2024年全国一卷数学新高考题型细分2-7——复数3（综合，多选）

2024年全国一卷新高考题型细分2-7 ——复数3 1、 试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。 4、 《复数》主要分类有：基本运算、复数分类、分母有理化、解方程、共轭复数、求模、共轭+求模、坐标点、象限、解虚数方程、几何意义、高次方、涉后解几、综合、多选等，大概193道题。 复数——综合、基础、中下： 1. （2024年浙J40台州二评）2．在复平面内，复数（为虚数单位），则（[endnoteRef:2]    ） A．的实部为2 B． C． D．对应的点位于第一象限 [2: 2．B 【分析】根据除法化简复数，根据实部、模、共轭复数、复数对应点逐项判断即可. 【详解】， 故实部为1，，，对应的点位于第四象限 故选：B ] 2. （2024年粤J15华附一调）2. 复数满足，为虚数单位，则下列说法正确的是（[endnoteRef:3] ） A. B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. 的实部为 D. 的虚部为（综合基础） [3: 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数z，即可求得其模以及实部和虚部，以及对应的点所在象限，一一判断各选项，即得答案. 【详解】因为，故， 则，A错误； 在复平面内对应的点为，位于第一象限，B错误； 的实部为，C正确； 的虚部为，D错误， 故选：C． ] 3. （2024年鲁J21济南三月考，J23泰安新泰一中，末）8. 已知复数，满足，则（ [endnoteRef:4] ） A. 1 B. C. 2 D. （综合中下） [4: 【答案】B 【解析】 【分析】首先分析题意，设出复数，求出复数的模找变量之间的关系，整体代入求解即可. 【详解】设则 所以，，即， 则 故选：B. ] 4. （2024年湘J41永州三模）12．已知复数，，若（为的共轭复数），则实数的取值范围为 [endnoteRef:5] .（综合中下） [5: 12． 【分析】由题意可知 都是实数，且,再结合共轭复数的定义列出不等式组，解出的取值范围即可. 【详解】,, ,, 都是实数，且, ,解得, 即实数的取值范围为 故答案为： ] 5. （2024年粤J40汕头一模）6. 在复数范围内，下列命题是真命题的为（ [endnoteRef:6] ） A. 若，则是纯虚数 B. 若，则是纯虚数 C. 若，则且 D. 若、为虚数，则（综合中下） [6: 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断ABC选项；利用共轭复数的定义结合复数的乘法、复数的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，取，则，所以，，此时，不是纯虚数，A错； 对于B选项，取，则成立，但不是纯虚数，B错； 对于C选项，取，，则，但且，C错； 对于D选项，若、为虚数，设，， 则，， 所以， ，D对. 故选：D. ] 复数——多选综合、基础： 6. （多选，2024年粤J07六校联考）10. 已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则（ [endnoteRef:7] ） A. B. C. D. [7: 【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数的几何意义、共轭复数、复数的乘法运算可以表示出，，三点的坐标，通过向量的模长、向量的平行和垂直知识进而可以判断. 【详解】设，， ，， ，， 对于A，，故选项A正确； 对于B， ，，故选项B正确； 对于C，， 当时，，故选项C错误； 对于D， ， 可以为零，也可以不为零，所以不一定平行于，故选项D错误. 故选:AB. ] 7. （多选，2024年鲁J05日照一模）9. 下列命题正确的是（ [endnoteRef:8] ） A. 复数虚部为 B. 设z为复数，，则 C. 若复数为纯虚数，则， D. 复数在复平面内对应的点在第二象限 [8: 【答案】AC 【解析】 【分析】对于ACD：根据复数的相关概念和几何意义分析判断；对于B：根据复数的除法运算可得，进而结合共轭复数的概念和复数的模长运算求解. 