为：18. ] 29. （2024年冀J04石家庄二中一模）13. 已知，若的展开式中含项的系数为40，则_[endnoteRef:30]_____. [30: 【答案】 【解析】 【分析】求出展开式的通项公式，然后令的指数为4，由此建立方程即可求解 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得， 所以项的系数为，解得,又，所以 故答案为： ] 30. （2024年湘J34长郡二适）12. 已知的展开式中常数项为20，则实数m的值为[endnoteRef:31]______． [31: 【答案】1 【解析】 【分析】根据二项式展开式通项特征可得，进而可求解. 【详解】展开式的通项为，令解得，∴． ∴． 故答案为：1 ] 31. （2024年冀J37沧州三模）12．已知的二项展开式中常数项为60，则 [endnoteRef:32] . [32: 12． 【分析】求出二项展开式的通项，再令的指数等于零，即可得解. 【详解】展开式的通项为， 令，得，则的常数项为， 当常数项为60时，. 故答案为：. ] 32. （2024年湘J41永州三模）4．的展开式中第四项的系数为540，则的值为（[endnoteRef:33]    ） A． B． C． D． [33: 4．C 【分析】根据二项式的展开式的通项公式可得，求得，再根据余弦的二倍角公式，结合齐次弦化切即可求解. 【详解】因为的展开式中第四项为， 所以，解得， 所以. 故选：C ] 33. （2024年粤J102韶关二测）12. 二项式的展开式中，项的系数是常数项的倍，则[endnoteRef:34]___． [34: 【答案】5 【解析】 【分析】利用题给条件列出关于n的方程，解之即可求得n的值. 【详解】二项式的展开式通项为， 则项系数是，常数项是， 由题意得，即， 整理得，解之得或（舍） 故答案为：5 ] 34. （2024年鲁J43日照二模）3．已知，若，则（   [endnoteRef:35] ） A．1 B．2 C．3 D．4 [35: 3．C 【分析】根据题意，结合二项展开式的性质，列出方程，即可求解. 【详解】由，且， 可得，解得. 故选：C. ] 35. （2024年鲁J02荷泽一模）4. ，的展开式中项的系数等于40，则是的（ [endnoteRef:36] ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 [36: 【答案】A 【解析】 【分析】结合二项式定理展开式通式的对应关系求出，再由充分、必要条件判断即可. 【详解】的展开式中含项为， 故，解得， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A ] 36. （2024年粤J136茂名高州一模）3．已知，则“”是“的二项展开式中存在常数项”的（   [endnoteRef:37] ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 [37: 3．A 【分析】计算二项展开式中存在常数项的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】若，则的常数项为； 若的二项展开式中存在常数项， 设二项式的通项为， 且存在常数项，则，，为整数， 所以能被4整除. 所以“”是“的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件. 故选：A. ] 二项式——系数最值： 37. （2024年粤J138汕头金南三模）1．的展开式中二项式系数最大的项为（   [endnoteRef:38] ） A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项 [38: 1．C 【分析】根据题意，结合二项展开式的二项式系数的性质，即可求解. 【详解】由的展开式中，项的二项式系数为， 根据二项式系数的性质得，当时，，即第四项的二项式系数最大． 故选：C. ] 38. （2024年粤J127汕头二模）2．展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（[endnoteRef:39]    ） A．8 B．7 C．6 D．5 [39: 2．C 【分析】根据二项式系数的性质知中间一项第4项二项式系数最大即可得解 【详解】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故，得. 故选：C ] 二项式——两个二项式： 39. （2024年闽J10泉州三测）12. 展开式中常数项为，则[endnoteRef:40]________． [40: 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理写出二项式的通项公式，结合已知条件求出，即，解出即可. 【详解】展开式的通项公式为： ， 因为展开式中常数项为10，则时，解得， 即，解得. 故答案为： ] 40. （2024年湘J06雅礼一模）12. 在二项式的展开式中，常数项为_[endnoteRef:41]_____． [41: 【答案】 【解析】 【分析】写出二项式展开式的通项，令的幂指数等于0可得答案. 