精品解析：2024年山东省济南市天桥区中考数学模拟试题

2024年山东省济南市天桥区中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 3 2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. B. C. D. 3. 截至2022年3月24日，携带“祝融号”火星车“天问一号”环绕器在轨运行609天，距离地球277000000千米；277000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，a∥b，∠ABD的平分线交直线a于点C，CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，则∠2的大小为（ ） A. 114° B. 142° C. 147° D. 156° 6. 下列计算正确的是（　　） A. (a－1)2＝a2－1 B. 4a·2a＝8a2 C. 2a－a＝2 D. a8÷a2＝a4 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于，如果的度数为122°，则∠DCE的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次根式有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的直角边在x轴上，，反比例函数经过的中点D，则的面积为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 分解因式：________． 12. 方程解为_________． 13. 已知是到之间的一个整数，的相反数是它本身，则的值为______． 14. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根为______． 15. 小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动．如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离为______千米． 16. 如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是_____． 三、解答题（本大题共9小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 19. 如图，在菱形中，过点D分别作于点E，作于点F．求证：． 20. 学习贯彻习近平新时期中国特色社会主义思想主题教育工作会议以来，各学校努力在“以学铸魂，以学增智，以学促干”方面行动起来某校为了解教师“主题教育”的学习情况，组织了竞赛，从中抽取了部分教师成绩进行了统计，（成绩为整数，满分分）按成绩分成了，，，个小组，并绘制成了如下不完整的统计表和统计图： 组别 分数段分 频数 10 12 合计 请结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的 ______； ______；并补全条形统计图； （2）扇形统计图组对应扇形的圆心角为______度； （3）调查的名教师成绩的中位数落在______组； （4）该学校七年级二级部有名年轻男教师和名年轻女教师，现从中随机挑选名年轻教师参加“主题教育”宣传活动，请用树状图或列表法求出恰好选中“一男一女”的概率． 21. 如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图．是缓降器的底板，压柄可以绕着点旋转，液压伸缩连接杆的端点分别固定在压柄与底板上，已知． （1）如图2，当压柄与底座垂直时，约为，求的长； （2）现将压柄从图2位置旋转到与成角（即），如图3的所示，求此时液压伸缩连接杆的长．（结果保留根号） （参考数据：；） 22. 如图，为的内接三角形，，垂足为D，直径平分，交BC于点F，连结． （1）求证：； （2）若，求长． 23. 某旅游商品经销店欲购进、两种纪念品，种纪念品每件进价是种纪念品每件进价的1.5倍，用600元购买种纪念品的数量比用同样金额购买种纪念品的数量多10件． （1）求、两种纪念品的每件进价分别为多少元？ （2）若该商店种纪念品每件售价25元，种纪念品每件售价37元，该商店准备购进、两种纪念品共40件，且种纪念品不少于30件，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大利润为多少元？ 24. 如图，反比例函数 的图象经过点，射线与反比例函数的图象的另一个交点为，射线与轴交于点，与轴交于点，轴，垂足为． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的长； （3）在x轴上是否存在点P，使得与相似，若存在，请求出满足条件点P的坐标．若不存在说明理由． 25. 某校数学活动小组一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； （2）变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年山东省济南市天桥区中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查绝对值，属于简单基础题，根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：的绝对值是3， 故选：D． 2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由主视图和左视图确定柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状． 【详解】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆锥． 故选：C． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体． 3. 截至2022年3月24日，携带“祝融号”火星车的“天问一号”环绕器在轨运行609天，距离地球277000000千米；277000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：277000000用科学记数法表示为． 故选：C． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、，选项错误，不符合题意； B、，选项正确，符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 5. 如图，a∥b，∠ABD的平分线交直线a于点C，CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，则∠2的大小为（ ） A. 114° B. 142° C. 147° D. 156° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质、角平分线的性质和三角形内角和定理计算即可； 【详解】∵CE⊥直线c于点E，∠1＝24°， ∴， ∵a∥b， ∴， 又∵BC平分∠ABD， ∴， ∴； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质和三角形内角和定理，准确计算是解题的关键． 6. 下列计算正确的是（　　） A. (a－1)2＝a2－1 B. 4a·2a＝8a2 C. 2a－a＝2 D. a8÷a2＝a4 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用完全平方公式、同底数幂的乘除法运算法则、合并同类项的知识分别判断得出答案． 