【详解】对于选项A：复数的虚部为，故A正确； 对于选项B：因为，则， 所以，故B错误； 对于选项C：若复数为纯虚数，则，，故C正确； 对于选项D：复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故D错误； 故选：AC. ] 8. （多选，2024年苏J09徐州适应）9. 已知复数z在复平面内对应的点为，则（ [endnoteRef:9] ） A. B. C. D. [9: 【答案】ACD 【解析】 【分析】由复数与复平面内的点对应关系还原复数，再结合复数的基本运算逐一验证即可. 【详解】由题可知，，，故A正确； ，，故B错误； ，所以，C正确； ， 所以，故D正确. 故选：ACD ] 9. （多选，2024年湘J01长郡一模）9. 已知为虚数单位，复数，下列说法正确的是（[endnoteRef:10] ） A. B. 复数在复平面内对应的点位于第四象限 C D. 为纯虚数 [10: 【答案】ABC 【解析】 【分析】先利用复数的四则运算求出，求出其模后可判断A的正误，求出其对应的点后可判断B的正误，结合四则运算求出、可判断CD的正误. 【详解】， 故，故，故A正确， 而在复平面上对应的点为，它在第四象限，故B正确. ，故C正确. ，它不为纯虚数，故D错误， 故选：ABC. ] 10. （多选，2024年浙J35金华义乌三模）9．已知复数，则（    [endnoteRef:11]） A． B． C． D． [11: 9．AD 【分析】由，结合每个选项计算可判断其正确性. 【详解】因为，所以，所以，故A正确； 所以，所以，故B不正确； ，故C不正确； ，故D正确. 故选：AD. ] 11. （多选，2024年浙J33东阳五月测）9．已知复数z，则（ [endnoteRef:12]   ） A． B． C． D． [12: 9．AD 【分析】由复数的定义，共轭复数，模长计算，复数的运算逐一判断即可. 【详解】设复数，则， A：，故A正确； B：，故B错误； C：，，故C错误； D：，故D正确； 故选：AD. ] 12. （多选，2024年苏J35南京二模）9．已知，互为共轭复数，则（[endnoteRef:13]    ） A． B． C． D． [13: 9．BCD 【分析】由复数的四则运算和复数模长公式验证各选项即可. 【详解】令， 对A，， 则不一定成立，故A选项错误； 对B，，故B选项正确； 对C，，故C选项正确； 对D，，故D选项正确. 故选：BCD ] 13. （多选，2024年鄂J20黄冈浠水三模）9．设，则（[endnoteRef:14]    ） A． B． C． D． [14: 9．AB 【分析】根据共轭复数定义可得，代入选项由复数的四则运算以及模长公式计算，逐一判断可得结论. 【详解】由可得， 所以，即A正确； 可得，即B正确； ，，显然错误，即C错误； ，而，所以D错误. 故选：AB ] 14. （多选，2024年浙J06金丽衢一联）9. 若（为虚数单位），则下列说法正确的为（ [endnoteRef:15] ） A. B. C. D. [15: 【答案】ACD 【解析】 【分析】由共轭复数的定义、复数的模长公式、复数的运算对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，，则，所以，故A正确； 对于，对于B， ，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，， 所以，故D正确. 故选：ACD. ] 复数——多选综合、中下： 15. （多选，2024年湘J29邵阳二联考）10. 已知复数满足：(其中为虚数单位)，则下列说法正确的有( [endnoteRef:16] ) A. B. （涉后解几） C. 的最小值为 D. 的最大值为 [16: 【答案】BC 【解析】 【分析】设，，根据已知条件求出两个复数对应点的轨迹，从而依次计算可得正确答案． 【详解】设，则，即， 它表示以原点为圆心，半径为1的圆； 设，则由，得， 即，它表示一条直线； 对于选项A：，故选项A错误； 对于选项B：，故选项B正确； 对于选项C和D：表示圆上点与直线上点的连线段的长度， 该距离最小为圆心到直线距离减去圆的半径，即为；该距离无最大值（直线上的点可离圆上的点无穷远）； 故选：BC． ] 16. （多选，2024年湘J32长沙雅礼一测）9. 已知复数是关于x的方程的两根，则下列说法中正确的是（ [endnoteRef:17] ） A. B. C. D. 若，则 [17: 【答案】ACD 【解析】 【分析】在复数范围内解方程得，然后根据复数的概念、运算判断各选项． 