【详解】， 因为的通项公式为， 所以在中，当时，不满足； 在中，当时，，则，常数项为. 故答案为：． ] 41. （2024年浙J25温州二适）5. 在展开式中，的奇数次幂的项的系数和为（ [endnoteRef:42] ） A. B. 64 C. D. 32 [42: 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用赋值法计算可得. 【详解】设， 令可得， 令可得， 所以， 即在展开式中，的奇数次幂的项的系数和为. 故选：A ] 42. （2024年浙J02嘉兴一中一模）13. 展开式中的常数项是120，则实数[endnoteRef:43]______． [43: 【答案】2 【解析】 【分析】求出的通项公式，得到与，从而得到展开式常数项，得到方程，求出. 【详解】∵展开式的通项公式为， 令得，即． 令得，即， ∴展开式中的常数项为， 故，解得． 故答案为：2 ] 43. （2024年湘J07株洲一检）14. 在的展开式中，含的项的系数是[endnoteRef:44]______.（用数字作答） [44: 【答案】 【解析】 【分析】先求解出的展开式中常数项和含的项的系数，然后可求的展开式中含的项的系数. 【详解】展开式的通项为， 其中常数项为，含的项为， 又因为， 所以原展开式中含的项的系数为：， 故答案为：. ] 44. （2024年粤J02佛山一中一模）13. 的展开式中的系数是[endnoteRef:45]______． [45: 【答案】288 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式可求的系数. 【详解】，考虑展开式中的系数. 而展开式的通项公式为， 令，则，令，则， 故展开式中的系数为： . 故答案为：. ] 45. （2024年湘J32长沙雅礼一测）12. 的展开式中的系数为[endnoteRef:46]__________． （用数字作答） [46: 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理得到的通项公式，结合，得到，得到的系数. 【详解】的通项公式为， 令得，，此时， 令得，，此时， 故的系数为 故答案为： ] 46. （2024年浙J08强基联盟三月）6. 的展开式中，的系数为（ [endnoteRef:47] ） A. 2 B. C. 8 D. 10 [47: 【答案】A 【解析】 【分析】先将原式化为，再用二项式通项计算即可. 【详解】， 的通项为， 前面括号内出时，令，此时； 前面括号内出时，无解， 前面括号内出时，令，此时， 所以的系数为， 故选：A. ] 47. （2024年粤J40汕头一模）4. 展开式中项的系数为（ [endnoteRef:48] ） A. B. C. D. [48: 【答案】A 【解析】 【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解. 【详解】的展开式通项为， 因为， 在中，令，可得项的系数为； 在中，令，得，可得项的系数为. 所以，展开式中项的系数为. 故选：A. ] 48. （2024年鲁J24枣庄三月考）12. 的展开式中的系数为[endnoteRef:49]______．（用数字作答） [49: 【答案】 【解析】 【分析】由，再写出展开式的通项，即可求出展开式中的系数. 【详解】因为， 其中展开式的通项为， 所以的展开式含的项为， 即的展开式中的系数为. 故答案为： ] 49. （2024年苏J03南通联考）12. 已知展开式中常数项为280，则___[endnoteRef:50]_______. [50: 【答案】7 【解析】 【分析】根据二项式定理 展开式的通项公式，， 再对n分奇数和偶数进行讨论，可解得n的值. 【详解】展开式的通项公式为，，， ①当n为偶数时，则为偶数， 所以当时，此时的展开式中常数项为，此时方程无解； ②当n为奇数时，则为奇数， 所以当时，此时的展开式中常数项为，解得，； 所以 故答案为：. ] 50. （2024年冀J01某市一模）13. 在的展开式中的系数为[endnoteRef:51]__________. [51: 【答案】 【解析】 【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数． 【详解】结合题意可得： 所以的系数为. 故答案为:. ] 51. （2024年冀J26保定十校三模）12．的展开式中的系数为 [endnoteRef:52] . [52: 12． 【分析】化简，结合二项展开式性质，即可求解. 【详解】由， 所以的展开式中含的项为， 所以的展开式中的系数为. 故答案为：. ] 52. （2024年粤J133江门开平忠源）13．的展开式中的系数为 [endnoteRef:53] （用数字作答）. [53: 13． 【分析】求出展开式的、的系数后可求展开式中的系数. 【详解】展开式的通项公式为， 故展开式中系数为，系数为， 故的展开式中的系数为， 故答案为： ] 53. （2024年鲁J40临沂二模）12．展开式中项的系数为 [endnoteRef:54] . [54: 12．