【详解】A．，此选项错误，不符合题意； B．，此选项正确，符合题意； C．，此选项错误，不符合题意； D．，此选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式、同底数幂的乘除法、合并同类项，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质,根据，可得反比例函数图象和增减性，即可进行比较． 【详解】解：∵， ∴反比例函数经过第一、三象限，且在每一象限内，y随着x增大而减小， 根据A，B，C点横坐标，可知点B，C第一象限，A在第三象限， ∴， ∴． 故选：B． 8. 如图，四边形内接于，如果的度数为122°，则∠DCE的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆周角定理求出，然后根据圆内接四边形的性质求出，最后根据邻补角性质求解即可． 【详解】解：， ， ∵四边形内接于， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 9. 已知二次根式有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，5-a≥0， 解得a≤5． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 10. 如图，的直角边在x轴上，，反比例函数经过的中点D，则的面积为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．由反比例函数解析式知，，由于反比例函数经过的中点D，轴，由即可得到结论． 【详解】解：∵轴，， ， ∵反比例函数经过的中点D，轴， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式和平方差公式，熟练掌握提公因式和平方差公式是分解因式的关键． 首先用提公因式法，再用平方差公式即可求解． 【详解】原式：， 故答案为． 12. 方程的解为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，注意不要漏掉检验这一关键步骤． 【详解】解：将分式方程化为整式方程得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为： 故答案为： 13. 已知是到之间的一个整数，的相反数是它本身，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，相反数的概念，代数式求值，零指数幂，首先根据无理数的估算求出，根据相反数的概念求出，然后代入求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵是到之间的一个整数， ∴ ∵的相反数是它本身， ∴ ∴． 故答案为：． 14. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程，将代入方程中，求出，然后解方程即可．解题的关键是理解题意，学会利用未知数构建方程解决问题． 【详解】∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴关于的一元二次方程为， ∴， ∴或， ∴或， ∴该方程的另一个根是， 故答案为：． 15. 小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动．如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离为______千米． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的应用，准确求出函数解析式是解题的关键．先求出直线的解析式，再求出直线的解析式，求出当时，，即可得到答案． 【详解】解：由图象可得，点和点在直线上，设直线的解析式为： 代入得，，解得， 当时，，解得， 点点 点，点在直线上， 设直线的解析式为： 代入得， 解得 当时，， 此时小泽距离乙地的距离为：千米 故答案为：4 16. 如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是_____． 【答案】． 【解析】 【分析】连接EC，构造相似三角形△FEC∽△EDC，推出，结合勾股定理即可解得． 【详解】如图，连接EC， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝8， ∵E为AD中点， ∴AE＝DE＝AD＝6， 由翻折知，△AEF≌△GEF， ∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D， ∴GE＝DE， ∴EC平分∠DCG， ∴∠DCE＝∠GCE， ∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE， ∴∠GEC＝∠DEC， ∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°， ∴∠FEC＝∠D＝90°， 又∵∠DCE＝∠GCE， ∴△FEC∽△EDC， ∴， ∵EC＝＝10， ∴， ∴FE＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质应用，相似三角形的判定和性质应用，解题的关键是作出适当的辅助线，构造相似三角形解答． 三、解答题（本大题共9小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先由绝对值运算、特殊角的三角函数值运算、负整数指数幂运算及零整数指数幂运算分别求解，再结合实数混合运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数混合运算，涉及绝对值运算、特殊角的三角函数值运算、负整数指数幂运算、零整数指数幂运算、二次根式运算及实数混合运算法则等，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 18. 解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 【答案】，非负整数解为0，1，2，3，4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 分别求出两个不等式的解集，然后求出两个解集的公共部分，再写出范围内的非负整数解即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴原不等式组的解集是． ∴非负整数解为0，1，2，3，4． 19. 如图，在菱形中，过点D分别作于点E，作于点F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据菱形性质和垂线的定义，证明即可解答． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟知上述性质是解题的关键． 20. 学习贯彻习近平新时期中国特色社会主义思想主题教育工作会议以来，各学校努力在“以学铸魂，以学增智，以学促干”方面行动起来某校为了解教师“主题教育”的学习情况，组织了竞赛，从中抽取了部分教师成绩进行了统计，（成绩为整数，满分分）按成绩分成了，，，个小组，并绘制成了如下不完整的统计表和统计图： 组别 分数段分 频数 10 12 合计 请结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的 ______； ______；并补全条形统计图； （2）扇形统计图组对应扇形的圆心角为______度； （3）调查的名教师成绩的中位数落在______组； （4）该学校七年级二级部有名年轻男教师和名年轻女教师，现从中随机挑选名年轻教师参加“主题教育”宣传活动，请用树状图或列表法求出恰好选中“一男一女”的概率． 