详解】，∴，不妨设，， ，A正确； ，C正确； ，∴，时，，B错； 时，，，计算得， ，，同理，D正确． 故选：ACD． ] 17. （多选，2024年粤J100佛山禅城二调）9. 已知复数，均不为0，则（ [endnoteRef:18] ） A. B. C. D. [18: 【答案】ABD 【解析】 【分析】设出、，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得. 【详解】设，则 对A，由得所以， ，即，故A正确； 对B，由得 所以， ，即，故B正确； 对C，由，得，， ，即，故C错误； 对D，， ，即，故D正确. 故选：ABD. ] 18. （多选，2024年鲁J24枣庄三月考）10. 已知，则（ [endnoteRef:19] ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 [19: 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念和复数的四则运算，结合复数模的计算及性质，逐项判断即可. 【详解】设，则. 对于A：若，且， 可得，所以，正确； 对于B：若，则，即， 得或，所以，正确； 选项C：令、，则，， 所以，但是，错误； 选项D：因为， 所以， ，所以，正确. 故选：ABD ] 19. （多选，2024年粤J42江门一模）9. 下列说法正确的是（ [endnoteRef:20] ） A. ， B. C. 若，，则最小值为1 D. 若是关于x的方程的根，则 [20: 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；设，根据复数的模的计算公式，可得，以及，结合x的范围可判断C；将代入方程，结合复数的相等，求出p，即可判断D. 【详解】对于A，，设复数，则，， 故，A正确； 对于B，由于，故，B错误； 对于C，，设，由于，则， 故， 由，得，则， 故当时，的最小值为1，C正确； 对于D，是关于x的方程的根， 故，即， 故，D正确， 故选：ACD ] 20. （多选，2024年粤J26深圳华侨城一模）10. 设，为复数，下列命题中正确的是（[endnoteRef:21]　　） A. B. 若，则与中至少有一个是0 C. 若，则 D. [21: 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数运算对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】设，， 则，A选项正确. 若， 则，则或，所以与中至少有一个是0，B选项正确. 若，则可能，C选项错误. ， ，D选项正确. 故选：ABD ] 21. （多选，2024年闽J20莆田三模）9．若z是非零复数，则下列说法正确的是（ [endnoteRef:22]   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 [22: 9．BCD 【分析】利用共轭复数的定义可判定A、C，利用复数的乘法运算法则结合模长公式可判定B、D. 【详解】对于A，由，得，则A错误. 对于B，因为，所以，解得或（舍去），则B正确. 对于C，设（，且）， 则，所以，则C正确. 对于D，由，得. 设（，且），则， ，从而，则D正确. 故选：BCD ] 22. （多选，2024年闽J18福师附模拟）9．已知复数，下列结论正确的是（[endnoteRef:23]    ） A．若，则 B． C．若，则或 D．若且，则 [23: 9．BCD 【分析】通过列举特殊复数验证A；设，则，通过复数计算即可判断B；由得，即可判断C；设，通过复数计算即可判断D. 【详解】对于A，设，则，所以，而， 所以，故A不正确； 对于B，设， 则，故B正确； 对于C，若，所以，所以， 所以 或，所以至少有一个为0，故C正确. 对于D，设，则， 所以，而， 所以，故D正确. 故选：BCD. ] 23. （多选，2024年闽J21三明检测）9．i是虚数单位，下列说法正确的是（ [endnoteRef:24]  ） A． B．若，则 C．若，则的最小值为1（涉后解几） D．若是关于的方程的根，则 [24: 9．BC 【分析】根据复数的乘方即可判断A；根据复数的乘法运算及共轭复数的定义即可判断B；设，再根据，求出的关系，再结合复数的模的公式即可判断C；根据方程的复数根互为共轭复数即可判断D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，若， 则，故B正确； 对于C，设， 由，得，即，所以， 则， 所以的最小值为1，故C正确； 对于D，若是关于的方程的根， 则也是关于的方程的根， 所以，故D错误. 