42 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有， 则有. 故答案为：. ] 54. （2024年湘J01长郡一模）5. 的展开式中含项的系数为（[endnoteRef:55] ） A. 20 B. -20 C. 30 D. -30 [55: 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式结合多项式乘法可求项的系数. 【详解】， 又的二项展开式的通项公式为， 故的二项展开式中、的系数为0，的系数为， 故的展开式中含项的系数为， 故选：C. ] 55. （2024年湘J02邵阳一联）13. 的展开式中的系数为[endnoteRef:56]__________. [56: 【答案】25 【解析】 【分析】先求出的第项的通式，根据凑成，据此即可求出的展开式中的系数. 【详解】对于，其，当时， 与凑成，此时系数为， 当时，与凑成，此时系数为， 所以的展开式中的系数为. 故答案为：. ] 56. （2024年苏J02前黄一模）12. 的展开式中的系数为[endnoteRef:57]__________．（用数字作答） [57: 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理得到的通项公式，结合，得到，得到的系数. 【详解】的通项公式为， 令得，，此时， 令得，，此时， 故的系数为 故答案为： ] 57. （2024年粤J15华附一调）13. 的展开式中的系数为[endnoteRef:58]__________．（用数字作答） [58: 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理得到通项公式，结合，得到，得到的系数. 【详解】的通项公式为， 令得，，此时， 令得，，此时， 故的系数为 故答案为： ] 58. （2024年鄂J22黄石二中三模）3．已知，则（[endnoteRef:59]    ） A．1 B．0 C． D．5 [59: 3．A 【分析】要想得到，可以有两种情况，第一：取，取，第二：取，取，然后相加可得. 【详解】要想得到，可以有两种情况，第一：取，取，第二：取，取， 所以的系数为：，即. 故选：A ] 二项式——三项式四项式： 59. （2024年鄂J15十一校二联考）6. 的展开式中的系数是，则实数的值为（[endnoteRef:60]    ） A. B. C. D. [60: 【答案】D 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有， 故的展开式中的系数为： ，即. 故选：D. ] 60. （2024年苏J06三市调研）12. 的展开式中的系数为_[endnoteRef:61]_________（用数字作答） [61: 【答案】80 【解析】 【分析】中有2个括号提供，还有3个括号都是，求出系数即可. 【详解】可看作5个相乘，有2个括号提供，还有3个括号都是， 则，系数为80. 故答案为：80 ] 61. （2024年鲁J46烟台二模）5．展开式中的系数为（ [endnoteRef:62]   ） A． B． C． D． [62: 5．C 【分析】将问题转化为排列组合问题，使用组合方法求解. 【详解】现有8个相乘，从每个中的三项各取一项相乘时，若结果为的常数倍，则所取的8项中有4个，2个，2个. 所以，总的选取方法数目就是. 每个这样选取后相乘的结果都是，即给系数的贡献总是，所以的系数就是全部的选取数. 故选：C. ] 62. （2024年湘J45长沙一中一模）5．在的展开式中，的系数是（   [endnoteRef:63] ） A．168 B． C．1512 D． [63: 5．D 【分析】利用多项式展开性质及组合数的应用求解即可. 【详解】原问题可以理解为8个相乘，要想得到，需要8个因式中有2个取项，1个取项， 还剩5个取常数项，由题意的系数为：. 故选：D ] 63. （2024年鄂J19黄冈八模）4．的展开式中的系数为（  [endnoteRef:64] ） A．208 B． C．217 D． [64: 4．B 【分析】根据各未知数的次数以及二项式定理，即可得出答案. 【详解】根据二项式定理可得， 的展开式中，含的项为. 所以，的展开式中的系数为. 故选：B. ] 64. （2024年浙J06金丽衢一联）5. 展开式中含项的系数为（ [endnoteRef:65] ） A. 30 B. C. 10 D. [65: 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列组合与二项式定理知识直接计算即可. 【详解】由题意得，展开式中含的项为， 所以展开式中含项系数为. 故选：B ] 65. （2024年闽J18福师附模拟）13．的展开式中常数项为[endnoteRef:66] ． [66: 13．49 【分析】利用多项式乘法法写出展开式的通项，令次数为0即为常数项． 【详解】展开式的通项公式为 ，， 当时，常数项为1； 当时，得常数项为； 当时，得常数项为； 所以展开式中的常数项为. 故答案为：. ] 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$