2024年全国一卷数学新高考题型细分2-9——概率统计 多选1

2024年全国一卷新高考题型细分2-9 ——概率统计 多选1 1、 试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。 4、 《概率统计——多选》主要分类有：平均数、中位数、 方差、分位数，概率计算、事件的互斥、对立、独立，直方图、读图分析、综合等，大概45道题。 平均数、中位数、 方差等： 1. （多选，2024年湘J06雅礼一模）9. 已知一组数据：，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（ [endnoteRef:2] ） A. 中位数不变 B. 平均数不变 C. 方差不变 D. 第40百分位数不变 [2: 【答案】AD 【解析】 【分析】依次分别算出这组数据去掉12和45前后的平均数，方差，第40百分位数和中位数，对比即可得解. 【详解】将原数据按从小到大顺序排列为， 其中位数为25，平均数是， 方差是， 由，得原数据的第40百分位数是第4个数24. 将原数据去掉12和45，得， 其中位数为25，平均数是， 方差是， 由，得新数据的第40百分位数是第3个数24， 故中位数和第40百分位数不变，平均数与方差改变，故A，D正确，B，C错误. 故选：AD. ] 1. （多选，2024年浙J38绍兴四月适）9．国家统计局统计了2024年1月全国多个大中城市二手住宅销售价格的分类指数，其中北方和南方各4个城市的90m²及以下二手住宅销售价格的环比数据如下： 则（  [endnoteRef:3]  ） A．4个北方城市的环比数据的极差小于4个南方城市的环比数据的极差 B．4个北方城市的环比数据的均值小于4个南方城市的环比数据的均值 C．4个北方城市的环比数据的方差大于4个南方城市的环比数据的方差 D．4个北方城市的环比数据的中位数大于4个南方城市的环比数据的中位数 [3: 9．AD 【分析】根据极差的定义判断A，根据平均数的定义判断B，根据方差的定义判断C，根据中位数的定义判D． 【详解】对于A，4个北方城市的环比数据的极差为，4个南方城市的环比数据的极差为， 所以4个北方城市的环比数据的极差小于4个南方城市的环比数据的极差，故A正确； 对于B，4个北方城市的环比数据的均值为，4个南方城市的环比数据的均值为， 所以4个北方城市的环比数据的均值与4个南方城市的环比数据的均值相等，故B错误； 对于C，4个北方城市的环比数据的方差为， 4个南方城市的环比数据的方差为， 所以4个北方城市的环比数据的方差小于4个南方城市的环比数据的方差，故C错误； 对于D，4个北方城市的环比数据的中位数为99.6，4个南方城市的环比数据的中位数为， 所以4个北方城市的环比数据的中位数大于4个南方城市的环比数据的中位数，故D正确． 故选：AD． ] 2. （多选，2024年浙J30嘉兴二模）9．已知一组数据，其中位数为，平均数为，极差为，方差为.现从中删去某一个数，得到一组新数据，其中位数为，平均数为，极差为，方差为，则下列说法中正确的是（[endnoteRef:4]    ） A．若删去3，则 B．若删去9，则 C．无论删去哪个数，均有 D．若，则 [4: 9．ACD 【分析】根据中位数的定义可判断A选项，根据平均数的定义判断B选项，分类讨论去掉的数据结合极差的定义判断C选项，先判断去掉的数据是什么，然后根据方差的定义判断D. 【详解】A选项，若去掉3，根据中位数的定义， ，满足，A选项正确； B选项，若删去9，根据平均数的定义， ，，，B选项错误； C选项，根据极差的定义，若去掉的数是中的一个， 显然去掉前后极差都是，满足， 若去掉，，若去掉，， 综上，，C选项正确； D选项，原数据平均数，去掉一个数后平均数保持不变，即， 则剩下的四个数之和为，显然去掉的数只能是，由方差的定义， ， ， 满足，D选项正确. 故选：ACD ] 3. （多选，2024年粤J120大湾区二模）9．已知一组数据，，…，是公差不为0的等差数列，若去掉数据，则（[endnoteRef:5]    ） A．中位数不变 B．平均数变小 C．方差变大 D．方差变小（涉后数列） [5: 9．AC 【分析】由中位数的概念可判断A，根据平均数的概念结合等差数列的性质判断B，由方差计算公式即可判断CD. 【详解】对于选项A，原数据的中位数为，去掉后的中位数为，即中位数没变，故选项A正确； 对于选项B，原数据的平均数为，去掉后的平均数为即平均数不变，故选项B错误： 对于选项C，则原数据的方差为， 去掉后的方差为， 故，即方差变大，故选项C正确，选项D错误. 