故选：BC. ] 24. （多选，2024年粤J125新会华侨二模）9．已知为非零实数，复数，则（ [endnoteRef:25]   ） A．的虚部为 B．的最小值为 C．的实部为 D．当时，为纯虚数 [25: 9．BC 【分析】求得的虚部判断选项A；求得的最小值判断选项B；求得的实部判断选项C；当时，求得的值判断选项D. 【详解】对于AC，因为， 所以， 则的虚部为，选项A错误， 的实部为，选项C正确． 对于B，，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，B正确． 对于D，当时，，则为实数，选项错误． 故选：BC ] 25. （多选，2024年粤J129佛山二模）9．已知复数，满足，则（  [endnoteRef:26]  ） A． B． C． D． [26: 9．ABD 【分析】解方程求出，再结合共轭复数、模的意义及复数运算逐项判断即可. 【详解】方程，化为，解得或， 由复数，满足，不妨令，， 对于A，显然复数，互为共轭复数，即，A正确； 对于B，，而，则，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，由，得，D正确. 故选：ABD ] 26. （多选，2024年冀J43名校二联考，J46石家庄二检）10．设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（ [endnoteRef:27]   ） A．若，则 B．对任意复数，，有 C．对任意复数，，有 D．在复平面内，若，则集合M所构成区域的面积为（涉后解几） [27: 10．BC 【分析】借助复数的运算、共轭复数、复数的模及复数的几何意义逐项判断即可得. 【详解】对A：由，故， 故，故A错误； 对B：设、， 则 ， ， 故，故B正确； 对C：设、， 有，则， ，故，故C正确； 对D：设，则有， 集合M所构成区域为以为圆心，半径为的圆， 故，故D错误. 故选：BC. ] 27. （多选，2024年湘J05长沙调研）9. 设为非零复数，则下列命题中正确的是（ [endnoteRef:28] ） A. B. C. D. 若，则的最大值为2 [28: 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，结合题意进行判断，举反例即可， 对于B，设,先求出共轭复数和模的平方，求解即可，故B正确，对于C,举反例证明即可，对于D，利用画出图形，利用几何意义求解即可. 【详解】对于A，设，当均不为0时，为虚数，而为实数，所以不成立，故A错误； 对于B，则，所以， 而，所以成立，故B正确； 对于C，设，又，所以，故C错误. 对于D，则复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 的几何意义为复数对应的点与两点间的距离， 所以，如图可知，当点为时，最大，取最大值， 则最大值为2，故D正确. 故选:BD. ] 28. （多选，2024年湘J03长沙一中）10. 已知复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点若．（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转90°，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（ [endnoteRef:29] ） A. 的虚部为 B. 点B在第二象限 C. D. [29: 【答案】BD 【解析】 【分析】结合复数的几何意义，依题意求解出对应的坐标，然后逐项判断即可； 【详解】因为， 所以对应的坐标为，， 向量与轴夹角为 由题意可知，且，选项B正确； ，的虚部为，选项A错误； ，所以，选项C错误； ，选项D正确； 故选：BD. ] 29. （多选，2024年冀J10承德二模）9. 已知是的共轭复数，则（ [endnoteRef:30] ） A. 若，则 B. 若为纯虚数，则（涉后解几） C. 若，则 D. 若，则集合所构成区域的面积为 [30: 【答案】AB 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义以及复数四则运算可判断A；为纯虚数，可设，根据复数的四则运算可判断B；由结合数大小比较只能在实数范围内可判断C；设复数，根据复数模长定义计算可判断D. 