预习06 等式性质与不等式性质（五大考点）-2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019必修第一册）

2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019） 预习06等式性质与不等式性质 一、元素与集合的概念 1．元素与集合的概念 （1）元素：一般地,把研究对象统称为元素,元素常用小写的拉丁字母表示． 一、两个实数大小的比较 如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为:. 从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小. 二、等式的基本性质 性质1.如果,那么; 性质2.如果,那么; 性质3.如果,那么; 性质4.如果,那么; 性质5.如果,那么 三、不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 考点01 用不等式(组)表示不等关系 【方法点拨】在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【例1】下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【例2】用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为.试用不等式表示其中的不等关系． 【变式1-1】某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为 . 【变式1-2】体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 【变式1-3】已知甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表： 甲 乙 丙 维生素A(单位/kg) 600 700 400 维生素B(单位/kg) 800 400 500 成本(元/kg) 11 9 4 若用甲、乙、丙三种食物各x kg、y kg、z kg配成100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用x，y表示混合食物成本c元 ，并写出x，y所满足的不等关系 ． 考点02 作差法进行数(式)的大小比较 【方法点拨】（1）作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论． （2）变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论． 【例3】设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 【例4】已知，则 .（填“”，“”，或“”） 【变式2-1】（多选）19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理，那么在证明有理数的不完备性时，经常会用到以下两个式子，已知正有理数 ，满足 ， ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如果，那么下列不等式成立的是 ． ①    ②    ③    ④ 【变式2-3】已知实数，满足，求证：. 考点03 利用不等式的性质判断不等式 【方法点拨】①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可； ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 【例5】“，且”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例6】（多选）若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】设，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（多选）已知且，．则下列关系一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】若且，则 0．（填“”、“”或“”） 考点04 利用不等式的性质证明不等式 【方法点拨】①利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用； ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 【例7】已知，求证：的充要条件是． 【例8】给出三个不等式．（1）；（2）；（3）．写出一个：以其中任意两个不等式为条件，剩下的一个不等式为结论的真命题，并加以证明． 【变式4-1】（1）已知，求证：； （2）若.求证：. 【变式4-2】证明下列不等式： (1)若，求证：； (2)若，，，求证：． 【变式4-3】已知三个不等式：①；②；③（其中m，n，x，y均为实数），命题p：__________，____________________（横线上填①，②，③）．请写出2种可能的命题，并判断其真假． 考点05 利用不等式的性质求取值范围 【方法点拨】同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性． 【例9】已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例10】已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必奖条件 【变式5-2】已知对于实数x，y，满足，，则的最大值为 ． 【变式5-3】（多选）已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 一、单选题 1．公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 2．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知，为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设，则“”是“”成立的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．下列结论错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．某生活用品价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周价格分别为a元/斤、b元/斤，甲和乙购买方式不同：甲每周买3斤该用品，乙每周买10元钱的该用品，则 的购买方式更优惠(两次平均价格低视为更优惠).(填“甲”或“乙”) 9．下列论断中：①；②；③；④；⑤．以其中一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： （作答时，请按“序号序号”的格式书写）． 四、解答题 10．判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，，则； (4)若，则． 11．证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 12．已知三个不等式：①；②；③.