故选：AC. ] 4. （多选，2024年闽J18福师附模拟）10．某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于，则称没有发生群体性发热．下列连续7天体温高于人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（   [endnoteRef:6]   ） A．中位数为3，众数为2 B．均值小于1，中位数为1 C．均值为3，众数为4 D．均值为2，标准差为 [6: 10．BD 【分析】先设出7天体温高于人数，并按大小关系排好顺序. A，C可通过列举法判定；B，D可通过放缩法判定. 【详解】设连续7天体温高于人数依次为 ，，，，，，，则，. 将，，，，，， 按顺序从小到大依次记为，，，，，，，且，. A选项： 由中位数为3得，又众数为2，所以，，的值无法确定，故选项A错误； B选项： 由中位数为1得，由均值小于1得， 有，，故选项B正确； C选项： 由均值为3得，，， 取，，，，满足众数为4， 但有1天有7人体温高于，故选项C错误； D选项： 由均值为2得，，， 由标准差为得， 所以，所以，故选项D正确. 故选：BD. ] 1. （多选，2024年浙J08强基联盟三月）9. 有两组样本数据：；.其中，则这两组样本数据的（ [endnoteRef:7] ） A. 样本平均数相同 B. 样本中位数相同 C. 样本方差相同 D. 样本极差相同 [7: 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，求出两组数据的平均数、方差、中位数和极差，依次分析选项即可得答案． 【详解】根据题意，对于数据，，，， 假设， 设其平均数为、中位数为、方差为、极差为， 则，， ， ， 又由，2，，， 设其平均数为、中位数为、方差为、极差为， 则数据，，，的平均数为， 中位数， ， 方差， 故这两组样本数据的方差相同、极差也相同，平均数和中位数不同． 故选：CD． ] 2. （多选，2024年浙J03台州一评）9. 袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（ [endnoteRef:8] ） A. 可能取到数字4 B. 中位数可能是2 C. 极差可能是4 D. 众数可能是2 [8: 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AC：根据题意结合平均数、方差和极差的定义分析判断；对于BD：举例说明即可. 【详解】设这5个数字为， 对于A：若取到数字4，不妨设为， 则，可得， 可知这4个数中至少有2个1，不妨设为， 则这5个数字的方差 ， 不合题意，故A错误； 对于C：因为这5个数字的平均数为2，这5个数字至少有1个1，不妨设为， 若极差是4，这最大数为5，不妨设为， 则这5个数字的平均数， 则，可知这3个数有2个1，1个2， 此时这5个数字的方差， 不合题意，故C错误； 对于BD：例如2，2，2，2，2，可知这5个数字的平均数为2，方差为0，符合题意， 且中位数是2，众数是2，故BD正确； 故选：BD. ] 分位数等： 3. （多选，2024年粤J21中附一调）10. 已知10个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的8个样本数据方差为，平均数；最大和最小两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（ [endnoteRef:9] ） A. 剩下的8个样本数据与样本数据的中位数不变 B C. 剩下8个数据的下四分位数大于与原样本数据的下四分位数 D. [9: 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，求出一个人组数据的中位数可知；选项B，由平均数计算公式分别计算可得；选项C，利用百分位数计算步骤分别求解比较即可；选项D，利用方差公式可证明. 【详解】设这个样本数据由小到大依次为， 选项A，这个样本数据的中位数为， 剩下的8个样本数据的中位数为， 故剩下的8个样本数据与样本数据的中位数不变，A正确； 选项B，由得， 由得， 由得， 故，又，则， 所以有，故B正确； 选项C，由为整数，则剩下8个数据的下四分位数为， 由不是整数，则原样本数据的下四分位数为， 因为，则，故两个下四分位数可能相等，故C错误； 选项D，由B知，，则 ， ， ， 所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. ] 2. （多选，2024年浙J20丽湖衢二模）9. 