【详解】，所以，故A正确； 由为纯虚数，可设， 所以，因为且， 所以，故B正确； 由，得， 因为与均为虚数， 所以二者之间不能比较大小，故C错误； 设复数，所以 由得， 所以集合所构成区域是以为圆心为半径的圆， 所以面积为，故D错误. 故选：AB ] 30. （多选，2024年鄂J23荆州四适）9．已知复数，则下列命题正确的是（[endnoteRef:31]    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点不可能在第三象限 [31: 9．BD 【分析】首先得到复数的实部与虚部，再根据复数的类型求出参数的值，即可判断A、B，根据复数的几何意义判断C、D. 【详解】复数的实部为，虚部为， 复数在复平面内对应的点的坐标为， 对于A：若为纯虚数，则，解得，故A错误； 对于B：若为实数，则，解得，则，故B正确； 对于C：若在复平面内对应的点在直线上， 所以，解得或，故C错误； 对于D：令，即，不等式组无解， 所以在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确. 故选：BD. ] 31. （多选，2024年粤J137梅州二模）9．设，是复数，则下列说法正确的是（[endnoteRef:32]    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 [32: 9．ACD 【分析】根据复数的模长的运算性质即可求解ACD，举反例即可判断B. 【详解】对于A，，则，解得，即，故A正确； 对于B，，，满足，但，故B错误； 对于C，， ，故C正确； 对于D，，则，即，即，故D正确． 故选：ACD． ] 32. （多选，2024年粤J138汕头金南三模）10．下列说法中正确的是（   [endnoteRef:33] ） A．若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限 B．已知复数z满足，则 C．是关于x的方程（m，n为实数）在复数集内的一个根，则实数n的值为26 D．若复数z满足若，且，则的最小值为4（涉后解几） [33: 10．BCD 【分析】对于A：求出复数的代数形式即可判断；对于B：求出复数的代数形式，然后求模即可；对于C：求出另一个根，然后利用韦达定理求解；对于D：利用复数的几何意义，转化为圆外的点到圆上的点的距离最小值来求解. 【详解】对于A：，则，其在复平面对应的点为，在第四象限，A错误 对于B：， 所以，B正确. 对于C：因为是关于x的方程（m，n为实数）在复数集内的一个根，则另一个根为， 则，解得，C正确. 对于D：由得复数在复平面对应的点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆， 表示点到点的距离， 则最小值为，D正确； 故选：BCD. ] 33. （多选，2024年浙J34杭州四月检）9．已知关于的方程的两根为和，则（   [endnoteRef:34] ） A． B． C． D． [34: 9．ABC 【分析】求出方程的两根，即可判断A，利用韦达定理判断B，计算出两根的模，即可判断C，利用复数代数形式的除法运算及B项的结论化简，即可判断D. 【详解】关于的方程， 则，， 不妨设，， ，故A正确； 由韦达定理可得，故B正确； ，故C正确； ， ， 则，当时，，此时，故D错误． 故选：ABC． ] 34. （多选，2024年鲁J31威海二模）9．下列命题为真命题的是（ [endnoteRef:35]   ） A．是纯虚数 B．对任意的复数z， C．对任意的复数z，为实数 D． [35: 9．AC 【分析】对于A，根据复数运算化简后，结合纯虚数概念可判断；对于B，设，根据复数乘法运算和复数模公式计算即可判断；对于C，设出复数z，根据共轭复数概念和复数乘法运算即可判断；对于D，根据复数除法运算与和差公式化简即可判断. 【详解】对于A，是纯虚数，A正确； 对于B，对任意复数， ，， 所以和不一定相等，B错误； 对于C，设，则， 则，C正确； 对于D， ，D错误. 故选：AC ] 35. （多选，2024年鲁J36济南名校联盟）9．若复数z 满足（i为虚数单位），则下列说法正确的是（  [endnoteRef:36]  ） A． B．z的虚部为 C． D．若复数ω满足，则的最大值为（涉后解几） [36: 9．