2024年九年级中考数学复习 专题四：函数汇编

专题04 函数汇编 【一次函数、反比例函数、二次函数】 例题1 一次函数及反比例函数综合 1、如图，一次函数y＝mx+n的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（3，a）． （1）求点B的坐标； （2）用m的代数式表示n； （3）当△OAB的面积为9时，求一次函数y＝mx+n的表达式． 【分析】（1）由反比例函数的解析式即可求得的B的坐标； （2）把B（3，2）代入y＝mx+n即可求得用m的代数式表示n的式子； （3）利用三角形面积求得n的值，进一步求得m的值． 【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过点B（3，a）， ∴a＝＝2， ∴点B的坐标为（3，2）； （2）∵一次函数y＝mx+n的图象过点B， ∴2＝3m+n， ∴n＝2﹣3m； （3）∵△OAB的面积为9， ∴， ∴n＝6， ∴A（0，﹣6）， ∴﹣6＝2﹣3m， ∴m＝， ∴一次函数的表达式是y＝x﹣6． 2、如图，反比例函数与一次函数y＝﹣2x+m的图象交于点A（﹣1，4），BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C． （1）求反比例函数与一次函数y＝﹣2x+m的表达式； （2）当OD＝1时，求线段BC的长． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意可知B、C的纵坐标为1，即可求得B（﹣4，1），C（，1），从而求得BC＝4． 【解答】解：（1）∵反比例函数与一次函数y＝﹣2x+m的图象交于点A（﹣1，4）， ∴4＝，4＝﹣2×（﹣1）+m， ∴k＝﹣4，m＝2， ∴反比例函数为y＝﹣，一次函数为y＝﹣2x+2； （2）∵BC⊥y轴于点D， ∴BC∥x轴， ∵OD＝1， ∴B、C的纵坐标为1， ∴B（﹣4，1），C（，1）， ∴BC＝＝4． 4、学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s（km）和时间t（h）的关系，则出发 　0.35　h后两人相遇． 【分析】用待定系数法求出l1和l2的函数解析式，再令y1＝y2解方程即可． 【解答】解：设l1的函数解析式为y1＝kx+b， 则， 解得， ∴l1的函数解析式为y1＝5x+3.5； 设l2的函数解析式为y2＝mx， 则0.4m＝6， 解得m＝15， ∴l2的函数解析式为y2＝15x； 令y1＝y2，即5x+3.5＝15x， 解得x＝0.35， ∴出发0.35小时后两人相遇． 故答案为：0.35． 【点评】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式． 例题2 一次函数及二次函数综合 1、一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长． 【分析】（1）用待定系数法可得函数解析式； （2）结合（1），令y＝0解得x的值即可． 【解答】解：（1）根据题意可得，抛物线过（0，10）和（3，7），对称轴为直线x＝1， 设y关于x的函数表达式为y＝ax2+bx+c， ∴， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为y＝﹣x2+2x+10； （2）在y＝﹣x2+2x+10中，令y＝0得0＝﹣x2+2x+10， 解得x＝+1或x＝﹣+1（舍去）， ∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为（+1）米． 2、 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系． 请回答下列问题： （1）如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式； （2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长； （3）如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解； （3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， ∵四边形为矩形，为的中垂线， ∴，， ∵， ∴点，代入，得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ∵四边形，四边形均正方形，， ∴， 延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形， ∴， ∴， ∵，当时，，解得：， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵，垂直平分， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴， ∵太阳光为平行光， 设过点平行于的光线的解析式为， 由题意，得：与抛物线相切， 联立，整理得：， 则：，解得：； ∴，当时，， ∴， ∵， ∴． 3、嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点A（6，1）处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2 的一部分，淇淇恰在点B（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2：的一部分． （1）写出C1的最高点坐标，并求a，c的值； （2）若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值． 【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求a，即可求解； （2）根据点A的取值范围代入解析式可求解． 【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2， ∴C1的最高点坐标为（3，2）， ∵点A（6，1）在抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2上， ∴1＝a（6﹣3）2+2， ∴a＝﹣， ∴抛物线C1：y＝﹣（x﹣3）2+2， 当x＝0时，c＝1； （2）∵嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包， ∴此时，点A的坐标范围是（5，1）～（7，1）， 当经过（5，1）时，1＝﹣×25+×5+1+1， 解得：n＝， 当经过（7，1）时，1＝﹣×49+×7+1+1， 解得：n＝， ∴≤n≤， ∵n为整数， ∴符合条件的n的整数值为4和5． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 函数汇编 例题1 一次函数及反比例函数综合 1、如图，一次函数y＝mx+n的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（3，a）． （1）求点B的坐标； （2）用m的代数式表示n； （3）当△OAB的面积为9时，求一次函数y＝mx+n的表达式． 2、如图，反比例函数与一次函数y＝﹣2x+m的图象交于点A（﹣1，4），BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C． （1）求反比例函数与一次函数y＝﹣2x+m的表达式； （2）当OD＝1时，求线段BC的长． 3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E，且点D为AB的中点． （1）求反比例函数的表达式和点E的坐标； （2）若一次函数y＝x+m与反比例函数的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点M可与点D，E重合），直接写出m的取值范围． 4、学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s（km）和时间t（h）的关系，则出发 　　h后两人相遇． 例题2 一次函数及二次函数综合 1、一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长． 2、蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系． 请回答下列问题： （1）如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式； （2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长； （3）如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 3、嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点A（6，1）处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2 的一部分，淇淇恰在点B（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2：的一部分． （1）写出C1的最高点坐标，并求a，c的值； （2）若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$