有一组样本数据的平均数是，方差是，极差为，则下列判断正确的是（ [endnoteRef:10] ） A. 若的平均数是，则 B. 若的极差是，则 C. 若方差，则 D. 若，则第75百分位数是 [10: 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，利用平均数、方差的计算公式，以及极差的定义和百分位数的计算方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由， 即，所以A正确； 对于B中，例如：若样本数据，可得极差为 此时数据的极差为，此时，所以B不正确； 对于C中，由， 若，可得，所以C正确； 对于D中，由，所以数据的75分位数为，所以D不正确. 故选：AC. ] 3. （多选，2024年冀J11衡水一模）9. 已知10个数据的第75百分位数是31，则下列说法正确的是（ [endnoteRef:11] ） A. 这10个数据中至少有8个数小于或等于31 B. 把这10个数据从小到大排列后，第8个数据是31 C. 把这10个数据从小到大排列后，第7个与第8个数据的平均数是31 D. 把这10个数据从小到大排列后，第6个与第7个数据的平均数是31 [11: 【答案】AB 【解析】 【分析】由百分位数的概念可判断. 【详解】因为这10个数据的第75百分位数是31，由，可知把这10个数据从小到大排列后，第8个数为31， 可知，选项A，B正确，C，D错误. 故选：AB. ] 4. （多选，2024年闽J06某市期末）10. 已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（ [endnoteRef:12] ） A. 甲组数据的第70百分位数为23 B. 甲、乙两组数据的极差相同 C. 乙组数据的中位数为24.5 D. 甲、乙两组数据的方差相同 [12: 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知平均数的关系求得，再由极差、中位数、方差求法判断各项正误即可. 【详解】由题设，，所以， 甲组数据中，故第70百分位数为24，A错； 甲乙组数据的极差都为5，B对； 乙组数据从小到大为，故其中位数为，C错； 由上易知：甲的平均数为，乙的平均数为， 所以甲的方差为， 乙的方差为， 故两组数据的方差相同，D对. 故选：BD ] 4. （多选，2024年粤J25深圳一调）9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的（ [endnoteRef:13] ） A. 众数为12 B. 平均数为14 C. 中位数为14.5 D. 第85百分位数为16 [13: 【答案】BC 【解析】 【分析】由众数，中位数，平均数，第百分位数的定义求出即可. 【详解】成绩从小到大排列为：. A：出现次数最多的数为，故A错误； B：平均数，故B正确； C：中位数为：，故C正确； D：第85百分位数为第，即第位，为，故D错误； 故选：BC. ] 5. （多选，2024年鄂J04名校联盟）9. 某大学生做社会实践调查，随机抽取名市民对生活满意度进行评分，得到一组样本数据如下：、、、、、，则下列关于该样本数据的说法中正确的是（ [endnoteRef:14] ） A. 均值为 B. 中位数为 C. 方差为 D. 第百分位数为 [14: 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用方差公式可判断C选项；利用百分位数的定义可判断D选项. 【详解】由题意可知，该组数据的均值为，故A正确； 中位数为，故B正确； 方差为，故C错误； 因为，第百分位数为，故D正确. 故选：ABD. ] 6. （多选，2024年闽J01厦门一模）10. 已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（ [endnoteRef:15] ） A. 甲组数据的第70百分位数为23 B. 甲、乙两组数据的极差相同 C. 乙组数据的中位数为24.5 D. 甲、乙两组数据的方差相同 [15: 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知平均数的关系求得，再由极差、中位数、方差求法判断各项正误即可. 