【答案】（1），，补全条形统计图见解析 （2）86.4 （3）C （4）树状图见解析，选中“一男一女”的概率为． 【解析】 【分析】（1）先用组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数乘以组人数所占的百分比得到的值，接着计算出的值，然后补全条形统计图； （2）用乘以组人数所占的百分比即可； （3）第25个数和第26个数都在组，所以调查的50名教师成绩的中位数落在组； （4）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出一男一女的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：调查的总人数为（人， 所以， 补全条形统计图为： 故答案为：4，50； 【小问2详解】 解：扇形统计图组对应扇形的圆心角为； 故答案为：86.4； 【小问3详解】 解：调查的50名教师成绩的中位数落在组； 故答案为：； 【小问4详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果数为8， 所以恰好选中“一男一女”的概率． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．也考查了统计图和中位数． 21. 如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图．是缓降器的底板，压柄可以绕着点旋转，液压伸缩连接杆的端点分别固定在压柄与底板上，已知． （1）如图2，当压柄与底座垂直时，约为，求的长； （2）现将压柄从图2的位置旋转到与成角（即），如图3的所示，求此时液压伸缩连接杆的长．（结果保留根号） （参考数据：；） 【答案】（1）cm （2）cm 【解析】 【分析】（1）根据正切即为对边与邻边的比可得答案； （2）过点作，垂足为，在中，根据三角函数解直角三角形求出值，根据求出的长度，然后根据勾股定理可得的长度． 【小问1详解】 解：在中，， 答：此时的长约为5cm； 【小问2详解】 过点作，垂足为， 在中，， ， ∴， 在中，， 答：此时液压伸缩连接杆的长约为cm． 【点睛】本题考查了解直角三角形应用以及勾股定理，熟练利用三角函数解直角三角形是解本题的关键． 22. 如图，为的内接三角形，，垂足为D，直径平分，交BC于点F，连结． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分的性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）由圆周角定理及直角三角形的性质可得出结论； （2）过点F作于点M．则，通过证明可得，设，则，利用勾股定理可求解的值，再结合角平分线的性质可求解． 【小问1详解】 证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点F作于点M．则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， 即， ∵平分，， ∴． 23. 某旅游商品经销店欲购进、两种纪念品，种纪念品每件进价是种纪念品每件进价的1.5倍，用600元购买种纪念品的数量比用同样金额购买种纪念品的数量多10件． （1）求、两种纪念品的每件进价分别为多少元？ （2）若该商店种纪念品每件售价25元，种纪念品每件售价37元，该商店准备购进、两种纪念品共40件，且种纪念品不少于30件，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）、两种纪念品的进价分别为20元，30元；（2）A纪念品进货30件，B进货10件所获利润最大为220元 【解析】 【分析】（1）设种纪念品的进价为元，则纪念品的进价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设总利润为w元，进A种纪念品a件，建立W与a的一次函数，运用一次函数的增减性，确定利润的最值 【详解】解：（1）设种纪念品的进价为元，则纪念品的进价为元，由题意，得 ， 解得：． 经检验得：是原方程的根． 故， 答：、两种纪念品的进价分别为20元，30元． （2）设总利润为元，进A种纪念品a件，由题意，得 ， ∴， ∴随的增大而减小， ∴当时，元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数的增减性，熟练掌握分式方程的解法，活用一次函数的增减性求最值是解题的关键． 24. 如图，反比例函数 的图象经过点，射线与反比例函数的图象的另一个交点为，射线与轴交于点，与轴交于点，轴，垂足为． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的长； （3）在x轴上是否存在点P，使得与相似，若存在，请求出满足条件点P的坐标．若不存在说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，①当时，；②当时， 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数的图象经过点，即可得到结论； （2）过点作于，把代入得，得到，求得，求出，进而可得到结论； （3）分两种情况求解即可：①当轴时，，②当时，． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：过点作于， 把代入得， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：存在．理由如下： ， ， ①当轴时，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ， ， ②当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ，， ， ， ． 综上所述，满足条件点的坐标为，． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角形函数的知识，解题关键是正确的作出辅助线． 25. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； （2）变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）4 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答； （2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可； （3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【小问1详解】 问题发现：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 变式探究：， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解决问题：如图3，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵Q是正方形的中心， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则 ， 在中，，即， 解得，（舍去），， ∴正方形的边长为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$