AC 【分析】根据复数的除法运算求出，利用复数模的公式计算可判断A；由虚部概念可判断B；由共轭复数概念和复数乘法运算可判断C；根据复数的减法的几何意义求解可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以， 所以，A正确； 对于B，由上可知，z 的虚部为，故B错误， 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，记复数对应的点为，复数对应的点为， 则由可得，即点在以B为圆心，1为半径的圆上， 所以，的最大值为，即的最大值为，D错误. 故选：AC ] 36. （多选，2024年湘J29邵阳二联考）10. 已知复数满足：(其中为虚数单位)，则下列说法正确的有( [endnoteRef:37] ) A. B. C. 的最小值为 D. 的最大值为（涉后解几） [37: 【答案】BC 【解析】 【分析】设，，根据已知条件求出两个复数对应点的轨迹，从而依次计算可得正确答案． 【详解】设，则，即， 它表示以原点为圆心，半径为1的圆； 设，则由，得， 即，它表示一条直线； 对于选项A：，故选项A错误； 对于选项B：，故选项B正确； 对于选项C和D：表示圆上点与直线上点的连线段的长度， 该距离最小为圆心到直线距离减去圆的半径，即为；该距离无最大值（直线上的点可离圆上的点无穷远）； 故选：BC． ] 37. （多选，2024年粤J133江门开平忠源，湘J30教盟二联考，湘J30教盟二联考）9. 已知i为虚数单位，下列说法正确的是（ [endnoteRef:38] ） A. 若复数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 复数在复平面内对应的点为，若，则点的轨迹是一个椭圆（涉后解几） [38: 【答案】AC 【解析】 【分析】利用复数的四则运算与的乘方性质判断A，举反例排除B，利用复数的四则运算与模的运算判断C，利用复数的几何意义，结合两点距离公式判断D. 【详解】对于A，因为， 所以，故A正确； 对于B，令，满足，但，故B错误； 对于C，设且不同时为， 则 ，故C正确； 对于D，设复数，则点， 由，得， 则点到点与点的距离和为， 故点的轨迹是线段，故D错误. 故选：AC. ] 38. （多选，2024年苏J24苏锡常镇一调）9. 已知复数，下列说法正确的有（[endnoteRef:39] ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，则 [39: 【答案】AC 【解析】 【分析】A项，由复数的性质可得；BD项，举特例即可判断；C项，先证明命题“若，则，或”成立，再应用所证结论推证可得. 【详解】选项A，，则，故A正确； 选项B，令，满足条件，但，且均不为，故B错误； 选项C，下面先证明命题“若，则，或”成立. 证明：设，， 若，则有， 故有，即，两式相乘变形得，， 则有，或，或， ①当时，，即； ②当，且时，则， 又因为不同时为，所以，即； ③当，且时，则，同理可得，故； 综上所述，命题“若，则，或”成立. 下面我们应用刚证明的结论推证选项C， ，， ，或，即或，故C正确； 选项D，令， 则， 但，不为，故D错误. 故选：. ] 39. （多选，2024年鲁J04青岛一适）10. 已知复数z，下列说法正确的是（[endnoteRef:40] ） A. 若，则z为实数 B. 若，则 C. 若，则的最大值为2 D. 若，则z为纯虚数（涉后解几） [40: 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，由复数的运算以及其几何意义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】设，则， 若，即，即，则z为实数，故A正确； 若，即， 化简可得，即，即， 当时，，，此时不一定满足， 当时，，，此时不一定满足，故B错误； 若，即， 所以，即表示以为圆心，以为半径的圆上的点， 且表示圆上的点到原点的距离，所以的最大值为2，故C正确； 若，即， ，即， 化简可得，则且， 此时可能为实数也可能为纯虚数，故D错误； 故选：AC ] 40. （多选，2024年浙J01湖州一中模拟）9. 已知是两个虚数，则下列结论中正确的是（ [endnoteRef:41] ） A. 若，则与均为实数 B. 若与均为实数，则 C. 若均为纯虚数，则为实数 D. 