【详解】由题设，，所以， 甲组数据中，故第70百分位数为24，A错； 甲乙组数据的极差都为5，B对； 乙组数据从小到大为，故其中位数为，C错； 由上易知：甲的平均数为，乙的平均数为， 所以甲的方差为， 乙的方差为， 故两组数据的方差相同，D对. 故选：BD ] 7. （多选，2024年冀J02某市二模）9. 甲在一次面试活动中，7位考官给他的打分分别为：61、83、84、87、90、91、92．则下列说法正确的有（ [endnoteRef:16] ） A. 去掉一个最低分和一个最高分后，分数的平均数会变小 B. 去掉一个最低分和一个最高分后，分数的方差会变小 C. 这7个分数的平均数小于中位数 D. 这7个分数的第70百分位数为87 [16: 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平均数，中位数，百分位数公式，以及方差的意义，即可判断选项. 【详解】A.7个数的平均数是， 去掉最高分和最低分后的平均数是，平分数变高了，故A错误； B.去掉最高分和最低分，波动变小了，所以方差会变小，故B正确； C.这7个数的中位数是，，故C正确； D.，所以这7个数的70百分位数位第5个数字，故D正确. 故选：BC ] 8. （多选，2024年冀J05唐山一模）9. 已知样本数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，则（ [endnoteRef:17] ） A. 极差8 B. 方差为6 C. 平均数为5 D. 80百分位数为7 [17: 【答案】AC 【解析】 【分析】由极差，方差，平均数，第百分位数的计算逐一判断即可. 【详解】A：极差等于最大值减去最小值，故，故A正确； C：平均数为，故C正确； B：由方差公式计算可得，故B错误； D：第80百分位数为，为，故D错误； 故选：AC. ] 5. （多选，2024年闽J19南平三检）9．六位评委给某选手的评分分别为：16，18，20，20，22，24.去掉最高分和最低分，所得新数据与原数据相比不变的是（   [endnoteRef:18] ） A．极差 B．众数 C．平均数 D．第25百分位数 [18: 9．BC 【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、众数的定义，分析可得答案． 【详解】从6个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到4个新数据为：18，20，20，22， 极差为：， 众数为：， 平均数为：， 因为，所以第25百分位数为， 而原数据：16，18，20，20，22，24， 极差为：， 众数为：， 平均数为：， 因为，所以第25百分位数为， 所以所得新数据与原数据相比不变的是：众数和平均数. 故选：BC. ] 9. （多选，2024年粤J15华附一调）9. 某校举行演讲比赛，6位评委对甲、乙两位选手的评分如下： 甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 乙：7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 则下列说法正确的是（ [endnoteRef:19] ） A. 评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数 B. 评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差 C. 评委对甲评分的40%分位数为7.8 D. 评委对乙评分的众数为7.8 [19: 【答案】ACD 【解析】 【分析】由平均数、方差、百分位数、众数的概念及求法分别求解判断即可. 【详解】选项A，评委对甲评分的平均数， 评委对乙评分的平均数， 所以，故A正确； 选项B，由A知，两组数据平均数均约为， 且纵向看，甲组数据与乙组数据仅一组数据不同，其余数据相同， 又甲组数据与平均数的差明显大于乙组数据与平均数的差，且差距较大， 故与平均数比较，甲组数据波动程度明显大些， 即评委对甲评分的方差大于对乙评分的方差，故B错误； 选项C，由不是整数， 则评委对甲评分的40%分位数为从小到大第个数据，即：，故C正确； 选项D，评委对乙评分中最多的数据，即众数为，故D正确. 故选：ACD. ] 6. （多选，2024年冀J27名校联盟三模）9．根据中国报告大厅对2023年3月~10月全国太阳能发电量进行监测统计，太阳能发电量（单位：亿千瓦时）月度数据统计如下表： 关于2023年3月~10月全国太阳能发电量，下列四种说法正确的是（    [endnoteRef:20]） A．