若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出两个正确的命题，并写出推理过程. 13．（1）设a，b为正实数，求证：． （2）设a，b，c为正实数，求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019） 预习06等式性质与不等式性质 一、元素与集合的概念 1．元素与集合的概念 （1）元素：一般地,把研究对象统称为元素,元素常用小写的拉丁字母表示． 一、两个实数大小的比较 如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为:. 从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小. 二、等式的基本性质 性质1.如果,那么; 性质2.如果,那么; 性质3.如果,那么; 性质4.如果,那么; 性质5.如果,那么 三、不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 考点01 用不等式(组)表示不等关系 【方法点拨】在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【例1】下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【答案】C 【详解】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错. 故选：C 【例2】用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为.试用不等式表示其中的不等关系． 【答案】 【详解】解：因为矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为，所以， 则菜园的另一条边长为． 所以菜园面积， 根据题意有，即， 故不等关系可用不等式表示为. 【变式1-1】某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为 . 【答案】 【详解】若提价后该杂志的单价为x元，则销售量为万本， 则提价后销售的总收入为万元， 所以不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以用不等式表示为： . 故答案为： 【变式1-2】体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 【答案】D 【详解】设购买的篮球个数为，足球个数为，且， 根据题意可得， 解得符合题意的有序实数对可以是， 共5种不同的购买方式. 故选：D 【变式1-3】已知甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表： 甲 乙 丙 维生素A(单位/kg) 600 700 400 维生素B(单位/kg) 800 400 500 成本(元/kg) 11 9 4 若用甲、乙、丙三种食物各x kg、y kg、z kg配成100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用x，y表示混合食物成本c元 ，并写出x，y所满足的不等关系 ． 【答案】 且 【详解】由已知得 , 又， 则 , 由 及 , 整理化简, 得 , 于是得 x，y所满足的不等关系为且 故答案为：；且 考点02 作差法进行数(式)的大小比较 【方法点拨】（1）作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论． （2）变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论． 【例3】设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 【答案】A 【详解】由，且，即， 可得，即， 故选：A. 【例4】已知，则 .（填“”，“”，或“”） 【答案】 【详解】，故. 故答案为：. 【变式2-1】（多选）19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理，那么在证明有理数的不完备性时，经常会用到以下两个式子，已知正有理数 ，满足 ， ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，而，，所以， 即，故A正确，B错误； 因为，，所以，即， 故C正确，D错误. 故选：AC 【变式2-2】如果，那么下列不等式成立的是 ． ①    ②    ③    ④ 【答案】④ 【详解】由，可得， 对于①中，由，所以，所以①不正确； 对于②中，由，所以，所以②不正确； 对于③中，由，所以，所以③不正确； 对于④中，由，所以，所以④正确. 故答案为：④. 【变式2-3】已知实数，满足，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】 ， 因为，所以， 所以. 考点03 利用不等式的性质判断不等式 【方法点拨】①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可； ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 【例5】“，且”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，且，根据不等式的加法和乘法法则可得，且，即必要性成立； 当，满足，且，但是，故充分性不成立， 所以“，且”是“，且”的必要不充分条件. 故选：B 【例6】（多选）若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由及不等式的性质可知，故A正确； 对于B，由，及不等式的性质可知，故B正确； 对于C，若，可得，故C错误； 对于D，由及，可得，故D正确． 故选：ABD． 【变式3-1】设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，则，则A选项错误； 因为，所以，又0，则，即，所以，即，则B选项正确； 当时，，则C选项错误； 因为，由B选项可知，所以，则D选项错误. 故选：B 【变式3-2】（多选）已知且，．则下列关系一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由题意可知，， 对于A，由，， 根据同向可加性得，故A正确； 对于B，取，验证B错误； 对于C，若，等式不成立，故C错误； 对于D，两式做差得， 因为， 所以， 所以，故D正确. 故选：AD. 【变式3-3】若且，则 0．（填“”、“”或“”） 【答案】 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以， 故答案为：. 考点04 利用不等式的性质证明不等式 【方法点拨】①利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用； ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 【例7】已知，求证：的充要条件是． 【答案】证明见解析 【详解】证明：充分性（条件结论） 因为，所以， 又，所以， 所以充分性成立； 必要性（结论条件） 因为， 而，所以， 所以，所以必要性成立． 