若为实数，则均为纯虚数 [41: 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数的四则运算，结合共轭复数的定义即可求解ABC，举反例即可求解D. 【详解】设，．，． 若，则，，所以，，所以A正确； 若与均为实数，则，且，又，，所以，所以B正确； 若，均为纯虚数，则，所以，所以C正确； 取，，则为实数，但，不是纯虚数，所以D错误． 故选：ABC． ] 41. （多选，2024年闽J13厦门二检）9. 设z为复数（为虚数单位），则（ [endnoteRef:42] ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 [42: AC；] 42. （多选，2024年粤J132华师附五月适）10．已知复数满足：为纯虚数，，则下列结论正确的是（  [endnoteRef:43]  ） A． B． C．的最小值为3 D．的最小值为3（涉后解几） [43: 10．ABD 【分析】借助复数的基本概念与模长运算可得A；借助复数的几何意义计算可得B；借助圆与直线的距离可得C、D. 【详解】对A：为纯虚数，可设选项A正确； 对B：设，， 则，即， 则所对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， ，选项B正确； 对C：为纯虚数，对应点在轴上（除去原点）， 所对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 的取值范围为，无最小值，选项C错误； 对D： ， 表示点到以为圆心，以2为半径的圆上的点的距离， 为纯虚数或0，在轴上（除去点）， 当时取得最小值3，∴选项D正确. 故选：ABD． ] 43. （多选，2024年鄂J22黄石二中三模）10．下列命题恒成立的有（ [endnoteRef:44]   ） A．已知平面向量，，则 B．已知，，则 C．已知复数，，则 D．已知复数，，则（中档） [44: 10．ABD 【分析】根据平面向量数量积的运算律判断A，根据实数的运算法则判断B，利用特殊值判断C，根据复数的运算性质判断D. 【详解】对于A： ，故A正确； 对于B： ，故B正确； 对于C：令，，则， 而，， 所以，， 所以， 显然不成立，故C错误； 对于D： ，故D正确. 故选：ABD ] 44. （多选，2024年鄂J18四月调）9．在复数范围内关于的实系数一元二次方程的两根为，其中，则（[endnoteRef:45]    ） A． B． C． D． [45: 9．BD 【分析】根据实系数一元二次方程中韦达定理可求出判断B，再由韦达定理判断A，根据复数的乘法及共轭复数判断C，再由复数除法判断D. 【详解】因为且实系数一元二次方程的两根为， 所以，可得，故B正确； 又，所以，故A错误； 由，所以，故C错误； ，故D正确. 故选：BD ] 45. （多选，2024年苏J24苏锡常镇一调）9. 已知复数，下列说法正确的有（[endnoteRef:46] ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，则 [46: 【答案】AC 【解析】 【分析】A项，由复数的性质可得；BD项，举特例即可判断；C项，先证明命题“若，则，或”成立，再应用所证结论推证可得. 【详解】选项A，，则，故A正确； 选项B，令，满足条件，但，且均不为，故B错误； 选项C，下面先证明命题“若，则，或”成立. 证明：设，， 若，则有， 故有，即，两式相乘变形得，， 则有，或，或， ①当时，，即； ②当，且时，则， 又因为不同时为，所以，即； ③当，且时，则，同理可得，故； 综上所述，命题“若，则，或”成立. 下面我们应用刚证明的结论推证选项C， ，， ，或，即或，故C正确； 选项D，令， 则， 但，不为，故D错误. 故选：. ] 46. （多选，2024年鲁J07淄博一模）10. 已知非零复数，，其共轭复数分别为 则下列选项正确的是（[endnoteRef:47] ） A. B. C. 若，则 的最小值为2 D. [47: 【答案】BD 【解析】 【分析】设，对A根据复数的乘法运算即可判断，对B根据共轭复数的概念和复数的加减即可判断；对C根据复数表示的几何意义即可判断；对D，根据复数的除法运算和复数模的计算即可判断. 【详解】设， 对A，，， 当至少一个为0时，，当均不等于0，，故A错误； 对B，，则， 而，故，故B正确； 对C，若，即，即， 即，则在复平面上表示的是以为圆心，半径的圆， 的几何意义表示为点到点的距离，显然， 则点在圆外，则圆心到定点的距离， 则点与圆上点距离的最小值为，故C错误； 对D，，， ， 而，故，故D正确； 故选：BD. ] 47. （多选，2024年粤J102韶关二测）9. 