中位数是259.115 B．极差是38.32 C．第85百分位数是259.33 D．第25百分位数是240.59 [20: 9．BC 【分析】根据题意，由中位数，极差，百分位数的定义，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】将数据从小到大排序可得，共8个数据， 所以中位数是，故A错误； 极差是，故B正确； 因为，所以第85百分位数是第7个数，即，故C正确； 因为，所以第25百分位数是，故D错误； 故选:BC ] 7. （多选，2024年鄂J22黄石二中三模）9．已知甲组数据为：1，1，3，3， 5，7，9，乙组数据为：1，3，5，7，9，则下列说法正确的是（ [endnoteRef:21]  ） A．这两组数据的第80百分位数相等 B．这两组数据的极差相等 C．这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，仅仅乙组数据的均值不变 D．甲组数据比乙组数据分散 [21: 9．BC 【分析】根据给定条件，利用第80百分位数、极差、平均数、方差的意义依次判断ABCD即得. 【详解】对于A，由，得甲组数据的第80百分位数为7， 由，乙组数据的第80百分位数为8，A错误； 对于B，甲组数据与乙组数据的极差均为为8，B正确； 对于C，甲组数据去掉前后的均值分别为；乙组数据去掉前后的均值分别为5，5，C正确； 对于D，甲组数据的方差， 乙组数据的方差，显然， 因此乙组数据较分散，D错误. 故选：BC ] 5. （多选，2024年湘J49长沙长郡三模）10．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训，已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的（    [endnoteRef:22]） A．平均数为9.6 B．众数为10 C．第80百分位数为9.8 D．方差为 [22: 10．ABD 【分析】根据平均数、众数、百分位数和方差的定义求解. 【详解】对于A，平均数，故A正确； 对于B，出现次数最多的数为10，故B正确； 对于C，7×0.8=5.6，第80百分位数为第6位，即10，故C错误； 对于D，方差为，故D正确. 故选：ABD. ] 6. （多选，2024年浙J40台州二评）9．某同学最近6次考试的数学成绩为107，114，136，128，122，143.则（[endnoteRef:23]    ） A．成绩的第60百分位数为122 B．成绩的极差为36 C．成绩的平均数为125 D．若增加一个成绩125，则成绩的方差变小 [23: 9．BCD 【分析】根据题意，由百分位数的计算公式即可判断A；由极差，平均数的计算公式即可判断BC；由方差的计算公式即可判断D. 【详解】将成绩从低到高排序为，且， 所以成绩的第60百分位数为第四个数，即为，故A错误； 极差为，故B正确； 平均数为，故C正确； 未增加成绩之前的方差为， 若增加一个成绩125，则成绩的平均数为， 则其方差为 ，即成绩的方差变小，故D正确； 故选：BCD ] 7. （多选，2024年鲁J01滨州一模，J06潍坊一模）9. 某科技攻关青年团队有人，他们年龄分布的茎叶图如图所示，已知这人年龄的极差为，则（[endnoteRef:24] ） A. B. 人年龄的平均数为 C. 人年龄的分位数为 D. 人年龄的方差为 [24: 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据极差求出，从而求出平均数、方差，再根据百分位计算规则判断C. 【详解】因为这人年龄的极差为，即，解得，故A正确； 所以这人年龄分别为、、、、、， 则人年龄的平均数为，故B错误； 又，所以人年龄的分位数为从小到大排列的第个数，即，故C正确； 又人年龄的方差，故D正确. 故选：ACD ] 概率计算： 10. （多选，2024年粤J43茂名一模，末）12. 从标有1，2，3，…，10的10张卡片中，有放回地抽取两张，依次得到数字，，记点，，，则（ [endnoteRef:25] ） A. 是锐角的概率为 B. 是锐角的概率为 C. 是锐角三角形的概率为 D. 的面积不大于5的概率为 [25: 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量数量积为正结合古典概型公式判断A，B选项，根据数量积为正得出锐角判断C选项，结合面积公式判断D选项. 