综上，的充要条件是． 【例8】给出三个不等式．（1）；（2）；（3）．写出一个：以其中任意两个不等式为条件，剩下的一个不等式为结论的真命题，并加以证明． 【答案】答案见解析 【详解】以（2）（3）作为条件，可得（1）成立， 因为，对，两边同除得； 以（1）（2）作为条件，可得（3）成立， ，则，因为，则，则； 以（1）（3）作为条件，可得（2）成立， 因为，，两边同乘则得到 . 【变式4-1】（1）已知，求证：； （2）若.求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1），，， 而，即，. （2）， ，即， ，即. 【变式4-2】证明下列不等式： (1)若，求证：； (2)若，，，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：因为， 又因为，所以，所以． （2）证明：由 ， 因为，， 所以，，，， 所以，． 因为，所以 又因为， 所以，即． 【变式4-3】已知三个不等式：①；②；③（其中m，n，x，y均为实数），命题p：__________，____________________（横线上填①，②，③）．请写出2种可能的命题，并判断其真假． 【答案】答案见解析 【详解】解：命题1：①，②③． 若①，②成立，即，，不等式两边同除以可得，即命题1为真命题． 命题2：①，③②． 若①，③成立，即，，不等式两边同乘，可得，即命题2为真命题． 命题3：②，③①． 若③，②成立，即，，则． 又，则，即命题3为真命题． （以上三个命题中可以任意选择两个命题） 考点05 利用不等式的性质求取值范围 【方法点拨】同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性． 【例9】已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，， 得，即， ， 所以，即， 故选：D 【例10】已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，则有， 将不等式的两边同时乘，可得， 所以. 故选：B． 【变式5-1】是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必奖条件 【答案】B 【详解】当时，可取、符合题意，但此时不能得到； 当时，有，，即成立； 故是的必要非充分条件. 故选：B. 【变式5-2】已知对于实数x，y，满足，，则的最大值为 ． 【答案】7 【详解】因为，，所以， 设， 故，所以， ， 由于， 故， 即. 故答案为：7 【变式5-3】（多选）已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，，则，，故A、C正确； 由题，故，B错误； ，则，故，D正确； 故选：ACD. 一、单选题 1．公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知可得，， 所以有. 故选：B. 2．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】对于A：当时，显然不成立，故A错误； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为，所以，故D错误. 故选：B. 3．已知，为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，得， 所以，充分性成立； 由，得，不妨取满足不等式， 所以推不出，从而得不到，必要性不成立. 故选:A. 4．设，则“”是“”成立的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由，因为，所以. 故选:C. 5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，， 在中，由，得，于是，即， 因此， 所以的取值范围为. 故选：C 二、多选题 6．下列结论错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【详解】取可得，，但，A错误； 取可得，，但，B错误； 因为，又，所以，故，C正确； 由，可得，所以，D正确； 故选：AB. 7．已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】且，则，， 则，A正确； 因为，，所以，B错误； 因为，，， 当时，，则；当时，，则，当时，，则，故C错误； 因为， 当且仅当时，等号成立，此时由可得，不符合， 所以不成立，故，即，D正确. 故选：AD 三、填空题 8．某生活用品价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周价格分别为a元/斤、b元/斤，甲和乙购买方式不同：甲每周买3斤该用品，乙每周买10元钱的该用品，则 的购买方式更优惠(两次平均价格低视为更优惠).(填“甲”或“乙”) 【答案】乙 【详解】由题意得甲购买该用品的平均单价为， 乙购买该用品的平均单价为， 因为，可得，所以， 即乙的购买方式更优惠. 故答案为：乙 9．下列论断中：①；②；③；④；⑤．以其中一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： （作答时，请按“序号序号”的格式书写）． 【答案】①②（答案不唯一） 【详解】①中，所以，故①等价于； ②等价于，即； ③等价于； ④等价于； ⑤等价于． ①可以推出②，因为当时，，故； ③可以推出⑤，因为当时，，故； ④可以推出③，因为当④成立时，根据基本不等式，，故③成立； ④可以推出⑤，因为“”与“”都成立； 故答案为：①②（答案不唯一） 四、解答题 10．判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，，则； (4)若，则． 【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)假命题 (4)假命题 【详解】（1）若，当时，则；故为假命题， （2）由于，故，则，进而可得；故为真命题， （3）若，，则， 此时满足，，但是无法得到，故为假命题 （4）若，不妨取，则无意义，故无法得到，故为假命题 11．证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1），即， ，则. （2）， ， ， 则， 12．已知三个不等式：①；②；③.若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出两个正确的命题，并写出推理过程. 【答案】答案不唯一，具体见解析 【详解】解：等价为， 若①②③，当，，则. 证明：因为，所以，又， 所以，即. 若①③②，当，且，则. 证明：因为，且， 所以，即. 若②③①，当且时，则. 证明：因为，所以，又，即，所以 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13．（1）设a，b为正实数，求证：． （2）设a，b，c为正实数，求证：． 【答案】（1）证明见解析 ；（2）证明见解析 ． 【详解】（1）因为，a，b为正实数， 所以，所以，当且仅当时，取等号． （2）由（1），得． 同理，得， 所以， 当且仅当时，取等号． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$