已知复数，则下列命题正确的是（ [endnoteRef:48] ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若是非零复数，且，则 D. 若是非零复数，则 [48: 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A项，可以举反例说明；对于B项，可以设，则，代入等式两边验证即可判定；对于C项，可将题设条件等价转化，分析即得；对于D项，可通过举反例对结论进行否定. 【详解】对于A项，若，，显然满足，但，故A项错误； 对于B项，设，则，，故而，故B项正确； 对于C项，由可得：，因是非零复数，故，即，故C项正确； 对于D项，当时，是非零复数，但 ，故D项错误. 故选：BC. ] 48. （多选，2024年鲁J38济宁三模）9．已知复数，则下列说法中正确的是（    [endnoteRef:49]） A． B． C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 [49: 9．AC 【分析】根据复数加法、乘法、乘方运算，结合复数的几何意义计算，依次判断选项即可. 【详解】A：设，则， 所以， ，则，故A正确； B：设，则， 所以， ，则，故B错误； C：由选项A知，，， 又，所以，不一定有，即推不出； 由，得，则，则，即， 所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确； D：设，则， 若，则，即，推不出； 若，则， 又， 同理可得，所以，； 所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 故选：AC ] 49. （多选，2024年鲁J45泰安三模）10．已知满足，且在复平面内对应的点为，则（    [endnoteRef:50]） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 [50: 10．AC 【分析】根据复数的模的公式结合已知求出的关系，即可判断AB；根据的关系结合复数的模的公式即可判断CD. 【详解】由题意可得，则， 所以，整理得，故A项正确，B项错误； ， 当时，取得最小值，故C项正确，D项错误. 故选：AC. ] 50. （多选，2024年浙J39绍兴上虞调测）10．已知复数，其中为虚数单位，若满足，则下列说法中正确的是（ [endnoteRef:51]  ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．存在两个，使得成立 D．存在两个，使得成立（涉后解几） [51: 10．AD 【分析】由得在复平面内对应点的轨迹为椭圆，由椭圆方程的范围即可判断ABC；由得在圆上，由圆与椭圆的位置关系即可判断D． 【详解】由得，在复平面内对应点的轨迹为椭圆，方程为， 对于A，表示复平面内到原点的距离， 因为在椭圆上，所以当在椭圆左顶点或右顶点时，到原点的距离最大为2，故A正确； 对于B，由椭圆方程的取值范围可知，，则的最大值为，故B错误； 对于C，由得，，由椭圆方程中范围可知，，故仅存在一个满足，故C错误； 对于D，表示复平面内到点的距离为1， 因为复平面内到点距离为1点的轨迹为圆，方程为， 圆与椭圆有2个交点，所以存在两个，使得成立，故D正确； 故选：AD． ] 复数——其他，中档，未： 51. （多选，2024年鲁J32潍坊二模）10．定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（  [endnoteRef:52] ） A． B． C． D． [52: 10．BD 【分析】根据计算公式结合收敛点的定义判断即可. 【详解】对A，由可得数列，，，…不合题意，故A错误； 对B，由可得数列，，，… 则存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故B正确； 对C，由可得数列，，，…不满足题意，故C错误； 对D，由可得数列… 因为， 存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故D正确； 故选：BD ] 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$