【详解】对A，易知，不共线，若是锐角，，易知共有100种情况，其中共有10种，与有相同种情况，即45种，所以是锐角的概率为，A正确； 对B，若是锐角，恒成立，所以是锐角的概率为1，B错误； 对C，若是锐角三角形，则， 即 所以，共有9种情况，所以是锐角三角形的概率为，C正确； 对D，若，， 该不等式共有组正整数解，所以的面积不大于5的概率为，D正确. 故选：ACD. ] 8. （多选，2024年鲁J05日照一模）10. 从标有1，2，3，…，8的8张卡片中有放回地抽取两次，每次抽取一张，依次得到数字a，b，记点，，，则（ [endnoteRef:26] ） A. 是锐角的概率为 B. 是直角的概率为 C. 是锐角三角形的概率为 D. 的面积不大于5的概率为 [26: 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，先得到种情况，数形结合得到要想为锐角，则点应在直线下方，共有28个点满足要求，得到是锐角的概率；B选项，求出直线，要想为直角，则点在上，列举出满足要求的点的个数，B正确；C选项，要想为锐角三角形，则点落在直线与直线之间，列举出满足要求的点，得到概率；D选项，要想的面积不大于5，则点在上，或的下方，即，列举出满足要求的点，得到答案. 【详解】A选项，标有1，2，3，…，8的8张卡片中有放回地抽取两次，每次抽取一张， 共有种情况， 设与直线垂直，因为，则直线， 其中个点中，有8个落在直线上，剩余56个点中，一半在上方， 一半在下方， 要想为锐角，则点应在直线下方， 其中满足要求的有28个点， 故是锐角的概率为，A正确； B选项，过点作直线⊥， 则点落在直线上，满足为直角， 其中，故直线的斜率为1，直线的方程为，即， 落在上的点的坐标有，共6个， 故是直角的概率为，B错误； C选项，要想为锐角三角形，则点落在直线与直线之间， 根据点的坐标特征，应落在上， 满足要求的点有，共7个， 故是锐角三角形的概率为，C正确； D选项，直线的方程为，， 设直线， 设直线与直线的距离为， 则， 令，解得， 故要想的面积不大于5，则点在上，或的下方， 即， 满足要求的点有， ， ， 共个， 的面积不大于5的概率为，D正确. 故选：ACD ] 8. （多选，2024年闽J21三明检测）10．假设甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.下列选项正确的是（[endnoteRef:27]   ） A．从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为 B．从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为 C．从乙袋中取出的2个球是红球的概率为 D．已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为 [27: 10．ACD 【分析】根据给定条件，结合古典概率公式、条件概率公式及全概率公式逐项计算判断得解. 【详解】从甲袋中取出个球有个红球的事件为，从乙袋中取出个球红球的事件为， ，，， ，，， 对于A，从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为，A正确； 对于B，从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为，B错误； 对于C，从乙袋中取出的2个球是红球的概率，C正确； 对于D，从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率 ，D正确. 故选：ACD ] 事件的独立、互斥、对立等： 11. （多选，2024年浙J02嘉兴一中一模）10. 下列说法正确的是（ [endnoteRef:28] ） A. 事件A与事件B互斥，则它们的对立事件也互斥． B. 若，且，则事件A与事件B不是独立事件． C. 若事件A，B，C两两独立，则． D. 从2个红球和2个白球中任取两个球，记事件{取出的两个球均为红色}，{取出的两个球颜色不同}，则A与B互斥而不对立． [28: 【答案】BD 【解析】 【分析】AC可举出反例排除；B选项利用对立事件概率公式计算，根据独立事件概率公式验证；D选项根据互斥和对立的定义判定. 【详解】A选项，投掷两枚骰子，出现的数字之和为10为事件，出现的数字之和为11为事件， 则事件A与事件B互斥， 事件的对立事件为出现的数字之和不为10， 事件的对立事件为出现的数字之和不为11， 则不互斥，比如出现数字之和均为9，故A错误； B选项，由题意得， ， 则事件A与事件B不是独立事件，故B正确； C选项，假设有一个均匀的正四面体，一面涂有红色，一面涂有黄色，一面涂有蓝色，另 一面涂有红、黄、蓝色，随机取一面观察其中的颜色. 事件“出现红色”，； 事件“出现黄色”，； 事件“出现蓝色”，； 我们很容易得到 ，，，但是，，，故C错误； D选项，2个红球分别为红1、红2；2个白球分别为白1、白2. 则包含以下基本事件，（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2），（红2，白1），（红2，白2），（白1，白2）. 事件包含以下基本事件：（红1，红2）； 事件包含以下基本事件：（红1，白1），（红1，白2），（红2，白1），（红2，白2）， 显然A与B互斥而不对立，故D正确. 故选：. ] 12. （多选，2024年冀J03冀州一调）10. 袋子中有1个红球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球，从中取三次球，每次取一个球，取球后不放回，设事件，，，则下列结论正确的是（ [endnoteRef:29] ） A. B. C. A与B相互独立 D. [29: 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法，结合古典概率逐项计算判断即得. 【详解】红球，黄球，蓝球，黑球分别记为，不放回取球三次的试验的样本空间： ，共24个，它们等可能， ，共6个，，共6个， ，共6个，，共2个， ，共10个， ，AB正确； ，A与B相互不独立，C错误； ，D正确， 故选：ABD ] 13. （多选，2024年鲁J04青岛一适）9. 袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（[endnoteRef:30] ） A. 事件与是互斥事件 B. 事件与是对立事件 C. 事件与是互斥事件 D. 事件与相互独立 [30: 【答案】AB 【解析】 【分析】利用互斥，对立，相互独立的概念逐一判断. 【详解】对于AB：取出的球的数字之积为奇数和取出的球的数字之积为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，故事件与是互斥事件，也是对立事件，AB正确； 对于C：如果取出的数为，则事件与事件均发生，不互斥，C错误； 对于D：， 则，即事件与不相互独立，D错误； 故选：AB. ] 9. （多选，2024年闽J22厦门三检，J12福州三检，末）11．投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量．记A表示事件“”，B表示事件“”，C表示事件“”，则（ [endnoteRef:31] ） A．B和C互为对立事件 B．事件A和C不互斥 C．事件A和B相互独立 D．事件B和C相互独立 [31: BC； 11．解析：考查选项A，事件B和C均会出现“反，正，反”的情况，故选项A错误； 考查选项B，事件A和C均会出现“反，正，反”的情况，故选项B正确； 考查选项C，易知，， 事件AB为前两次投出的硬币结果为“反，正”，则， ∴，故选项C正确； 考查选项D，由选项AC可知，， 在事件C中三次投出的硬币有一次正面，两次反面，则， ∴，故选项D错误； 综上所述，应选BC． ] 10. （多选，2024年粤J27深圳一调）10. 不透明盒子里装有除颜色外完全相同的3个红球，2个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件：取出的两个球是一个红球一个白球，事件：两个球中至少一个白球，事件：两个球均是红球，则下列结论正确的是（ [endnoteRef:32] ） A. B. C. D. [32: 【答案】AC 【解析】 【分析】应用列举法写出随机取出2个小球的事件，根据题设描述列举对应事件，由古典概型的概率求法求概率. 【详解】记3个红球为，2个白球为，随机取出2个小球的事件如下， ， 所以，事件对应事件有 ，概率为，A对； 事件对应事件有 ，概率为； 事件对应事件有 ，概率为； 其中对应事件有，概率为，B错； 对应事件有，概率为，C对； 显然，D错. 故选：AC ] 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$